一．基本原理
（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”.
（2）理解事件中常見詞語的含義：
A,B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；A,B都發(fā)生的事件為AB；A,B都不發(fā)生的事件為eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))；A,B恰有一個發(fā)生的事件為Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B；A,B至多一個發(fā)生的事件為Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)).
善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率.
二．典例分析
1.基本概念的考察
例1. 有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A. 甲與丙相互獨立B. 甲與丁相互獨立
C. 乙與丙相互獨立D. 丙與丁相互獨立
解析：
故選：B
例2. 某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立。已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，且.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則
A．p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
解析：設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，由題意
，所以，，所以最大，故選D.
二．一些常見的賽制（游戲規(guī)則）
賽制1.局勝制.
這種規(guī)則的特點為一旦某方獲得次勝利即終止比賽，所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達到勝.
例3．（2019年全國1卷）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．
解析：前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是
前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是
綜上所述，甲隊以獲勝的概率是
2.連勝制.
規(guī)定某方連勝場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后場連勝且之前沒有達到場連勝.
例4．（2014安徽）甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局
仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概
率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．
（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．
解：用A表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”， 表示
“第局乙獲勝”，則
（1）
（2）的可能取值為2，3，4，5
，故的分布列為
.
賽制3.比分差距制
規(guī)定某方比對方多分即終止比賽，此時首先根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于.
例5.（2019年全國2卷）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
解析：（1）由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
所以
（2）由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”
所以
賽制4.“通關(guān)制”（淘汰賽制）
在比賽的過程中，如果在某一場失敗，則被淘汰，此類問題要注意若達到第階段，則意味著前個階段均能通關(guān).這種類似于足球比賽中的淘汰賽.
例6（2020全國1卷）.甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
解析：（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，所以，需要進行第五場比賽的概率為.
（3）①四場比賽丙獲勝，丙在前四場獲勝的概率為
②由下表可知：五場比賽丙獲勝，，，
，
丙五場比賽丙獲勝的概率為
由于①②互斥，丙最終獲勝的概率為.
注：第二問在處理時直接列舉情況較復(fù)雜，此時可以采取正難則反的技巧.第三問則可直接枚舉出各種可能結(jié)果，這是我們在計算復(fù)雜事件時一個重要的技巧.
例7.（2021新高考1卷）. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.
解析：（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；
；．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．
；；
．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．
賽制5.聯(lián)賽制
一共有局比賽，每位選手都參加局比賽，每局比賽相互獨立，最終計算全部比賽的得分分布列，這種就類似與足球比賽中的聯(lián)賽制，必須要打滿一定的場次.
例8.（2022全國甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.
解析：（1）記甲學(xué)校獲得冠軍為事件，
則
甲學(xué)校獲得冠軍的概率是0.6.
（2）的可能取值為0,10,20,30，則
的期望值為．2
3
4
5
丙的
參賽
情況
1
2
3
4
5
事件
輪空
勝
勝
敗
勝
B
輪空
勝
敗
輪空
勝
C
輪空
敗
輪空
勝
勝
D

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