棠湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1. 已知，，，若，則的虛部是（    ）A. 2 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求得，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念求虛部.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以的虛部是2.故選：A.2. 過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用平行直線的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線方程，代入所過點(diǎn)可得答案.【詳解】由題意設(shè)所求方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以所求直線為.故選：A.3. 第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會將于2021年8月18日至8月29日在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運(yùn)動會提供咨詢、交通引導(dǎo)、場館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)，招募的志愿者需接受專業(yè)培訓(xùn)，甲、乙兩名志愿者在培訓(xùn)過程中進(jìn)行了六次測試，其測試成績（單位：分）如折線圖所示：則下列說法正確的是（    ）A. 甲的平均成績比乙的平均成績高B. 甲的平均成績比乙的平均成績低C. 甲成績的極差比乙成績的極差小D. 乙的成績比甲的成績穩(wěn)定【答案】D【解析】【分析】依數(shù)據(jù)分別計算甲、乙的平均值與方差、極差即可做出選擇．【詳解】由折線圖得到甲六次測試的成績依次為90，93，92，94，96，93，乙六次測試的成績依次為93，94，91，95，92，93，則甲的平均成績?yōu)?/span>，乙的平均成績?yōu)?/span>，故A，B均錯誤；甲成績的極差為，乙成績的極差為，故C錯誤；甲成績的方差，乙成績的方差，且，所以乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，D正確．故選：D4. 圓，則經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為（  ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意得點(diǎn)在圓上，進(jìn)而根據(jù)與切線垂直得切線斜率為，再求解方程即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓上，所以與切線垂直，因?yàn)?/span>，所以切線斜率為，所以，切線方程為，即.故選：D5. 在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則=（    ）A. B. C. D 【答案】B【解析】【分析】由條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算利用表示即可.【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，所以，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，所以，即.故選：B.  6. 水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法圖形性質(zhì)可得原圖形的形狀，進(jìn)而可得面積.【詳解】由直角梯形中，且，作于，則四邊形為正方形，為等腰直角三角形，故，.  故原圖為直角梯形，且上底，高，下底.其面積為.  故選：C7. 已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇環(huán)的面積公式求出母線長，利用勾股定理求高，在根據(jù)圓臺體積公式計算即可.【詳解】解：圓臺的側(cè)面展開圖是個扇環(huán)，，  所以圓臺的高，則，故選：B.8. 已知棱長都為3的正三棱柱中，分別為棱上的點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，與平面所成角的正弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】借助于側(cè)面展開圖分析可得當(dāng)，時，取得最小值時，利用平行將與平面所成的角轉(zhuǎn)化為與平面所成的角，再根據(jù)線面角的定義分析求解.【詳解】如圖1，沿著棱將棱柱的側(cè)面展開成一個矩形，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)取得最小值時，，，如圖2，在上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?/span>，，所以四邊形為平行四邊形，則，，所以、與平面所成的角相等.取的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，則為與平面所成的角，即與平面所成的角，又，，所以.故選：C.二、多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）9. 某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意致匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（    ）  A. 在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B. 圖中的值為0.025C. 估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為86.7D. 估計全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95【答案】ACD【解析】【分析】由頻率分布直方圖，根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)頻率、中位數(shù)、百分位數(shù)的求得正確答案.【詳解】由題意，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯誤；設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選：ACD10. 口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（    ）A. 與互為對立 B. 與互斥C 與相互獨(dú)立 D. 與相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】先編號：紅球?yàn)?/span>，白球?yàn)?/span>，不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.A選項(xiàng)，，所以與互為對立事件；B選項(xiàng)，，所以與不是互斥事件；C選項(xiàng)，事件“”，所以，所以與相互獨(dú)立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，事件“”，，所以與相互獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11. 已知點(diǎn)，且直線：與線段恒有交點(diǎn)，下列說法中正確的是（    ）A. 直線l的斜率為B. 直線l過定點(diǎn)C. 若直線與直線垂直，則 D. m的取值范圍【答案】BCD【解析】【分析】利用直線方程確定直線定點(diǎn)及斜率，來判斷A，B選項(xiàng)，在根據(jù)直線與的關(guān)系判斷C，D選項(xiàng).【詳解】解：對于直線： 當(dāng)時，直線斜率存在，斜率為，故A選項(xiàng)錯誤；又當(dāng)時，總有，所以直線過定點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；又，所以，若直線與直線垂直，則，所以，得，故C選項(xiàng)正確；如圖， 設(shè)直線恒過定點(diǎn)若直線與線段恒有交點(diǎn)，則可得：即，解得：，所以m的取值范圍，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.12. 如圖，底面為邊長是2的正方形，半圓面底面.點(diǎn)P為半圓弧上（不含A，D點(diǎn)）的一動點(diǎn).下列說法正確的是（    ）  A. 的數(shù)量積恒為0B. 三棱錐體積的最大值為C. 不存在點(diǎn)P，使得D. 點(diǎn)A到平面的距離取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合平面向量的運(yùn)算可判斷A；由棱錐的體積公式結(jié)合高的范圍可判斷B；由向量的線性運(yùn)算，，再由數(shù)量積運(yùn)算可判斷C；由等體積法得出點(diǎn)到平面的距離取值范圍，可判斷D.【詳解】對A，因?yàn)榘雸A面底面，，面底面，底面，所以平面，又 平面，，，又由圓的性質(zhì)，，，故A正確；對B，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，底面積，顯然當(dāng)點(diǎn)為弧中點(diǎn)時最大，此時棱錐的體積最大， ，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，因?yàn)?/span>，又，所以， ，所以，所以，在中，，  設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，作于，因?yàn)槊?/span>底面，面底面，面，所以面，所以，因?yàn)?/span>，即，所以，設(shè)，則，，，故D正確.故選：ABD.第2卷  非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13. 某學(xué)校共有教職員工800人，其中不超過45歲的有x人，超過45歲的有320人.為了調(diào)查他們的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體教職員工中抽取一個容量為50的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的教職員工20人，抽取的不超過45歲的救職員工y人，則______人.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)條件列方程求解.【詳解】根據(jù)條件學(xué)校共有教職員工800人，抽取一個容量為50的樣本，，解得，.故答案為：.14. 已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，且， 所以，解得.故答案為： .15. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，則歐拉線的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的頂點(diǎn)為，求得重心坐標(biāo)，結(jié)合外心的性質(zhì)設(shè)的外心的坐標(biāo)，由求得坐標(biāo)，然后寫出歐拉線方程.【詳解】因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)為，所以重心，因?yàn)榫€段的垂直平分線方程為，所以可設(shè)的外心為，則，即， 解得，所以．所以該三角形的歐拉線方程為，化簡可得，.故答案為：.16. 若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對滿足關(guān)系式，則實(shí)數(shù)的所有可能的值為________【答案】，，【解析】【分析】化簡得到，然后，根據(jù)情況，對進(jìn)行分類討論即可求解【詳解】由已知得，明顯地，，整理得，又由，看成有且僅有三條直線滿足，和到直線（不過原點(diǎn)）的距離相等；由，（1）當(dāng)，此時，易得符合題意的直線為線段的垂直平分線以及直線平行的兩條直線和（2）當(dāng)時，有4條直線會使得點(diǎn)和到它們的距離相等，注意到不過原點(diǎn)，所以，當(dāng)其中一條直線過原點(diǎn)時，會作為增根被舍去；設(shè)點(diǎn)到的距離為，①作為增根被舍去的直線，過原點(diǎn)和的中點(diǎn)，其方程為，此時，，符合；②作為增根被舍去的直線，過原點(diǎn)且以為方向向量，其方程為，此時，，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)為，，；故答案為：，，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于化簡得到，將問題轉(zhuǎn)化為，有且僅有三條直線滿足，和到直線（不過原點(diǎn)）的距離相等，這是本題的解題關(guān)鍵，本題難度屬于困難三、解答題（本大題共6個大題，共70分）17. 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求的垂直平分線方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程．【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】(1)求出中點(diǎn)坐標(biāo)為，計算出MN兩點(diǎn)的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積等于-1計算出中垂線的斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出中垂線即可．(2)點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等等價于直線與直線MN平行或直線過的中點(diǎn)．【詳解】（1）易求得中點(diǎn)坐標(biāo)為．又，所以的中垂線的斜率為，的中垂線的方程為即．（2）由（1）知，，所以直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)得，綜上：為和【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18. 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組80.16第2組▆第3組200.40第4組▆0.08第5組2 合計▆▆（1）求的值；（2）若在滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布表可得b.先求得內(nèi)的頻數(shù),即可由總數(shù)減去其余部分求得.結(jié)合頻率分布直方圖,即可求得的值.（2）根據(jù)頻率分布表可知在內(nèi)有4人,在有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能,由古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布表可得內(nèi)的頻數(shù)為,∴∴內(nèi)的頻率為∴∵內(nèi)的頻率為0.04∴（2）由題意可知,第4組共有4人,第5組共有2人,設(shè)第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、從中任取2人的所有基本事件為：,,,,,,,,,,,,,,共15個.至少一人來自第5組的基本事件有：,,,,,,,共9個.所以.∴所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.19. 已知圓C過三個點(diǎn)．（1）求圓C的方程：（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，將三個點(diǎn)代入求解；（2）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為， A的坐標(biāo)是，由P為線段OA的中點(diǎn)，得到 ，代入圓上的點(diǎn)求解.【小問1詳解】解：設(shè)圓的方程為，因圓過三個點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為，即．【小問2詳解】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為， A的坐標(biāo)是．由于P為線段OA的中點(diǎn)，所以 ， ，所以有 ①A是圓上的點(diǎn)，所以A坐標(biāo)滿足：②將①代入②整理，得，所以P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，方程為．20. 如圖，在三棱柱中，底面，，是的中點(diǎn)，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判斷定理可得證；（Ⅱ）以，，為軸， 軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面向量求解方法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）如圖，由三棱柱，得，又因?yàn)?/span>平面，平面 ，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)?/span>底面，，所以，，兩兩垂直，故分別以， ，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，， ，，所以， ，，設(shè)平面的法向量，由， ，得令 ，得.設(shè)直線與平面所成角為，則 ，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，線面角的向量求解方法，屬于中檔題.21. 如圖，幾何體中，平面平面，四邊形為邊長為2的正方形，在等腰梯形中，，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）可證平面，從而得到.（2）以方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量的夾角的余弦值后可得二面角的平面角的余弦值.【詳解】證明：過點(diǎn)作于.為等腰梯形，則，又，，，又，又，故,故，.∵平面平面，，平面平面，∴平面.∵平面，，又，∴平面，∵平面，所以. （2）解：以方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面和平面的法向量分別為和，則即，取得：，又即，取得：，則，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化. 空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.22. 已知圓，圓心C在直線上，且被直線截得弦長為.（1）求圓方程；（2）若，點(diǎn)，過A作兩條直線，，且滿足，直線交圓C于M，N兩點(diǎn)，直線交圓C于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）或；（2）7.【解析】【分析】（1）由已知可得，利用圓的弦長公式可求解；（2）分類討論直線斜率是否存在，利用圓的弦長公式求得，，再利用基本不等式求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1）由圓，圓心C在直線上，故圓，圓心，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則即，解得：或所以圓的方程為或；（2）由，可知圓的方程為當(dāng)直線斜率不存在時，此時，此時 當(dāng)直線斜率存在，設(shè)為k，則直線方程為，圓心到直線的距離設(shè)為，則，則同理可得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立綜上可知四邊形面積的最大值為7.    

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