一、選擇題
1．某企業(yè)有甲?乙?丙三個(gè)工廠，甲廠有200名職工，乙廠有500名職工，丙廠有100名職工，為宣傳新修訂的個(gè)人所得稅法，使符合減稅政策的職工應(yīng)享盡享，現(xiàn)企業(yè)決定采用分層抽樣的方法，從三個(gè)工廠抽取40名職工，進(jìn)行新個(gè)稅政策宣傳培訓(xùn)工作，則應(yīng)從甲廠抽取的職工人數(shù)為( )
A.5B.10C.20D.25
2．傾斜角為，在y軸上的截距為的直線方程是( )
A.B.C.D.
3．某人將一枚均勻的正方體骰子,連續(xù)拋擲了100次,出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)為19,則( )
A.出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為0.19
B.出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為0.19
C.出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為19
D.出現(xiàn)6點(diǎn)的概率接近0.19
4．已知方程表示圓的方程，則c的取值范圍為( )
A.B.C.D.
5．已知一次試驗(yàn)，事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生且A，B至少有一個(gè)發(fā)生，又事件A與事件C不能同時(shí)發(fā)生.若，，則( )
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
6．中國(guó)氣象局規(guī)定：24小時(shí)內(nèi)降雨的深度稱為日降雨量，表示降雨量的單位通常用毫米.例如：1毫米的降雨量是指單位面積上水深1毫米.在連續(xù)幾天的暴雨天氣中，某同學(xué)用一個(gè)長(zhǎng)方體容器來(lái)測(cè)量降雨量，已知該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，該容器的容器口為上底面正方形的內(nèi)切圓，將該容器放在雨中，雨水從圓形容器口進(jìn)入容器中，24小時(shí)后，測(cè)得容器中水深，則該同學(xué)測(cè)得的降水量約為( )（取3.14）
A.127毫米B.12.7毫米C.509毫米D.100毫米
7．已知三棱錐，平面，，，直線與平面所成的角為，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的同一球面上，則( )
A.1B.2C.D.3
8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡方程為，定點(diǎn),，則的最小值為( )
A.B.C.8D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．在平行六面體中,的重心為點(diǎn)G,則( )
A.B.若M為BC的中點(diǎn),則
C.D.
10．已知直線l過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A.B.C.D.
11．已知甲罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3；乙罐中有兩個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和小于4”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于3”，則( )
A.事件A發(fā)生的概率為B.事件發(fā)生的概率為
C.事件A，C是互斥事件D.事件B，C相互獨(dú)立
12．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，經(jīng)過(guò)A,B,O三點(diǎn)的圓記為圓C.下列結(jié)論正確的是( )
A.且
B.當(dāng)時(shí)，為鈍角
C.圓（且）
D.圓C過(guò)定點(diǎn)
三、填空題
13．已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，則此時(shí)方差是__________.
14．李雷?韓梅梅兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿4局時(shí)停止.設(shè)李雷在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.則概率P的值為_(kāi)__________
15．長(zhǎng)方體中，，，.過(guò)作長(zhǎng)方體的截面，則所得截面多邊形面積的最小值是__________.
16．設(shè)，是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上，函數(shù)有11個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是______.
四、解答題
17．某校對(duì)2023年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)、平均分；
（2）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第80百分位數(shù)；
18．如圖，三棱錐中，，，兩兩垂直，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，的面積為8，四棱錐的體積為4.
（1）若平面平面，求證：；
（2）求三棱錐的表面積.
19．已知光線經(jīng)過(guò)已知直線和的交點(diǎn)M，且射到x軸上一點(diǎn)后被x軸反射.
（1）求點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求反射光線所在的直線的方程.
（3）求與距離為的直線方程.
20．隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試.在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需要重新報(bào)名），其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對(duì)夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參加駕駛證科目二考試，若這對(duì)夫妻每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立，他們參加科目二考試的原則為：通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止.
（1）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；
（2）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.
21．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面.E為的中點(diǎn)，，，，.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
22．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比值為2，點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的軌跡方程
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，求面積的最大值.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意知抽樣比為：，
所以應(yīng)從甲廠抽取的職工人數(shù)為：人，
故選：B.
2．答案：A
解析：由于直線的傾斜角為，故斜率為,由斜截式求得直線l的方程為.
故選A.
3．答案：B
解析：由題可得，出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為
故選：B.
4．答案：A
解析：因?yàn)榉匠瘫硎緢A的方程，
所以，解得，
故選：A
5．答案：A
解析：因?yàn)槭录嗀與事件B不能同時(shí)發(fā)生且A，B至少有一個(gè)發(fā)生，
所以事件A與事件B為對(duì)立事件，而，
所以由，
又因?yàn)槭录嗀與事件C不能同時(shí)發(fā)生，
所以事件A與事件C是互斥事件，因?yàn)椋?br>所以，
故選：A
6．答案：B
解析：水的體積，容器口的面積，
降雨量，
故選：B
7．答案：C
解析：設(shè)，則,
平面,
直線與平面所成的角為,
,
以,,為長(zhǎng)、寬、高做長(zhǎng)方體，如圖，
則長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球，
所以，
又外接球的表面積,
所以，解得，
中.
故選：C
8．答案：A
解析：設(shè)，使其滿足，
，所以，由
所以，因?yàn)?，所以?br>整理可得，又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是，
所以，解得,
所以，又，
所以，
因?yàn)椋缘淖钚≈担?br>當(dāng)M在位置時(shí)等號(hào)成立.
故選：A
9．答案：AC
解析:對(duì)于A,因?yàn)镚為重心,故,又,故,故A正確;對(duì)于B,,,故,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,,故D錯(cuò)誤.故選AC.
10．答案：BC
解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離為5，點(diǎn)B到直線l的距離為1，此時(shí)不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，
點(diǎn),到直線的距離相等，
，解得，或，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，整理得，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，整理得
綜上，直線l的方程可能為或
故選：BC.
11．答案：AC
解析：對(duì)于A，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有種抽法，
其中事件A包含的事件個(gè)數(shù)有,,共3個(gè)，
故事件A發(fā)生的概率為，A正確；
對(duì)于B，事件B包含的事件個(gè)數(shù)有,,,共4個(gè)，
故事件包含的事件個(gè)數(shù)有5個(gè)，則事件發(fā)生的概率為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，事件A包含的事件為,,，每個(gè)事件中兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積都不大于3，
故事件A，C不會(huì)同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件，C正確；
對(duì)于D，，事件C包含的事件個(gè)數(shù)有,共2個(gè)，故,
事件包含的事件為,，則,
則,，即事件B，C不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤，
故選：AC
12．答案：ACD
解析：對(duì)于A，聯(lián)立，消y可得，
二次函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
解得，又，故A正確；
對(duì)于B，聯(lián)立消y可得，
設(shè)，，
則，，
由弦長(zhǎng)公式可得，
在中，，
，
當(dāng)時(shí)，
，
所以
所以為銳角，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，線段的中點(diǎn)為，
則的中垂線為：，設(shè)圓心為，
不妨設(shè)，
由，
即
整理可得，
即，
解得，所以圓心為，
半徑，
所以圓C為：，
整理可得（且，故C正確；
對(duì)于D，由（且），
整理可得，方程過(guò)定點(diǎn)
則，解得，所以圓C過(guò)定點(diǎn)，故D正確；
故選：ACD
13．答案：
解析：設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為，，…，，則，所以，，所以.
當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故答案為.
14．答案：或0.75
解析：依題意,當(dāng)李雷連勝2局或者韓梅梅連勝2局時(shí),第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，
，
解得或（舍去）
故答案為：
15．答案：
解析：截面多邊形面積取最小值時(shí)上的高為，
因此最小值為.
16．答案：
解析：令=0，
所以在區(qū)間上，函數(shù)和的圖像有11個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)與的圖象如圖，
由圖可知，函數(shù)與(，，，，，)僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根；所以要使關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則，與，的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，
由到直線的距離為1，得，解得，
兩點(diǎn)，連線的斜率，所以
.
故答案為.
17．答案：（1）眾數(shù)是100，平均分是93；
（2）115.
解析：（1）由，
可得.
即數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢侯l率，頻率，
頻率，頻率，
頻率，頻率，
分?jǐn)?shù)在內(nèi)的最多，所以眾數(shù)是100，
平均分是.
（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為，
在130分以下所占比例為，
因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，
所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115.
18．答案：（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
解析：（1）證明：E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面.
又平面平面，平面，.
（2），，兩兩垂直，，平面，
平面，即是四棱錐的高.
，，，.
E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，
，即.
，，.
的面積為.
三棱錐的表面積.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）或.
解析：（1）由得，.
所以點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo).
（2）解法一：
因入射角等于反射角，
直線MN的傾斜角為，則直線的斜角.
，所以直線的斜率.
故反射光線所在的直線的方程為：.
即.
解法二：
因?yàn)槿肷浣堑扔诜瓷浣牵?br>所以反射光線所在的直線的方程就是直線的方程.
直線的方程為：，
整理得：.
故反射光線所在的直線的方程為.
（3）設(shè)與平行的直線為，
根據(jù)兩平行線之間的距離公式得：，
解得，或，
所以與距離為的直線方程為：或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1），分別表示丈夫和妻子第i次通過(guò)考試的事件，
則，，
夫妻二人都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的事件，
則：，
所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元補(bǔ)考費(fèi)的事件：
，
則，
所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.
21．答案：（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
解析：（1）取的中點(diǎn)F,連接,，
因?yàn)镋,F分別為,的中點(diǎn)，所以,，
因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>（2）取的中點(diǎn)O，連接,，因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，面PAD，
所以平面.
因?yàn)?，?br>所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)?，所?
以O(shè)為原點(diǎn)，,,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則.
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
22．答案：（1）；
（2）2
解析：（1）設(shè)點(diǎn)，,即，
，即，
曲線C的方程為.
（2）由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，
由（1）可知，點(diǎn)M是圓的圓心，
點(diǎn)M到直線l的距離為，由得，即，
又，
所以，
令，所以，，
則
，
所以，
當(dāng)，即，此時(shí)，符合題意，
即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為2.

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