雙流中學2023-2024學年高二上學期第一學月考試數學試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1. 復數在復平面上對應的點位于第一象限，則實數的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化簡復數即可判斷.【詳解】因為對應的點位于第一象限，所以故選：C.2. 某小區(qū)有500人自愿接種新冠疫苗，其中49~59歲的有140人，18~20歲的有40人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項接種疫苗的追蹤調查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)18~20歲的接種疫苗的人群中抽取4人，則樣本容量為（    ）A. 14 B. 18 C. 32 D. 50【答案】D【解析】【分析】根據分層抽樣的概念求解.【詳解】設樣本容量為，由題意得，解得.故選：D.3. 已知，、，則向量與的夾角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設向量與的夾角為，計算出向量與的坐標，然后由計算出的值，可得出的值.【詳解】設向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，考查利用向量的坐標計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.4. 兩平行直線與之間的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用兩平行線間距離公式即得.【詳解】由，可得，所以兩平行直線的距離為.故選：B.5. 已知，為兩個不同平面，，為兩條不同直線，則下列說法不正確的是（    ）A. 若，，則 B. 若，，則C. 若，，則 D. 若，，且，則【答案】B【解析】【分析】利用線線，線面以及面面的位置關系的判定定理和性質定理，對每個選項進行逐一判斷，即可得解.【詳解】對于A，，，根據線面垂直的性質可知，垂直于同一平面的兩直線平行，選項A正確；對于B， ，，根據線面垂直的定義以及線面平行的判定定理可知或，故選項B錯誤；對于C， ，，根據線面垂直的性質定理以及面面平行的判定定理可得，故選項C正確；對于D，由和可知或，又，則由線面平行的性質定理和線面垂直的性質定理可知，，故選項D正確.故選：B.【點睛】本題考查了線面垂直的性質定理，線面平行的性質定理，面面平行的性質定理，屬于基礎題.6. 平面過棱長為1的正方體的面對角線，且平面，平面，點在直線上，則的長度為A.  B.  C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】首先根據題意得到平面和平面，從而得到，，即平面.再以為側棱補作一個正方體，使得平面與平面共面.因為，所以平面，即平面就是平面，再計算即可.【詳解】在正方體中，平面.平面.又因為，所以平面.如圖，以為側棱補作一個正方體，使得平面與平面共面.因為，所以平面.連接，交于，為的中點.所以平面為平面，所以.故選：C【點睛】本題主要以正方體為載體，考查了線面垂直和線線平行的判定，同時考查了數形結合的思想，屬于難題.7. 已知圓截軸所得的弦長為，過點且斜率為的直線與圓交于兩點，若，則的值為A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】由軸和直線被圓截得的弦長相等，所以圓心到軸和到直線的距離相等，然后結合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：因為軸和直線被圓截得的弦長相等，所以圓心到軸和到直線的距離相等，又直線，即，所以圓心到直線的距離，解得，故選：D．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查考生對基礎知的掌握情況，考查的核心素養(yǎng)是數學運算、直觀想象．8. 直三棱柱如圖所示，為棱的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根據已知條件求出側棱長，然后建立空間直角坐標系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因為在直三棱柱中，所以球心到底面的距離，又因為，所以，所以，所以底面外接圓半徑，又因為球的表面積為，所以，而，所以，  以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設直線和所成的角為，則.故選：A.二、多選題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）9. 為落實黨中央的“三農”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了一期“三農”政策專題培訓，并在培訓結束時進行了結業(yè)考試．如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關于這次考試成績的估計正確的是（    ）A. 眾數為82.5 B. 80百分位數為91.7C. 平均數為88 D. 沒有一半以上干部的成績在80～90分之間【答案】AB【解析】【分析】A根據直方圖判斷眾數的位置即可；B利用百分位數的運算方法求出80百分位數即可；C利用直方圖求出平均數即可；D求出80~90分之間的頻率，與比較大小即可【詳解】由圖知：眾數出現在之間，故眾數為，故A正確；由圖可得該次考試成績在分以下所占比例為，在分以下所占比例為，因此，第百分位數一定位于內，所以第百分位數為，故B正確；由，C錯誤；由，有一半以上干部的成績在80~90分之間，D錯誤.故選：AB10. 下列結論錯誤的是（    ）A. 過點，的直線的傾斜角為B. 若直線與直線垂直，則C. 直線與直線之間的距離是D. 已知，，點P在x軸上，則的最小值是6【答案】ACD【解析】【分析】求出斜率判斷A；利用兩直線垂直關系求出a判斷B；求出平行線間距離判斷C；利用對稱思想求出最小值判斷D作答.【詳解】對于A，直線的斜率，其傾斜角小于，A錯誤；對于B，由直線與直線垂直，得，解得，B正確；對于C，直線化為，因此兩平行直線的距離，C錯誤；對于D，點關于x軸的對稱點為，連接交x軸于點，點是x軸上任意一點，  連接，于是，當且僅當點與重合時取等號，因此，D錯誤.故選：ACD11. 已知圓上有且僅有三個點到直線的距離為1，則直線的方程可以是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據點到直線距離公式，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】因為圓的半徑為，圓心為，圓上有且僅有三個點到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離為1.A：圓心到直線的距離為，不符合題意；B：圓心到直線的距離為，符合題意；C：圓心到直線的距離為，符合題意；D：圓心到直線的距離為，符合題意，故選：BCD12. 如圖，在長方體中，，點是棱上的一個動點，給出下列命題，其中真命題的是（    ）A. 不存在點，使得B. 三棱錐的體積恒為定值C. 存在唯一的點，過三點作長方體的截面，使得截面的周長有最小值D. 為棱上一點，若點滿足，且平面，則為中點【答案】BCD【解析】【分析】選項A. 先證明存在點使得平面，從而可判斷；選項B. 由為定值，根據可判斷；選項C. 先作出截面，然后將側面展開，使得面與面在同一平面內，從而可判斷；選項D. 在梯形中，兩腰延長必相交，設交點為,連接，從而可得，從而可判斷.【詳解】選項A. 在底面矩形中，連接交于點 ,由，則所以, 所以,為等邊三角形取的中點，連接并延長交于點，則 又在長方體中，平面，且平面，則又,所以平面,又平面所以，所以存在點，使得，故選項A不正確.選項B. 在長方體中，平面,所以所以三棱錐的體積恒為定值，故選項B正確.選項C. 在 上取點，使得，連接 則四邊形為平行四邊形,所以過三點作長方體的截面為面將側面展開，使得面與面在同一平面內，連接,交于點，此時最小，即截面的周長最小所以存在唯一的點，使得截面的周長有最小值，故選項C 正確.選項D. 在梯形中，兩腰延長必相交，設交點為,連接 由, ,即,所以,即，則平面,面平面 由平面，則又，所以為平行四邊形,則，則 所以為的中點. 故選項D正確.故選：BCD第2卷非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13. 用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體 積是_______cm3．【答案】【解析】【分析】由截面的面積為cm2，可得截面的半徑，進而可得球半徑，再由球的體積公式計算即可.【詳解】解：設截面圓半徑為，則，，球半徑為，則，所以，所以（）.故答案為：14. 甲、乙兩人約定進行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是______________．【答案】【解析】【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸第三局勝或第一局輸第二局勝第三局勝，根據互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因為乒乓球比賽的規(guī)則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為，因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸第三局勝或第一局輸第二局勝第三局勝，所以最后甲獲勝的概率,故答案為：15. 在y軸上有一點，使得以，和P為頂點的三角形面積為6，則b的值為___________.【答案】或7##7或【解析】【分析】首先求出點到直線的距離，然后根據兩點間的距離求出，從而可表示出三角形的面積，根據三角形的面積為即可求出的值.【詳解】易知，所以直線方程為，即，點到直線的距離，又，所以，解得或.故答案為：或7.16. 已知，，過x軸上一點P分別作兩圓的切線，切點分別是M，N，當取到最小值時，點P坐標為______.【答案】【解析】【分析】，則，可看成點到兩定點，的距離和，而兩點在軸的兩側，所以連線與軸的交點就是所求點.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設，則，所以，取，則，當三點共線時取等號，此時直線：令，則，，故答案為：  【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關系，考查距離公式的應用，解題的關鍵是將問題轉化為點到兩定點，的距離和的最小值，結合圖形求解，考查數形結合的思想，屬于較難題.三、解答題（本大題共6個大題，共70分）17. 已知復平面內的點A，B對應的復數分別是．（1）當為何值時，的模取得最大值，并求此最大值；（2）若，設對應的復數是，若復數對應的點P在直線，求的值．【答案】（1），最大值為    （2）或【解析】【分析】（1）由復數模的定義可得：，利用三角函數求最值；（2）表示出點P的坐標，代入，求出或.【小問1詳解】由復數模的定義可得：，顯然當時最大，即，故最大值為.【小問2詳解】由（1）知點P的坐標是，代入，得，即，又因為，所以或.18. 某中學為研究本校高三學生在市聯考中的語文成績，隨機抽取了100位同學的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）請估計本次聯考該校語文成績的眾數、中位數；（3）樣本內語文分數在的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出2人，求選出的兩名學生中恰有一人成績在中的概率．【答案】（1）    （2）105；105.7    （3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1可求；（2）眾數取出現分數頻率最多的分數段，取橫坐標中間值即可，當頻率值和累計到時的橫坐標值可求中位數；（3）結合古典概型概率公式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得【小問2詳解】由圖可知，語文成績的眾數為；語文成績在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，，故語文成績的中位數落在，設為，則滿足，解得，故語文成績的中位數為；【小問3詳解】由圖可知，按分層抽樣法，5名學生中分數在的學生應抽4名，設為，在的學生應抽1名，設為，則所有抽取情況有共10種，符合題意的有共4種，則這5名學生中隨機選出2人，恰有一人成績在中的概率為.19. 如圖直線過點，且與直線和分別相交于，兩點.（1）求過與交點，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點平分，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點關于點對稱、點在直線上的待定系數法．【詳解】（1）由題可得交點，所以所求直線方程為，即；（2）設直線與直線相交于點，因為線段恰被點平分，所以直線與直線的交點的坐標為．將點，的坐標分別代入，的方程，得方程組解得由點和點及兩點式，得直線的方程為，即．【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主．點關于點的對稱，點關于直線的對稱，直線關于直線的對稱，是重點考察內容．20. 已知圓.（1）若直線，證明:無論為何值，直線都與圓相交；（2）若過點的直線與圓相交于兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.【答案】（1）見詳解；    （2）的面積的最大值為，此時直線方程為或.【解析】【分析】（1）只要證明直線過圓內一點即可；（2）根據題意，故設直線方程，可得圓心到直線的距離，又，代入，利用函數求最值即可得解.【小問1詳解】轉化的方程可得：，由，解得，所以直線恒過點，由，故點在圓內，即直線恒過圓內一點，所以無論為何值，直線都與圓相交；【小問2詳解】由的圓心為，半徑，易知此時直線斜率存在且不為，故設直線方程，一般方程為，圓心到直線的距離，所以 所以，令，可得，當時，所以的面積的最大值為，此時由，解得，解得或，符合題意，此時直線方程或.21. 如圖，等腰梯形ABCD中，，，現以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.（1）證明：平面平面ADC；（2）若M為PD上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）在梯形中，取的中點，證明四邊形為平行四邊形，再根據圓的性質得出，利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.【小問1詳解】在梯形ABCD中取AD中點N，連接CN，則由BC平行且等于AN知ABCN為平行四邊形，所以，由知C點在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面平面又平面平面平面.【小問2詳解】取AC中點O，連接PO，由，可知，再由面面ACD，AC為兩面交線，所以面ACD，以O為原點，OA為x軸，過O且與OA垂直的直線為y軸，OP為z軸建立直角坐標系，令，則，，，，由，得，所以，設平面ACM的法向量為，則由得，取得，，所以，而平面PAC的法向量，所以.又因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為.22. 已知圓，直線過點且與圓相切 .（I）求直線的方程； （II）如圖，圓與軸交于兩點，點是圓上異于的任意一點，過點且與軸垂直的直線為，直線交直線于點，直線交直線于點，求證：以為直徑的圓與軸交于定點，并求出點的坐標 .【答案】（1）.（2）證明見解析；定點或.【解析】【分析】（1）由已知中直線過點，我們可以設出直線的點斜式方程，化為一般式方程后，代入點到直線距離公式，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k的值，進而得到直線的方程；（2）由已知我們易求出P,Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P與Q的坐標，進而得到以為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論.【詳解】(Ⅰ)由題意得，直線的斜率存在. 設直線的方程為.因為直線與圓相切，所以.所以.所以直線方程為.                          (Ⅱ)由題意得，點，點.設點，則直線的方程為.所以直線與直線的交點為點.直線的方程為.所以直線與直線的交點為點. 設點.則，.因為以為直徑的圓與軸交于定點,所以解得.所以定點或.

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