一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在空間直角坐標系，點關于xOy平面的對稱點B的坐標為（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空間直角坐標中的點關于面對稱求對稱點坐標.
【詳解】由與關于xOy平面對稱，且，
所以.
故選：C
2. 已知向量，，則下列結論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空間向量的坐標運算逐一判斷．
【詳解】對于A，，故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C錯誤，
對于D，，故D錯誤，
故選：B
3. 袋內裝有個紅球、個白球，從中任取個，其中是互斥而不對立的兩事件是（）
A. 至少有一個白球；全部都是紅球B. 至少有一個白球；至少有一個紅球
C. 恰有一個白球；恰有一個紅球D. 恰有一個白球；全部都是紅球
【答案】D
【解析】
【分析】
列舉出每個選項中兩個事件所包含的基本情況，結合互斥事件和對立事件的定義可得出合適的選項.
【詳解】袋內裝有個紅球、個白球，從中任取個.
對于A選項，事件“至少有一個白球”包含：“個白球”、“紅白”，
所以，A選項中的兩個事件為對立事件；
對于B選項，事件“至少有一個紅球”包含：“個紅球”、“紅白”，
所以，B選項中的兩個事件有交事件，這兩個事件不是互斥事件；
對于C選項，事件“恰有一個白球”和“恰有一個紅球”為同一事件；
對于D選項，事件“恰有一個白球”與“全部都是紅球”是互斥事件，但不是對立事件.
故選：D.
4. 某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據的分組一次為若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】根據頻率分布直方可知成績低于60分的有第一、二組數(shù)據，
在頻率分布直方圖中，對應矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據的組距為20，
則成績低于60分的頻率P=(0.005+0.010)×20=0.3.
又因為低于60分的人數(shù)是15人，
所以該班的學生人數(shù)是15÷0.3=50.
本題選擇B選項.
5. 袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是（）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
計算所有抽取的可能，以及滿足題意的可能，用古典概型的概率計算公式即可求得.
【詳解】有放回地抽取三次，每次有種可能，故所有抽取可能有種；
又滿足題意的只有紅紅紅、黃黃黃、綠綠綠種，
故滿足題意的概率.
故選：B.
【點睛】本題考查古典概型的概率求解，屬基礎題.
6. 在九章算術中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法可以求得向量夾角的余弦值，再根據向量夾角與異面直線夾角的關系可以求得異面直線夾角的余弦值.
【詳解】畫出四面體，建立坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.
解：四面體是由正方體的四個頂點構成的，如下圖所示
建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為
因為異面直線夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為
故選：C
7. 已知四面體ABCD，=，=，=，點M在棱DA上，=，N為BC中點，則＝（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據給定條件用表示出，再借助向量加法法則即可得解.
【詳解】在四面體ABCD中，連接DN，如圖所示，
=，=，=，因=，N為BC中點，則，，
于是得.
故選：C
8. 在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到直線的距離公式進行求解即可
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影為，
所以點到直線的距離為
故選：B
二、多選題：本大題共4個小題，每個小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．
9. （多選）如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述正確的是（ ）
A. 與去年同期相比2018年第一季度五個省的GDP總量均實現(xiàn)了增長
B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C. 2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個
D. 去年同期河南省GDP總量不超過4 000億元
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據柱型圖與折線圖的性質，對選項中的結論逐一判斷即可，判斷過程注意增長量與增長率的區(qū)別與聯(lián)系.
【詳解】由2018年第一季度五省情況圖，知：
與去年同期相比，2018年第一季度五個省的總量均實現(xiàn)了增長，A正確；
2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正確;
2018年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，
共2個故C不正確；
由2017年同期河南省的GDP總量增長6.6%后達到2018年的4 067.4億元，
可得去年同期河南省的GDP總量約為3 815.6億元，不超過4 000億元，故D正確.
故選：ABD.
10. 對甲、乙兩個大學生一周內每天的消費額進行統(tǒng)計，得到兩組樣本數(shù)據，甲：40，53，57，62，63，57，60；乙：47，63，52，59，45，56，63．則下列判斷正確的是（ ）
A. 甲消費額的眾數(shù)是57，乙消費額的眾數(shù)是63B. 甲消費額的中位數(shù)是57，乙消費額的中位數(shù)是56
C. 甲消費額的平均數(shù)大于乙消費額的平均數(shù)D. 甲消費額的方差小于乙消費額的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)及方差定義判斷即可.
【詳解】對于A，甲組數(shù)據中的眾數(shù)為57，乙組數(shù)據中的眾數(shù)為63，正確；
對于B，甲消費額的中位數(shù)是57，乙消費額的中位數(shù)是56，正確；
對于C，，，可得，正確；
對于D，，
，
可得，可得甲消費額的方差大于乙消費額的方差，故D錯誤．
故選：ABC.
11. 甲、乙兩隊進行排球比賽，采取五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）．根據前期比賽成績可知在每一局比賽中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為．若前兩局中乙隊以2：0領先，則（）
A. 甲隊獲勝的概率為B. 乙隊以3：0獲勝的概率為
C. 乙隊以3：1獲勝的概率為D. 乙隊以3：2獲勝的概率為
【答案】AB
【解析】
【分析】由概率的乘法公式對選項逐一判斷，
【詳解】對于A，在乙隊以2：0領先的前提下，若甲隊獲勝則第三、四、五局均為甲隊獲勝，所以甲隊獲勝的概率為，故A正確；
對于B，乙隊以3：0獲勝，即第三局乙獲勝，概率為，故B正確；
對于C，乙隊以3：1獲勝，即第三局甲獲勝，第四局乙獲勝，概率為，故C錯誤；
對于D，若乙隊以3：2獲勝，則第五局為乙隊獲勝，第三、四局乙隊輸，所以乙隊以3：2獲勝的概率為，故D錯誤．
故選：AB
12. 如圖，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點(不含端點)，則下列結論正確的是（ ）
A. 平面平面
B. 平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 直線與所成的角可能是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據線面垂直的判定定理，證得平面，結合面面垂直的判定定理，可判定A正確；根據，得到四點共面，可判定B不正確；根據三棱錐的體積公式，可判定C正確；建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，求得直線與所成的角的范圍是，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，正方體中，可得，
又由，所以平面，
又因為平面，所以平面平面，所以A正確；
對于B中，在正方體中，可得，
所以四點共面，所以B不正確；
對于C中，因為，點到平面的距離為，
所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；
對于D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
可得，設，
則，
則，
當時，；
當時，，
所以直線與所成的角的范圍是，所以D不正確.
故選：AC
【點睛】此類問題解答中熟記正方體的幾何結構特征，熟練應用轉化頂點，利用等體積法求解三棱錐的體積，以及合理利用空間向量的夾角公式求解異面直線所成的角是解答的關鍵.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 袋子中有四個小球，分別寫有“中?華?民?族”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機產生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數(shù)：
由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的隨機數(shù)法求解.
【詳解】由隨機產生的隨機數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機數(shù)，
所以恰好抽取三次就停止的概率約為，
故答案為：
14. 自然界中，構成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.
【答案】
【解析】
【分析】數(shù)形結合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再開方可得結果.
【詳解】如圖所示：
所以
依題可知：，
所以
所以
則，故
故答案：
15. 已知點在平面內，為平面外一點，且，則的最小值是___________.
【答案】9
【解析】
【分析】由題可得，再利用基本不等式即可求出.
【詳解】因為共面，所以，又，
則
，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值是9.
故答案為：9.
16. 如圖，在棱長為a的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F(xiàn)為CD上兩個動點，則點Q到平面PEF的距離______.
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，把所求轉換為點Q到平面的距離，求出平面的法向量以及向量，代入公式即可求解.
【詳解】因為正方體的三條棱兩兩垂直，所以以為原點，分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系：
取點為的中點，P為A1D1的中點，
所以，
又因為，
所以，
所以構成平面，
因為E，F(xiàn)為CD上兩個動點，，且三點不共線，
所以平面即平面，
所以點Q到平面PEF的距離即為點Q到平面的距離，
又，
所以，
不妨設平面的法向量為，
則，即，
令，則，
所以點Q到平面的距離為，
即點Q到平面PEF的距離為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟．
17. 已知，求：
（1）的值；
（2）與夾角的余弦值．
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】（1）根據向量平行與垂直求得，進而求得.
（2）先求得與坐標，然后根據向量夾角公式求得正確答案.
【小問1詳解】
因為，所以，解得，，
則，．又，所以，即，
解得，于是，．
【小問2詳解】
由（1）得，，設與的夾角為，
因為．所以與夾角的余弦值為．
18. 2022年7月1日是中國共產黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認知程度，針對黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分分及以上為認知程度高，結果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：第二組：第三組：第四組：第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
（1）根據頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者．若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.
【答案】（1）32.25，
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根據頻率分布直方圖求解平均年齡與第80百分位數(shù)；
（2）按照分層抽樣確定第四組抽取人數(shù)與編號，第五組抽取人數(shù)與編號，列舉樣本空間中所有樣本點及事件“甲、乙兩人至少一人被選上”的所有符合的樣本點，結合古典概型公式計算即可得所求概率.
【小問1詳解】
解：設這m人的平均年齡為，
則歲
設第80百分位數(shù)為a，
由，解得
【小問2詳解】
解：由題意得，第四組應抽取4人，記為A，B，C，甲，第五組抽取2人，記為D，乙.
對應的樣本空間為：,甲，,乙，，，,甲，,乙，，,甲，,乙，，甲,乙，甲,，乙,，共15個樣本點.
設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，
則,甲，,乙，,甲，,乙，,甲，,乙，甲,乙，甲,，，乙,，共有9個樣本點.
所以，
19. 隨著共享單車的成功運營，更多的共享產品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產品層出不窮.廣元某景點設有共享電動車租車點，共享電動車的收費標準是每小時2元（不足1小時的部分按1小時計算）.甲、乙兩人各租一輛電動車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為，；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過三小時.
（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；
（2）求甲、乙兩人所付的租車費用之和大于或等于8的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）甲、乙兩人所付費用相同即同為2，4，6元，都付2元的概率，都付4元的概率，都付6元的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付費用相同的概率．
（2）設兩人費用之和8、10、12的事件分別為、、，，，，設兩人費用之和大于或等于8的事件為，則，由此能求出兩人費用之和大于或等于8的概率．
【詳解】解：（1）甲、乙兩人所付費用相同即同為2，4，6元.
都付2元的概率為；
都付4元的概率為；
都付6元的概率為；
故所付費用相同的概率為.
（2）設兩人費用之和為8、10、12的事件分別為、、
；
；.
設兩人費用之和大于或等于8的事件為，則
所以，兩人費用之和大于或等于8的概率
【點睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
20. 如圖，在三棱柱中，側面和都是正方形，平面平面，分別為，的中點．
（1）求證：平面．
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取中點，證明四邊形為平行四邊形，證出，即可證明平面；（2）根據題意建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求解平面的法向量，利用數(shù)量積的計算公式即可求出直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）證明：取中點，連接，，
∵分別為的中點，∴，且，又四邊形是正方形，∴且，
即且，又∵為中點，∴且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）由題意，兩兩垂直，所以以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則.
，，設平面 的法向量為，
則，即 ，得
設直線與平面所成角為， ，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】方法點睛：本題考查的是空間向量與立體幾何的問題，
（1）關于線面平行的證明，一般利用線面平行的判定定理證明，需要證明平行線，一般是找中位線或者平行四邊形證明；
（2）關于線面角的求解，一般利用空間向量的方法，需要求解平面的法向量，再代入數(shù)量積求解公式計算.
21. 為了紀念中國古代數(shù)學家祖沖之在圓周率上的貢獻，聯(lián)合國教科文組織第四十屆大會上把每年的3月14日定為“國際數(shù)學日”.2023年3月14日，某學校舉行數(shù)學文化節(jié)活動，其中一項活動是數(shù)獨比賽（注：數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，又稱九宮格）.甲、乙兩位同學進入了最后決賽，進行數(shù)獨王的爭奪.決賽規(guī)則如下：進行兩輪數(shù)獨比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時間內做對得1分，沒做對得0分，兩輪結束總得分高的為數(shù)獨王，得分相同則進行加賽.根據以往成績分析，已知甲每輪做對的概率為0.8，乙每輪做對的概率為0.75，且每輪比賽中甲、乙是否做對互不影響，各輪比賽甲、乙是否做對也互不影響.
（1）求兩輪比賽結束乙得分為1分的概率；
（2）求不進行加賽甲就獲得數(shù)獨王的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設“甲第i輪做對”，設“乙第i輪做對”，設“兩輪比賽甲得i分”，設“兩輪比賽乙得i分”，根據獨立事件的乘法公式與互斥事件的加法公式運算即可；
（2）設“不進行加賽甲就獲得數(shù)獨王”，根據獨立事件的乘法公式與互斥事件的加法公式運算即可.
【小問1詳解】
設“甲第i輪做對”，設“乙第i輪做對”，設“兩輪比賽甲得i分”，設“兩輪比賽乙得i分”．
.
所以兩輪比賽結束乙得分為1分的概率為；
【小問2詳解】
設“不進行加賽甲就獲得數(shù)獨王”.
，
，
，
所以不進行加賽甲就獲得數(shù)獨王的概率為.
22. 條件①：圖（1）中．條件②：圖（1）中．條件③：圖（2）中三棱錐A－BCD的體積為．從以上三個條件中任選一個，補充在問題（2）中的橫線上，并加以解答．
如圖（1）所示，在△ABC中，，，過點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上，沿AD將△ABD折起，使（如圖（2）），點E，M分別為棱BC，AC的中點．
（1）求證：CD⊥ME；
（2）已知________，試在棱CD上確定一點N，使得，并求二面角的余弦值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）證明見解析
（2）N是CD的靠近點D的一個四等分點，
【解析】
【分析】（1）根據線面垂直的判定定理和性質得到，根據中位線的性質得到，即可證明；
（2）方案一：根據二倍角公式和正切的定義得到，然后建立空間直角坐標系，設，根據列方程，得到即可確定點的位置，最后用空間向量的方法求二面角即可；方案二：利用平面向量的線性運算和基本定理得到，然后建立空間直角坐標系，設，根據列方程，得到即可確定點的位置，最后用空間向量的方法求二面角即可；方案三：設，根據三棱錐的體積為列方程得到，然后建立空間直角坐標系，設，根據列方程，得到即可確定點的位置，最后用空間向量的方法求二面角即可.
【小問1詳解】
∵，，，AD，平面ABD，
∴CD⊥平面ABD．
∵平面ABD，∴．
又M，E分別為AC，BC的中點，
∴，
∴．
【小問2詳解】
方案一：選①，由，解得或（舍去）．
設，在Rt△ABD中，，解得，∴．
以點D為原點，DB，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，則．
設，，則．
∵，∴，即，
∴，，
∴當（即N是CD的靠近點D的一個四等分點）時，．
設平面BNM的法向量為，，，
由得，令，得，，則．
取平面BNC的一個法向量，
，
又二面角的平面角為銳角，
∴二面角的余弦值為．
方案二：選②，在題圖（1）所示的△ABC中，設，
則，
又，由平面向量基本定理知，即．
以點D為原點，DB，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，則．
設，，則，
∵，
∴，即·，
∴，，
∴當（即N是CD的靠近點D的一個四等分點）時，．
設平面BNM的法向量為，，，
由得，令，得，，則．
取平面BNC的一個法向量，
，
又二面角的平面角為銳角，
∴二面角的余弦值為．
方案三：選③，設，則，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴．
在三棱錐A－BCD中，，
且，BD，平面BCD，∴平面BCD，
又，
∴，，
化簡得，解得或（舍去）．
以點D為原點，DB，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，則．
設，，則．
∵，
∴，即·，
∴，，
∴當（即N是CD的靠近點D的一個四等分點）時，．
設平面BNM的法向量為，，，
由得，令，得，，則．
取平面BNC的一個法向量，
，
又二面角的平面角為銳角，

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