棠湖中學(xué)2023年秋期高一第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷 選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合A，進(jìn)而求補(bǔ)集即可.【詳解】∵，又，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 若，則“”是“”的（　?。l件A. 充分而不必要 B. 必要而不充分C. 充要 D. 既不充分又不必要【答案】A【解析】【分析】利用充分必要條件的判斷方法進(jìn)行判斷即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，，則不一定成立，即必要性不成立；所以“是“”的充分而不必要條件.故選：A.3. 如果，則下列不等式恒成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，依次判斷選項(xiàng)，舉出反例可得中不能恒成立，由，結(jié)合即可證明成立.【詳解】根據(jù)題意，依次判斷選項(xiàng)：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不成立，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不成立，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不成立，對(duì)于D，若，而，必有恒成立，故選：D.4. 如圖中的陰影部分表示的集合是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖和集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】由圖可知，陰影部分的元素為屬于或不屬于的元素構(gòu)成，所以用集合表示為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，比較基礎(chǔ).5. 已知集合，，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為（    ）A. 4 B. 8 C. 7 D. 16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)列舉法表示出集合，再由集合的包含關(guān)系，判斷元素與集合的關(guān)系得只需討論元素是否為集合的元素研究集合即可.【詳解】由題設(shè)，，又，所以，只需討論元素是否為集合的元素研究集合的個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果，所以集合的個(gè)數(shù)為.故選：B6. 已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.7. 若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由題意可得：命題“”為真命題，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合一次函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：命題“”為真命題，即對(duì)恒成立，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為或，故選：C.8. 已知對(duì)一切，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】令，分析可得原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】∵，，則，∴，又∵，且，可得，令，則原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立，∵的開口向下，對(duì)稱軸，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)，恒成立，等價(jià)于；對(duì)，恒成立，等價(jià)于.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列各組中M、P表示不同集合的是（    ）A. ，B. C. ，D. ，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】選項(xiàng)A中，根據(jù)集合的無(wú)序性可知；選項(xiàng)B中，(3，1)與(1，3)表示不同的點(diǎn)，故M≠P；選項(xiàng)C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；選項(xiàng)D中，M是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R的所有組成的集合，而集合P是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R圖象上所有點(diǎn)組成的集合，故．故選：BD．10. 已知，給出下列四個(gè)不等式，其中一定成立的不等式為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)推理法判斷C選項(xiàng)；根據(jù)特殊值的思路判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，則，，故AB正確；在的前提下，若成立，則成立，則成立，而成立，所以成立，故C正確；當(dāng)，時(shí)，，，故D錯(cuò).故選：ABC.11. 若不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A.  B. C. 關(guān)于的不等式解集為 D. 關(guān)于的不等式解集為【答案】ABD【解析】【分析】先由題意及根與系數(shù)關(guān)系得到，，即可判斷A、B；對(duì)于C、D：把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁?/span>的解集為，所以，故，此時(shí)，所以A正確, B正確；，解得：或.所以D正確；C錯(cuò)誤.故選：ABD12. （多選題）已知，，，則的值可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件，則且,分和打開，然后用基本不等式求出其最值，從而得到答案.【詳解】由，得，則且.當(dāng)時(shí),==.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí),==.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).綜上，.故選：CD.第II卷 非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 方程組解集中含有兩個(gè)元素，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】在方程組中消去，得出，由題意可知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，得出，解出即可.【詳解】將代入得，由題意可知，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二元二次方程組解集元素個(gè)數(shù)求參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 已知命題,使得是假命題，則實(shí)數(shù)的最大值是____________【答案】【解析】【分析】由命題“，使得”是假命題，得“，使得”是真命題，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“，使得”是假命題，所以“，使得”是真命題，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)命題真假判斷參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題型.15. 某班共人，其中人喜歡籃球，人喜歡乒乓球，人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡，則喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)，根據(jù)題意，列方程即可解出答案.【詳解】設(shè)喜歡籃球又喜歡乒乓球人數(shù)為，則，解得.故答案為：.16. 已知表示不超過(guò)的最大整數(shù).例如，，，若，，是的充分不必要條件，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可得，然后利用充分不必要條件的定義及集合的包含關(guān)系即求.【詳解】∵表示不超過(guò)的最大整數(shù)，∴，，即，又是的充分不必要條件，，∴AB，故，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；    （2）證明過(guò)程見解析.【解析】【分析】作差法證明不等式即可.【小問(wèn)1詳解】，所以，證畢.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以.18. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.問(wèn)題：已知集合，，              .求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【解析】【分析】選①，按a是否為0分類討論即可；選②，根據(jù)條件確定出集合B中元素即可；選③，利用集合A中元素都不在集合B中，列式解之即可作答.【詳解】選①，因?yàn)?/span>，，，于是當(dāng)時(shí)，，符合題意，即，當(dāng)時(shí)，，則有或，解得或，所以的取值集合為；選②，因?yàn)?/span>，，，于是得，且，則，且，即，解得，所以的取值集合為；選③，因?yàn)?/span>，，則有，且，即，且，解得，且，所以的取值集合為且.19. 已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用分式不等式的解法求出集合，然后由并集的定義求解即可；（2）利用，得到，然后由子集的定義，列出不等關(guān)系，求解即可．【詳解】解：（1）因?yàn)榧?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，①當(dāng)時(shí)，則，解得；②當(dāng)時(shí)，則有，解得．綜上所述，的取值范圍為，．20. 已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解方程可得或，利用分類討論即可；（2）由，所以，列出不等式，即可求出的取值范圍.【詳解】解方程可得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，，顯然不符合；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，，所以，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，所以，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握集合與元素，集合與集合間關(guān)系.21. 在對(duì)某老舊小區(qū)污水分流改造時(shí)，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為立方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖所示），有關(guān)部門為了建造此污水處理池?fù)芸?/span>萬(wàn)元.已知池的深度為米，如果池四周圍墻的建造單價(jià)為元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價(jià)為元/平方米，池底的建造單價(jià)為元/平方米，池蓋的建造單價(jià)為元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是元（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)）（1）如果將污水處理池的寬建成米，那么萬(wàn)元的撥款是否夠用？（2）能否通過(guò)合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使撥款夠用？并說(shuō)明你的理由.【答案】（1）不夠用    （2）將污水處理池建成長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)撥款剛好夠用，理由見解析【解析】分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價(jià)直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問(wèn)1詳解】（1）如果將污水處理池的寬建成米，則長(zhǎng)為（米）.建造總費(fèi)用為：（元）.因?yàn)?/span>，所以如果污水處理池的寬建成米，那么萬(wàn)元的撥款是不夠用的.【小問(wèn)2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長(zhǎng)為米.則.因?yàn)?/span>，等號(hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以時(shí)建造總費(fèi)用取最小值，所以將污水處理池建成長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，建造總費(fèi)用最低，最低為元，此時(shí)撥款剛好夠用.22. 設(shè)二次函數(shù)，，的最小值為，方程的兩個(gè)根分別為、．（1）求的值；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，函數(shù)在上不存在最小值，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用配方法可求得該函數(shù)的最小值，即可求得的值；（2）設(shè)，則，且，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍；（3）分析可得，，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，所以，，可得.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，則，則在上不存在最小值，所以，或，因?yàn)?/span>，且，可得.【小問(wèn)3詳解】，，所以，，因?yàn)?/span>，若，則，不合乎題意，所以，，則，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.

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