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課標(biāo)分析：《圓的一般方程》主要內(nèi)容是圓的一般方程的定義、代數(shù)特征、求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題。
課程標(biāo)準(zhǔn)： ①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的一般方程。 ②能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題。學(xué)業(yè)要求： 能夠根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；根據(jù)對(duì)幾何問題（圖形） 的分析，探索解決問題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題。 重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。
本節(jié)課內(nèi)容分析：本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓的一般方程。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圓的一般方程，發(fā)現(xiàn)圓的方程特點(diǎn)，即為特殊的二元二次方程.以“圓”為載體，再次實(shí)踐和感悟運(yùn)用解析幾何思想研究問題的一般思路．同時(shí)，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ)。也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。同時(shí)，坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法.通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一.
目標(biāo)一：理解圓的一般方程的概念.達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：通過將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系，能將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
目標(biāo)二：掌握?qǐng)A的一般方程的概念，能與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，體會(huì)一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn).達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：通過對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件，能判斷任意一個(gè)二元二次方程是否是圓的一般方程，會(huì)由圓的一般方程求圓心和半徑，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
目標(biāo)三：掌握?qǐng)A的一般方程求解方法和與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題求解方法.達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：通過具體例題的講解，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程以及用相關(guān)點(diǎn)法解決與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問題，提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).
難點(diǎn)1：探究是否任意一個(gè)二元二次方程都可以表示圓.認(rèn)知基礎(chǔ)：圓的一般方程的探究過程與直線的一般式方程探究過程相似，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過直線的一般式方程的探究過程，所以能進(jìn)行圓的一般方程的探究.學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)過配方法解一元二次方程，對(duì)利用配方法解決問題有一定的基礎(chǔ).與將要達(dá)到水平的差異：在圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程會(huì)遇到困難，即配方法的使用.解決辦法：通過嘗試配方例子中的幾個(gè)二元二次方程，從特殊到一般，歸納方法.
難點(diǎn)2：坐標(biāo)法解決軌跡問題認(rèn)知基礎(chǔ)：在直線部分的學(xué)習(xí)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過程都是將幾何元素與代數(shù)表示對(duì)應(yīng)起來，將圖形上的點(diǎn)與方程的解與平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來.與將要達(dá)到水平的差異：將已知的幾何信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言，并找到其中蘊(yùn)含的相等關(guān)系是比較困難的.解決辦法：借助幾何畫板作圖，直觀形象地觀察軌跡問題，體會(huì)利用幾何的眼光看問題，找到問題的本質(zhì)，用代數(shù)的方法解決問題.通過例題，讓學(xué)生感悟幾何元素與代數(shù)表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
課前小測(cè)：請(qǐng)利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程回答下列問題：
觀察上面兩個(gè)圓的方程，它們有什么特點(diǎn)？
任何一個(gè)圓的方程都是二元二次方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①x2和 y2的系數(shù)是1；②沒有xy項(xiàng).
追問：任意一個(gè)二元二次方程表示的圖形都是圓嗎？
當(dāng) 滿足什么條件時(shí)，方程表示圓呢？
當(dāng)D2＋E2－4F > 0時(shí)，方程表示圓.
當(dāng)D2＋E2－4F = 0時(shí)，方程表示點(diǎn).
當(dāng)D2＋E2－4F< 0時(shí)，方程不表示任何圖形.
例2 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓x2＋y2＋2x－3＝0上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明是什么圖形.
應(yīng)用圓的方程解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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