?專題14 圓錐曲線中的證明問題
一、考情分析
圓錐曲線中的證明問題在高考時有出現(xiàn),主要有兩大類：一是證明點線位置關(guān)系,如直線或曲線過某個點、直線平行與垂直、直線對稱等問題,二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系,如相等與不相等.
二、解題秘籍
(一)證明直線或圓過定點
證明直線過定點,通常是設出直線方程,由已知條件確定的關(guān)系.若,則,則直線過定點,證明圓過定點,常見題型是證明以AB為直徑的圓過定點P,只需證明.
【例1】（2023屆重慶市南開中學校高三上學期質(zhì)量檢測）已知橢圓C：的離心率為,橢圓的上頂點B到兩焦點的距離之和為4．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l：與橢圓C交于異于點B的兩點P,Q,直線BP,BQ與x軸相交于,,若,求證：直線過一定點,并求出定點坐標．
【解析】（1）∵,,∴,,．
故橢圓方程為；
（2）聯(lián)立直線和橢圓可得,解得,
于是有：,
,．
由題意BP：,BQ：,
分別和聯(lián)立得,,,
由,得,即
整理得,
整理得,解得或者．
當時,直線過點B,與題意矛盾,應舍去.
故直線的方程為：,過定點為．
【例2】（2023屆福建省福州華僑中學高三上學期第二次考試）在平面直角坐標系中,已知點,直線,點M到l的距離為d,若點M滿足,記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與C交于P,Q兩點,設,證明：以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點A．
【解析】（1）設點,則,
由,得,兩邊平方整理得,
則所求曲線的方程為.
（2）設直線的方程為,
聯(lián)立方程,消去并整理得,
因為直線與交于兩點,故,此時,
所以,而.
又,
所以

所以,即以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點A.
(二) 證明與斜率有關(guān)的定值問題
證明與斜率有關(guān)的定值問題通常是證明斜率之和或斜率之積為定值問題,此類問題通常是把斜率之和或斜率之積用點的坐標表示,再通過化簡使結(jié)果為定值,此外證明垂直問題可轉(zhuǎn)化為斜率之積為,證明兩直線關(guān)于直線或?qū)ΨQ,可轉(zhuǎn)化為證明斜率之和為0.
【例3】（2023屆河南省安陽市高三上學期10月月考）已知橢圓的左?右焦點分別為,,,面積為的正方形ABCD的頂點都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P為橢圓上一點,過點P作的兩條切線和,若,的斜率分別為,,求證：為定值.
【解析】（1）根據(jù)對稱性,不妨設正方形的一個頂點為,
由,得,
所以,整理得.①
又,②
由①②解得,,
故所求橢圓方程為.
（2）由已知及（1）可得,
設點,則.
設過點P與相切的直線l的方程為,
與聯(lián)立消去y整理可得,
令,
整理可得,③
根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實根,
所以,
即為定值.
【例4】（2023屆天津市第四十七中學高三上學期測試）已知橢圓：的右焦點和上頂點均在直線上.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點,若過點的直線與橢圓交于不同的兩點,.直線和直線的斜率分別為和,求證：為定值.
【解析】（1）對于直線,當時,,當時,,
因為橢圓的右焦點和上頂點均在直線上,
所以,
所以,
所以橢圓方程為,
（2）因為在橢圓外,過點的直線與橢圓交于不同的兩點,
所以直線的斜率一定存在,
所以設直線方程為,設,
由,得,
,得,
,
因為,,
所以




(三) 證明與線段長度有關(guān)的等式
證明與線段長度有關(guān)的等式問題,一般是利用距離公式或弦長公式寫出長度表達式,再借助根與系數(shù)之間的關(guān)系或斜率、截距等證明等式兩邊相等.
【例5】（2023屆江蘇省高三上學期起航調(diào)研）在平面直角坐標系xOy中,拋物線．,為C上兩點,且,分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于,與y負半軸交于．
(1)若,求橫坐標的取值范圍；
(2)記的重心為G,直線,的斜率分別為,,且．若,證明：λ為定值．
【解析】（1）設,
∵,∴,即,∴,
直線的方程為：,
整理可得,,令,則,
即橫坐標的取值范圍；
（2）的重心為,,
∴,又,且,
∴,化簡得,,
∵,
∴,
.
即,所以λ為定值．
【例6】已知雙曲線的離心率是,點是雙曲線的一個焦點,且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)設點在直線上,過點作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點,直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補,證明：.
【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設,其漸近線方程為,
因為焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
所以,
因為雙曲線的離心率是,
所以,,解得
所以,雙曲線的標準方程為.
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在,設,
直線.
聯(lián)立整理得,
所以,.
故.
設直線的斜率為,同理可得.
因為直線與直線的傾斜角互補,
所以,所以,
則,即,
所以.
(四) 證明代數(shù)式的值為定值或證明與代數(shù)式有關(guān)的恒等式
證明此類問題一般是把代數(shù)式用點的坐標表示后化簡或構(gòu)造方程求解
【例7】（2023屆甘肅省張掖市重點校高三上學期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點,橢圓的右焦點為,已知,橢圓過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點,交軸于點,若,,求證：為定值．
【解析】（1）依題可知：,,
所以,即,
解得
又∵橢圓過點,則
聯(lián)立可得,
橢圓的標準方程為．
（2）設點、,,
由題意可知,直線的斜率存在,可設直線的方程為,
聯(lián)立,可得,
由于點在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個交點,
由韋達定理可得,,
,,,
得,,
,,
．
【例8】（2023屆廣東省揭陽市高三上學期8月調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點,點是橢圓上的動點．
(1)求的重心的軌跡方程；
(2)設點是的內(nèi)切圓圓心,求證：．

【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點處（靠近原點）
設,則有
又,所以,即
的重心的軌跡方程為；
（2）根據(jù)對稱性,不妨設點在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,
利用等面積法有：
結(jié)合橢圓定義：
有,解得
由?兩點的坐標可知直線的方程為
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有
∴,∴
∴,又
化簡得,即
∴,即
由已知得,,則
所以,即．
三、跟蹤檢測
1．（2023屆湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學期11月聯(lián)考）設橢圓：的左?右焦點分別為,.,是該橢圓的下頂點和右頂點,且,若該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)經(jīng)過點的直線：交橢圓于,兩點（點在點下方）,過點作軸的垂線交直線于點,交直線于點,求證：為定值.
【解析】（1）由題可得,,
所以,
因為橢圓的離心率為,所以,
結(jié)合橢圓中可知,,.
所以橢圓的標準方程為.
（2）依題意作如圖：

設,,直線的方程為,
將點代入得：,
∴直線：.
由于橢圓：,∴,,
聯(lián)立方程得,
由,得,
,,
直線的方程為：,
直線的方程為：,
,,
運用,
能證得：②,
下面證明②：

,
運用①中的韋達定理：

,
即②成立,
∴,即點和的縱坐標之和等于點縱坐標的2倍,
∴點是線段的中點,即,
綜上,,故為定值.
2．（2023屆河南省焦作市高三上學期期中）已知橢圓：的離心率為,點,,橢圓的右頂點滿足.
(1)求橢圓上一點到點的最小距離；
(2)若經(jīng)過點的直線交橢圓于,兩點,證明：當直線的傾斜角任意變化時,總存在實數(shù),使得.
【解析】（1）解：,
因為,所以,
即,所以,解得,
離心率,所以,
所以,
所以橢圓的標準方程為,
設,
則,
當時,,
所以橢圓上一點到點的最小距離為1；
（2）證明：當直線的傾斜角為時,直線與軸重合,
不妨取,
則,
由,得,
所以此時存在實數(shù),使得,
當直線的傾斜角不為時,設直線方程為,
則,
聯(lián)立,消得,
則,

.
所以直線的傾斜角互補,則平分,
所以當直線的傾斜角任意變化時,總存在實數(shù),使得,
綜上所述,當直線的傾斜角任意變化時,總存在實數(shù),使得.

3．已知橢圓的長軸長為,,為的左、右焦點,點在上運動,且的最小值為.連接,并延長分別交橢圓于,兩點.

(1)求的方程；
(2)證明：為定值.
【解析】（1）由題意得,
設,的長分別為,,
則,當且僅當時取等號,
從而,得,,
則橢圓的標準方程為；
（2）由（1）得,,
設,,
設直線的方程為,直線的方程為,
由,得,
則,
,
同理可得,
所以.
所以為定值.

4．（2022屆湖北省十堰市丹江口市高三下學期模擬）已知雙曲線的左、右頂點分別為,右焦點為,點P為C上一動點（異于兩點）,直線和直線與直線分別交于M,N兩點,當垂直于x軸時,的面積為2．
(1)求C的方程；
(2)求證：為定值,并求出該定值．
【解析】（1）由題意知,則．當軸時,,
故的面積,解得,
故C的方程為．
（2）由（1）得,設,
則直線,令,得；
直線,令得．
故,
因為,故,
又,則．
因此,
故,即．
5．（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學期10月聯(lián)考）記以坐標原點為頂點、為焦點的拋物線為,過點的直線與拋物線交于,兩點.
(1)已知點的坐標為,求最大時直線的傾斜角；
(2)當?shù)男甭蕿闀r,若平行的直線與交于,兩點,且與相交于點,證明：點在定直線上.
【解析】（1）設直線的方程為,,
記,,則,
則
由題設得拋物線方程為
聯(lián)立消去得∴,
∴令則∴
由單調(diào)性得當時,最大為,此時,直線的傾斜角為90°
（2）設,則由得
∴∴
又∵∴同理
∴又∵∴∴
∴點在定直線上.
6．在平面直角坐標系中,點的坐標為,以線段為直徑的圓與軸相切．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設是上橫坐標為2的點,的平行線交于,兩點,交曲線在處的切線于點,求證：.
【解析】（1）設點,因為,
所以的中點坐標為,
因為以線段為直徑的圓與軸相切,
所以,即,
故,化簡得,
所以的軌跡的方程為.
（2）因為是上橫坐標為2的點,所以由(1)得,所以直線的斜率為1,

因為,所以可設直線的方程為,
由,得,得,則曲線在處的切線的斜率為,
所以曲線在處的切線方程為,
聯(lián)立 ,得,
所以,所以,
聯(lián)立,化簡得,有,解得,
設,,則,,
因為,,在上,所以,,
所以,因為,所以.
7．已知雙曲線,雙曲線的右焦點為F,圓C的圓心在y軸正半軸上,且經(jīng)過坐標原點O,圓C與雙曲線Γ的右支交于A、B兩點．
(1)當△OFA是以F為直角頂點的直角三角形,求△OFA的面積；
(2)若點A的坐標是,求直線AB的方程；
(3)求證：直線AB與圓x2+y2＝2相切．
【解析】（1）由題意△OFA是以F為直角頂點的直角三角形,,
所以點A在直線處,設A,代入,解得,取
則,所以△OFA的面積；
（2）設圓C圓心坐標為,因其過原點,則.
故圓C方程為：.
代入點A,得,解得.
將圓C方程與聯(lián)立得,消去得：
解得.又B點在雙曲線右支,故B.
則AB方程為：.
化簡為即.
（3）證明：由題直線AB斜率必存在,
故設直線AB的方程為,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
圓C的方程為,
由,消去y得:
由題意,得：,且,
由,消去x化簡得：,所以.
所以,
即

得原點O到直線AB的距離,所以直線AB與圓相切．
8．（2023屆湖北省重點高中智學聯(lián)盟高三上學期10月聯(lián)考）已知直線：與橢圓：相切于點,與直線：相交于點（異于點）．
(1)求點的坐標；
(2)直線交于點,兩點,證明：．
【解析】（1）,消得：,解得：,故；
（2）聯(lián)立,解之得：
聯(lián)立,消得：,
由題可得：,∴,．
,,

,
,
∴,又,∴．
9．（2023屆重慶市巴蜀中學校2023屆高三上學期月考）已知橢圓的左?右頂點分別為,橢圓的長半軸的長等于它的焦距,且過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的右焦點為,過點的直線與橢圓相交于兩點（不同于）,直線與直線相交于點,直線與直線相交于點,證明：軸.
【解析】（1）由題意,即,故橢圓,
代入點,可得,解得,
故橢圓的標準方程為：.
（2）由題意右焦點,,,
若直線斜率不存在,直線方程為：,代入橢圓方程可得,解得,即,
故直線,,,,
聯(lián)立,可得；聯(lián)立,可得,
,故軸；
若直線斜率存在,直線方程為：,與橢圓聯(lián)立
,即,恒成立,
不妨設,故,
故直線,,,,
聯(lián)立,可得；
聯(lián)立,可得,



,故軸；
綜上：軸.
10．已知拋物線C：,其焦點為F,O為坐標原點,直線l與拋物線C相交于不同的兩點A,B,M為AB的中點.
(1)若,M的坐標為,求直線l的方程.
(2)若直線l過焦點F,AB的垂直平分線交x軸于點N,求證：為定值.
【解析】（1）由題意知直線l的斜率存在且不為0,
故設直線l的方程為
即,設,.
由得y2－4ty－4＋4t＝0,
∴,,
∴,即.
∴直線l的方程為.
（2）證明如下：
∵拋物線C：,∴焦點F的坐標為.
由題意知直線l的斜率存在且不為0,
∵直線l過焦點F,故設直線l的方程為,設,.
由,得,
∴,.
∴,∴M.
∴MN的方程為.
令,解得,N,
∴,,
∴,為定值.
11．（2023屆河北省邯鄲市大名縣第一中學高三月考）己知橢圓的左、右焦點分別為,左頂點為,離心率為．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于點,線段的中點分別為．設過點且垂直于軸的直線為,若直線與直線交于點,直線與直線交于點,求證：為定值．
【解析】（1）橢圓左頂點為,,又離心率,,
,的方程為：.
（2）設,,則,,
由得：,
則,
,；
直線方程為：,,；
同理可得：,又,
,,
,
為定值.
12．已知拋物線的焦點到直線的距離為．
(1)求的方程；
(2)若點在上,,是的兩條切線,,是切點,直線與交于點,證明：存在定點,使得．
【解析】（1）由題可知的焦點為,依距離公式可得
,解得．
所以的方程為；
（2）設,．
由,可知直線的方程為,即．
同理直線的方程為．
聯(lián)立解得．
若記,則有所以可寫出直線的方程為
,即,即．
由與相交可知．聯(lián)立可得．
設,則由可知





上式關(guān)于恒成立當且僅當

解得或
因此,存在定點或,使得．
13．設O為坐標原點,橢圓的離心率為,且過點．
(1)求C的方程；
(2)若直線與C交于P,Q兩點,且的面積是,求證：．
【解析】（1）因橢圓過點,則,又橢圓C的離心率為,
則有,解得,
所以C的方程為．
（2）依題意,,由消去x并整理得：,
,
設,則,
于是得,點O到l的距離,
因此,即,
整理得,即,顯然滿足,
所以.
14．（2023屆福建師范大學附屬中學2023屆高三上學期月考）在平面直角坐標系中, 設點, 點與兩點的距離之和為為一動點, 點滿足向量關(guān)系式：．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設與軸交于點(在的左側(cè)), 點為上一動點 (且不與重合)． 設直線軸與直線分別交于點,取,連接,證明：為的角平分線．
【解析】（1）設點,,
則由點與兩點的距離之和為,
可得點G的軌跡是以為焦點且長軸長為的橢圓,
其軌跡方程為,
由,可得,代入點G的軌跡方程,
可得：,
所以點的軌跡方程；
（2）設點,則,即,
,令,得,
,
則點到直線的距離為：
,
要證ER為的角平分線,只需證,
又,
,
所以,當且僅當,即時,
又在上,則,即,
代入上式可得恒成立,
為的角平分線．
15．（2023屆山東省濟寧市汶上縣高三上學期質(zhì)量聯(lián)合檢測）已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,,動點在上且位于第一象限,.當時,直線的斜率為.
(1)求的方程；
(2)設,,證明：.
【解析】（1）由橢圓的定義,得,即,
設,由,得點的坐標為,
由直線的斜率為,得,
結(jié)合及,得,解得或（舍去）,
所以,
所以的方程為；
（2）由題意得,,
設,
當時,,,,
故成立；
當時,,即,
整理,得,
解得,
即,考慮到為銳角,應舍去；
或.又,
所以,
綜上,.



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