?專題6 圓錐曲線中的定點問題
一、考情分析
定點問題一直是圓錐曲線中的熱點問題，高考主要考查直線過定點問題，有時也會涉及圓過定點問題．
二、解題秘籍
(一) 求解圓錐曲線中定點問題的思路與策略
1．處理定點問題的思路：
(1)確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）
(2)利用條件找到與過定點的曲線 的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式
(3)所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立.此時要將關(guān)于與的等式進行變形，直至易于找到.常見的變形方向如下：
① 若等式的形式為整式，則考慮將含的項歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號內(nèi)的部分為零即可
② 若等式為含的分式， 的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）
2．處理定點問題兩個基本策略：
(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點．
(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．
【例1】（2023屆河南省頂級名校高三上學(xué)期月考）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點，是上一點，與軸垂直.直線與的另一個交點為，且直線的斜率為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點，證明直線過定點，并求出定點坐標(biāo).
【解析】（1）由題意知，點在第一象限，是上一點且與軸垂直，
的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時，，即.
又直線的斜率為，所以，
即，即
則，解得或（舍去），
即.
（2）已知是橢圓的上頂點，則，
由（1）知，解得，
所以，橢圓的方程為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
所以，
又，



，
化簡整理有，得或.
當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不滿足題意；.
當(dāng)時滿足方程中，
故直線經(jīng)過軸上定點.
【例2】橢圓C的焦點為，，且點在橢圓上．過點的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，點B關(guān)于y軸的對稱點為點D（不同于點A）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得.
所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．
由得.
設(shè)，，，則，
特殊地，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，，所以，，，
即，所以點B關(guān)于軸的對稱點為，則直線的方程為.
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為.
如果存在定點Q滿足條件，則為兩直線交點，
，，
又因為
所以，即三點共線，故直線恒過定點，定點坐標(biāo)為．
【點評】本題是先根據(jù)兩條特殊的曲線的交點，然后再根據(jù)三點共線，判斷直線恒過定點，
(二) 直線過定點問題
1.直線過定點問題的解題模型

2.求解動直線過定點問題，一般可先設(shè)出直線的一般方程：，然后利用題中條件整理出的關(guān)系，若，代入得，則該直線過定點.
【例3】（2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（一））已知橢圓過點．右焦點為，縱坐標(biāo)為的點在上，且．
(1)求的方程：
(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點為上一動點，過作直線的垂線交于點，證明：直線過定點．
【解析】（1）設(shè)點，其中，則，
因為橢圓過點，則，
將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得可得，解得，
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：由對稱性可知，若直線過定點，則點必在軸上，設(shè)點，
設(shè)點，則，
所以，直線的垂線的斜率為，
故直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
所以，直線的方程為，
因為點在直線上，所以，，
即，①
又因為，所以，，②
將②代入①可得，即，
，則，所以，直線過定點.

(三) 圓過定點問題
圓過定點問題的常見類型是以為直徑的圓過定點P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為，也可以轉(zhuǎn)化為
【例4】（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期大聯(lián)考）已知橢圓的右焦點為，與軸不重合的直線過焦點，與橢圓交于，兩點，當(dāng)直線垂直于軸時，.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點為，，的延長線分別交直線于，兩點，證明：以為直徑的圓過定點.
【解析】（1）橢圓的右焦點，則半焦距，
當(dāng)軸時，弦AB為橢圓的通徑，即，則有，即，
而，于是得，又，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）依題意，直線不垂直于y軸，且過焦點，設(shè)的方程為，，，
由得，，，
因點，則直線的方程為，令，得，
同理可得，于是有，
則
，
因此，，即在以為直徑的圓上，
所以以為直徑的圓過定點.
(四) 確定定點使某個式子的值為定值
求解此類問題一般先設(shè)出點的坐標(biāo)，然后把所給式子用所設(shè)點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)表示，再觀察該式子為定值的條件，確定所設(shè)點的坐標(biāo).
【例5】（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月診斷）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點，是橢圓的左頂點，是橢圓的上頂點，且，點是長軸上的任一定點，過點的任一直線交橢圓于兩點.

(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在定點，使得為定值，若存在，試求出定點的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知知，解得，
所以橢圓方程為；
（2）假設(shè)存在滿足題意，
設(shè)，，，
①當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)：，
代入并整理得
∴，



　　（*）
（*）式是與無關(guān)的常數(shù)，則
解得，此時為定值；
②當(dāng)直線與垂直時，，，，
也成立，
所以存在定點，使得為定值．
(五) 與定點問題有關(guān)的基本結(jié)論
1.若直線與拋物線交于點，則直線l過定點；
2. 若直線與拋物線交于點，則直線l過定點；
3.設(shè)點是拋物線上一定點，是該拋物線上的動點，則直線MN過定點.
4.設(shè)點是拋物線上一定點，是該拋物線上的動點，則直線MN過定點；
5.過橢圓的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點，則直線過點；
6.過雙曲線的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點，則直線過點；
7.設(shè)點是橢圓C：上一定點，點A,B是橢圓C上不同于P的兩點，若，則直線AB過定點；
8. 設(shè)點是雙曲線C：一定點，點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點，若，則直線AB過定點.
【例6】（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）已知點在橢圓：（）上，且點到橢圓右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點，是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，說明理由．
【解析】（1）點，在橢圓：（）上代入得：，
點到橢圓右頂點的距離為，則，
解得，，
故橢圓的方程為．
（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為（），，，．
聯(lián)立得．
．
∴，，
∵直線與直線斜率之積為．
∴，
∴．
化簡得，
∴，
化簡得，解得或．
當(dāng)時，直線方程為，過定點．
代入判別式大于零中，解得（）．
當(dāng)時，直線的方程為，過定點，不符合題意．
綜上所述：直線過定點．
【例7】（2022屆海南華僑中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點分別作直線交橢圓于兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，求證：直線過定點.
【解析】（1）由題意可得，解得
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè).
①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立得.
由，得.
所以．
所以，
即，所以，即，
所以，所以，所以直線過定點.
②當(dāng)直線斜率不存在時，，則，所以，則直線也過定點.
綜合①②，可得直線過定點.
三、跟蹤檢測
1．（2023屆江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點為．

(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
(2)設(shè)，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意得，所以，
即的軌跡是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線，即：；
（2）由已知得：，：，
聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，
由韋達定理得，所以，即，
所以，
聯(lián)立直線方程與圓方程，
由韋達定理得，所以，即，
因為，即，所以，
若直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設(shè)定點，
由三點共線得，
即，
所以直線過定點．
2．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月測試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標(biāo)原點）在橢圓的內(nèi)部，半徑為．，分別為橢圓和圓上的動點，且，兩點的最小距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)，是橢圓上不同的兩點，且直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上．求證：以為直徑的圓過定點．
【解析】（1）設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，
由圓的性質(zhì)，
當(dāng)點在橢圓上運動時，當(dāng)處于上下頂點時最小，故，即
依題意得，解得，
所以的方程為.
（2）因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，
所以直線與圓相切.
（i）當(dāng)直線垂直于軸時，不妨設(shè)，，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
（ii）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，，.
因為與圓相切，所以到直線的距離，
即.
由得，
所以，


，
所以，故以為直徑的圓過點.
綜上，以為直徑的圓過點.
3（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次考試）點在雙曲線上，離心率.
(1)求雙曲線的方程；
(2)是雙曲線上的兩個動點（異于點），分別表示直線的斜率，滿足，求證：直線恒過一個定點，并求出該定點的坐標(biāo).
【解析】（1）由題意點在雙曲線上，離心率
可得； ，解出，，
所以，雙曲線的方程是
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，則可設(shè)，
代入，得，
則，
即，解得或，
當(dāng)時，，其中一個與點重合，不合題意；
當(dāng)時，直線的方程為，它與雙曲線不相交，故直線的斜率存在；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程代入，
整理得，，設(shè)，
則，
由，
所以

所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，則，直線化為，過定點；
若，則，直線化為，它過點，舍去
綜上，直線恒過定點
4．（2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)、渭北中學(xué)等高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是C的焦點，M是C上一點，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以拋物線的方程為：．
（2）由題意可得，直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由，得，從而，
則．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
從而或，
即或．
若，則，過定點，與Q點重合，不符合；
若，則，過定點．
綜上，直線過異于Q點的定點．
5．（2023屆四川省部分重點中學(xué)高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關(guān)于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由右頂點是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，
所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．

直線l的方程為，聯(lián)立方程組
消去y得，由，得，
所以，．
因為點，所以直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為，
即，
所以直線AD恒過點（1，0）．
（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，
聯(lián)立方程組消去x得，
由，得或，所以，．
因為點，則直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為
，
此時直線AD恒過點（1,0），
當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點（1，0）．
綜上，直線AD恒過點（1，0）．
6．（2023屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高三上學(xué)期9月月考）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且三角形的面積為．
(1)求m的值；
(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個不同的點M，N，M關(guān)于x軸的對稱點為，F(xiàn)為C的右焦點，若，F(xiàn)，N三點共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．
【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，則不妨令點，
，而點O到直線AB的距離為m，因此，解得，
所以．
（2）由（1）知，雙曲線C的方程為，右焦點，
因直線l與x軸不垂直且斜率不為0，設(shè)直線l與x軸交于點，直線l的方程為，
設(shè)，則，由消去y并整理得，
顯然有且，化簡得且，
則，，
而，F(xiàn)，N三點共線，即，則，
因此，又，有，
整理得，于是得，化簡得，
即直線：，過定點，
所以直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．
7．（2023屆江西省智慧上進高三上學(xué)期考試）已知橢圓C：的右焦點為F，過點F作一條直線交C于R，S兩點，線段RS長度的最小值為，C的離心率為．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率不為0的直線l與C相交于A，B兩點，，且總存在實數(shù)，使得，問：l是否過一定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，試說明理由．
【解析】（1）由線段RS長度的最小值為，得，
又，所以，解得
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由，
可知PF平分，∴．
設(shè)直線AB的方程為，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴當(dāng)時，上式恒為0，
即直線l恒過定點．
8．（2023屆山西省高三上學(xué)期第一次摸底）已知橢圓的左、右焦點分別是，，點，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的左焦點作弦，，這兩條弦的中點分別為，，若，證明：直線過定點．
【解析】（1）由題設(shè)，又，，
若內(nèi)切圓半徑為，則外接圓半徑為，
所以，即，
，而，即，
綜上，，即，可得，
所以，，則.
（2）當(dāng)直線斜率都存在時，令為，聯(lián)立，
整理得：，且，
所以，則，故，
由，即，故為，聯(lián)立，
所以，有，則，故，
所以，則為，整理得，
所以過定點；
當(dāng)一條直線斜率不存在時對應(yīng)，故即為x軸，也過定點；
綜上，直線過定點．
9．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知是雙曲線上不同于的兩點，且于，證明：存在定點，使為定值.
【解析】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
代入點坐標(biāo)，解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）（i）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，
設(shè)，聯(lián)立與雙曲線，
化簡得，
，即，
則有，
又，
因為，
所以，
所以，
化簡，得，即，
所以，
且均滿足，
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，
當(dāng)時，直線的方程為，過定點
（ii）當(dāng)直線斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線DE：，
與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時也過點，
綜上，直線過定點.
由于，所以點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點，使為定值.
10．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當(dāng)l經(jīng)過點F時，點A恰好為線段PF中點．
(1)求p的值；
(2)是否存在定點T， 使得為常數(shù)？ 若存在，求出點T的坐標(biāo)及該常數(shù)； 若不存在，說明理由．
【解析】（1）因為，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在拋物線上，所以，即，解得
（2）設(shè)，可知直線l斜率存在；設(shè)l：，
聯(lián)立方程得：，所以，
所以，
又：



，
令，解之得：，即，此時
11．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期第一次考試）設(shè)為橢圓：的右焦點，過點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點.
(1)當(dāng)時，求；
(2)在軸上是否存在異于的定點，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
又因為，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）假設(shè)在軸上存在異于點的定點，使得為定值.
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
則，，所以.
所以.
要使為定值，則，
解得或（舍去），此時.
故在軸上存在異于的定點，使得為定值.
【例12】（2022屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知拋物線的焦點為，點 在上，且．
（1）求點的坐標(biāo)及的方程；
（2）設(shè)動直線與相交于兩點，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點？若過，求出該點坐標(biāo)；若不過，請說明理由．
【分析】(1)利用拋物線定義求出，進而求出p值即可得解.
(2)設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助韋達定理探求出m與n的關(guān)系，再根據(jù)求解.
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線：，于是得，解得，
而點在上，即，解得，又，則，
所以的坐標(biāo)為，的方程為.
（2）設(shè)，直線的方程為，
由消去x并整理得：，則，，，
因此，，
化簡得，即，代入方程得，即，則直線過定點，
所以直線過定點.
13.（2022屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓：的左、右焦點分別為，.離心率等于，點在軸正半軸上，為直角三角形且面積等于2.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)點關(guān)于軸的對稱點在直線上時，直線是否過定點？若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由.
【解析】（1）根據(jù)題意，由對稱性得為等腰直角三角形，且，
因為的面積等于，所以，即，
因為橢圓的離心率等于，即，解得，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由（1）得，
設(shè)直線的方程為，，
因為點關(guān)于軸的對稱點在直線上，
所以直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即，
因為，所以，
整理得
又因為，所以，
由消去得
所以，即，
所以，
整理得
由于，故解方程得，
此時直線的方程為，過定點
所以直線恒過定點.
14．（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，且P、Q均不是雙曲線的頂點，M為PQ的中點．
（1）設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；
（2）若＝，試探究直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；否則，說明理由．
【解析】（1）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因為P、Q在雙曲線上，
所以－＝1，－＝1，
兩式作差得－＝0，
即＝，
即＝，
即k1·k2＝；
（2）因為＝，
所以APQ是以A為直角頂點的直角三角形，即AP⊥AQ；
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，
由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝或a(舍)，
故直線l的方程為x＝；
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝kx＋m，代入－＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝－；
因為AP⊥AQ，
所以·＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－或k＝－；
當(dāng)k＝－時，直線l的方程為y＝－x＋m，此時經(jīng)過A，舍去；
當(dāng)k＝－時，直線l的方程為y＝－ x＋m，
恒過定點(，0)，經(jīng)檢驗滿足題意；
綜上①②，直線l過定點(，0)．
15．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，當(dāng)軸時，.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l交y軸于點D，過點D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點P，直線PF交拋物線C于另一點Q.
①是否存在定點M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
②求證：為定值.
【解析】（1）當(dāng)軸時，易得，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為；
（2）①解：易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，
代入拋物線C的方程，并整理得，
設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，.
所以，所以線段AB的中點N的坐標(biāo)為，連接QM，若四邊形AQBM為平行四邊形，則N是QM的中點，
易知，因此，
設(shè)直線PQ的方程為，代入拋物線C的方程，整理得，
所以，
故，因此，
故可得，，
故點M的坐標(biāo)為，
因此存在定點，使得四邊形AQBM為平行四邊形；
②證明：點到直線的距離，
由，，可得，
因此，
同理可得，
所以，為定值.

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