?專(zhuān)題7 圓錐曲線中的定值問(wèn)題
一、考情分析
求定值是圓錐曲線中頗有難度的一類(lèi)問(wèn)題,也是備受高考關(guān)注的一類(lèi)問(wèn)題,由于它在解題之前不知道定值的結(jié)果,因而更增添了題目的神秘色彩.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析,在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值,揭開(kāi)神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題,從而找到解決問(wèn)題的突破口.同時(shí)有許多定值問(wèn)題,通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值,還可以為我們提供解題的線索.
二、解題秘籍
(一) 定值問(wèn)題解題思路與策略
定值問(wèn)題肯定含有參數(shù), 若要證明一個(gè)式子是定值, 則意味著參數(shù)是不影響結(jié)果的, 也就是說(shuō)參數(shù)在解式子的過(guò)程中都可以消掉, 因此解決定值問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)：
(1)在解析幾何中參數(shù)可能是點(diǎn)（注意如果設(shè)點(diǎn)是兩個(gè)參數(shù)時(shí), 注意橫坐標(biāo)要滿足圓錐曲線方程）
(2)可能是角（這里的角常常是將圓錐曲線上的點(diǎn)設(shè)為三角函數(shù)角的形式）,
(3)也可能是斜率（這個(gè)是最常用的, 但是既然設(shè)斜率了, 就要考慮斜率是否存在的情況）
常用的參數(shù)就是以上三種, 但是注意我們?cè)O(shè)參數(shù)時(shí)要遵循一個(gè)原則： 參數(shù)越少越好.
因此定值問(wèn)題的解題思路是：
(1)設(shè)參數(shù)；
(2)用參數(shù)來(lái)表示要求定值的式子；
(3)消參數(shù).
2.圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；
(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；
(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．
【例1】（2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體高三上學(xué)期9月大聯(lián)考）已知橢圓為右焦點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點(diǎn)Q．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)當(dāng)時(shí)，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為，聯(lián)立得消去y可得：，所以
所以，代入直線方程，求得，
因?yàn)镼為三條中垂線的交點(diǎn)，所以，
有，直線方程為.
令，所以.
由橢圓可得右焦點(diǎn)，故．
（2）設(shè)，中點(diǎn)M坐標(biāo)為．
相減得，.
又Q為的外心，故，
所以，直線方程為，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以當(dāng)t變化時(shí)，為定值．
【例2】（2023屆河南省濮陽(yáng)市高三上學(xué)期測(cè)試）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，圓：，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為和.
(1)求的方程；
(2)過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，則；過(guò)且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，則，又，解得，所以的方程為.
（2）設(shè)，則.①
設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為，
聯(lián)立得，
則，
整理得.②
由題意知，為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得.
又因?yàn)?，所以，所以為定值?br /> (二) 與線段長(zhǎng)度有關(guān)的定值問(wèn)題
與線段長(zhǎng)度有關(guān)的定值問(wèn)題通常是先引入 參數(shù),利用距離公式或弦長(zhǎng)公式得到長(zhǎng)度解析式,再對(duì)解析式化簡(jiǎn),得出結(jié)果為定值
【例3】（2023屆遼寧省朝陽(yáng)市高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若坐標(biāo)原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.
【解析】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，所以雙曲線的方程為.
（2）由題意知，直線的的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則且，
設(shè)，則，
直線的方程為，
令，可得，即,
同理可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，則直線方程為，即，
此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合題意；
若時(shí)，則直線方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，
所以為定值，
又由為直角三角形，且為斜邊，
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，.
(三)與面積有關(guān)的定值問(wèn)題
與面積有關(guān)的定值問(wèn)題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達(dá)式,再利用題中條件化簡(jiǎn).
【例4】（2023屆河南省部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．
【解析】（1）依題意，又，所以，
所以，
所以橢圓方程為.
（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形?br /> 且，所以，即，
又，，所以，
若直線的斜率不存在，與左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合，
則，所以，
所以，
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，
所以，，，
所以

所以，
整理得，
又，
又原點(diǎn)到的距離，
所以，
將代入得，
所以，
綜上可得，四邊形的面積為定值.
(四) 與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題
與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型是斜率之積商或斜率之和差為定值,求解時(shí)一般先利用斜率公式寫(xiě)出表達(dá)式,再利用題中條件或韋達(dá)定理化簡(jiǎn).
【例5】（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上，滿足.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.
【解析】（1）因?yàn)?，故可設(shè)，因?yàn)?，故，即，解?
又在橢圓上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程為.
（2）因?yàn)闄E圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時(shí)或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.
聯(lián)立可得，設(shè)，則.
故


故定值為
(五) 與向量有關(guān)的定值問(wèn)題
與向量有關(guān)的定值問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型一是求數(shù)量積有關(guān)的定值問(wèn)題，二是根據(jù)向量共線,寫(xiě)出向量系數(shù)的表達(dá)式,再通過(guò)計(jì)算得出與向量系數(shù)有關(guān)的定值結(jié)論.
【例6】（2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.
(1)求雙曲線的方程.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，
所以，化簡(jiǎn)得.
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，
解得，
所以的方程為.
（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得（1-，
由題可知且，即且，
所以.
設(shè)存在符合條件的定點(diǎn)，則，
所以.
所以，
化簡(jiǎn)得.
因?yàn)闉槌?shù)，所以，解得.
此時(shí)該常數(shù)的值為，
所以，在軸上存在點(diǎn)，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.
【例7】（2022屆上海市金山區(qū)高三上學(xué)期一模）已知為橢圓C：內(nèi)一定點(diǎn),Q為直線l：上一動(dòng)點(diǎn),直線PQ與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P?Q兩點(diǎn)之間）,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）當(dāng)直線PQ的傾斜角為時(shí),求直線OQ的斜率；
（2）當(dāng)AOB的面積為時(shí),求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
（3）設(shè),,試問(wèn)是否為定值？若是,請(qǐng)求出該定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)橹本€PQ的傾斜角為,且,
所以直線PQ的方程為：,
由,得,
所以直線OQ的斜率是；
（2）易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為,
由,得,
設(shè),則,
所以,
所以,
解得,即,
所以直線PQ的方程為或,
由,得；
由,得；
（3）易知直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為,
由,得,
設(shè),則,
所以,
因?yàn)?,
所以,
所以,
.
(六) 與代數(shù)式有關(guān)的定值問(wèn)題
與代數(shù)式有關(guān)的定值問(wèn)題．一般是依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值
【例8】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線分別交橢圓及直線于點(diǎn)，如圖，當(dāng)兩點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如果是的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)零點(diǎn)分別是橢圓的有頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，射線分別角橢圓及直線與兩點(diǎn)，所以，由三點(diǎn)共線，可得，解得，因?yàn)?，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因?yàn)槭堑牡缺戎许?xiàng)，所以，可得，又由，解得，所以，此時(shí)滿足，所以為常數(shù).
(六) 與定值有關(guān)的結(jié)論
1.若點(diǎn)A,B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的點(diǎn),則；
2.若點(diǎn)A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上與A,B不重合的點(diǎn),則.
3.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若,則直線AB斜率為定值；
4. 設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn),若,直線AB斜率為定值；
5. 設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn),若,直線AB斜率為定值.
6.設(shè)是橢圓上不同3點(diǎn),B,C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),直線AC,BC與x軸分別交于點(diǎn),則.
7.點(diǎn)A,B是橢圓C：上動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則=（即點(diǎn)O到直線AB為定值）
8. 經(jīng)過(guò)橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線,與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2,則.
9. 過(guò)橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.
10. 點(diǎn)為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn),過(guò)引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記 與的面積為,則：.
【例9】（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設(shè)常數(shù)且,橢圓：,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè),若定點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最大值與最小值；
（3）設(shè),若上的另一動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求證：到直線PQ的距離是定值．
【解析】（1）∵橢圓：,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∴,,
∴的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）設(shè),又,
由題知,即,
∴,
又,
∴當(dāng)時(shí),取得最大值為25；當(dāng)時(shí),取得最小值為；
∴的最大值為5,最小值為.
（3）
當(dāng)時(shí),橢圓：,
設(shè),當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)設(shè)其方程為,則
由,得,
∴,
由可知,即,
∴,即,
∴,可得,滿足,
∴到直線PQ的距離為為定值；
當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí),,可得直線方程為,到直線PQ的距離為.
綜上,到直線PQ的距離是定值．
三、跟蹤檢測(cè)
1．（2023屆江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）由橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，
可知 ，則 ，
故的方程為；
（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，可得，
，
則，
所以，
又，所以，
解得，
從而 ，
故，即為定值.
2．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
代入點(diǎn)坐標(biāo)，解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）（i）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，
設(shè)，聯(lián)立與雙曲線，
化簡(jiǎn)得，
，即，
則有，
又，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
化簡(jiǎn)，得，即，
所以，
且均滿足，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)
（ii）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)直線DE：，
與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時(shí)也過(guò)點(diǎn)，
綜上，直線過(guò)定點(diǎn).
由于，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點(diǎn)，使為定值.
3．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(0，2)的動(dòng)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)．
(1)求p的值；
(2)是否存在定點(diǎn)T， 使得為常數(shù)？ 若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)； 若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)?，且點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)，所以，又因?yàn)锳在拋物線上，所以，即，解得
（2）設(shè)，可知直線l斜率存在；設(shè)l：，
聯(lián)立方程得：，所以，
所以，
又：



，
令，解之得：，即，此時(shí)
4．（2023屆重慶市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，斜率不為0的直線l與拋物線C相切，切點(diǎn)為A，當(dāng)l的斜率為2時(shí)，.
(1)求p的值；
(2)平行于l的直線交拋物線C于B，D兩點(diǎn)，且，點(diǎn)F到直線BD與到直線l的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由，得，
則，
令，則，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以其縱坐標(biāo)也為，
故，所以；
（2）由（1）得，
設(shè)直線的方程為，，
由得，
即，
即，
由（1）知，
聯(lián)立，消得，
則，
所以，所以，
，
設(shè)到直線和直線的距離分別為，
則由得，，
所以點(diǎn)F到直線BD與到直線l的距離之比是定值，為定值3.
5．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期考試）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)在軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
又因?yàn)椋裕?br /> 解得，，
所以，
即.
（2）假設(shè)在軸上存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得為定值.
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
則，，所以.
所以.
要使為定值，則，
解得或（舍去），此時(shí).
故在軸上存在異于的定點(diǎn)，使得為定值.
6．（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高三下學(xué)期5月模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，
所以，又，則，
故橢圓的方程為：；
（2）設(shè)???，
設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，
得，
∴，，
∴，
設(shè)直線的方程，與拋物線G的方程聯(lián)立，
得，
∴，，
∴，
∴，
要使為常數(shù)，則，解得，
故存在，使得為定值．
7．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期數(shù)學(xué)大練）已知點(diǎn)B是圓C:上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F（，0），線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡E的方程;
(2)設(shè)曲線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1，A2，Q為直線x=4上的動(dòng)點(diǎn)，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個(gè)交點(diǎn)為M，QA2與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，證明: △FMN的周長(zhǎng)為定值.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在BF垂直平分線上，所以有，
所以：，即PF+PC為定值4，
所以軌跡E為橢圓，且，所以，
所以軌跡E的方程為：.
（2）由題知：，
設(shè)
則，，
所以QA1方程為：，QA2方程為：，
聯(lián)立方程：，可以得出M：
同理可以計(jì)算出點(diǎn)N坐標(biāo)：，
當(dāng)存在，即，即時(shí)，
所以直線MN的方程為：
即：，所以直線過(guò)定點(diǎn)，
即過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，所以△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.
當(dāng)不存在，即，即時(shí)，
可以計(jì)算出，周長(zhǎng)也等于8.
所以△FMN的周長(zhǎng)為定值8.
8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，，且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.
【解析】（1）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，
當(dāng)點(diǎn)在上?下頂點(diǎn)時(shí)，最大，又的最大值為.
所以，
由得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，
直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，與條件矛盾，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得，，
化簡(jiǎn)可得，
所以，
由已知方程的判別式，
又直線過(guò)點(diǎn)，所以，
所以，所以，
設(shè)，
則，，
因?yàn)?br /> 所以，
所以
方法二：設(shè)直線的方程為，
由橢圓的方程，得.
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，得，
即，
，
所以.
因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，代入，
得.
9．（2023屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期考試）已知橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q，求證：為定值．
【解析】（1）由已知，又，，所以，
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，則，，
直線的方程為，令得，即，
,
,，直線的方程是，
直線的方程為，令得，即，
由，因?yàn)?，故解得，即?br /> 所以
10．（2023屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知，直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為， 證明: 的面積為定值.
【解析】（1）設(shè)，則直線的斜率，直線的斜率 ，由題意，
化簡(jiǎn)得 ；
（2）直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為，
聯(lián)立化簡(jiǎn)得，
設(shè)，
則，
，
所以

化簡(jiǎn)得
則，
又到的距離，
所以，為定值.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè) ，
則，且，解得，此時(shí)，
綜上，的面積為定值.
11．（2023屆貴州省遵義市新高考協(xié)作體高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，．
(1)求的最大值；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．若，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解析】（1）由橢圓方程知：，，，則，，
由橢圓定義知：，，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即與圖中點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)），
又，的最大值為.
（2）由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，則，
由得：，
，；
，即，則；
同理可得：，
，
是定值.
12．（2023屆江蘇省鹽城市響水中學(xué)高三上學(xué)期測(cè)試）已知橢圓：，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn).
(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)、、，，
則應(yīng)用點(diǎn)差法：，兩式聯(lián)立作差得：，
∴，
又∵，
∴，化簡(jiǎn)得（），
②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，，
綜上，無(wú)論直線是否有斜率，的軌跡方程為；
（2）①當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立并化簡(jiǎn)得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使為定值，
只需，即，其定值為，
②當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，直線的方程為：，則有、，
又，，，，
∴，當(dāng)時(shí)，也為定值，
綜上，無(wú)論直線是否有斜率，一定存在一個(gè)常數(shù)，
使為定值.
13．（2023屆云南省下關(guān)第一中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為C點(diǎn)，直線AC與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問(wèn)是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知得，解得，所以．
（2）由已知，不妨設(shè)，則，，
所以，，所以，
代入橢圓的方程得：，
設(shè)，則，即，
所以，即，
所以，即，
即，也即為定值．
14．如圖,點(diǎn)M是圓上任意點(diǎn),點(diǎn),線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)M在圓A上運(yùn)動(dòng)時(shí),

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）軸,交軌跡于點(diǎn)（點(diǎn)在軸的右側(cè)）,直線與交于（不過(guò)點(diǎn)）兩點(diǎn),且直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則直線具備以下哪個(gè)性質(zhì)？證明你的結(jié)論？
①直線恒過(guò)定點(diǎn)；②m為定值；③n為定值．
【解析】（1）如圖,由方程,得,半徑,

∵在的垂直平分線上,∴,
所以,
∴的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
由,則,,,
∴點(diǎn)的軌跡的方程為．
（2）解：∵直線與軌跡交于,兩點(diǎn),設(shè),如圖

消,得,
整理,得,
,
因?yàn)榕c關(guān)于對(duì)稱(chēng),軸,
所以,,,,
,即,
∵,,
∴整理：,
,
即,
即,
若,點(diǎn)滿足,即,,三點(diǎn)共線,不合題意,
∴,即,
∴直線中為定值．
15．（2022屆云南省紅河州高三檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)M是以原點(diǎn)O為圓心,半徑為a的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以原點(diǎn)O為圓心,半徑為的圓與線段OM交于點(diǎn)N,作軸于點(diǎn)D,作于點(diǎn)Q.
（1）令,若,,,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；
（3）設(shè)（2）中的曲線C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn),,若點(diǎn)E?F分別滿足,,設(shè)直線和的交點(diǎn)為K,設(shè)直線：及點(diǎn),（其中）,證明：點(diǎn)K到點(diǎn)H的距離與點(diǎn)K到直線l的距離之比為定值.
【解析】（1）設(shè),則由題知
,因此
（2）
（2）設(shè)及,則由題知
,則點(diǎn)Q的軌跡C為橢圓,方程為：.
（3）設(shè),由題知,,,,,
：,即,
：,即,
聯(lián)列上述直線方程,解得.


令點(diǎn)到直線的距離為,則.
因此有.


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