?專題13 點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用
一、考情分析
圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題是高考常見題型,在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí),我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為,代入圓錐曲線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,然后加以求解,這即為“點(diǎn)差法”.
二、解題秘籍
(一)求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程
求解此類問題的方法是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減求出斜率,再用點(diǎn)斜式寫出直線方程.特別提醒：求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程,求出直線方程后要檢驗(yàn)所求直線與雙曲線是否有2個(gè)交點(diǎn).
【例1】過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦,使弦被點(diǎn)平分,求這條弦所在直線的方程.
【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、
為的中點(diǎn) 　　
又、兩點(diǎn)在橢圓上,則,
兩式相減得
于是

即,故所求直線的方程為,即.
【例2】已知雙曲線,離心率,虛軸長(zhǎng)為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)能否作直線,使直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由．
【解析】(1),,,．
,．
．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)假設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在,
設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為,,
可得,．
由,在雙曲線上,可得：,
兩式相減可得以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為：
,
則以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為．即為,
代入雙曲線的方程可得,
由,
所以不存在這樣的直線．
(二) 求弦中點(diǎn)軌跡方程
求弦中點(diǎn)軌跡方程基本類型有2類,一是求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程,二是求過定點(diǎn)的直線被圓錐曲線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.
【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的最大值.
【解析】（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率為．
，，，，
故橢圓的方程為：；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M與O重合，不合題意，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，
則有，，直線的斜率為，
，兩點(diǎn)在橢圓上，有，，
兩式相減，，即，
得，化簡(jiǎn)得，
，∴當(dāng)時(shí)，
的最大值為
【例4】直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題,是解析幾何重要內(nèi)容之一,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.
引理 ：設(shè)、是二次曲線上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),且弦的斜率存在,
則……（1）
……（2）
由（1）-（2）得
,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴直線的斜率.
二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等．
請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：
已知橢圓.
（1）求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程;
（2）過點(diǎn)引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),
則,兩式相減得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直線的斜率.
直線AB的方程為,即.
因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部,成立.
（2）由題意知：割線的斜率存在,設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),
則,兩式相減得：
,
∵,,
∴,
∴,
∴直線的斜率
又,
所以 ,
化簡(jiǎn)得：,
所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為
(三) 求直線的斜率
一般來說,給出弦中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線斜率
【例5】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M,N在橢圓C上.
(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線MN的斜率；
(2)若M,N,O三點(diǎn)共線,直線NF1與橢圓C交于N,P兩點(diǎn),求△PMN面積的最大值.
【解析】(1)設(shè),則,
兩式相減,可得,
則,
解得,即直線MN的斜率為；
(2)顯然直線NF1的斜率不為0,設(shè)直線NF1：,,
聯(lián)立,消去x整理得,顯然,
故,故△PMN的面積
,
令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故△PMN面積的最大值為.

【例6】已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為,求直線的斜率.
【解析】（1）證 略.
（2）解 ,設(shè)線段的中點(diǎn)為.
又在橢圓上,,（1）,（2）
得：,
.
直線的斜率,直線的方程為.
令,得,即,直線的斜率.
(四) 點(diǎn)差法在軸對(duì)稱中的應(yīng)用
【例7】（2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)合統(tǒng)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)，則
∵在橢圓上，則
兩式相減得，整理得
∴，即，則
又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則
聯(lián)立解得
∴橢圓C的方程為
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON
∵，則，即
由（1）可得，則，即直線
聯(lián)立方程，解得
即
∵，則在橢圓C外
∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱

【例8】已知橢圓過點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的范圍．
【解析】（1）設(shè)，則，
即．
因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以，
兩式相減得，即，
又，所以，即．
又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，所以，
因?yàn)镻，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以且點(diǎn)N在直線l上，即．
又因?yàn)镻，Q在橢圓C上，所以．
兩式相減得．
即，所以，即．
聯(lián)立，解得，即．
又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以，所以
所以實(shí)數(shù)的范圍為．
(五) 利用點(diǎn)差法可推導(dǎo)的結(jié)論
在橢圓中,若直線l與該橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)為弦AB中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則,對(duì)于雙曲線、拋物線也有類似結(jié)論,求自行總結(jié).
【證明】設(shè)且,
則,（1）,（2）
得：,
,.
又,,（定值）.
【例9】（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A,直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn),且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn)．
(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2,求k1·k2的值；
(2)若＝,試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則,說明理由．
【解析】(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
因?yàn)镻、Q在雙曲線上,
所以－＝1,－＝1,
兩式作差得－＝0,
即＝,
即＝,
即k1·k2＝；
(2)因?yàn)椋?
所以APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,即AP⊥AQ；
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,
由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,
得t＝或a(舍),
故直線l的方程為x＝；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l：y＝kx＋m,代入－＝1,
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則x1＋x2＝,x1x2＝－；
因?yàn)锳P⊥AQ,
所以·＝0,
即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,
即＝0,
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,
所以k＝－或k＝－；
當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－x＋m,此時(shí)經(jīng)過A,舍去；
當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－ x＋m,
恒過定點(diǎn)(,0),經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；
綜上①②,直線l過定點(diǎn)(,0)．
三、跟蹤檢測(cè)
1．已知橢圓為右焦點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點(diǎn)Q．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)當(dāng)時(shí)，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．
【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為，聯(lián)立得消去y可得：，所以
所以，代入直線方程，求得，
因?yàn)镼為三條中垂線的交點(diǎn)，所以，
有，直線方程為.
令，所以.
由橢圓可得右焦點(diǎn)，故．
（2）設(shè)，中點(diǎn)M坐標(biāo)為．
相減得，.
又Q為的外心，故，
所以，直線方程為，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以當(dāng)t變化時(shí)，為定值．
2．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為D，斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，直線l恰好經(jīng)過D點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程：
(2)當(dāng)l不過點(diǎn)D時(shí)，若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù)，求k的取值范圍.
【解析】（1）由題意知，離心率，所以，
設(shè)，兩式相減得，所以；
所以直線為，即，所以，橢圓方程為；
（2）設(shè)直線為，由得，
則，，，
所以，解得，，
因?yàn)閘不過D點(diǎn)，則，即
則，化簡(jiǎn)得，
解得，，
所以或.
3．已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程．
【解析】（1）設(shè)弦與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即(*)，
因?yàn)?，，?br /> 所以，代入上式并化簡(jiǎn)得，顯然滿足方程.
所以點(diǎn)P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．
（2）設(shè)，在（1）中式子里，
將，，代入上式并化簡(jiǎn)得點(diǎn)Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．
所以，點(diǎn)的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.
（3）在（1）中式子里，
將，，代入上式可求得．
所以直線方程為．
4．已知橢圓：（）過點(diǎn)，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為-0.5.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，橢圓上是否存在，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出，的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)，，則，
即．
因?yàn)?，在橢圓上，所以，，
兩式相減得，即，
又，所以，即．
又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知，直線的方程為．
假設(shè)橢圓上存在，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，
設(shè)，，的中點(diǎn)為，所以，，
因?yàn)?，關(guān)于直線對(duì)稱，所以且點(diǎn)在直線上，即．
又因?yàn)?，在橢圓上，所以，，
兩式相減得，
即，所以，即．
聯(lián)立，解得，即．
又因?yàn)?，即點(diǎn)在橢圓外，這與是弦的中點(diǎn)矛盾，
所以橢圓上不存在點(diǎn)，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱．
5．（2022屆廣東省清遠(yuǎn)市高三上學(xué)期期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)P為l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作C的切線,切點(diǎn)為Q,試判斷F是否在以為直徑的圓上．
【解析】 (1)設(shè),則
所以,整理得,
所以．
因?yàn)橹本€的方程為,
所以．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4,
所以,得,
故拋物線C的方程為．
(2)設(shè),可知切線的斜率存在且不為0,
設(shè)切線的方程為,
聯(lián)立方程組得,
由,得,即,
所以方程的根為,
所以,即．
因?yàn)?所以,
所以,即F在以為直徑的圓上．
6．（2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為1時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖,若過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,求四邊形的面積的最大值.
【解析】 (1)設(shè),.
由題意可得
∴,即,
∴.
∵,∴,,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)根據(jù)對(duì)稱性知,,
∴四邊形是平行四邊形,又,
∴問題可轉(zhuǎn)化為求的最大值.
設(shè)直線的方程為,代入,得.
則,,
∴.
令,則,且,
∴.
記,易知在上單調(diào)遞增.
∴.
∴.
∴四邊形的面積的最大值是6.
7．如圖,是過拋物線焦點(diǎn)F的弦,M是的中點(diǎn),是拋物線的準(zhǔn)線,為垂足,點(diǎn)N坐標(biāo)為.

(1)求拋物線的方程；
(2)求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.
【解析】 (1)點(diǎn)在準(zhǔn)線上,所以準(zhǔn)線方程為：,
則,解得,所以拋物線的方程為：；
(2)設(shè),由在拋物線上,
所以,則,
又,所以點(diǎn)M縱坐標(biāo)為是的中點(diǎn),所以,
所以,即,又知焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為：,
聯(lián)立拋物線的方程,得,解得或,所以,
所以.
8．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),直線：,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),,.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、,設(shè)、的中點(diǎn)分別為M、N.求直線過定點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】 (1)依題意,點(diǎn)在直線：上移動(dòng),令直線交x軸于點(diǎn)K,而點(diǎn),又是線段與軸的交點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K不重合時(shí),,而O為FK中點(diǎn),則點(diǎn)是線段的中點(diǎn),因,
則是線段的垂直平分線,,又于點(diǎn)P,即是點(diǎn)到直線的距離,
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí),點(diǎn)R與點(diǎn)O重合,也滿足上述結(jié)論,
于是有點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)Q到直線l的距離,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為：,
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
(2)顯然直線與直線的斜率都存在,且不為0,設(shè)直線AB的方程為,,
令,,,
由兩式相減得：,則,即,
代入方程,解得,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
而,直線方程為,同理可得：N的坐標(biāo)為,
當(dāng),即時(shí),直線：,
當(dāng)且時(shí),直線的斜率為,方程為,整理得,
因此,,直線：過點(diǎn),
所以直線恒過定點(diǎn).
9．中心在原點(diǎn)的雙曲線焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問題：
①該曲線經(jīng)過點(diǎn)；
②該曲線的漸近線與圓相切；
③點(diǎn)在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過定點(diǎn)能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由.
【解析】 (1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選①：由題意可知,雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,
由雙曲線的定義可得,則,故,
所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,
雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,解得,
即,因?yàn)?則,,
因此,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選③：由勾股定理可得,
所以,,則,則,故,
所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)假設(shè)滿足條件的直線存在,設(shè)點(diǎn)、,則,
由題意可得,兩式作差得,
所以,直線的斜率為,所以,直線的方程為,即.
聯(lián)立,整理可得,,
因此,直線不存在.
10．己知橢圓的焦距為,短軸長(zhǎng)為2,直線l過點(diǎn)且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l的斜率為1,求弦的長(zhǎng)；
(3)若過點(diǎn)的直線與橢圓C交于E、G兩點(diǎn),且Q是弦的中點(diǎn),求直線的方程．
【解析】 (1)依題意,橢圓C的半焦距,而,則,
所以橢圓C的方程為：.
(2)設(shè),
依題意,直線l的方程為：,由消去y并整理得：,
解得,因此,,
所以弦的長(zhǎng)是.
(3)顯然,點(diǎn)在橢圓C內(nèi),設(shè),因E、G在橢圓C上,
則,兩式相減得：,
而Q是弦的中點(diǎn),即且,則有,
于是得直線的斜率為,直線的方程：,即,
所以直線的方程是.
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為,AB為橢圓的一條弦,直線y=kx（k>0）經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)M,與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線AB的斜率為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,）
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：為定值.
【解析】（1）由題意知解得
故橢圓的方程為.
（2）證明：設(shè),,,由于A,B為橢圓C上的點(diǎn),所以,,
兩式相減得,
所以.
又,
故,為定值.
12．已知雙曲線：與點(diǎn)．
（1）是否存在過點(diǎn)的弦,使得的中點(diǎn)為；
（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn),證明：、、、四點(diǎn)共圓．
【解析】（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,．
設(shè)存在過點(diǎn)的弦,使得的中點(diǎn)為,
設(shè),,,
兩式相減得,即得：,．
存在這樣的弦．這時(shí)直線的方程為．
（2）設(shè)直線方程為,則點(diǎn)在直線上．
則,直線的方程為,
設(shè),,的中點(diǎn)為,,
兩式相減得,則,則
又因?yàn)樵谥本€上有,解得,
,解得,,
,整理得,則
則
由距離公式得
所以、、、四點(diǎn)共圓．
13．李華找了一條長(zhǎng)度為8的細(xì)繩,把它的兩端固定于平面上兩點(diǎn)F1,F2處,|F1F2|＜8,套上鉛筆,拉緊細(xì)繩,移動(dòng)筆尖一周,這時(shí)筆尖在平面上留下了軌跡C,當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M處時(shí),經(jīng)測(cè)量此時(shí)∠F1MF2＝,且△F1MF2的面積為4．
（1）以F1,F2所在直線為x軸,以F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求李華筆尖留下的軌跡C的方程（鉛筆大小忽略不計(jì)）；
（2）若直線l與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的中點(diǎn)為N（2,1）,求△OAB的面積．
【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
由橢圓的定義知2a＝8,故a2＝16．
∵在Rt△F1MF2中,|F1F2|＝2c,假設(shè)|MF1|＝x,|MF2|＝y(tǒng)（x,y＞0）,
又∵△F1MF2的面積為4cm2,
,故4c2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝48,
∴c2＝12,b2＝a2﹣c2＝4,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）,
∵弦AB的中點(diǎn)為N（2,1）,
∴x1+x2＝4,y1+y2＝2 且 x1≠x2．
又∵A,B均在橢圓上,
∴,得,
即.
.
∵x1≠x2,∴
故直線AB的方程為：x+2y﹣4＝0．
聯(lián)立 ,整理得x2﹣4x＝0．
得 x1＝0,x2＝4,
∴A（0,2）,B（4,0）,
∴．
∴△OAB 的面積為4cm2．
14.若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】當(dāng)時(shí),顯然滿足.
當(dāng)時(shí),設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為,且的中點(diǎn)為,則,（1）,（2）
得：,,
又,.
中點(diǎn)在直線上,,于是.
中點(diǎn)在拋物線區(qū)域內(nèi)
,即,解得.
綜上可知,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.


相關(guān)試卷

2023高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)——圓錐曲線點(diǎn)差法求斜率：

這是一份2023高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)——圓錐曲線點(diǎn)差法求斜率，共3頁。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題14 圓錐曲線中的證明問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題14 圓錐曲線中的證明問題（含解析），共27頁。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測(cè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題4 圓錐曲線中的面積問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題4 圓錐曲線中的面積問題（含解析），共27頁。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測(cè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題3 圓錐曲線中的長(zhǎng)度問題（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題3 圓錐曲線中的長(zhǎng)度問題（含解析）
新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)百題必刷題專題27 圓錐曲線點(diǎn)差法（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)百題必刷題專題27 圓錐曲線點(diǎn)差法（含解析）
專題11 圓錐曲線第三定義與點(diǎn)差法 微點(diǎn)3 圓錐曲線第三定義與點(diǎn)差法綜合訓(xùn)練

專題11 圓錐曲線第三定義與點(diǎn)差法 微點(diǎn)3 圓錐曲線第三定義與點(diǎn)差法綜合訓(xùn)練
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題27 圓錐曲線點(diǎn)差法必刷100題(原卷版)

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題27 圓錐曲線點(diǎn)差法必刷100題(原卷版)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部