?專(zhuān)題12 圓錐曲線中的“設(shè)而不求”
一、考情分析
研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題,是圓錐曲線中的一個(gè)重要內(nèi)容,其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算較為繁雜,許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無(wú)效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.
二、解題秘籍
(一) “設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)
1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少,通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過(guò)渡,設(shè)而不求．
2.在運(yùn)用圓錐曲線問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí),需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的,都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．
3. “設(shè)而不求”最常見(jiàn)的類(lèi)型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)四則運(yùn)算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問(wèn)題；二是涉及動(dòng)直線問(wèn)題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線的方程，再通過(guò)運(yùn)算消去.
【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且的最小值為.連接，并延長(zhǎng)分別交橢圓于，兩點(diǎn).

(1)求的方程；
(2)證明：為定值.
【解析】（1）由題意得，
設(shè)，的長(zhǎng)分別為，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
從而，得，，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）得，，
設(shè)，，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由，得，
則，
，
同理可得，
所以.
所以為定值.

【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為，，一個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)若直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)異，兩點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)是否是定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得，，所以，
橢圓的方程為，
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，
設(shè)直線的方程為，，，
將直線的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，
則，，
∴，解得.
∴直線的方程為；
（2）當(dāng)軸時(shí)，，不符合題意，
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，則，
設(shè)，，聯(lián)立方程組得，
∴，，
又直線：，直線：，
由可得，即，
，
，
，
，
，即，得，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
所以為定值.
(二)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)
在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí),如何避免求交點(diǎn),簡(jiǎn)化運(yùn)算,是處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,求解時(shí)常常設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過(guò)設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過(guò)“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.
【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知橢圓的離心率為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.
【解析】（1）橢圓離心率，，則，
當(dāng)為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，；
，解得：，，
橢圓的方程為：.

（2）由題意可設(shè)直線，，，
則，，，直線；
由得：，
，則，
，；
，又，
，則，
為定值.
【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線l的左上方.
(1)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；
(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.
【解析】（1）設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡(jiǎn)得：，所以線段AB的中點(diǎn)在直線上.
（2）由題可知，的斜率分別為，，所以，因?yàn)榈?br /> 由（1）可知，，所以，又因?yàn)樵谥本€l的左上方，所以的角平分線與軸平行，所以的內(nèi)切圓的圓心在這條直線上.
(三)設(shè)參數(shù)
在求解與動(dòng)直線有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問(wèn)題時(shí)常設(shè)直線方程,因?yàn)閯?dòng)直線方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).
【例5】（2022屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,其離心率為,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得為定值？若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為,則,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點(diǎn)到直線的距離最大,
則有,于是得,又,聯(lián)立解得,
所以橢圓C的方程為：.
（2）由(1)知,點(diǎn),
當(dāng)直線斜率存在時(shí),不妨設(shè),,,
由消去y并整理得,,,,
假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿足條件,設(shè)點(diǎn),
則

,
當(dāng),即時(shí),,
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線l：與橢圓C交于點(diǎn)A,B,由對(duì)稱(chēng)性不妨令,
當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),,,
所以存在定點(diǎn),使得為定值.
(四) 中點(diǎn)弦問(wèn)題中的設(shè)而不求
與中點(diǎn)弦有個(gè)的問(wèn)題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程作差,得到關(guān)于的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.
【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問(wèn)題：
①該曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
②該曲線的漸近線與圓相切；
③點(diǎn)在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)定點(diǎn)能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說(shuō)明理由.
【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選①：由題意可知,雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,
由雙曲線的定義可得,則,故,
所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,
雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,解得,
即,因?yàn)?則,,
因此,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選③：由勾股定理可得,
所以,,則,則,故,
所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)假設(shè)滿足條件的直線存在,設(shè)點(diǎn)、,則,
由題意可得,兩式作差得,
所以,直線的斜率為,所以,直線的方程為,即.
聯(lián)立,整理可得,,
因此,直線不存在.
三、跟蹤檢測(cè)
1．（2023屆河南省洛平許濟(jì)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，上頂點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若，，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意可得，解得，
故橢圓C的方程.
（2）為定值，理由如下：
由（1）可得，
由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，
，
∵，，則，可得，
（定值）.
2．（2023屆江西省南昌市金太陽(yáng)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，.

(1)求橢圓的方程.
(2)試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意可知，則橢圓方程即，
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，
故設(shè) ， ，解得，
將 代入得，即，
故 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（2）設(shè)，則，
則 ，
由橢圓方程可得 ，∴直線方程為︰ ，
令 可得 ，
直線方程為： ，令得 ，
假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則定點(diǎn)必在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓為 ,
即 ，
∵ ，即
∴ ，
令 ，則 ，解得，
∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn) ，即存在定點(diǎn)，使得 ．
3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線與軸交于定點(diǎn).
【解析】（1）由雙曲線得焦點(diǎn)，得，
由題意可得，解得，，
故橢圓的方程為；.
（2）設(shè)直線，點(diǎn)，則點(diǎn).
由，得，，解得，
從而，，
直線的方程為，令得，
又∵，，
則，即，
故直線與軸交于定點(diǎn).
4．（2023屆江西省贛州厚德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若動(dòng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；
當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；
當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
（2）由題意得：，
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；
方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).
方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，
，，，
，解得：；
②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
；
當(dāng)，即時(shí)，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).
5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，是它與定點(diǎn)的距離的兩倍.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，（直線不與軸垂直）.其中，直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若直線，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題，有，即，解得，
所以所求點(diǎn)軌跡方程為
（2）由題，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，
與曲線聯(lián)立方程組得，解得，
設(shè)，，則有，
依題意有直線的斜率為，則直線的方程為，
令，則有點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題，，



，
因?yàn)椋?br /> 所以
解得，則必有，
所以.
6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)M到l的距離為d，若點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，
由，得，兩邊平方整理得，
則所求曲線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程，消去并整理得，
因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn)，故，此時(shí)，
所以，而.
又，
所以

所以，即以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.
7．（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求橢圓方程為.
（2）由已知及（1）可得，
設(shè)點(diǎn)，則.
設(shè)過(guò)點(diǎn)P與相切的直線l的方程為，
與聯(lián)立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根據(jù)題意和為方程③的兩個(gè)不等實(shí)根，
所以，
即為定值.
8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測(cè)試）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.
(1)若的面積為，求直線的方程；
(2)過(guò)兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點(diǎn).
【解析】（1）因的周長(zhǎng)為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，
依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，
設(shè)，，則，，
，
因此，解得，
所以直線的方程為或.
（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點(diǎn)為，
則，，
而，，則，，
兩式相加得：，而，
則，因此，兩式相減得：
，而，則，即，
所以直線與交于定點(diǎn).
9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，試求與的面積之比.
【解析】（1）由題意得，得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，
解得，
所以雙曲線方程為，
（2），設(shè)直線方程為，，
由，得
則，
所以，
所以的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 所以用代換，得，
當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
直線的方程為，
令，得，
所以直線也過(guò)定點(diǎn)，
所以
10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn)在橢圓：上.
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）設(shè)直線：（其中）與橢圓交于不同兩點(diǎn)E,F,直線AE,AF分別交直線于點(diǎn)M,N.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),求的值.
【解析】（1）將點(diǎn)代入,解得,所以橢圓的方程為
又,離心率
（2）聯(lián)立,整理得
設(shè)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為,
由韋達(dá)定理得：,
直線AE的方程為,令,得,即
直線AF的方程為,令,得,即


所以的面積
即,解得或
所以的值為或
11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：交橢圓于P,Q兩點(diǎn),若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】（1）由題意,得,,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè),,
聯(lián)立,得,
即,
則,
因?yàn)橹本€恒過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),
所以,,
則,,
因?yàn)辄c(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),
所以,即,
又,,
則,
即,
即,
解得,
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的離心率為,過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長(zhǎng)度為4.
（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意,可得a=,則C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,
則有,所以a=2,b=,
所以橢圓C1的方程為=1,拋物線C2的方程為y2=8x.
（2）依題意,當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為x=ty-4,
由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則E(x1,-y1).由Δ>0,得t2,
且y1+y2=,y1y2=.
根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,若直線EN過(guò)定點(diǎn),此定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)此定點(diǎn)為Q(m,0).
因?yàn)閗NQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意實(shí)數(shù)知m=-1,所以直線EN過(guò)定點(diǎn)Q(-1,0).
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線EN的方程為y=0,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(-1,0),
所以當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN恒過(guò)一定點(diǎn)Q(-1,0).
13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)）已知橢圓P焦點(diǎn)分別是和,直線與橢圓P相交所得的弦長(zhǎng)為1.
（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將橢圓P繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心,求的面積.
【解析】（1）根據(jù)題意,,,
又因?yàn)?
解得：,,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意得橢圓Q的方程為,
當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為：,,,,
聯(lián)立可得：,
則
因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)為的重心,
所以
由,
得
將代入橢圓方程可得：,
化簡(jiǎn)得：,
又O到直線的距離為：,
則,
因?yàn)樵c(diǎn)O為的重心,
所以,
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得,直線AB的方程為,
此時(shí),
所以.
綜上：的面積為.
14．（2022屆廣東省佛山市高三上學(xué)期期末）已知雙曲線C的漸近線方程為,且過(guò)點(diǎn).
（1）求C的方程；
（2）設(shè),直線不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線與C交于另一點(diǎn)D,求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為,
則可設(shè)雙曲線的方程為,
將點(diǎn)代入得,解得,
所以雙曲線C的方程為；
（2）顯然直線的斜率不為零,
設(shè)直線為,,
聯(lián)立,消整理得,
依題意得且,即且,
,
直線的方程為,
令,
得





.
所以直線過(guò)定點(diǎn).
15．（2022屆江蘇省鹽城市、南京市高三上學(xué)期1月模擬）設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,虛軸長(zhǎng)為,兩準(zhǔn)線間的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn),已知,設(shè)點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為,求的最大值.
【解析】（1）依題意可得,解得,所以雙曲線方程為
（2）由（1）可知,依題意可知,設(shè),,,,則有,,所以,,所以,,
作差得,又的方程為,所以過(guò)定點(diǎn),所以,即的最大值為；
16．（2022屆浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期統(tǒng)測(cè)）如圖,已知橢圓,橢圓,、.為橢圓上動(dòng)點(diǎn)且在第一象限,直線、分別交橢圓于、兩點(diǎn),連接交軸于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作交橢圓于,且.

（1）證明：為定值；
（2）證明直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)；
（3）若記、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、,證明：為定值.
【解析】（1）證明：設(shè),則,可得,
則,,則；
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,
則,代入消元得.
則,
設(shè)、,則,,
由,
得,
約去,并化簡(jiǎn)得,解得（不符合題意,舍去）；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)的方程為,其中,
聯(lián)立,解得,則、,
所以,,可解得.
綜上,直線過(guò)定點(diǎn).
（3）證明：設(shè)的方程為,
則可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
同理,記的斜率為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則的斜率,
所以直線的方程為.
令,得,故.
17．（2022屆湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知圓：,橢圓：的離心率為,是上的一點(diǎn),是圓上的一點(diǎn),的最大值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)是上異于的一點(diǎn),與圓相切于點(diǎn),證明：.
【解析】（1）,所以
設(shè)的焦距是,則,解得,則,
所以的方程是.
（2）證明：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),的方程為或.
當(dāng)時(shí),,,此時(shí),即；
當(dāng)時(shí),同理可得.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即.
因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即
聯(lián)立得.
設(shè),,則,
所以

代入整理可得,即
綜上,,又與圓相切于點(diǎn),所以,易得,
所以,即
所以上存在定點(diǎn)滿足題意,其中的坐標(biāo)為.
18．已知雙曲線：（,）的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線相交于,兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線的方程.
【解析】 (1)由題意可得,解得：,所以雙曲線的方程為：.
(2)設(shè),,
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,
將點(diǎn),代入雙曲線可得：
,兩式相減可得：
即,所以,
所以直線的斜率為：,
所以直線的方程為：即.

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