?專題15 圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題
一、考情分析
圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題是近年高考的熱點(diǎn),探索性問題通常為探索是否存在符合的點(diǎn)、直線或結(jié)果是否為定值,求解時一般是先假設(shè)結(jié)論存在,再進(jìn)行推導(dǎo),有時也會出現(xiàn)探索曲線位置關(guān)系的試題,結(jié)構(gòu)不良問題時,兼顧開放性與公平性,形式不固化,問題條件或數(shù)據(jù)缺失或冗余、問題目標(biāo)界定不明確、具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)等特征,選擇不同的條件,解題的難度是有所不同的,能較好地考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
二、解題秘籍
(一) 解決探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題的注意事項(xiàng)及方法
1.解決探索性問題的注意事項(xiàng)
探索性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在．
(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；
(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件；
(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．
2．存在性問題的求解方法
(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．
(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．
3.結(jié)構(gòu)不良問題的主要特征有：①問題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；②問題目標(biāo)界定不明確；③具有多種解決方法、途徑；④具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定．
【例1】（2023屆江西省贛州厚德外國語學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn),兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn),是否存在軸上的定點(diǎn),使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在,求實(shí)數(shù)的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）兩條漸近線的夾角為,漸近線的斜率或,即或；
當(dāng)時,由得：,,雙曲線的方程為：；
當(dāng)時,方程無解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
（2）由題意得：,
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意,則恒成立；
方法一：①當(dāng)直線斜率存在時,設(shè),,,
由得：,,
,,
,
,
整理可得：,
由得：；
當(dāng)時,恒成立；
②當(dāng)直線斜率不存在時,,則,,
當(dāng)時,,,成立；
綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
方法二：①當(dāng)直線斜率為時,,則,,
,,,
,解得：；
②當(dāng)直線斜率不為時,設(shè),,,
由得：,,
,,
；
當(dāng),即時,成立；
綜上所述：存在,使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
【例2】（2023屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,從①虛軸長為；②離心率為2；③雙曲線的兩條漸近線夾角為中選取兩個作為條件,求解下面的問題.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),記面積分別為,若,求直線的方程.
（注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.）
【解析】（1）若選①②,可知解得
∴C的方程為.
若選①③,因?yàn)?∴∴
∴C的方程為.
若選②③,設(shè)遞增的漸近線的傾斜角為,可知則
此時無法確定a,b,c
（2）,由題意知,直線l斜率不為0,∴設(shè)直線.
由得,
設(shè),,則可知且恒成立,
,,∴或.
,∴.
由,得,∴,
∴,滿足或.
∴直線l的方程為或.
(二)是否存在型探索性問題
求解此類問題一般是先假設(shè)存在,再根據(jù)假設(shè)看看能否推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論.
【例3】（2022屆天津市南開中學(xué)2高三上學(xué)期檢測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、,且也是拋物線：的焦點(diǎn),為橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn),且．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),問是否在軸上存在一點(diǎn),使得當(dāng)變動時,總有？說明理由．
【解析】（1）也是拋物線：的焦點(diǎn),,
,且拋物線的準(zhǔn)線方程為,
設(shè)點(diǎn),
,,,
,,
,解得,,
橢圓方程為；
（2）假設(shè)存在滿足設(shè),,
聯(lián)立,消整理得,
由韋達(dá)定理有,,其中恒成立,
由顯然,的斜率存在,故,即,
由,兩點(diǎn)在直線上,故,,
代入整理有,
將代入即有：,要使得與的取值無關(guān),當(dāng)且僅當(dāng)““時成立,
綜上所述存在,使得當(dāng)變化時,總有．
(三) 探索直線是否過定點(diǎn)
求出此類問題一般是設(shè)出直線的斜截式方程,然后根據(jù)已知條件確定的關(guān)系式,再判斷直線是否過定點(diǎn).
【例4】（2022屆北京市房山區(qū)高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,分別為橢圓的上、下頂點(diǎn),且.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之和為,判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是,說明理由.
【解析】（1）由離心率為,可得
因?yàn)闉闄E圓的上、下頂點(diǎn),且,所以 即 ,
又
解得：
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）直線經(jīng)過定點(diǎn),證明如下：
①當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),(),
由,得,
則 得：
設(shè)
則,,
則

所以,經(jīng)檢驗(yàn),可滿足,
所以直線的方程為,即
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．
②當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè),,,
則
解得,此時直線也經(jīng)過定點(diǎn)
綜上直線經(jīng)過定點(diǎn)．
(四) 探索結(jié)果是否為定值
此類問題一般是把所給式子用點(diǎn)的坐標(biāo)或其他參數(shù)表示,再結(jié)合韋達(dá)定理或已知條件進(jìn)行化簡,判斷化簡的結(jié)果是否為定值.
【例5】（2022屆云南省三校高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓過點(diǎn),．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)是單位圓上的任意一點(diǎn),設(shè),,是橢圓上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足．探討是否為定值？若是定值,求出該定值,若不是定值,請說明理由．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn),在橢圓上,所以,解得,,
所以橢圓方程為．
（2）令,,則,
所以,
即．
又,,,所以,
即,
所以,
即,又,,所以,
所以,
故為定值．
【例6】（2022屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過點(diǎn)且以的兩個頂點(diǎn)和的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為的正方形．
（1）求,的方程；
（2）是否存在直線,使得與交于,兩點(diǎn),與只有一個公共點(diǎn),且？證明你的結(jié)論；
（3）橢圓的右頂點(diǎn)為,過橢圓右焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn),關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),,的面積分別為,,問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由．
【解析】（1）根據(jù)題意：,,
以的兩個頂點(diǎn)和的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為的正方形,邊長為
故,,故,代入計算得到,,,
故,.
（2）假設(shè)存在直線方程滿足條件,
當(dāng)直線斜率不存在時,或,代入計算得到,驗(yàn)證不成立；
當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,則,
即,,
化簡得到.
設(shè),,,故,
故,,故,
即,即,
即,化簡得到,
方程組無解,假設(shè)不成立.
故不存在直線滿足條件.
（3）焦點(diǎn)坐標(biāo)為,易知直線方程斜率不為零,設(shè)直線方程為,
,,則,
,化簡得到,,
直線方程為：,
取得到
,
,故是定值為.
(六) 探索直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
探索直線與圓的位置關(guān)系一般根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑的大小進(jìn)行判斷,探索直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系一般根據(jù)判別式.
【例7】已知定理：如果二次曲線與直線有兩個公共點(diǎn)、,是坐標(biāo)原點(diǎn),則的充要條件是.
（1）試根據(jù)上述定理,寫出直線與圓相交于,,坐標(biāo)原點(diǎn)為,且的充要條件,并求的值；
（2）若橢圓與直線相交兩點(diǎn)、,而且,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.
【解析】（1）由定理可知的充要條件為：,
即,.
（2）橢圓與直線相交兩點(diǎn)、,
,即.
圓的半徑為,
又圓心到直線的距離為,
,
直線與圓相切.
(七) 探索類比問題
此類問題多是橢圓與雙曲線的類比
【例8】設(shè)分別為橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)．
(1)若橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；
(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明．
【解析】（1）點(diǎn)在橢圓C上,且到兩點(diǎn)的距離之和等于4,則,,解得,橢圓C的方程為；
（2）,則有,設(shè),線段的中點(diǎn)為,則有,
又K是橢圓上的動點(diǎn),則有,即,即.
故線段的中點(diǎn)的軌跡方程為
（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．
證明：設(shè),,則,,,
又,則
(八) 不良結(jié)構(gòu)問題
近年不良結(jié)構(gòu)問題,通常是要求學(xué)生從備選條件中選擇部分條件解題,選擇不同的條件,所用知識可能不同,難易程度也可能不同.
【例9】在①,②,③軸時,這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答．
問題：已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)在拋物線C上,且______．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),求的面積．
【解析】（1）解：選擇條件①,
由拋物線的定義可得,
因?yàn)?所以,解得,
故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
選擇條件②,
因?yàn)?所以,,
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上,
所以,即,解得,
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
選擇條件③．
當(dāng)軸時,,所以．
故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）解：設(shè),,由（1）知．
由,得,
則,,
所以,
故．
因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離,
所以的面積為．
三、跟蹤檢測
1．（2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測）已知動圓經(jīng)過點(diǎn),且與直線相切,記動圓圓心的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知是曲線上一點(diǎn),是曲線上異于點(diǎn)的兩個動點(diǎn),設(shè)直線?的傾斜角分別為,且,請問：直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是,請求出該定點(diǎn),若不是,請說明理由.
【解析】（1）設(shè)動圓圓心,
∵動圓經(jīng)過點(diǎn),且與直線相切,
∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,
故其方程為,
∴動圓圓心的軌跡方程是；
（2）由（1）可得,
當(dāng)直線?中其中一條的斜率不存在,不妨設(shè),,
易得,直線的直線為,與聯(lián)立可得,
故直線的方程為；
當(dāng)直線?的斜率都存在時,故設(shè)直線?的斜率,
設(shè)
所以,同理可得,
因?yàn)?所以,所以,即,所以,
所以,即,
由題意可設(shè)方程為,聯(lián)立,消整理得,
所以,,,
所以即,所以,
令得,,此時有定點(diǎn),
綜上所述,直線經(jīng)過定點(diǎn)
2．（2023屆江蘇省泰州市泰興市高三上學(xué)期期中）已知圓O：x2＋y2＝16,點(diǎn)A（6,0）,點(diǎn)B為圓O上的動點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)T（2,0）,過點(diǎn)T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點(diǎn)．
（i）過點(diǎn)T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點(diǎn),求四邊形EGFH面積的最大值；
（ii）設(shè)曲線C與x軸交于P、Q兩點(diǎn),直線PE與直線QF相交于點(diǎn)N,試討論點(diǎn)N是否在定直線上,若是,求出該直線方程；若不是,說明理由．
【解析】（1）設(shè),,
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以①,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,整理得,代入①式中得,整理得,
所以曲線的方程為.
（2）（i）因?yàn)橹本€不與軸重合,所以設(shè)直線的方程為,即,則直線為,設(shè)曲線的圓心到直線和直線的距離分別為,,
則,,所以,,所以,
當(dāng)時,；
當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
綜上所述,四邊形面積的最大值為7.
（ii）設(shè),,
聯(lián)立,得,則,,,
因?yàn)榍€與軸交于,兩點(diǎn),所以,,
則直線的方程為,
直線的方程為,
聯(lián)立兩直線方程得,
,所以,
所以在定直線上.
3．（2023屆上海師范大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中）己知雙曲線,過點(diǎn)作直線l和曲線C交于A,B兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的焦點(diǎn)和它的漸近線；
(2)若,點(diǎn)A在第一象限,軸,垂足為H,連結(jié),求直線斜率的取值范圍；
(3)過點(diǎn)T作另一條直線m,m和曲線C交于E,F兩點(diǎn).問是否存在實(shí)數(shù)t,使得和同時成立.如果存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的取值集合；如果不存在,請說明理由.
【解析】（1）解：由曲線,
可得曲線的焦點(diǎn)為,漸近線方程；
（2）解：設(shè),
因?yàn)殡p曲線的漸近線為,且點(diǎn)在第一象限,所以,
從而,
所以,
即直線斜率的取值范圍為；
（3）解：由,得,
當(dāng)一條直線斜率存在另一條直線斜率為0時,
不妨取直線,直線,
此時,
令,則,解得,
所以,
因?yàn)?
所以,解得,
當(dāng)兩條直線斜率都存在時,
不妨設(shè)且,
聯(lián)立,消得,
設(shè),
則,
則,
將替換成,可得,
由,可得,
解得,即,
此時恒成立,
綜上所述,,
因此滿足條件的集合為．

4．（2023屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三上學(xué)期期中聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)為圓上的動點(diǎn),過點(diǎn)作軸垂線,垂足為點(diǎn),動點(diǎn)滿足（點(diǎn)、不重合）
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過點(diǎn)的動直線與軌跡交于、兩點(diǎn),定點(diǎn)為,直線的斜率為,直線的斜率為,試判斷是否為定值．若是,求出該定值；若不是,請說明理由．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P為,動點(diǎn)M為,則Q點(diǎn)為,
,
,
求得：又,
即點(diǎn)M的軌跡方程為：,
（2）設(shè)直線AB方程為：,
由得,
??或,
設(shè)A點(diǎn),B點(diǎn),則,
求得： ,


的值為定值,定值為．
5．（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓的離心率為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),其中在第一象限,過作軸的垂線,垂足為,連接.當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時,的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若為的延長線與橢圓的交點(diǎn),試問：是否為定值,若是,求出這個定值；若不是,說明理由.
【解析】（1）橢圓離心率,,則,
當(dāng)為橢圓右焦點(diǎn)時,；
,解得：,,
橢圓的方程為：.
（2）

由題意可設(shè)直線,,,
則,,,直線；
由得：,
,則,
,；
,又,
,則,
為定值.
6．（2023屆云南省部分重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期10月份月考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,且．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)直線：與拋物線交于,兩點(diǎn),點(diǎn),若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,直線是否恒過點(diǎn)？若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是,請說明理由．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,且,
所以有,因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè),,
直線方程與拋物線方程聯(lián)立,得,
因?yàn)?．
因?yàn)?所以,
所以．
則,即．
當(dāng)時,,即；
當(dāng)時,,符合題意,即．
綜上,直線過定點(diǎn)．
7．（2023屆上海市高橋中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)到,的兩點(diǎn)的距離之和為．
(1)試判斷動點(diǎn)的軌跡是什么曲線,并求其軌跡方程．
(2)已知直線與圓交于、兩點(diǎn),與曲線交于、兩點(diǎn),其中、在第一象限,為原點(diǎn)到直線的距離,是否存在實(shí)數(shù),使得取得最大值,若存在,求出和最大值；若不存在,說明理由．
【解析】（1）解：由題意知,,
所以動點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,
且,,
又因?yàn)?
所以,
所以的軌跡方程為．
（2）解：當(dāng)時,解得,
又圓的半徑,
所以在橢圓外,在橢圓內(nèi),點(diǎn)在內(nèi),在外,
在直線上的四點(diǎn)滿足：,,
由,消去整理得,
因?yàn)橹本€經(jīng)過橢圓內(nèi)的右焦點(diǎn),
所以該方程的判別式恒成立,
設(shè),,
所以,,
,
又因?yàn)榈闹睆?
所以,
化為,
因?yàn)闉辄c(diǎn)到直線的距離,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
所以時取得最大值．
8．（2022屆廣東省潮州市高三上學(xué)期期末）已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A,B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點(diǎn),問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得為定值？若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由．
【解析】（1）由離心率為,得,及,
又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為,
且與直線相切,
所以,
所以,,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）假設(shè)存在,設(shè),
聯(lián)立,消整理得,
,
設(shè),
則,
由,
則




,
要使上式為定值,即與無關(guān),
則應(yīng),即,
此時為定值,
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得為定值.
9．（2022屆河北省深州市高三上學(xué)期期末）已知拋物線,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn),過F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)．
（1）設(shè)A,B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P,Q,線段PQ的中點(diǎn)為R,證明：；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T,使得直線AT,BT的斜率之和為定值？若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．
【解析】（1）證明：設(shè),,,
故可設(shè)直線l的方程為,
由得,
則,,
由題意可知,,,
則,．
因?yàn)?
,
所以,故．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,設(shè)直線AT,BT的斜率分別為k1,k2．
,,
則
．
因?yàn)?且為常數(shù),
所以,即,
故存在點(diǎn)滿足題意．
10.已知橢圓的離心率為,圓與橢圓相交于,兩點(diǎn).
（1）求的最小值；
（2）若,分別是橢圓的上、下焦點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則與的面積之和是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）由,得.
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓心A的坐標(biāo)為(0,2).
設(shè),由對稱性得,且,
則
由題意知－2

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