專題4 圓錐曲線中的面積問題一、考情分析圓錐曲線中的面積問題常見的是三角形的面積問題，有時(shí)也會(huì)考查平行四邊形的面積或?qū)蔷€互相垂直的四邊形面積問題，求解此類問題通常是借助弦長公式或點(diǎn)到直線距離公式用某些量，如動(dòng)直線的斜率或截距表示面積，再利用函數(shù)、方程或不等式知識(shí)求解.二、解題秘籍(一) 利用弦長與點(diǎn)到直線距離計(jì)算三角形面積若直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，一般是先利用弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)P到直線AB的距離，則.【例1】（2023屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期考試）如圖，已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與的漸近線交于兩點(diǎn)（從左至右的順序依次為），其中.(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的值；(2)求面積的最小值.【解析】設(shè)聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去得，由韋達(dá)定理可知，聯(lián)立直線與其中一條漸近線方程，解得即，同理可得，則，則可知的中點(diǎn)與中點(diǎn)重合.由于是的中點(diǎn)，所以，解得；（2）與聯(lián)立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直線的距離，所以整理得，令，則，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2，所以的最小值為.(二) 三角形中一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊上某一點(diǎn)的距離為定值，可把三角形分為兩個(gè)小三角形分別計(jì)算面積若過定點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，可先求出點(diǎn)A，B到直線PQ的距離之和d，則，特別的，若與y軸垂足，，利用這種方法求面積，可以避免使用弦長公式，減少運(yùn)算量.【例2】（2022屆江蘇省揚(yáng)州市高郵市高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研）已知橢圓上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)、的距離之和為4，且右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，記的面積為，當(dāng)時(shí)求的值.【解析】（1）由題意，，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，即，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，且 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性得，聯(lián)立方程組，整理得，解得，因?yàn)?/span>的面積為3，可得，解得.(三)對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的計(jì)算對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積為兩對(duì)角線長度乘積的.【例3】（2023屆山東省青島市高三上學(xué)期調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，（法二）令，則當(dāng)，即時(shí)， (四)把四邊形分割成兩個(gè)三角形求面積如果四邊形的一條對(duì)角線所在直線的方程確定，通常把該四邊形分割為以這條對(duì)角線為底邊的兩個(gè)三角形，分別表示出這兩個(gè)三角形的面積再相加【例4】（2023屆THUSSAT中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高三9月測試）已知A、B分別為橢圓：）的上、下頂點(diǎn)，F是橢圓的右焦點(diǎn)，C是橢圓上異于A、B的點(diǎn)，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)．(1)若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，且，，求四邊形CADB面積S的最大值．【解析】（1）由已知是等邊三角形，因?yàn)?/span>，，所以，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)?/span>，，所以，則,所以，，所以，，兩式相減得，帶回原式得，因?yàn)?/span>，所以，（當(dāng)時(shí)取等）所以四邊形CADB面積S的最大值為．(五)利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積用某一個(gè)變量來表示，此時(shí)可把面積看作關(guān)于該變量的函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)性容易確定，可利用函數(shù)單調(diào)性求面積最值或范圍.【例5】（2023屆河南省名校聯(lián)盟2高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線且交橢圓于P，Q，求的面積最大時(shí)，l的方程.【解析】（1）由題意得，化簡得，則.根據(jù)對(duì)稱性得，故，即，所以，故橢圓C的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，l的方程為，代入橢圓方程，整理得，則，，解得且.故，點(diǎn)到直線l的距離為，則.令，則.當(dāng)t變化時(shí)，的變化情況如下表：t+-+-比較與知，當(dāng)時(shí)，面積取最大，此時(shí)，l的方程為. (六)利用均值不等式求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積轉(zhuǎn)化為某些變量的代數(shù)式，若對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變形后能出現(xiàn)和為定值或乘積為定值的式子，可考慮利用均值不等式求最值或范圍.【例6】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學(xué)期診斷）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且直線過點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)、和、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）過點(diǎn)、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，易知，，因?yàn)?/span>，則，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，所以，，則，所以，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?/span>，若直線、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線、中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線、的斜率均存在且不為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，設(shè)、，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為.三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期調(diào)研）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于 兩點(diǎn)，直線 的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若，求的面積.【解析】（1）將點(diǎn)代入中，得，即，解得 ，故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：，需滿足，故，，，化簡得：，故，即 ，即，由題意可知直線l不過A點(diǎn)，即，故l的斜率（2）設(shè)直線AP的傾斜角為，由，，得，（負(fù)值舍去），由直線 的斜率之和為,可知，即，則，得，即，聯(lián)立，及得，，將，代入中，得，故，，而，，由，得，故.2．（2023屆上海市松江二中高三上學(xué)期月考）如圖，已知、為拋物線Γ：的圖像上異于頂點(diǎn)的任意兩個(gè)點(diǎn)，拋物線Γ在點(diǎn)A、B處的切線相交于.(1)寫出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列；(3)若A，F，B三點(diǎn)共線，求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程及面積的最小值.【解析】 (1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,于是焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為. (2),所以聯(lián)立,得,而于是,即故成等差數(shù)列,成等比數(shù)列（3）由于A,F,B三點(diǎn)共線,設(shè)聯(lián)立,得.即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)AB中點(diǎn)為,則,即當(dāng)時(shí)取等所以面積的最小值為43．（2023屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期9月測試）已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y得，又，是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 ，由弦長公式得，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，即，解得．所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得，所以，且，記點(diǎn)，到直線的距離分別為，，又，且，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，整理得，所以滿足條件，綜上所述直線的方程為，即為．4．（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）設(shè)橢圓：，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓外，且．(1)求橢圓的方程；(2)若，點(diǎn)為橢圓上橫坐標(biāo)大于1的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，并與直線，交于M，N兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，且，所以，即，②由①②解得，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線：，由橢圓性質(zhì)以及點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1可知，，將直線代入方程并化簡可得，，即，因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即．直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程得，同理得，所以，所以，，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值．5．（2023屆廣東省潮陽實(shí)驗(yàn)、湛江一中、深圳實(shí)驗(yàn)三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓的離心率為，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.①求證：直線恒過定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值.【解析】（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．（2）①依題意，設(shè)，若直線的斜率為0則P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因?yàn)?/span>是橢圓上一點(diǎn)，即，所以，則，即因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)，故直線恒過x軸上一定點(diǎn)．②由①得：，所以，而，當(dāng)時(shí)的最大值為．6．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值為.7．（2023屆山東省濟(jì)南市高三上學(xué)期9月考試）已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作的兩條切線，記切點(diǎn)分別為，求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，即，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，所以，，所以橢圓方程為.（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，因?yàn)?/span>，由已知可得，所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.8．（2023屆河北省廊坊市三河市高三上學(xué)期段考）已知橢圓的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，則，即，所以，即，又C的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，所以，即，綜上解得，所以橢圓C的方程為．（2）易得，設(shè)，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得，則．又，易知與同號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．9．（2023屆河南省部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點(diǎn)到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.10.（2022屆河南省高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)四邊形的面積取得最小值時(shí)，求弦所在直線的方程．【解析】（1）已知可得，解得，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)或中有一條直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)軸，因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，將代入橢圓方程可得，則，，四邊形的面積；當(dāng)的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)其斜率為，由（1）知，所以直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立并消去得．設(shè)、，,則，，．同理可得可得，所以四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?/span>，故當(dāng)四邊形的面積取得最小值時(shí)，直線的方程為或．11.（2022屆河南省縣級(jí)示范性高中高三上學(xué)期尖子生對(duì)抗賽）順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，得到的四邊形的面積為，連接橢圓C的某兩個(gè)頂點(diǎn)，可構(gòu)成斜率為的直線.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于E，F兩點(diǎn)，點(diǎn)B在線段上，若，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.【解析】（1）依題意得            解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）設(shè)直線l的方程為，代入橢圓C的方程得，由得.設(shè)，所以，，            設(shè)，則.            原點(diǎn)O到直線l的距離，            故的面積.            因?yàn)?/span>，故，故面積的取值范圍為.12．（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期聯(lián)考）如圖，已知拋物線：，，，過點(diǎn)垂直于軸的垂線與拋物線交于，，點(diǎn)，滿足，.（1）求證：直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)直線與此拋物線的公共點(diǎn)為，記與的面積分別為，，求的值.【解析】（1）易知，設(shè)，由，可得，故有，同理，于是直線的方程是，即①與拋物線方程聯(lián)立，即得到，此方程有兩個(gè)相等的根：代入①，得，故直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（2）設(shè)直線與軸交于，則，于是故有.13．（2022屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月考）已知橢圓的離心率為，，是C的左、右焦點(diǎn)，P是C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為M，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為N．（1）證明：；（2）設(shè)A，B分別為C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線與橢圓C相交于E，F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的取值范圍．【解析】（1）C的離心率為，即，解得．由題意知，，（2）直線AB，EF的方程分別為，，設(shè)，，其中，由得，，所以點(diǎn)E，F到AB的距離分別為又所以四邊形AEBF的面積為當(dāng)時(shí)，，則，所以，即四邊形AEBF面積的取值范圍為14．（2022屆寧夏石嘴山市高三上學(xué)期月考）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于兩點(diǎn)， （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求面積最大值及此時(shí)直線的斜率.【解析】（1）由題知：，所以橢圓.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)?，與橢圓方程聯(lián)立得，消去得.則，所以.由根與系數(shù)的關(guān)系知，，所以.①令，則①式可化為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，所以直線的斜率為.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點(diǎn)P，直線PF交拋物線C于另一點(diǎn)Q.①是否存在定點(diǎn)M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.②求證：為定值.【解析】（1）當(dāng)軸時(shí)，易得，所以，解得，所以拋物線C的方程為；（2）①解：易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為， 代入拋物線C的方程，并整理得，設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，. 所以，所以線段AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為，連接QM，若四邊形AQBM為平行四邊形，則N是QM的中點(diǎn)，易知，因此，設(shè)直線PQ的方程為，代入拋物線C的方程，整理得，所以， 故，因此，故可得，，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因此存在定點(diǎn)，使得四邊形AQBM為平行四邊形；②證明：點(diǎn)到直線的距離，由，，可得， 因此，   同理可得， 所以，為定值.
 

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這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題15 圓錐曲線中的探索性問題與不良結(jié)構(gòu)問題（含解析），共30頁。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題14 圓錐曲線中的證明問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題14 圓錐曲線中的證明問題（含解析），共27頁。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題07 圓錐曲線中的定值問題（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題07 圓錐曲線中的定值問題（含解析），共31頁。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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