考點02 全等三角形中的重要模型-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?考點02 全等三角形中的重要模型
知識框架

模型講解
模型1、平移全等模型，如下圖：

1．（2021·浙江溫州市·八年級期末）如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（）
A． B． C． D．

2．（2021·云南昆明市·八年級期末）如圖：已知，且，求證：．

3．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求證：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的長．

4．（2021·廣西百色市·八年級期末）如圖，已知點是的中點，∥，且．
（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數(shù)．

5．（2021·四川瀘州市·九年級月考）如圖，AB//CD，AB=CD點E、F在BC上，且BF=CE．
（1）求證：△ABE≌△DCF（2）求證:AE//DF．

6.（2021?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．

模型2. 對稱（翻折）全等模型，如下圖：

1．（2021·安徽九年級專題練習）如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是__________．　

2．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（）

A． B． C．AB=DC D．AC=DB
3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，，，請補充一個條件：______，能使用“ASA”方法判定．

4．（2021·浙江金華市·八年級期末）在數(shù)學課上，林老師在黑板上畫出如圖所示的圖形（其中點B、F、C、E在同一直線上），并寫出四個條件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．
請你從這四個條件中選出三個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論，
組成一個真命題，并給予證明．
題設(shè)：　 ??；結(jié)論：　　．（均填寫序號）
證明：

5．（2021·西安市·陜西師大附中九年級二模）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：．

6．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，

（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．

7．（2021·江蘇徐州市·八年級期末）已知：如圖，點C是線段AB的中點，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求證：
（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．

模型3. 旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖：

1．（2021·河北滄州市·八年級期末）如圖，△ABC和△AED共頂點A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲說：“一定有△ABC≌△AED．”乙說：“△ABM≌△AEN．”那么（）

A．甲、乙都對 B．甲、乙都不對 C．甲對、乙不對 D．甲不對、乙對
2．（2020·山西呂梁市·八年級期末）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）

A．50° B．65° C．70° D．75°
3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，已知，，且，，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．
4．（2020·福建廈門市·廈門雙十中學八年級月考）已知：如圖，C為線段BE上一點，AB//DC，AB=EC，BC=CD．求證：∠A=∠E ．

5．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期末）如圖，，
求證：（1）；（2）．

6．（2021·四川廣元市·九年級期末）如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．

7.（2021?懷寧縣期末）如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．

模型4、半角全等模型
【解題技巧】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.
1．（2020·武漢市六中位育中學八年級）（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

2．（2020·河南新鄉(xiāng)市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．

（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

3.（2020·江陰市夏港中學八年級月考）（1）問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：________________．
（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠BAD．上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．
（3）方法應(yīng)用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長與AD的延長線交于點G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個角均為90°）

4．（2020·南昌市心遠中學八年級期中）在圖1、圖2，圖3中．點E、F分別是四邊形邊上的點；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．
特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．
在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．
實際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．

5．（2020·全國九年級專題練習）如圖1，在正方形中，分別是上的點，且，則有結(jié)論成立；

如圖2，在四邊形中，分別是上的點，且是的一半，那么結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；不成立，請說明理由．
若將中的條件改為：如圖3，在四邊形中，，延長到點，延長到點，使得仍然是的一半，則結(jié)論是否仍然成立?若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明

6．（2021·山東東營市·七年級期末）(1)問題背景：
如圖 1，在四邊形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F(xiàn) 分別是 BC, CD 上的點，且∠EAF = 60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．
(2)探索延伸：如圖 2，在四邊形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．

模型5、三垂直全等模型
如圖：

1．（2021·廣東中山市·八年級期末）如圖，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br />
A．E為BC中點 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
2．（2020·涿州市實驗中學八年級期中）在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求證：；（2）若，則的度數(shù)為．

3．（2020·廣東省龍嶺初級中學初一期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；
（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。

4．（2020·河北省初三三模）如圖，和都是直角三角形，，，頂點在上，邊經(jīng)過點，點，在同側(cè)，．

（1）求證：：（2）若，，，求的長．
5．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．

（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
6.（2021?廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．
（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是　 ?。ㄖ苯訉懗龃鸢讣纯桑唬?）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）

模型6、一線三等角全等模型
1）.一線三直角全等模型，如圖：

1．（2021·廣西梧州市·八年級期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點B在直線l上，過A作于D，過C作于E．下列給出四個結(jié)論：①；②與互余；③．其中正確結(jié)論的序號是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2021·河北邢臺市·邢臺三中八年級期末）如圖，兩座建筑物，相距160km，小月從點沿BC走向點C，行走ts后她到達點，此時她仰望兩座建筑物的頂點和，兩條視線的夾角正好為，且．已知建筑物的高為，小月行走的速度為，則小月行走的時間的值為（）

A．100 B．80 C．60 D．50
3．（2021·江蘇揚州市·八年級期末）如圖，，，且．
（1）試說明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度數(shù)．

4．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）將的直角頂點置于直線上，，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．若，．求的面積．

5．（2021·山東臨沂市·八年級期末）如圖，，，，，垂足分別為，，，求，求的長．

6．（2021·河南商丘市·九年級期末）如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側(cè)，于，于．（1）求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請給予證明．（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數(shù)量關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明；（4）根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關(guān)系．

7．（2020·浙江溫州市·八年級月考）在△ABC中，AO=BO，直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D. (1) 當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：CD=AC+BD；(2) 當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：CD=AC-BD；(3) 當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．

2）.一線三等角與一組對應(yīng)邊相等全等模型，如圖：

1.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．

2．（2021·黑龍江大慶市·七年級期末）如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，求證：．

3．（2021·河南濮陽市·八年級期末）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；
（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

4．（2020·安徽滁州市·八年級期末）（1）如圖1，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C在∠MAN的邊AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．求證：．
（2）如圖2，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F在∠MAN內(nèi)部射線AD上，∠1，∠2分別是，的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：；
（3）如圖3，在中，AB=AC，AB>BC，點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，，若的面積是15，則與的面積之和是_________．

5．（2021·河南安陽市·八年級期末）（1）如圖1，已知中，，，直線l經(jīng)過點O，直線l，直線l，垂足分別為點C，D．依題意補全圖l，并寫出線段BC，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為______；

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，C，O，D三點都在直線l上，并且有，請問（1）中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，，點A的坐標為，點C的坐標為，請直接寫出點B的坐標．
6．（2020·無錫市胡埭中學八年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；

（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；
（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．
模型6、手拉手全等模型
1). 等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型
如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.

兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：[來源:Z#xx#k.Com]
①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；

1．（2020·河南許昌市·九年級期中）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．

拓展探究：（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．
2．（2020·黑龍江綏化市·八年級期末）兩塊等腰直角三角尺與（不全等）如圖（1）放置，則有結(jié)論：①②；若把三角尺繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖（2）所示，判斷結(jié)論：①②是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由．

3．（2020·浙江杭州市·八年級開學考試）如圖1，在線段BE上取一點C，分別以CB，CE為腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，連接BD和AE．

（1）請判斷線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若B，C，E三點不共線，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
4．（2021·甘肅慶陽市·八年級期末）在學習全等三角形知識時、教學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型” 興趣小組進行了如下操究：
（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此線BD和CE的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由：
（3）如圖3，已知△ABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)、
5．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·九年級期末）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．

2).等邊三角形中的手拉手全等模型
如圖，△ABC與△CDE均為等邊三角形，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.

圖1 圖2
[來源:]
圖3 圖4
1．（2020·西華縣教研室八年級期中）如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．

（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
2．（2020·湖南邵陽市·八年級期中）如圖1，若點是線段上的動點（不與，重合），分別以、為邊向線段的同一側(cè)作等邊和等邊.

（1）圖1中，連接、，相交于點，設(shè)，那么；（2）如圖2，若點固定，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于），此時的大小是否發(fā)生變化？請說明理由.
3．（2020·江西上饒市·南屏中學八年級月考）如圖, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.

（1）當a=60°, 如圖①則，∠DPE的度數(shù)______________
（2）若△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）
4．（2019·費縣第二中學）如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于點M．(1) 如圖1，求證：AC=BD，判斷AC與BD的位置關(guān)系并說明理由；
(2) 如圖2，∠AOB＝∠COD＝60°時，∠AMD的度數(shù)為___________.

5．（2020·新疆八年級期中）如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點E,直線BM、CN交于F點．（1）求證：AN=BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形；（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立，不要求證明．

3).一般三角形中的手拉手全等模型
如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊△ADB、△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.

4).正方形中的手拉手全等模型
如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.
1．（2020·遼寧丹東市·七年級期末）已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數(shù)．

2．（2021·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．
（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；
（2）觀察圖，當和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?

（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.

（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是 ;它們分別在哪兩個全等三角形中 ;請在如圖中標出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？

3．（2020·山東濟寧市·八年級期末）如圖，為等邊的邊延長線上的一動點，以為邊向上作等邊，連接．（1）求證：；（2）當時，求的度數(shù)；（3）與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？隨著點位置的變化，與的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？請說明理由．

4．（2020·河南省鶴壁市湘江中學八年級月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．
（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

5．（2020·廣東廣州市·執(zhí)信中學八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結(jié)AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）連結(jié)AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

6．（2020·山西八年級月考）綜合與實踐
特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．

如圖1，當點在上時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__ ；直線與直線之間的位置關(guān)系是_ ；
拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由．

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