?考點01 全等三角形的性質與判定
知識框架

基礎知識點
知識點1-1 全等形的概念及性質
1） 全等形：能夠完全重合的兩個圖形
2）全等形的性質：①形狀相同；②大小相同
注：①全等圖形與其所在的位置無關（只要通過平移、旋轉、翻折后能夠使兩個圖形完成重合即可）。對稱圖形要求更苛刻些。
②因兩圖形完全相等，故圖形所有對應條件都相同（例：周長、面積、對應角角度等皆相等）
1．（2021·河南三門峽市·八年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．兩個面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個等邊三角形是全等形
C．兩個全等三角形的面積一定相等 D．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等形
【答案】C
【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質，對每個選項進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、兩個面積相等的圖形不一定是全等形，故A錯誤；
B、兩個等邊三角形不一定是全等形，故B錯誤；
C、兩個全等三角形的面積一定相等，正確；
D、若兩個圖形的周長相等，則它們不一定是全等形，故D錯誤；故選：C．
【點睛】本題考查了全等圖形的判定和性質，解題的關鍵是熟記全等圖形的判定和性質進行判斷．
2．（2020·遼寧撫順市·八年級期末）下列四個圖形中，與圖1中的圖形全等的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用全等形的定義解答即可．
【詳解】解：只有C選項與圖1形狀、大小都相同．故答案為C．
【點睛】本題主要考查了全等形的定義，形狀、大小都相同圖形為全等形．
3．（2021·河北廊坊市·八年級期末）下列四個圖形中，有兩個全等的圖形，它們是（ ）

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．
【詳解】解：①和③可以完全重合，因此全等的圖形是①和③．故選：B．
【點睛】此題主要考查了全等圖形，關鍵是掌握全等圖形的概念．
4．（2020·劍閣縣公興初級中學校八年級月考）把的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形，如圖，沿著虛線畫出種不同的分法，把的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形．

【答案】見解析
【分析】利用圖形的對稱性和互補性來分隔成兩個全等的圖形．
【詳解】解：三種不同的分法：

【點睛】本題主要考查的是作圖-應用與設計作圖，利用對稱性和互補性解題．
5．（2020·江蘇蘇州市·七年級期末）如圖，用三種不同的方法沿網(wǎng)格線把正方形分割成4個全等的圖形（三種方法得到的圖形相互間不全等）．

【答案】詳見解析
【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：這個正方形網(wǎng)格的總面積為16，因此只要將面積分為4，即占4個方格，并且圖形要保證為相同即可．
【詳解】解：如圖所示：
．
【點睛】本題主要考查了全等圖形和作圖，準確分析是解題的關鍵．
知識點1-2 全等形的定義和表示方法
1）全等三角形：能夠完全重合的三角形（長得完全一樣的三角形）
2）表示方法：①△ABC≌△DEF（讀作：三角形ABC全等于三角形DEF）
②頂點需要一一對應（即長得一樣的在描述中至于同等地位）
③從書寫中，我們根據(jù)一一對應的關系，可得：
a.點A與點D為對應頂點，點B與點E為對應頂點，點C與點F為對應頂點；
b.∠A與∠D為對應角，∠B與∠E為對應角，∠C與∠F為對應角；
c.AB與DE為對應邊，AC與DF為對應邊，BC與EF為對應邊。
3）找對應角對應邊的方法：①圖形特征法；②字母順序確定法
知識點1-3 全等三角形的性質與拓展
1） 全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形
a對應邊、對應角相等;b周長、面積相等;c對應邊上的中線、角平分線、高相等;
2) 只改變圖形的位置，不改變圖形形狀、大小，則變形后的圖形與原來圖形全等，叫作圖形全等變換。
注：①平移、翻折、旋轉都是全等變換；②縮放不是全等變換
1．（2021·江蘇江都 初二月考）下列命題中正確的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中線相等
C．全等三角形的垂直平分線相等 D．全等三角形對應角的平分線相等
【答案】D
【解析】因為全等三角形對應邊上的高、對應邊上的中線、對應邊的垂直平分線、對應角的平分線相等，A、B、C項沒有“對應”，所以錯誤，而D項有“對應”，D是正確的．故選D．
【點睛】本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質，即全等三角形對應邊相等、對應角相等、面積周長等均相等.
2．（2021·湖北黃石市·七年級期末）如圖，是一個的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=________．

【答案】180°.
【分析】仔細分析圖中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，進而得出答案．
【詳解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案為：180．
【點睛】此題主要考查了全等圖形，解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用．
3．（2021·全國初二課時練習）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長之和為（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
分析：由折疊特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根據(jù)△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長求解．
【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，
由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周長=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長=2×3=6．故選C．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角邊相等．
4.（2021?北碚區(qū)期中）如圖所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一條直線上．下列結論：
①BD是∠ABE的平分線；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④線段DE是△BDC的中線；⑤AD+BD＝AC
其中正確的有（　　）個．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)全等三角形的對應角相等得出∠ABD＝∠EBD，即可判斷①；先由全等三角形的對應邊相等得出BD＝CD，BE＝CE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出DE⊥BC，則∠BED＝90°，再根據(jù)全等三角形的對應角相等得出∠A＝∠BED＝90°，即可判斷②；根據(jù)全等三角形的對應角相等得出∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，從而可判斷∠C，即可判斷③；根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出BE＝CE，再根據(jù)三角形中線的定義即可判斷④；根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出BD＝CD，但A、D、C可能不在同一直線上，所以AD+CD可能不等于AC．
【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD，∴BD是∠ABE的平分線，故①正確；
②∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，BE＝CE，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，
∵△ADB≌△EDB，∴∠A＝∠BED＝90°，∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直線上∴AB可能不垂直于AC，故②不正確；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，
∵∠A＝90°若A、D、C不在同一直線上，則∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正確；
④∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE，∴線段DE是△BDC的中線，故④正確；
⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，若A、D、C不在同一直線上，則AD+CD＞AC，
∴AD+BD＞AC，故⑤不正確．故選：A．
【點評】本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．也考查了等腰三角形三線合一的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，難度適中．
5.（2020秋?合江縣月考）如圖，已知△ABC≌△CDA，下面四個結論中，不正確的是（　?。?br />
A．△ABC和△CDA的面積相等 B．△ABC和△CDA的周長相等
C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD D．AD∥BC，且AD＝CB
【分析】由全等三角形的性質可得S△ABC＝S△CDA，△ABC和△CDA的周長相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC，進而可得AD∥BC，即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴S△ABC＝S△CDA，△ABC和△CDA的周長相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，故選項A、B、D都不符合題意，
∵∠ACB不一定等于∠ACD，
∴∠B+∠ACB不一定等于∠D+∠ACD，
故選項C符合題意，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質是本題的關鍵．
6.（2020秋?永定區(qū)期中）如圖，△ADE≌△BCF，AD＝8cm，CD＝6cm，則BD的長為　 　cm．

【分析】根據(jù)全等三角形的性質得出AD＝BC＝8cm，進而即可求得BD＝BC﹣CD＝2cm．
【解答】解：∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC＝8cm，
∵BD＝BC﹣CD，CD＝6cm，
∴BD＝8﹣6＝2（cm）．
故答案為：2．
【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟記性質是解題的關鍵．
7.（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，則∠BAC度數(shù)的值為　 ?。?br />
【分析】根據(jù)全等三角形的性質，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，從而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根據(jù)AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度數(shù)，從而可以得到∠BAC的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝130°，
∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB，
∴∠DAE＝25°，
∴∠BAC＝25°，
故答案為：25°．
【點評】本題考查全等三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
8.（2020春?成都期中）如圖，△ABC中，點E是AB邊上一點，△BCE≌△ACE，ED∥AC，DF⊥AB．
（1）判斷CE與AB是否垂直，并說明理由；
（2）證明：∠EDF＝∠BDF．

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質和平行線的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：（1）CE⊥AB，
理由：∵△BCE≌△ACE，
∴BEC＝∠AEC=12×180°＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）∵ED∥AC，
∴∠DEC＝∠ACE，
∵△BCE≌△ACE，
∴∠BCE＝∠ACE，
∴∠CED＝∠DCE，
∵DF⊥AB，
∴DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠CED，
∴∠EDF＝∠BDF．
【點評】本題考查了全等三角形的性質，平行線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．

知識點1-4全等三角形判定條件
三角形全等判定總結：
SSS SAS ASA AAS HL斜邊和直角邊分別相等的兩直角三角形全等（簡寫為HL）
1．（2020·重慶初二期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個三角形是（ ）
A．含有45°角的兩個直角三角形 B．腰相等的兩個等腰三角形
C．邊長相等的兩個等邊三角形 D．一個鈍角對應相等的兩個等腰三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件，結合全等的判定方法對各個選項逐一判斷即可．
【解析】解：A、含有45°角的兩個直角三角形，缺少對應邊相等，所以兩個三角形不一定全等；
B、腰相等的兩個等腰三角形，缺少兩腰的夾角或底邊對應相等，所以兩個三角形不一定全等；
C、邊長相等的兩個等邊三角形，各個邊長相等，符合全等三角形的判定定理SSS，所以兩個三角形一定全等，故本選項正確；
D、一個鈍角對應相等的兩個等腰三角形的腰長或底邊不一定對應相等，所以兩個三角形不一定全等，故本選項錯誤．故選：C．
【點睛】本題主要考查全等圖形的識別，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
3.（2020秋?德城區(qū)期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合．過角尺頂點C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種做法是利用了全等三角形對應角相等，圖中判斷三角形全等的依據(jù)是　 ?。?br />
【分析】由三邊相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做題時要根據(jù)已知條件結合判定方法逐個驗證．
【解答】解：由圖可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO和△NCO中MO=NOCO=CONC=MC，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分線．
故答案為：SSS．
【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數(shù)學知識解決實際問題是一種重要的能力，要注意培養(yǎng)．
4.（2020秋?句容市月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件　 　，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件　 　，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件　 　，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．

【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊，當利用“AAS”進行判斷時可加∠A＝∠D；當利用“SAS”進行判斷時可加AB＝DC；當利用“ASA”進行判斷時可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：當∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
當AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
當∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案為：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．
5.（2020?路南區(qū)校級月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，可能得不到全等三角形紙片的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷．
【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個小三角形全等，故本選項不符合題意；
B、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個小三角形全等，故本選項不符合題意；
C、如圖1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，
所以其對應邊應該是BE和CF，而已知給的是BD＝FC＝3，所以不能判定兩個小三角形全等，故本選項符合題意；
D、如圖2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定兩個小三角形全等，故本選項不符合題意；
由于本題選擇可能得不到全等三角形紙片的圖形，故選：C．

【點評】本題考查了全等三角形的判定，注意三角形邊和角的對應關系是關鍵．
6.（2020秋?伊通縣期末）如圖，某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么，最省事的方法是（　?。?br />
A．帶①去 B．帶②去
C．帶③去 D．帶①去和帶②去
【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．
故選：A．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學生將所學的知識運用于實際生活中，要認真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．
7.（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．

【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；
（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結論．
【解答】證明：（1）∵AB∥DF∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠FBC=EF，∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOEAC=DE，
∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點O為BF的中點．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．

知識點1-5 用尺規(guī)作三角形
1）、知道基本的作圖的常用工具，并會用尺規(guī)做幾種簡單的基本圖形。
2）、根據(jù)三角形判定定理，掌握用尺規(guī)做三角形及做一個三角形與已知三角形全等。
3）、常見的尺規(guī)作三角形的類型：已知三邊作三角形；已知兩邊及夾角作三角形；已知兩角和任意一邊作三角形；已知一條直角邊和一條斜邊。
1．（2020·福建南平市·八年級月考）如圖所示，已知△ABC，請你畫一個△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)已知三角形，利用進而得出全等三角形即可．
【詳解】解：如圖所示，△A1B1C1即為所求．

【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及全等三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．
2．（2020·河北邯鄲市·八年級月考）尺規(guī)作圖：已知和線段，求作，使．（作圖痕跡要清晰規(guī)范，不要求作圖步驟）

【答案】見解析．
【分析】利用基本作圖來解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．
【詳解】解：如圖，為所作．

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖問題，掌握尺規(guī)作圖中的基本作圖，會用基本作圖解決問題是解題關鍵．
3．（2021·浙江寧波市·八年級期末）已知：兩邊及其夾角，線段，，．
求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．

請你根據(jù)所學的知識，說明尺規(guī)作圖作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的______．
【答案】作圖見解析；SSS，SAS．
【分析】（1）首先根據(jù)一個角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的兩邊分別截取BC=a，AB=c，再連接AC；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理可得．
【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）尺規(guī)作圖作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的SAS．
【點睛】本題主要考查用尺規(guī)作三角形，全等三角形的判定定理，關鍵是掌握作一個角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．
4．（2020·遼寧遼陽市·八年級期末）尺規(guī)作圖題
已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．
（注：不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】作圖見解析
【分析】先作∠ECF=，在射線CF上截取點B，使，以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射線CE于點A，連接AB即可．
【詳解】解：先作∠ECF=，在射線CF上截取點B，使，以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射線CE于點A，連接AB，如圖所示，即為所求．

【點睛】此題考查的是作直角三角形，掌握作角等于已知角和作線段等于已知線段是解決此題的關鍵．
5．（2020·全國清華附中八年級期中）如圖，在正方形網(wǎng)格內（每個小正方形的邊長1），有一格點三角形ABC（三個頂點分別在正方形的格點上），現(xiàn)需要在網(wǎng)格內構造一個新的格點三角形與原三角形全等，且有一條邊與原三角形的一條邊重合，請畫出所有滿足條件的格點三角形的第三個頂點，并在網(wǎng)格圖中標注．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)全等三角形的判定依據(jù)題目要求畫出圖形即可．
【詳解】解：如圖滿足條件的三角形如圖所示，有5個．

【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

知識點1-6 利用三角形全等測距離
1）、全等三角形在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，解決與全等三角形有關的實際問題時，常將實際問題轉化為數(shù)學問題，然后再利用數(shù)學知識來解決.
2）、要測量無法直接得到的兩個點之間的距離時，常常應用三角形全等的條件來構造全等三角形，再利用全等的性質得到所要的距離.
1．（2021·遼寧鞍山市·八年級期中）如圖，AD、BC表示兩根長度相同的木條，若O是AD、BC的中點，經(jīng)測量AB＝9cm，則容器的內徑CD為____　cm．

【答案】9
【分析】由題意易得△AOB≌△DOC，則有AB=CD，故問題得解．
【詳解】解：AD=BC，O是AD、BC的中點，AB＝9cm，OA=OD=OB=OC，
在△AOB和△DOC中，，△AOB≌△DOC， CD=AB＝9cm；故答案為9．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定條件及性質是解題的關鍵．
2．（2020·全國七年級課時練習）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A，B間的距離，如圖所示的這種方法，是利用了三角形全等中的（ ）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定定理可得以證明.
【詳解】由題意可得：∴△ACB ≌△DCB（SAS）∴AB = DB故選D．
3．（2021·山東德州市·八年級期末）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由走到的過程中，通過隔離帶的空隙，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，相交于，垂足為．已知米．請根據(jù)上述信息求標語的長度．

【答案】16米
【分析】已知AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定義可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根據(jù)相鄰兩平行線間的距離相等可得PD=PB，即可根據(jù)ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質即可得CD=AB=16米．
【詳解】∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP=，∴∠ABP=，即PB⊥AB，
∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴PD=PB，
在△ABP與△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD=AB=16米．
【點睛】本題考察平行線的性質和全等三角形的判定和性質，綜合運用各定理是解題的關鍵．
4．（2020·山東東營市·七年級期末）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、B間的距離，但繩子不夠長.他叔叔幫他出了一個這樣的主意：先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB；連接DE并測量出它的長度．
(1)DE=AB嗎？請說明理由；(2)如果DE的長度是8 m，則AB的長度是多少？

【答案】（1）DE=AB．理由見解析；（2）AB =8m．
【分析】（1）由題意知AC=DC，BC=EC，根據(jù)∠ACB=∠DCE即可證明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解題；（2）由（1）可知DE=AB，則可知AB的長度.
【詳解】（1）解：由題意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中， ，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE=AB．
（2）由（1）知AB =DE=8m．
【點睛】本題考查了全等三角形在實際生活中的應用，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ABC≌△DEC是解題的關鍵．
5．（2021·湖南懷化市·八年級期末）明明同學用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻上面剛好可以放進一個等腰直角三角形（AC=BC ∠ACB=90°）點C在DE上，點A和點B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．

【答案】兩堵木墻之間的距離為30cm．
【分析】根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質進行解答．
【詳解】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由題意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30（cm），
答：兩堵木墻之間的距離為30cm．
【點睛】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
6．（2020·新疆伊犁哈薩克自治州·八年級期末）八（1）班同學到野外上數(shù)學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：
（Ⅰ）如圖5-1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；
（Ⅱ）如圖5-2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD,接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離.
閱讀后1回答下列問題：?
（1）方案（Ⅰ）是否可行？說明理由.
（2）方案（Ⅱ）是否可行？說明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立？ .

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.
【解析】
【分析】（1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．
【詳解】（1）在△ACB和△DCE中
∵AC=DC ∠ACB=∠DCE BC=EC ∴△ACB≌△DCE(SAS) ∴AB=DE，
故方案（Ⅰ）可行；
（2）∵CB⊥AB、CD⊥DE ∴∠ABC=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中
∵∠ABC=∠EDC BC=DC ∠ACB=∠ECD ∴△ABC≌△EDC (ASA) ∴ED=AB，
故方案（Ⅱ）可行；
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．
故答案為：（1）見解析；（2）見解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.
【點睛】本題考查全等三角形的應用，關鍵是掌握全等三角形的判定與性質，證明三角形的全等是證明線段相等的一種重要方法．









重難點題型
題型1 利用全等三角形求長度
1.（2020?宜興市期末）如圖，銳角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，則AF的長為　?。?br />
【分析】先證出∠DBF＝∠DAC，由AAS證明△BDF≌△ADC，得出對應邊相等AD＝BD＝BC﹣CD＝5，DF＝CD＝2，即可得出AF的長．
【詳解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，
在△BDF與△ADC中，∠DBF=∠DAC∠BDF=∠ADCBF=AC ∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴AD＝BD＝BC﹣CD＝7﹣2＝5，DF＝CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3；故答案為：3．
2．（2020·常熟市八年級月考）如圖，已知，平分，且于點D，則________．

【答案】12
【分析】如圖，延長BD交AC于點E，根據(jù)已知證得，則得，由三角形的面積公式得，，即可證明，從而可以解答本題．

【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E，
∵平分，，∴，．
∵，∴．∴．
∴，．∴．即．
∵，∴．故答案為：12．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，明確題意，利用三角形全等證明是解答此題的關鍵．
3．（2021·遼寧鞍山市·八年級期中）如圖，在△ABC中，點D為AB延長線上一點，點E為AC中點，過C作CF//AB交射線DE于F，若BD＝1，CF＝5，則AB的長度為_____．

【答案】4
【分析】根據(jù)CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，證明△ADE≌△CFE就可以求出答案．
【詳解】∵CF∥AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A．∵點E為AC的中點，∴AE=EC．
∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD=CF=5，
∵BD=1，∴AB=AD-BD=5-1=4．故答案為：4．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，平行線的性質，解答時證明三角形全等是關鍵．
4．（2020·深圳市龍崗區(qū)百合外國語學校七年級期中）如圖，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分別為E、F，D是EF的中點，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，則△ACD的面積為_______．

【答案】12
【分析】由BE⊥AE，CF⊥AE，得∠BED=∠CFD，再由D是EF的中點，得ED=FD，根據(jù)角邊角公里可得出△BED與△CFD全等，進而可得CF=EB=4，然后可得CF=4，再計算出AD的長，利用三角形面積公式可得答案．
【詳解】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD，∵D是EF的中點，∴ED=FD，
在△BED與△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA）．∴CF=EB=4，
∵AF=CF，∴AF=4，∵D是EF的中點，∴DF=DE=2，∴AD=6，
∴△ACD的面積：．故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，判定一般三角形全等有SSS、SAS、ASA、AAS，判定兩個直角三角形全等還有HL．
5．（2021·福建泉州市·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于點D，點E在邊AB上，且BE＝BC，過點E作EF⊥AB交BD延長線于點F，若EF＝12，則AE＝_____．

【答案】7
【分析】由題意知：BD⊥AC，EF⊥AB，∠ADB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠F，△ABC≌△FEB（AAS），
AB＝EF＝12，AE＝7．
【詳解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FEB中， ，∴△ABC≌△FEB（AAS），∴AB＝EF＝12，
∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．故填：7．
【點睛】本題主要考查三角全等的證明，難點在復雜圖形中如何迅速確定需要證明全等的三角形；
6．（2021·北京西城區(qū)·八年級期末）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，點A與點E關于直線對稱．若，，，則的周長為（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】連接，交于點，由點與點關于直線對稱，可證得，繼而可證明，由全等三角形對應邊相等解得，同理可證及，最后結合線段的和差與已知條件解題即可．
【詳解】連接，交于點，由點與點關于直線對稱，
在與中，
同理，在與中，
，，，的周長為：
故選：B．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
7．（2020?安陸市期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD＝8，則CE＝　 ?。?br />
【分析】延長BA、CE相交于點F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE＝EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD＝CF，然后求解即可．
【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，∠ABD=∠CBDBE=BE∠BEF=∠BEC=90°，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACFAB=AC∠BAC=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE＝8，∴CE＝4．故答案為：4．


題型2 利用全等三角形求角度
1．（2021·湖北武漢市·八年級期末）如圖，，若，，則的度數(shù)為（　　?。?br />
A．80° B．35° C．70° D．30°
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的性質即可求出∠E．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∠C=30°，∴∠E=∠C=30°，故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
2．（2020·浙江八年級開學考試）如圖所示，，，，的延長線交于點F，交于點G，，，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內角和定理列出方程求解即可．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的內角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，
∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故選C．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，鄰補角的定義，是基礎題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．
3．（2021·安徽馬鞍山市·八年級期末）如圖，，若，，，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內角和定理和全等三角形的性質計算即可．
【詳解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∵∠DAC=25°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°，故選：D．
【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
4．（2020·浙江八年級開學考試）如圖，在銳角中，D、E分別是、上的點，，，且，、相交于點F，若，則_________．

【答案】110°
【分析】由全等三角形的對應角相等、三角形外角定理以及三角形內角和定理進行解答可求∠BFC的度數(shù)．

【詳解】解：設∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．則α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案為：110°．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，此題利用了“全等三角形的對應角相等”和“兩直線平行，內錯角相等”進行推理的．
5．（2021·北京順義區(qū)·八年級期末）如圖，是等邊三角形，，與交于點F，則的度數(shù)是__________．

【答案】60°
【分析】先證明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然后由三角形外角的性質，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代換即可求解．
【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠B=∠CAB=60°，
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，
∵∠DFC=∠ACE+∠DAC，∴∠DFC=60°．
【點睛】考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，解題關鍵是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性質找出相等的邊角關系．
6．（2020·雁塔陜西師大附中初一期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，則∠BDC＝_____．

【答案】75°
【分析】延長AE交DC邊于點F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性質可得∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，則∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB為△AEC的外角，可求得∠AEB的度數(shù)，即∠BDC的度數(shù)．
【解析】解：延長AE交DC邊于點F，如圖：

∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB為△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．故答案為：75°．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質及三角形的外角性質，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
7．（2020?蒼南期中）如圖，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．且E，F(xiàn)，C，D在同一直線上．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若∠B＝30°，∠BAC＝100°，點F是CE的中點，連結AF，求∠FAE的度數(shù)．

【分析】（1）要證△ABC≌△ADE，由已知條件∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，所以可以由SAS判定兩三角形全等；（2）結合（1）中全等三角形的性質和等腰三角形“三線合一”的性質求得答案．
【詳解】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE（已知），∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC與△ADE中，AB=AE(已知)∠BAC=∠DACAC=AE(已知)，∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝50°．
∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝50°．
∵點F是CE的中點，∴AF⊥CE．∴∠FAE＝90°﹣∠E＝40°．


題型3 利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關系
1.（2020?蕭山區(qū)期中）BD、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，P在BD的延長線上，且BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．

【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對應邊的關系，進而得出△ABP≌△QCA，即可得出結論．（2）在（1）的基礎上，證明∠PAQ＝90°即可．
【詳解】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（垂直定義），∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，BP=AC∠ABD=∠ACECQ=AB，∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ（全等三角形對應邊相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對應角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），
∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，
∴AP⊥AQ（垂直定義）．
2.（2020?瑤海區(qū)期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有　 ?。ㄕ垖懶蛱?，少選、錯選均不得分）．

【分析】（1）欲證明AE＝CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）結論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分線的判定定理證明即可；
【詳解】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．
（3）結論：② 理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．

∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴12?AE?BK=12?CD?BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．
不妨設①成立，則△ABM≌△DBM，則AB＝BD，顯然可不能，故①錯誤．故答案為②．
3．（2020·黑龍江松北初一期末）如圖，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，與 CD 相交于點 F，H 是 BC 邊的中點，連接 DH 與 BE 相交于點 G，則①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE = BF 中正確有（ ）

A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【分析】①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質進行判斷；
②過F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，由角平分線定理和三角形邊的關系判斷便可；
③根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質可得BD=CD，然后證明△BDF與△CDA全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，從而判斷③正確；
④根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以證明△ABE與△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CE，從而判斷④正確．
【解析】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC邊的中點，∴DH=CD，∴①正確；
②過F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，

∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②錯誤；
③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正確；
④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE與△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC，
∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正確．所以，正確的結論是①③④，故選：C．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，仔細分析圖形并熟練掌握各性質是解題的關鍵．
4.（2020?溧水區(qū)期末）初步思考
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠BAD＝2∠EAF．求證：EF＝BE+FD．
小明發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和（差）問題，根據(jù)證明此類題型的常見方法，于是就有了如下的思考過程：請在下列框圖中補全他的證明思路．

解決問題：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的結論是否仍然成立？說明理由．
拓展延伸：（3）在（2）的條件下，若將點E、F改在線段BC、CD延長線上，請直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關系　 ?。?br />
【分析】（1）延長CB到H，使BH＝DF，連接AH，證明△ABH≌△ADF和△AME≌△AFE從中找出條件即可解答．（2）延長CB至M，使BM＝DF，證明△ABM≌△ADF，再證明△EAH≌△EAF，可得出結論；
（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF，即可得出EF＝BE﹣FD．
【詳解】解：（1）①AH，②∠HAE，③EH，④BH；故答案為：AH，∠HAE，EH，BH．
（2）（1）中的結論仍然成立，
證明：如圖1，延長CB至M，使BM＝DF，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，
在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠DBM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF=12∠BAD，∴∠2+∠4=12∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．∴EF＝BE+DF．
（3）EF＝BE﹣FD．
證明：如圖2，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，易證△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD． 故答案為：EF＝BE﹣FD．
5.（2020秋?合江縣月考）已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如圖1，點E在BC上，求證：BC＝BD+BE；
（2）如圖2，點E在CB的延長線上，求證：BC＝BD﹣BE．

【分析】（1）先證∠DAB＝∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，則可得出結論；
（2）證明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，進而得出結論．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
6．（2020?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點C，D在邊AB的同側），連接CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)；（Ⅱ）當∠BAC＝2∠BDC時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；（Ⅲ）當∠BCD等于多少度時，∠BAC＝2∠BDC恒成立．

【分析】（I）先由等腰三角形三線合一的性質證明AC為BD的垂直平分線，從而可得到CD＝CB，則∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD；（II）設∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x，然后可證明∠ACD＝∠ADC，則AC＝AD，于是可得到AB＝AC；（III）當∠BCD＝150°時，∠BAC＝2∠BDC恒成立，如答圖所示：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．先證明△BCD≌△ECD，從而可得到∠BDE＝2∠BDC，然后再證明△BDE≌△BAC，從而可得到∠BAC＝∠BDE．
【詳解】解：（I）∵△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠ABD＝60°，AB＝AD．
又∵∠BAC＝30°，∴AC平分∠BAD，∴AC垂直平分BD，∴CD＝CB．
∴∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°．
（II）△ABC是等腰三角形．
理由：設∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x．
∴∠CAD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝60°+x，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD．
∵AB＝AD，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
（III）當∠BCD＝150°時，∠BAC＝2∠BDC恒成立．
如圖：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．

∵∠BCD＝150°，∴∠ECD＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE＝150°，∴∠DCE＝∠DCB．
又∵CD＝CD，∴△BCD≌△ECD，∴∠BDC＝∠EDC，即∠BDE＝2∠BDC．
又∵△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABC＝∠DBE＝60°+∠DBC．
又∵BC＝BE，∴△BDE≌△BAC，∴∠BAC＝∠BDE，∴∠BAC＝2∠BDC．
7．（2020·全國初三專題練習）如圖，在中，，，點是內部一點，且，證明：．

【答案】見解析
【分析】在線段上取點，使得，連接，通過證明可得，即，可推出，再根據(jù)，即可得證．
【解析】證明：如圖，在線段上取點，使得，連接，
，，，，
在中，，，，
，，，
在和中，，
，，是等腰直角三角形，，
，．

【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．

題型4 全等三角形的判定
方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）
解題技巧：
1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。
3）往往有2個條件比較好找，第3個條件需要推理
尋找第3個條件思路：
原則
1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個條件尋找
2）尋找第3個條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導，確定是找角還是邊
全等三角形證明思路：

1°：SSS證全等
1．（2020·全國初二課時練習）如圖：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一點,AE⊥CD于點E,BF⊥CD于點F,若CE=BF,AE=EF+BF.試判斷AC與BC的位置關系,并說明理由.

【答案】AC⊥BC，理由見解析.
【解析】
【分析】AC⊥BC；理由：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵CF=CE+EF，CE=BF，∴CF=EF+BF，∵AE=EF+BF，∴AE=CF，
在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠CAE，
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質定理是解題的關鍵.在應用全等三角形的判定是，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形.
2．（2020·上海浦東新初一期末）閱讀并填空：
如圖：根據(jù)六年級第二學期學過的用直尺、圓規(guī)作線段中點的方法，畫出了線段AB的中點C，請說明這種方法正確的理由．
解：連接AE、BE、AF、BF．
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（　 ?。?br /> 　 ?。健? 　（畫弧時所取的半徑相等），
　 　＝　 ?。ó嫽r所取的半徑相等）．
所以△AEF≌△BEF （　 　）．
所以∠AEF＝∠BEF （　 ?。?br /> 又AE＝BE，
所以AC＝BC （　 ?。?br /> 即點C是線段AB的中點．

【答案】公共邊，AE、BE，AF、BF，SSS，全等三角形對應角相等，等腰三角形三線合一．
【分析】根據(jù)SSS證△AEF≌△BEF，推導出∠AEF＝∠BEF，再根據(jù)等腰三角形性質求出即可．

【解析】如圖，連接AE、BE、AF、BF，
在△AEF和△BEF中，EF＝EF（公共邊），AE＝BE（畫弧時所取的半徑相等），
AF＝BF（畫弧時所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（SSS）．
所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的對應角相等）．
又AE＝BE，所以AC＝BC（等腰三角形三線合一）．即點C是線段AB的中點．
故答案為：公共邊，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形對應角相等，等腰三角形三線合一．
【點睛】本題考查全等三角形的判定方法，準確理解證明過程中每一步的依據(jù)是解題的關鍵.
3．（2020·江蘇棲霞初二期中）數(shù)學家魯弗斯設計了一個儀器，它可以三等分一個角．如圖所示，A、B、C、D分別固定在以O為公共端點的四根木條上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中間的兩根木條上滑動，AE=CE=BF=DF．求證：∠AOE=∠EOF=∠FOD．

【答案】證明見解析．
【分析】根據(jù)條件先證明△AOE≌△COE，從而得∠AOE=∠COE，COE=∠FOD，故∠AOE=∠EOF=∠FOD．
【解析】解：在△AOE和△COE中，∴△AOE≌△COE．∴∠AOE=∠COE．
同理∠COE=∠FOD．∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質．

2°：SAS證全等
1．（2020·云南昆明三中初一期末）如圖，將兩根等長鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點O自由轉動，就做成了一個測量工件，則AB的長等于容器內徑A'B'，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）

A．邊邊邊 B．邊角邊 C．角邊角 D．角角邊
【答案】B
【解析】∵O為中點∴OA’=OA，OB’=OB
∵∠AOB=∠A′OB′∴△OAB≌△OA′B′∴AB=A’B’
考點：全等三角形的判定.
2．（2020·全國初二課時練習）如圖是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，
BF＝EC，其中△ABC的周長為24cm，CF＝3cm，則制成整個金屬框架所需這種材料的總長度為 ____cm.

【答案】45
【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周長=△ABC的周長=24cm．再由制成整個金屬框架所需這種材料的總長度為△DEF的周長+△ABC的周長-CF即可求解.
【解析】∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周長=△ABC的周長=24cm．
∵CF=3cm，∴制成整個金屬框架所需這種材料的總長度為：
△DEF的周長+△ABC的周長-CF=24+24-3=45cm.故答案為45.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明△ABC≌△DEF得到△DEF的周長=△ABC的周長=24cm是解決問題的關鍵．
3．（2020·南山第二外國語學校集團海德學校初一期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：BD=CE．

【答案】見解析
【分析】先由∠1=∠2得到∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BAD≌△CAE，再根據(jù)全等的性質即可得到結論．
【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中 ，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．
4．（2019·河南宜陽初二期末）(1)問題背景：
如圖 1，在四邊形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F(xiàn) 分別是 BC, CD 上的點，且∠EAF = 60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．

小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE， 連結AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結論，他的結論應是 ．
(2)探索延伸：
如圖 2，在四邊形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結論是否依然成立？并說明理由．
【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析
【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
【解析】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：
在△ABE和△ADG中，


在△AEF和△AGF中，
故答案為 EF=BE+DF．
（2）結論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質及“半角模型”構造全等的方法是解題的關鍵．

3°：ASA證全等
1．（2020·河南焦作初一期末）如圖：小剛站在河邊的點處，在河的對面（小剛的正北方向）的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了20步到達一棵樹處，接著再向前走了20步到達處，然后他左轉90°直行，當小剛看到電線塔樹與自己現(xiàn)處的位置在一條直線時，他共走了100步．

（1）根據(jù)題意，畫出示意圖；（2）如果小剛一步大約50厘米估計小剛在點處時他與電線塔的距離，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）小剛在點處時他與電線塔的距離為30米
【分析】（1）根據(jù)題意所述畫出示意圖即可；（2）根據(jù)ASA可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的長度也就得出了AB之間的距離．
【解析】解：（1）所畫示意圖如下：

（2）在和中，，∴，∴，
又∵小剛共走了100步，其中走了40步，∴走完用了60步，
∵一步大約50厘米，∴（厘米）米．
答：小剛在點處時他與電線塔的距離為30米．
【點睛】本題考查全等三角形的應用，像此類應用類得題目，一定要仔細審題，根據(jù)題意建立數(shù)學模型，難度一般不大，細心求解即可．
2（2019·廣東郁南初二期末）如圖，已知E、F在AC上，AD//CB，且，．
求證：（1） （2）．

【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得∠A=∠C，然后利用ASA即可得出結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質可得AF=CE，然后根據(jù)等式的基本性質即可證出結論．
【解析】證明：（1）∵AD∥CB，∴∠A=∠C，
∵∠D=∠B，AD=BC ∴（ASA），
（2）∵∴AF=CE ∴AF+FE=CE+FE即AE=CF．
【點睛】此題考查的是平行線的性質和全等三角形的判定及性質，掌握利用ASA判定兩個三角形全等是解決此題的關鍵．
3．（2020·江蘇崇川南通田家炳中學初三其他）如圖，在△ABC中，D是線段BC的中點，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，且CF∥BE．求證：DE＝DF

【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線性質得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根據(jù)ASA推出△CDF≌△BDE即可．
【解析】∵CF∥BE∴∠FCD＝∠EBD ∵D是線段BC的中點∴CD＝BD
又∵∠CDF＝∠BDE∴△CDF≌△BDE ∴ CF＝BE
【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等，對應邊相等．

4°：AAS證全等
1．（2020·上海浦東新初一期末）如圖，已知點C是線段AB上一點，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．
（1）說明△ACD與△BEC全等的理由；（2）說明AB＝AD+BE的理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）由三角形內角和得∠D＝∠BCE，再由AAS證明三角形全等；
（2）由全等三角形的性質可得AC＝BE，AD＝BC，進而由線段的和差得結論．
【解析】（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，
在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）；
（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，屬于基礎題，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.
2．（2020·江西大余初二期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，
∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°．
【分析】根據(jù)同角的余角相等可得到結合條件，再加上 可證得結論；
根據(jù) 得到 根據(jù)等腰三角形的性質得到 由平角的定義得到
【解析】證明：


在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
3．（2020·山西朔州初二期末）綜合與實踐
閱讀以下材料：
定義：兩邊分別相等且夾角互補的兩個三角形叫做“互補三角形”．
用符號語言表示為：如圖①，在△ABC與△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC與△DEF是互補三角形．
反之，“如果△ABC與△DEF是互補三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．
自主探究
利用上面所學知識以及全等三角形的相關知識解決問題：
（1）性質：互補三角形的面積相等
如圖②，已知△ABC與△DEF是互補三角形．
求證：△ABC與△DEF的面積相等．
證明：分別作△ABC與△DEF的邊BC，EF上的高線，則∠AGC=∠DHE=90°．
…… (將剩余證明過程補充完整)
（2）互補三角形一定不全等，請你判斷該說法是否正確，并說明理由，如果不正確，請舉出一個反例，畫出示意圖．

【答案】（1）見解析；（2）不正確，理由見解析
【分析】（1）已知△ABC與△DEF是互補三角形，可得∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF，證得∠ACG=∠E，證明△AGC≌△DHE，得到AG=DH，所以，即△ABC與△DEF的面積相等．
（2）不正確．先畫出反例圖，證明△ABC≌△DEF，△ABC與△DEF是互補三角形．互補三角形一定不全等的說法錯誤．
【解析】（1）∵△ABC與△DEF是互補三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF．
又∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠ACG=∠E，
在△AGC與△DHE中，∴△AGC≌△DHE（AAS）
∴AG=DH．∴，即△ABC與△DEF的面積相等．
（2）不正確．反例如解圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴△ABC與△DEF是互補三角形．∴互補三角形一定不全等的說法錯誤．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質定理，利用AAS和SAS證明三角形全等，已知兩個三角形全等，可得到對應邊相等．


5°：HL證全等
1．（2019·丹陽市第三中學初二月考）用三角尺可以按照下面的方法畫∠AOB的角平分線：在OA、OB上分別取點M、N，使OM=ON；再分別過點M、N畫OA、OB的垂線，這兩條垂線相交于點P，畫射線OP（如圖），則射線OP平分∠AOB，以上畫角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是( )

A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【答案】C
【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等，進而得出答案.
【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線，故答案選C.
【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定條件，解本題的要點在于熟知全等三角形的判定條件.
2．（2020·江蘇常州初二期末）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：BC⊥FD．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；（2）根據(jù)第（1）問的結論，利用全等三角形的對應角相等可得到∠B=∠D，從而不難求得DF⊥BC．
【解析】證明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt△BEC與Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，余角的性質定理，（1）熟練掌握三角形的判定定理，能根據(jù)題意篩選出合適的定理去證明是解決此問的關鍵；（2）本題主要應用“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”.
3．（2020·南通市啟秀中學初一期末）如圖，點在直線的同側，過作，垂足為，延長至，使得，連接交直線于點．

（1）求證：（2）在直線上任意一點（除點外），求證：
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）由HL可證，可得，由對頂角的性質可得結論；（2）由線段的垂直平分線的性質可得，，由三角形的三邊關系可得結論．
【解析】（1），
在和中

（2）在上取一點，連接，，
在中，

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．

題型5. 尺規(guī)作圖與三角形全等
1．（2021·河北唐山市·八年級期末）如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，作射線，就是的角平分線．這是因為連結，，可得到，根據(jù)全等三角形對應角相等，可得．在這個過程中，得到的條件是（ ）

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS證明三角形全等即可．
【詳解】解：由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），故選：D．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
2．（2020·江蘇蘇州市·七年級期末）如圖，小正方形的邊長為1，為格點三角形．
(1)如圖①，的面積為 ；
(2)在圖②中畫出所有與全等，且只有一條公共邊的格點三角形．

【答案】(1)6;(2)見解析
【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個直角三角形的面積，列式計算即可得解；
（2）分三種情況討論：分別以AC,AB,BC為公共邊，作與余下兩邊相等的三角形，看是否符合題意即可．
【詳解】解：（1）4--=6.
（2）如圖

【點睛】本題主要考查的是作圖-應用設計、全等三角形的判定，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
3．（2020·吉林長春市·九年級其他模擬）我們曾學過定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對的角為”.如圖，在中，，如果，那么.

請你根據(jù)上述命題，解決下面的問題：

（1）如圖1，，為格點，以為圓心，長為半徑畫弧交直線于點，則______；
（2）如圖2，、為格點，按要求在網(wǎng)格中作圖（保留作圖痕跡）。
作，使點在直線上，并且，.
（3）如圖3，在中，，，為內一點，，于，且.①求的度數(shù)；②求證：.

【答案】（1）30；（2）見解析；（3）①30°；②見解析.
【分析】（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC=AB=2CF，即可推出∠CAB=30°．
（2）以D為圓心，DF長為半徑畫弧交直線a于點G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．
（3）①根據(jù)AC=2CE，推出∠CAE=30°．
②作DH⊥BC，想辦法證明BH=CH即可解決問題．
【詳解】（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．
由作圖可知：AC=AB=2CF，∴∠CAB=30°，故答案為30．

（2）如圖△DEF即為所求．
（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=AC∴∠CAD=30°
②作DH⊥BC于H．

∵∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠ACE=60°，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DCF=∠DCH=15°，
∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，∴△CDE≌△CDH（AAS），∴CE=CH=AC=BC，
∴BH=CH，∵DH⊥BC，∴DB=DC．
【點睛】此題考查作圖-應用與設計，等腰直角三角形的性質，直角三角形30度角的判定，全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質，解題關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
4．（2020·河北衡水市·）閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：已知：△ABC，尺規(guī)作圖：求作∠APC=∠ABC．小明同學的主要作法如下：

問題：小明的做法正確嗎？請你說明小明作法的正確性．

【答案】正確，證明見解析
【分析】根據(jù)SAS證明△ABC≌△APC即可得出．
【詳解】解：正確；
證明：∵在△ABC和△APC中，，
∴△ABC≌△APC（SAS）∴∠APC=∠ABC．
【點睛】本題主要考查作圖——基本作圖，全等三角形的判定，掌握知識點是解題關鍵．
5．（2020·北京懷柔區(qū)·八年級期末）數(shù)學課上，王老師布置如下任務：
如圖1，直線MN外一點A，過點A作直線MN的平行線．

(1)小路的作法如下：
① 在MN上任取一點B，作射線BA；
② 以B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA和MN于C、D兩點（點D位于BA的左側），再以A為圓心，相同的長度為半徑畫弧EH，交BA于點E（點E位于點A上方）；
③以E為圓心CD的長為半徑畫弧，交弧EH于點F（F點位于BA左側）
④作直線AF
⑤直線AF即為所求作平行線．
請你根據(jù)小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數(shù)學依據(jù)：

(2)請你參考小路的作法，利用圖2再設計一種“過點A作MN的平行線”的尺規(guī)作圖過程（保留作圖痕跡），并說明其中蘊含的數(shù)學依據(jù)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）根據(jù)作圖過程，利用SSS易證得，從而得到同位角相等，兩直線平行；
（2）依照小路的作法，根據(jù)“內錯角相等，兩直線平行”，作出平行線，同樣可以用SSS易證得，從而得到內錯角相等，兩直線平行的結論.
【詳解】（1）證明：如圖，根據(jù)作圖過程，知：，
連接EF和AD，在和中，，∴(SSS)，
∴(同位角相等，兩直線平行)

故答案為： ； 同位角相等，兩直線平行
（2）作圖方法：① 在MN上任取一點B，作射線BA(為銳角)；② 以B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA和BN于C、D兩點（點D位于BA的右側），再以A為圓心，相同的長度為半徑畫弧EH，交BA于點E（點E位于點A下方）；③以E為圓心CD的長為半徑畫弧，交弧EH于點F（F點位于BA左側）；④作直線AF；⑤直線AF即為所求作平行線．
證明：如圖，根據(jù)作圖過程，知：，連接EF和AD，
在和中，，∴(SSS)，
∴(內錯角相等，兩直線平行)

【點睛】本題考查了基本作圖和全等三角形的判定和性質，平行線的判定定理，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵.
6．（2021·安徽合肥市·八年級期末）（1）如圖，∠MAB＝30°，AB＝2cm，點C在射線AM上，畫圖說明命題“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題，請畫出圖形，并寫出你所選取的BC的長約為　 　cm（精確到0.lcm）．

（2）∠MAB為銳角，AB＝a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是　 　．
【答案】（1）見解析，1.2；（2）x=d或x≥a
【分析】（1）可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm），畫出圖形即可；
（2）當x＝d或x≥a時，三角形是唯一確定的．
【詳解】（1）如圖，選取的BC的長約為1.2cm，

故答案是：1.2；
（2）若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x＝d或x≥a，故答案為：x=d或x≥a．
【點睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，掌握“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等”，屬于中考?？碱}型．

題型6. 利用三角形全等測距離
1．（2020·全國七年級課時練習）為了測量河兩岸相對點A、B的距離，小明先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上（如圖所示），可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此測得ED的長度就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）

A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．
【詳解】因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應相等即ASA這一方法．故選B．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
2．（2020·南昌市第一中學八年級期中）如圖1、2，小明為了測出塑料瓶直壁厚度，由于不便測出塑料瓶的內徑，小明動手制作一個簡單的工具（如圖2，AC＝BD，O為AC、BD的中點）解決了測瓶的內徑問題，測得瓶的外徑為a、圖2中的刀DC長為b，瓶直壁厚度x＝_____（用含a，b的代數(shù)式表示）．

【答案】
【分析】利用全等三角形的判定得出△DOC≌△BOA，從而有,進而利用即可得出答案．
【詳解】解：∵AC＝BD，O為AC、BD的中點，∴DO＝OB．OA＝CO，
在△DOC和△BOA中， ∴△DOC≌△BOA（SAS），∴AB＝DC＝b，
∴解得： ．故答案為：．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形的判定方法及性質是解題的關鍵．
3．（2021·陜西九年級專題練習）在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，如何測得距離？
一位戰(zhàn)士的測量方法是：面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿勢，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離．這是為什么呢？

【答案】見解析
【詳解】根據(jù)三角形全等的判定方法，得到一些相應線段或角相等，在現(xiàn)實生活中有許多應用的實例．
解析：在本題中，根據(jù)題意可以知道，滿足了三個條件：
（1）身體高度一定，（2）帽檐處的角度一定，（3）腳下的直角一定，
故根據(jù)ASA判定方法，可以得到兩個三角形全全等，∴距離相等．
理由是：在△AHB與中，
∴
點睛：本題主要考查作圖—應用與設計作圖，根據(jù)題意畫出示意圖，并熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.
4．（2020·廣東茂名市·七年級期末）如圖,為了測量出池塘兩端A,B之間的距離,在地面上找到一點C,連接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延長線上確定點D,使CD=BC,那么只要測量出AD的長度就得到了A,B兩點之間的距離.你能說明其中的道理嗎?

【答案】證明見解析.
【解析】根據(jù)SAS即可證明△ACB≌△ACD，由此即可解決問題．
因為∠ACB=90°,所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌△ADC(SAS). 所以AB=AD.
5．（2021·陜西九年級專題練習）如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，請你設計出測量方案．

【答案】見解析
【分析】本題的測量方案實際上是利用三角形全等的知識構造兩個全等三角形，是一個三角形在河岸的同一邊，通過測量這個三角形中與AB相等的線段的長，從而得知兩家的距離．
【詳解】解：在點B所在的河岸上取點C，連結BC，使CD=CB，利用測角儀器使得∠B=∠D，且A、C、E三點在同一直線上，測量出DE的長，就是AB的長．
在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．
【點睛】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關鍵是設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關系．
6．（2020·全國七年級課時練習）如圖所示，要測量一個沼澤水潭的寬度．現(xiàn)由于不能直接測量，小軍是這樣操作的：他在平地上選取一點C，該點可以直接到達A與B點，接著他量出AC和BC的距離，并找出AC與BC的中點E、F，連接EF，測量EF的長，于是他便知道了水潭AB的長等于2EF，小軍的做法有道理嗎？說明理由．你還有比小軍更簡單的方法嗎？

【答案】詳見解析
【分析】仔細閱讀題目,分析可知若要說明小軍的作法有道理,只需證明AB=2EF即可, 過點B作BG∥AC交EF的延長線于點G,連接BE，利用ASA證明△ECF≌△GBF，得出EF=GF ,CE=BG，再利用SAS證明△AEB≌△GBE得出AB=GE，即可得證．
【詳解】
解:小軍的作法有道理,理由如下:過點B作BG∥AC交EF的延長線于點G,連接BE
∵ 點E、F分別是AC、BC的中點∴ AE=CE, BF=CF
∵ BG∥AC∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (兩直線平行,內錯角相等)
∵∴ △ECF≌△GBF (兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等)
∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的對應邊相等)
∵ EF=GF ,EF+GF=EG∴ EG=2EF∵ CE=BG, AE=CE∴ AE=BG
∵ 在△AEB和△GBE中,
∴ △AEB≌△GBE (兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等)∴ AB=GE (全等三角形的對應邊相等)
∵ GE=2EF, AB=GE∴ AB=2EF故小軍的做法是有道理的；
取直接能到達A，B兩點的C點，延長BC，AC，使，，連接DE，
在△ABC和△EDC中,則，所以．

【點睛】此題主要考查了應用全等三角形的相關知識來解決實際生活中的問題,在實際生活中,對于難以實地測量的線段,常常通過作輔助線構造出全等的三角形,再運用“全等三角形的對應邊相等”這一性質將需要測量的線段轉化到易測量的線段上,從而求解．
7．（2021·全國七年級單元測試）如圖，小明和小月兩家位于A，B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，小明設計方案如下：①從點A出發(fā)沿河岸畫一條射線AM；②在射線AM上截取AF＝FE；
③過點E作EC∥AB，使B，F(xiàn)，C在一條直線上；④CE的長就是A，B間的距離．
(1)請你說明小明設計的原理．(2)如果不借助測量儀，小明的設計中哪一步難以實現(xiàn)？
(3)你能設計出更好的方案嗎？

【答案】(1)全等三角形的對應邊相等；(2)③難以實現(xiàn)；(3)見解析 (答案不唯一，只要設計合理即可)．
【分析】（1）利用了證明全等三角形邊角邊的設計原理；（2）如果不借助測量儀，小明和小月無法使得EC∥AB；
（3）還可以利用相似三角形原理即可，這樣所要的空間較少．
【解析】（1）∵EC∥AB，∴∠CEF=∠BAF，
∵AF=FE，∠BFA=∠EFC，∴△BAF≌△CEF（ASA），
∴小明和小月運用了全等三角形（邊角邊）原理；?
（2）如果不借助測量儀，小明和小月無法使得EC∥AB；?
（3）還可以這樣設計： ①從點A出發(fā)沿河畫一條射線AE； ②在AE上截取AF=5FE； ③過E作EC∥AB，使得B，F(xiàn)，C點在同一直線上；④則CE的5倍的長就是AB之間的距離．
【點睛】本題考查全等三角形的應用，將數(shù)學知識與實際問題相結合，能增加學生們的學習興趣，提高學習積極性，鍛煉學生由實際問題抽象出幾何圖形的建模能力．


題型7. 全等三角形中的動態(tài)問題
1.（2020秋?丹徒區(qū)校級月考）如圖，已知AB＝3，AC＝2，點D、E分別為線段BA、CA延長線上的動點，如果△ABC與△ADE全等，則AD為　 ?。?br />
【分析】分△ABC≌△ADE和△ABC≌△ADE兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質解答即可．
【解答】解：當△ABC≌△ADE時，AD＝AB＝3，
當△ABC≌△AED時，AD＝AC＝2，
故答案為：2或3．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．
2.（2020秋?濱湖區(qū)期中）如圖，已知長方形ABCD的邊長AB＝20cm，BC＝16cm，點E在邊AB上，AE＝6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上從點C到點D運動．則當△BPE與△CQP全等時，時間t為　 　s．

【分析】由條件分兩種情況，當△BPE≌△CQP時，則有BE＝PC，由條件可得到關于t的方程，當△BPE≌△CPQ，則有BP＝PC，同樣可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
當△BPE≌△CQP時，則有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
當△BPE≌△CPQ時，則有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案為：1或4．
【點評】本題主要考查全等三角形的性質，由條件分兩種情況得到關于t的方程是解題的關鍵．
3．（2020·江蘇昆山初一期末）如圖，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過點C且與邊AB相交．動點P從點A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動；動點Q從點B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點同時出發(fā)并開始計時，當點P到達終點B時計時結束．在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設運動時間為t秒，則當t＝_____秒時，PEC與QFC全等．

【答案】2或或6
【分析】分點Q在BC上和點Q在AC上，根據(jù)全等三角形的性質列式計算．
【解析】解：由題意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，
①如圖1，當△PEC≌△CFQ時，則PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，

②如圖2，當點Q與P重合時，△PEC≌△QFC全等， 則PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，
③如圖3，當點Q與A重合時，△PEC≌△CFQ， 則PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，
綜上所述：當t＝2秒或秒或6秒時，△PEC與△QFC全等，
故答案為：2或或6．
【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．
4.（2020·貴州銅仁初三月考）如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．設點Q的運動速度為xcm/s，若使得△ACP與△BPQ全等，則x的值為_____．

【答案】2或．
【分析】“與”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP兩種情況討論，當△ACP≌△BPQ時，P，Q運動時間相同，得值；當△ACP≌△BQP時，由PA=PB，得出運動時間t，由AC=BQ得出值
【解析】當△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵運動時間相同，∴P，Q的運動速度也相同，∴x＝2．
當△ACP≌△BQP時，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝
故答案為2或．

【點睛】本題要注意以下兩個方面：①“與”字全等需要分類討論；②熟練掌握全等時邊與邊，點與點的對應關系是分類的關鍵；③利用題干條件，清晰表達各邊長度并且列好等量關系進行計算
5.（2020春?廣饒縣期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為ts．

（1）如圖（1），當t＝ 　時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；
（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．
【分析】（1）分兩種情況進行解答，①當點P在BC上時，②當點P在BA上時，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關系，求出點P移動的距離，從而求出時間即可；
（2）由△APQ≌△DEF，可得對應頂點為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進行解答，①當點P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②當點P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分別求出P移動的距離和時間，進而求出Q的移動速度．
【解答】解：（1）①當點P在BC上時，如圖①﹣1，
若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP=12BC=92cm，
此時，點P移動的距離為AC+CP＝12+92=332，
移動的時間為：332÷3=112秒，
②當點P在BA上時，如圖①﹣2
若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD=12BC，即點P為BA中點，
此時，點P移動的距離為AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，
移動的時間為：572÷3=192秒，
故答案為：112或192；
（2）△APQ≌△DEF，即，對應頂點為A與D，P與E，Q與F；
①當點P在AC上，如圖②﹣1所示：
此時，AP＝4，AQ＝5，
∴點Q移動的速度為5÷（4÷3）=154cm/s，
②當點P在AB上，如圖②﹣2所示：
此時，AP＝4，AQ＝5，
即，點P移動的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點Q移動的距離為9+12+15﹣5＝31cm，
∴點Q移動的速度為31÷（32÷3）=9332cm/s，
綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，
點Q的運動速為154cm/s或9332cm/s．

【點評】考查直角三角形的性質，全等三角形的判定，畫出相應圖形，求出各點移動的距離是正確解答的關鍵．
6．（2020·江蘇宿遷初二期末）如圖 1，點 P、Q 分別是等邊△ABC 邊 AB、BC 上的動點（端點除外），點 P 從頂點 A、點 Q 從頂點 B 同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP 交于點 M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點 P、Q 分別在 AB、BC 邊上運動時，∠QMC 變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖 2，若點 P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線 AQ、CP交點為M，則∠QMC 變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．

【答案】（1）全等，理由見解析； (2)點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變，60°；（3）點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變，120°.
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．
【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，
在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°
（3）解：點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°?∠PAC＝180°?60°＝120°．
【點晴】本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質．解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質.
7．（2020·山東廣饒初一期末）如圖（1），在ABC中，，BC=9cm, AC=12cm, AB=15cm.現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為t s．（1）如圖（1），當t=______時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；
（2）如圖（2），在△DEF中，，DE=4cm, DF=5cm, ． 在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著ABBCCA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點Q的運動速度．

【答案】（1）t=或；（2）
【分析】（1）先求出△ABC面積，進而可求出△APC的面積，分P點運動到BC邊上時和P點運動到AB邊上時兩種情況分別討論即可；（2）由全等三角形的性質得出，進而可求出P的運動時間，即Q的運動時間，再利用速度=路程÷時間求解即可．
【解析】
（1）
∵△APC的面積等于△ABC面積的一半
當P點運動到BC邊上時，此時
即 此時
當P點運動到AB邊上時，作PQ⊥AC于Q

此時即
∴此時P點在AB邊的中點，此時
綜上所述，當t=或時，△APC的面積等于△ABC面積的一半
（2）∵，DE=4cm, DF=5cm,
此時P點運動的時間為
∵P,Q同時出發(fā)，所以Q運動的時間也是∴Q運動的速度為
【點睛】本題考查全等三角形的性質及三角形面積，掌握全等三角形的性質及分情況討論是解題的關鍵．

題型8. 全等三角形綜合題
1．（2021·湖南岳陽市·八年級期末）已知中，，，點為的中點，點、分別為邊、上的動點，且，連接，下列說法正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）①；②；③；④

【答案】①②④
【分析】根據(jù)補角的性質計算可得①；連接D，證明，根據(jù)三角形全等的性質判斷可得后面的結果；
【詳解】，
，，；
故①正確；連接AD，

∵，，∴，
又∵點為的中點，∴，，，即，
又∵，∴，
又∵，∴，
在△BED和△AFD中，，∴，∴ED=FD；故②正確；
∵，∴，
則，故④正確；
當點E移動到點A時，此時點F與點C重合，很明顯此時EF=AC，F(xiàn)C=0，即；
故③錯誤；故答案為①②④．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，準確分析計算是解題的關鍵．
2．（2021·浙江寧波市·八年級期末）如圖1，是等邊三角形，為上兩點，且，延長至點F，使，連結．（1）如圖2，當兩點重合時，求證：．
（2）如圖3，延長交線段于點G．①求證：．②求的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．
【分析】（1）由等邊三角形的性質可得，再由，，當兩點重合時，可知點為等邊三角形邊的中點，由三線合一性質，得，由此解得，最后根據(jù)等角對等邊解題即可；
（2）①作交于H，連接，由平行線性質解得，繼而證明是等邊三角形，從而得到，接著證明，最后由全等三角形對應邊相等的性質解題即可；
②由①中全等三角形對應角相等可得，結合角的和差解題即可．
【詳解】證明：（1）是等邊三角形，，
，，
，，，；
（2）①如圖，作交于H，連接，
，，
，是等邊三角形，，
，，，，
，， ；
②


【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．
3．（2019·河北安平初二期末）如圖，點是等邊內一點，，，將繞點順時針方向旋轉得到，連接，.（1）當時，判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù)；（3）請你探究：當為多少度時，是等腰三角形？

【答案】（1）為直角三角形，理由見解析；（2）；（3）當為或或時，為等腰三角形.
【分析】（1）由旋轉可以得出和均為等邊三角形?，再根據(jù)求出，進而可得為直角三角形；
（2）因為進而求得，根據(jù)，即可求出求的度數(shù)；
（3）由條件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，當∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA時分別求出a的值即可．
【解析】解：（1）為直角三角形，理由如下：
繞順時針旋轉得到，和均為等邊三角形，，，，
，為直角三角形；
（2）由（1）知：，，
，

，；
（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等邊三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
當∠DAO=∠DOA時，2（190°-a）+a-60°=180°，解得：a=140°
當∠AOD=ADO時，190°-a=a-60°，解得：a=125°，
當∠OAD=∠ODA時，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質的運用，旋轉的性質的運用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．
4．（2021·湖北襄陽市·八年級期末）如圖1，在中，過點作，且，連接．

（問題原型）（1）若，且，過點作的的邊上的高，易證，從而得到的面積為______．
（變式探究）（2）如圖2，若，，用含的代數(shù)式表示的面積，并說明理由．
（拓展應用）（3）如圖3，若，，則的面積為______．
【答案】（1）32；（2），理由見解析；（3）16．
【分析】（1）如圖1中，由AAS定理可證△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．進而由三角形的面積公式得出結論；（2）如圖2中，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由AAS定理可證得△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進而由三角形的面積公式得出結論．
（3）如圖3中，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，由等腰三角形的性質可以得出BF=BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結論．
【詳解】解：（1）∵在中，，過點作且過點作的的邊上的高，∴∴
∵∴．
在與中，∴，
∴故答案為：32

（2）理由：過點作延長線于點 ∴
∵，∵∴．
在與中，∴，
∴
（3）如圖3中，∵∴BF=BC=×8=4．
過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，

∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．
∵S△BCD=BC?DE，∴S△BCD=∴△BCD的面積為16．故答案為：16
【點睛】本題考查了直角三角形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．
5．（2020·四川成華初一期末）（1）如圖1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是　 ?。唬?）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關系，并加以證明．

【答案】（1）1＜AD＜5；（2）見解析；（3）AF+EC=EF，見解析
【分析】（1）證明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三邊關系解決問題即可．（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．證明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，再證明EF=FH，利用三角形的三邊關系即可解決問題．（3）結論：AF+EC=EF．延長BC到H，使得CH=AF．提供兩次全等證明AF=CE，EF=EH即可解決問題．
【解析】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；
（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．

∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞EF；
（3）結論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD（SAS），∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH（SAS），∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的中線的性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會倍長中線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
6．（2020·四川青白江初一期末）現(xiàn)給出一個結論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則．
請結合上述結論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系____________；QE與QF的數(shù)量關系是__________（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明．(3)如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．

【答案】（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結論成立，證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)AAS得到，得到、QE=QF，根據(jù)內錯角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長EQ交BF于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長EQ交FB的延長于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．
【解析】（1）AE//BF；QE=QF （2）QE=QF 證明：延長EQ交BF于D，


,
（3）當點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結論成立
證明：延長EQ交FB的延長于D 因為AE//BF所以
EQ=QF
【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質，根據(jù)P點位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關鍵．
7．（2020·山東威海市·七年級期末）（問題情境）
（1）如圖，在四邊形中，，，．點，分別是和上的點，且，試探究線段，，之間的關系．小明同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．先證明，再證明，進而得出．你認為他的做法　　　　；（填“正確”或“錯誤”）．

（探索延伸）
（2）如圖，在四邊形中，，，，，點，分別是和上的點，且，上題中的結論依然成立嗎？請說明理由．
（思維提升）
（3）小明通過對前面兩題的認真思考后得出：如圖，在四邊形中，若，，，那么．你認為正確嗎？請說明理由．
【答案】（1）正確；（2）成立，理由見解析；（3）正確，理由見解析．
【分析】（1）延長到點，使，連接．先證明，可得AE=AG，再證明，可得EF=GF，進而得出．即可解題；
（2）成立，證明方法同（1）：延長到點，使，連接．先證明，可得AE=AG，再證明，可得EF=GF，進而得出．即可解題；
（3）正確，證明方法同（2）：延長到點，使，連接．先證明，可得AE=AG，再證明，可得EF=GF，進而得出．即可解題．
【詳解】解：（1）正確．
理由：如圖1，延長到點，使，連接．

∵，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，∴∠EAF =∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴；
（2）（1）題中的結論依然成立；
理由：如圖2，延長到點，使，連接．
∵，，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，∴∠EAF =∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴；
（3）正確，理由：如圖3，延長到點，使，連接．

∵，，∴，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF =∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，∴．
【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．



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