?考點03 因式分解
知識框架

知識點2-1 因式分解的概念
定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
1．（2021·江蘇常州·期中）下列等式由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解，進行判斷即可．
【解析】解：A. ，不是因式分解，此項錯誤；
B. 中，不是因式分解，此項錯誤；
C. ，不是因式分解，此項錯誤；
D. ，是因式分解，此項正確．故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·廣東禪城·期末）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的定義作答．把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．
【解析】解：A、是整式的乘法運算，故選項錯誤；B、右邊不是積的形式，故選項錯誤；
C、x2-1=（x+1）（x-1），正確；D、等式不成立，故選項錯誤．故選：C．
【點睛】熟練地掌握因式分解的定義，明確因式分解的結(jié)果應(yīng)是整式的積的形式．
3．（2021·上海市西南模范中學(xué)初一期中）甲乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），則2a+b＝_____．
【答案】21．
【分析】根據(jù)題意：分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，但是a正確，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），a為6；乙看錯了a，但是b正確，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），b為9．代入2a+b即可．
【解析】∵分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），∴a＝6，
乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案為：21．
【點睛】本題考查了因式分解，解決本題的關(guān)鍵是看錯了一個系數(shù)，但是另一個沒看錯．學(xué)生做這類題時往往不能理解．
4．（2021·山東中區(qū)·濟南外國語學(xué)校初二期中）已知多項式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出等式，再利用多項式相等的條件求出a與b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根據(jù)題意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故選：A．
【點睛】本題主要考查因式分解與整式乘法的關(guān)系，掌握因式分解與整式乘法是互逆的變形過程是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·貴州銅仁·初二期末）多項式可因式分解為，則的值為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)多項式的乘法法則把化簡，然后與左側(cè)比較即可求出的值
【解析】解：∵==x2-5x+6，∴m=-5故選D
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解與整式的乘法是互為逆運算是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2021·江西昌江·景德鎮(zhèn)一中初一期末）已知為實數(shù)，若均為多項式的因式，則__________.
【答案】100
【分析】根據(jù)三次項系數(shù)為1，可設(shè)另一個因式為，然后建立等式，分別用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
【解析】解法一（直接展開法）：均為多項式的因式，且三次項系數(shù)為1
設(shè)另一個因式為 則
整理得：由此可得：

解法二（利用方程或等式的性質(zhì)）：均為多項式的因式，且三次項系數(shù)為1
設(shè)另一個因式為 則
取x=1和x=-4帶入上面的方程中得到：解得：
=100；故答案為：100.
【點睛】本題考查了多項式的因式分解、以及乘法法則，依據(jù)題意正確設(shè)立第三個因式是解題關(guān)鍵.
7．（2020·四川省南充高級中學(xué)初三期末）若能分解成兩個一次因式的積，則整數(shù)k=_________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)多項式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據(jù)cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯(lián)立求出a、b的值，a、b是整數(shù)則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進行計算即可．
【解析】解：設(shè)能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6時，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
或c=6，d=1時，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
②c=2，d=3時，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
或c=3，d=2時，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得,
③c=-2，d=-3時，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
④c=-1，d=-6時，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
或c=-6，d=-1時，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得，
∴c=2，d=3時，c=-2，d=-3時，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整數(shù)k的值是7，-7．故答案為：．
【點睛】本題考查因式分解的意義，設(shè)成兩個多項式的積的形式是解題的關(guān)鍵，要注意6的所有分解結(jié)果，還需要用a、b進行驗證，注意不要漏解．

知識點2-2 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隱含公因式;有時，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完。
②運用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
補充：立方和公式：；立方差公式：
注意：立方和差公式公式將多項式分解成兩部分相乘的形式，其中前項符合和立方和差的符號相同，后項內(nèi)容與完全平方接近。不同點有2處：1）中間項的系數(shù)為1；2）中間項的符號與立方和差的符號相反。在利用立方和差公式時切勿記錯公式符號。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：對于二次三項式的因式分解中，當(dāng)公式法不能匹配時，十字相乘就是我們的首選方法。
④分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分組分解分為三步：1）將原式的項適當(dāng)分組；2）對每一組進行處理（因式分解）3）將經(jīng)過處理后的每一組當(dāng)作一項，再進行分解。
注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸。有時，分組不當(dāng)會導(dǎo)致因式分解無法繼續(xù)進行，此刻切不可氣餒，可再嘗試新的分組方法，也許“驚喜”就在后面。
知識點2-3因式分解的一般步驟
①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式
③分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
1．（2021·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）多項式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1
【答案】D
【解析】由題意可得，這個多項式的公因式為4xmyn-1，
注意數(shù)字的最大公約數(shù)也是公因式，容易出錯，故選D
2．（2021·山東東明·期末）若，則代數(shù)式的值為________．
【答案】－2
【分析】直接將原式提取公因式?xy，進而分解因式求出答案．
【解析】∵xy＝2，x?y＝1，∴代數(shù)式?x2y＋xy2＝?xy（x?y）＝?2×1＝?2．故答案為：?2．
【點睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確分解因式是解題關(guān)鍵．
3．（2021·山東歷城·期中）如圖，邊長為，的矩形的周長為14，面積為10，則的值為（ ）.

A．140 B．70 C．35 D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出2(a+b)=14，ab=10，再對進行因式分解，即可得出答案.
【解析】根據(jù)題意可得：2(a+b)=14，ab=10 則 故答案選擇：B.
【點睛】本題考查的是因式分解，需要熟練掌握因式分解的方法.
4．（2021·湖南邵陽·期末）已知是關(guān)于、的二元一次方程組的解，則_____．
【答案】-5
【分析】根據(jù)題意直接將x與y的值代入原方程組并解出a-b和a+b的值，進而利用平方差公式計算即可求出答案．
【解析】解：由題意將代入，∴，
∴．故答案為：-5．
【點睛】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解的定義以及運用平方差公式進行計算．
5．（2021·山東博興·初二期末）在實數(shù)范圍內(nèi)，下列多項式：(1)；(2)；(3)；(4)，其中能用平方差公式進行分解因式的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)平方差公式的特點：兩項平方項，符號相反；完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】（1）＝，所以可以；（2）＝，所以可以；
（3）＝，所以可以；（4），所以可以；
綜上可得，能用平方差公式進行分解因式的個數(shù)有4個．故選：D．
【點睛】考查了公式法分解因式，有兩項，都能寫成完全平方數(shù)的形式，并且符號相反，可用平方差公式分解因式．
6．（2020·江蘇沭陽·期中）閱讀理解以下文字：
我們知道，多項式的因式分解就是將一個多項式化成幾個整式的積的形式．通過因式分解，我們常常將一個次數(shù)比較高的多項式轉(zhuǎn)化成幾個次數(shù)較低的整式的積，來達到降次化簡的目的．這個思想可以引領(lǐng)我們解決很多相對復(fù)雜的代數(shù)問題．
例如：方程就可以這樣來解：
解：原方程可化為
所以或者．
解方程，得
所以解為，．
根據(jù)你的理解，結(jié)合所學(xué)知識，解決以下問題：
（1）解方程：；（2）解方程：；
（3）已知的三邊長為，，，請你判斷代數(shù)式的值的符號．
【答案】（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）見解析
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得兩個一元一次方程，可得方程的解；
（2）利用平方差公式分解因式，可得兩個一元一次方程，可得方程的解；
（3）將代數(shù)式變形后得：（y+4-x）（y+4+x），根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，則y2-8y+16-x2＞0
【解析】解：（1），∴，∴x=0或x-5=0，∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，∴（3x+3）（-x+3）=0，∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三邊長為4，x，y，∴x+y＞4，x+4＞y，∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，即代數(shù)式y(tǒng)2-8y+16-x2的值的符號為負號．
【點睛】本題考查了平方差公式分解因式、三角形的三邊關(guān)系，運用平方差公式是解題的難點，準確判斷三邊關(guān)系來求解．
7．（2021·思南縣張家寨初級中學(xué)期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式進行因式分解，那么k的值是（ ）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【答案】D
【分析】由題意可得x2＋kx＋25是完全平方式，然后根據(jù)完全平方式的特點解答即可．
【詳解】解：因為x2＋kx＋25可以用完全平方公式進行因式分解，
所以x2＋kx＋25=，所以．故選：D．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解和完全平方式，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題關(guān)鍵．
8．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)月考）關(guān)于的多項式的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式對代數(shù)式變形，再運用非負性求解即可．
【解析】解：原式＝
∵，，∴原式≥－1，∴原式的最小值為－1，故選A．
【點睛】本題考查完全平方公式的變形，以及平方的非負性，靈活運用公式是關(guān)鍵．
9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）下列各式因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)十字相乘法進行分解，即可作出判斷．
【解析】解：A、，故此選項正確；
B、，故此選項錯誤；
C、，故此選項錯誤；
D、，故此選項錯誤．故選：A．
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，熟練掌握十字相乘的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形狀是等邊三角形．
【分析】（1）認真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項式的結(jié)構(gòu)特點，合理分組運用完全平方公式后再整體運用平方差公式進行分解．（2）等式左邊的多項式拆開分組，構(gòu)造成兩個完全平方式的和等于0的形式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系即可．
【詳解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根據(jù)兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形狀是等邊三角形．
【點睛】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，綜合運用因式分解的幾種方法是重難點．
11．（2021·諸暨市浣江初級中學(xué)初一期中）請先閱讀下列文字與例題，再回答后面的問題：
當(dāng)因式分解中，無法直接運用提取公因式和乘法公式時，我們往往可以嘗試一個多項式分組后，再運用提取公因式或乘法公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．
例如：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（1）根據(jù)上面的知識，我們可以將下列多項式進行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【分析】（1）利用分組分解法結(jié)合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分組分解法結(jié)合提公因式法因式分解即可；
②利用分組分解法結(jié)合公式法因式分解即可；
【詳解】解：（1）()-()=-= ()()；
=()+()= +()=
故答案為：；；；；；；；；；；；；
（2）①==
②===
【點睛】此題考查的是因式分解，掌握利用分組分解法結(jié)合提公因式法和公式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵．
12．（2021·廣西興賓·初一期中）計算：的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)平方差公式把每個括號內(nèi)的式子分解因式，進一步計算乘法即得答案．
【詳解】
解：原式=
= = =．故選：B．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解和有理數(shù)的簡便運算，屬于?？碱}型，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵．
13．（2021·全國初二課時練習(xí)）運用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接運用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()當(dāng)作一個整體，運用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【詳解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式；熟練掌握十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項是解題關(guān)鍵．
14．（2021·湖南廣益實驗中學(xué)初二月考）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關(guān)于，的二次三項式來說，方法的關(guān)鍵是將項系數(shù)分解成兩個因數(shù)，的積，即，將項系數(shù)分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：
例：分解因式：
解：如圖1，其中，，而
所以

而對于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式

例：分解因式
解：如圖3，其中，，
而，，
所以

請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．
【詳解】解：（1）①如下圖，其中，
所以，；

②如下圖，其中，
而，
所以，；

（2）如下圖，其中，
而
或，
∴若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，的值為61或-82．

【點睛】本題考查的知識點是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．













重難點題型
題型1 因式分解概念及意義
【解題技巧】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解也可稱為分解因式。
1．（2021·貴州威寧彝族回族苗族自治縣·）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．
【詳解】解：A．，等式的左邊不是多項式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
B．，從左邊到右邊變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；
C．，右邊不是積的形式，故本選項不符合題意；
D．，從左邊到右邊變形是因式分解，故本選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵．
2．（2021·陜西蓮湖·八年級期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，可得答案．
【詳解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，選項不合題意；
B．左邊不是多項式，不是因式分解，選項不合題意；
C．把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，是因式分解，選項符合題意；
D．結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項不合題意．故選：C．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，注意結(jié)果是整式的乘積的形式，并且變形前后值不變．
3．（2021·河南八年級期末）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．然后對各選項逐個判斷即可．
【詳解】解：A、兩因式之間用加號連結(jié)，是和的形式不是因式分解，故本選項不符合題意；B、是因式分解，故本選項符合題意；
C、將積化為和差形式，是多項式乘法運算，不是因式分解，故本選項不符合題意；
D、兩因式之間用加號連結(jié)，是和的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵 ．
4．（2021·吉林鐵西·八年級期末）下列各式變形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式，可得答案．
【詳解】解：A、等式的右邊不是整式的積的形式，故A錯誤；
B、等式右邊分母含有字母不是因式分解，故B錯誤；
C、等式的右邊不是整式的積的形式，故C錯誤；D、是因式分解，故D正確；故選D．
【點睛】本題考查了因式分解的定義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積的形式．
5．（2021·安徽合肥·七年級期末）若多項式可分解為，且，，均為整數(shù)，則的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
把用多項式乘法計算出來對比原式，結(jié)合題中條件，分析的值．
【詳解】又
，，均為整數(shù)故選C．
【點睛】本題考查多項式的乘法，因式分解的概念，熟練多項式的乘法根據(jù)條件求出的值是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·濟寧市第十三中學(xué)八年級月考）多項式，則，的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運算，把展開，比較系數(shù)相等即可求出，的值．
【詳解】解：
∴-8=-(n+9)，m=9n，解得：，．故選：C．
【點睛】此題考查了因式分解與整式的乘法的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解與整式的乘法互為逆運算．
7．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)）在中，若有一個因式為，則k的值為（　　?。?br /> A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)因式分解的意義可設(shè)，再利用整式乘法計算后得，即可根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系求解．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，， ，解得，，．故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的意義，掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·河北灤南·）若多項式x2﹣mx+n可因式分解為（x+3）（x﹣4）．其中m，n均為整數(shù)，則m﹣n的值是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)多項式與多項式的乘法法則化簡(x+3)(x﹣4)，再與式x2﹣mx+n比較求出m，n的值，代入m﹣n計算即可．
【詳解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12，∴x2﹣mx+n= x2-x-12，
∴m=1，n=-12，∴m﹣n=1+12=13．故選A．
【點睛】本題考查了因式分解，以及多項式與多項式的乘法計算，熟練掌握因式分解與乘法運算是互為逆運算的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

題型2 提公因式法
【解題技巧】如果一個多項式的各項含有公因式，那末就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法
挖掘隱含公因式：有時，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時，最好能一次性提取完。
1．（2021·四川武侯·）把多項式a3b4﹣abnc因式分解時，提取的公因式是ab4，則n的值可能為（　?。?br /> A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】因公因式為多項式中各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，得n≥4，故A正確．
【詳解】解：∵多項式的公因式是各項的數(shù)字因式的最大公約數(shù)與同底數(shù)冪的最低次冪的乘積，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合題意，B、C、D不合題意．故選：A．
【點睛】本題主要考查提公因式法中公因式的找法，熟練掌握多項式公因式的找法是解題關(guān)鍵．
2．（2021·陜西榆林·八年級期末）用提公因式法分解因式時，應(yīng)提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)公因式的定義：一個多項式中每一項都含有的相同的因式，這個因式就叫做這個多項式的公因式，進行求解即可．
【詳解】觀察可知，這個多項式的每一項都含有，∴提取的公因式為，故選D．
【點睛】本題主要考查了公因式，解題 的關(guān)鍵在于能夠熟記公因式的定義．
3．（2021·西安益新中學(xué)八年級月考）將多項式提公因式后，另一個因式是（　?。?br /> A．﹣a+2b B．a(chǎn)﹣2b C．a(chǎn)+2b D．a(chǎn)+b
【答案】C
【分析】提公因式進行分解即可．
【詳解】解：，則另一個因式是：．故選：C．
【點睛】本題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是正確確定公因式．
4．（2021·濟寧市第十三中學(xué)八年級月考）將多項式提出公因式后，另一個因式為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)提公因式法即可求解．
【詳解】=故答案為：．
【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知提公因式法的運用．
5．（2021·廣西寧明·七年級期末）因式分解： ___________．
【答案】
【分析】利用提公因式法分解即可．
【詳解】解：故答案為：
【點睛】此題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
6．（2021·湖南荷塘·七年級期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根據(jù)提公因式因式分解求解即可．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，正確找出公因式是解本題的關(guān)鍵．
7．（2021·沈陽實驗中學(xué)）分解因式：______
【答案】
【分析】利用提公因式法進行解題，即可得到答案．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法進行解題．
8．（2021·河北玉田·）已知，，則的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】首先將 變形為，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，∴ ，故選：B．
【點睛】本題考查提公因式法因式分解，解題關(guān)鍵是準確找出公因式，將原式分解因式．
9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：
【答案】
【分析】觀察各項找出公因式，利用提公因式法進行分解即可．
【解析】==．
【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，正確確定出公因式是解本題的關(guān)鍵．
10．（2020·山東單縣·初一期末）已知，則代數(shù)式的值為____________．
【答案】-8
【分析】直接提取公因式將原式變形進而整體代入已知得出答案．
【解析】∵，∵， ∴，
又，∴原式=2×(-4)=-8．故答案為：-8．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及提取公因式法分解因式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．

題型3 運用公式法
【解題技巧】若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.
平方差公式a2_b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
利用完全平方公式分解因式時，要求被分解的多項式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項必須是單項式平方的形式，準確地找到中間項時正確分解的關(guān)鍵，中間項的符號決定了分解結(jié)果的運算符號。
1）平方差公式的應(yīng)用
1．（2021·浙江杭州·）下列各式在整式范圍內(nèi)可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項；符號相反．
【詳解】解：A、a2+b2兩平方項符號相同，不能用平方差公式分解因式，故本選項不合題意；
B、-a2+b2符合平方差公式的特點，可用平方差公式分解因式，符合題意；
C、-a2-b2兩平方項符號相同，不能用平方差公式分解因式，故本選項不合題意．
D、-a2-4b中，b不能表示成一個有理數(shù)的平方，不能在有理數(shù)范圍內(nèi)用平方差公式分解因式，故本選項不合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2021·廣東福田·八年級期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式： ，進而分解因式判斷即可．
【詳解】A、，無法分解因式，故此選項不合題意；
B、，能用平方差公式分解，故此選項符合題意；
C、，無法分解因式，故此選項不合題意；D、，無法分解因式，故此選項不合題意．故選B．
【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
3．（2021·浙江杭州·七年級期中）下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，兩個平方項，并且符號相反，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特點，不能用平方差公式進行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特點，能用平方差公式進行因式分解；
C、2x2+2的兩平方項符號相同，不能用平方差公式進行因式分解；
D、x3-y3是兩個立方項，不能用平方差公式進行因式分解．故選：B．
【點睛】本題考查平方差公式進行因式分解，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是求解的關(guān)鍵．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4．（2021·河南汝州·八年級期末）下列不能使用平方差公式因式分解的是（　　）
A．﹣16x2+y2 B．b2﹣a2 C．﹣m2﹣n2 D．4a2﹣49n2
【答案】C
【分析】根據(jù)平方差公式：，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C，，不能利用平方差公式分解因式，故此選項符合題意；
D、，故此選項不符合題意；故選C．
【點睛】本題主要考查了用平方差公式分解因式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平方差公式．
5．（2021·重慶實驗外國語學(xué)校九年級）分解因式：__．
【答案】
【分析】因式分解是將一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式，本題可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化簡，即可得到正確答案．
【詳解】解：
【點睛】本題考查因式分解的化簡，根據(jù)相關(guān)知識點解題是關(guān)鍵．
6．（2021·浙江鹿城·溫州市教育教學(xué)研究院九年級）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式．
【詳解】解：（n+3）（n-3），故答案為：（n+3）（n-3）．
【點睛】此題考查因式分解，正確掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·吉林長春外國語學(xué)校）分解因式：______．
【答案】（1—m）（1+m）
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：（1—m）（1+m）故答案為：（1—m）（1+m）
【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，注意因式分解要徹底．
8．（2021·江西九江·七年級期末）若，且，則______．
【答案】5
【分析】將m2-n2按平方差公式展開，再將m-n的值整體代入，即可求出m+n的值．
【詳解】解：，∵，∴．故答案為：5．
【點睛】本題主要考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟知平方差公式的逆用．

2）完全平方公式的應(yīng)用
1．（2021·廣西興賓·）已知下列多項式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式進行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式的特點逐一判斷即得答案．
【詳解】解：與不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式進行因式分解；
，故②能用完全平方公式進行因式分解；
，故④能用完全平方公式進行因式分解；故選：C．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于基本題型，熟練掌握完全平方公式的特點是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·全國七年級專題練習(xí)）下列各式不能運用公式法進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)公式法因式分解，逐項分析即可．
【詳解】A. ，能因式分解，不符合題意；
B. ，能因式分解，不符合題意；
C. 不能因式分解，符題意；
D. ，能因式分解，不符合題意．故選C
【點睛】本題考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·廣東八年級專題練習(xí)）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式逐項判斷即可得．
【詳解】A、，其中不滿足完全平方公式，此項不符題意；
B、，其中不滿足完全平方公式，此項不符題意；
C、，此項符合題意；
D、不滿足完全平方公式，此項不符題意；故選：C．
【點睛】本題考查了利用完全平方公式法分解因式，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．
4．（2021·湖南漣源·七年級月考）因式分解______．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：==
【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關(guān)鍵．
5．（2021·湖南廣益實驗中學(xué)九年級月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提出公因式 ，再利用完全平方公式進行因式分解，即可求解．
【詳解】解：．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握因式分解的方法，并根據(jù)多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)八年級開學(xué)考試）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【詳解】原式==，故答案是：．
【點睛】本題主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

3）綜合應(yīng)用
1．（2021·鶴壁市淇濱中學(xué)八年級期中）下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的個數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據(jù)完全平方公式進行判斷．
【詳解】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解-運用公式法：如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
2．（2021·浙江上虞·）下列多項式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)公式法的特點即可分別求解．
【詳解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故選C．
【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知乘方公式的特點．
3．（2021·雅安天立學(xué)校八年級月考）下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
【答案】C
【分析】利用平方差公式，完全平方公式判斷即可．
【詳解】解：A. 4x2+1，兩個平方項，符號相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有兩個平方項，沒有二倍項，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，兩個平方項，符號相同，不能因式分解；故選：C．
【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
5．（2021·山東茌平·七年級期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（　?。?br /> A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】根據(jù)每個多項式的特征，結(jié)合平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，綜合進行判斷即可．
【詳解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的結(jié)果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
綜上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解-運用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是應(yīng)用的前提．
5．（2021·江蘇金壇·七年級期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分組，然后根據(jù)公式法因式分解．
【詳解】．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分組分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·河北安國·八年級期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解計算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】; 22020．
【分析】先分組利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）計算括號內(nèi)的即可．
【詳解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案為；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案為22020．
【點睛】本題考查分組法因式分解，以及因式分解應(yīng)用計算，掌握分組法因式分解方法，會利用因式分解應(yīng)用計算是解題關(guān)鍵．

題型4 分組分解法
【解題技巧】當(dāng)一個多項式既不能提公因式，又不能運用公式分解，且這個多項式的項數(shù)在4項或4項以上時，可以考慮將這個多項式分組，進行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。
1．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：
分解因式：．
因為，設(shè)．
比較系數(shù)得，．解得．所以．
解答下面問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再設(shè)，比較系數(shù)得到，解方程組即可求解．
【詳解】解：
設(shè)
比較系數(shù)得，，解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查分組分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
2．（2021·全國八年級課時練習(xí)）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多項式①；②；③；④中，能用分成三項一組和一項一組的方法分解因式的是（只寫式子序號）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先將式子中的項進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行分解即可；
（2）先將式子中的項進行分組，再提取公因式和平方差公式進行因式分解即可；
（3）對每個式子進行因式分解，判定即可．
【詳解】解：（1）
故答案為：、3、、、
（2）
故答案為：、、、、、、
（3）①，不能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，不符合題意；
②，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
③，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
④，能用分成三項一組和一項一組的方法進行分解因式，符合題意；
故答案為：②，③，④
【點睛】此題考查了因式分解的方法，涉及了分組分解法、公式法、提取公因式法，熟練掌握因式分解的有關(guān)方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·四川渠縣·八年級期末）因式分解：．
【答案】（x-y+5）（x-y-5）
【分析】根據(jù)分組分解法的法則原則將x2-2xy+y2為一組，-25為一組，再利用完全平方公式、平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】解：原式=（x2-2xy+y2）-25=（x-y）2-52=（x-y+5）（x-y-5）．
【點睛】本題考查分組分解法分解因式，掌握分組分解法的分組原則，即因式分解在組內(nèi)能進行，在組與組之間也能進行，是正確解答的關(guān)鍵．
4．（2021·利辛縣第四中學(xué)）分解因式：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式xy,然后再運用公式法分解即可；
（2）采用分組法、再運用平方差公式因式分解即可．
【詳解】解：（1）=）=；
（2）==．
【點睛】本題主要考查了因式分解，掌握分組法、提取公因式法和公式法是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2021·江西撫州·八年級期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．
例1：“兩兩分組”：
解：原式


例2：“三一分組”：
解：原式


歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．請同學(xué)們在閱讀材料的啟發(fā)下，解答下列問題：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三邊滿足，試判斷的形狀．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①將原式進行分組，然后再利用提取公因式法進行因式分解；②將原式進行分組，然后利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解；（2）將原式進行分組，然后利用平方差公式和提公因式法進行因式分解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系和多項式乘法的計算法則分析判斷．
【詳解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三邊，，，
，，即是等腰三角形．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解題關(guān)鍵．
6．（2021·石家莊市第二十一中學(xué)八年級期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
（1）分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：
例1．
例2．
（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．
請你仿照以上例題的方法，解決下列問題：
（1）分解因式：；（2）分解因式：．
【答案】（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【分析】（1）將前兩項利用平方差公式分解因式，進而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆項法分解因式得出答案．
【詳解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1=a2-1+4a+4=（a+1）（a-1）+4（a+1）=（a+1）（a-1+4）=（a+1）（a+3）
【點睛】此題主要考查了拆項法以及分組分解法分解因式，讀懂材料并理解所給做法是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·山東薛城·八年級期末）整式乘法與多項式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．
例如，是單項式乘多項式的法則；把這個法則反過來，得到，這是運用提取公因式法把多項式因式分解．
又如、是多項式的乘法公式；把這些公式反過來，得到、，這是運用公式法把多項式因式分解．
有時在進行因式分解時，以上方法不能直接運用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進行的因式分解．
甲：
（分成兩組）
（分別提公因式）

乙：
（分成兩組）
（運用公式）

請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解
問題一：因式分解：
（1）；
（2）．
問題二：探究
對、定義一種新運算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當(dāng)時，對任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關(guān)系．
【答案】問題一：因式分解：（1）（2）；問題二：探究，的數(shù)量關(guān)系．
【分析】問題一：因式分解：（1）按系數(shù)成比分組提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理為即可；（2）按完全平方公式分組然然后利用公式變形為再利用平方差公式因式分解即可；
問題二：探究:先求，再求，由，可得，合并同類項，由，對任意有理數(shù)、都成立，可得即可．
【詳解】解：問題一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
問題二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，對任意有理數(shù)、都成立，∴，∴，的數(shù)量關(guān)系．
【點睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實數(shù)運算，利用因式分解與多項式乘法之間關(guān)系，掌握分
組因式分解的方法，利用因式分解與多項式乘法之間關(guān)系，構(gòu)造恒等式找出m與n關(guān)系是解題關(guān)鍵．
8．（2021·安徽馬鞍山·七年級期末）（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：．
①分解因式：；②若都是正整數(shù)且滿足，求的值；
（2）若為實數(shù)且滿足，，求的最小值．
【答案】（1）①；②8；（2）
【分析】（1）①根據(jù)題意分組分解即可；②根據(jù)①的結(jié)論可得，進而根據(jù)都是正整數(shù)，列二元一次方程組解決問題；（2）先將利用分組分解法因式分解，再將已知條件整體代入，化為完全平方式，最后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定的最小值．
【詳解】解：（1）①
②由題即
∵為正整數(shù)且∴即 ∴
（2）由題
∴
∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
經(jīng)驗證當(dāng)時滿足綜上，的最小值為．
【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，分組分解法因式分解，二元一次方程組，非負數(shù)的性質(zhì)，整體代入是解題的關(guān)鍵．

題型5 十字相乘法
1．（2021·陜西金臺·八年級期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令xy＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2
上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；
①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【詳解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②設(shè)B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【點睛】本題考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
2．（2021·重慶北碚·西南大學(xué)附中八年級開學(xué)考試）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【詳解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【點睛】此題考查了十字相乘法，提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解時要分解到每一個因式再也不能分解為止．
3．（2021·湖南岳陽·七年級期末）閱讀理解題
由多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可進行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多項式的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和．
（1）嘗試：分解因式：（______）（______）；
（2）應(yīng)用：請用上述方法將多項式：、進行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根據(jù)“常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”進行因式分解即可．
【詳解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案為：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是理解“常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和”．
4．（2021·湖南雨花外國語學(xué)校）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．
（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．
（2）請你試一試在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【點睛】本題主要考查學(xué)生因式分解的知識及學(xué)以致用的能力，掌握因式分解結(jié)合題意并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·湖南廣益實驗中學(xué)初二月考）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關(guān)于，的二次三項式來說，方法的關(guān)鍵是將項系數(shù)分解成兩個因數(shù)，的積，即，將項系數(shù)分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：
例：分解因式：
解：如圖1，其中，，而
所以

而對于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式
例：分解因式
解：如圖3，其中，，
而，，
所以
請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．
【解析】解：（1）①如下圖，其中，
所以，；

②如下圖，其中，
而，
所以，；

（2）如下圖，其中，而
或，
∴若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，的值為61或-82．
【點睛】本題考查的知識點是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．
7．（2020·陜西鳳翔·初一期中）計算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】運用十字相乘的方法來分解即可．
【解析】解：=（x-6）（x+1）故選D
【點睛】本題考查了運用十字相乘的方法來分解因式，熟練掌握該方法是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2020·長春市第四十七中學(xué)月考）分解因式________________．
【答案】
【分析】把-4寫成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3∴．故答案為：
【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．
9．（2020·四川內(nèi)江·中考真題）分解因式：_____________
【答案】
【分析】先根據(jù)十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【解析】
故答案為：．
【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的方法．
10．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）因式分解：
【答案】
【分析】將（x-y）當(dāng)做一個整體，發(fā)現(xiàn)-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法進行分解即可．
【解析】=．
【點睛】本題考查了利用十字相乘法進行因式分解，對二次三項式進行因式分解時，若無法使用公式法和提取公因式法因式分解，則考慮使用十字相乘法分解．本題中注意整體思想的運用．
11．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)初一課時練習(xí)）已知，且，都是正整數(shù)，試求，的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】運用十字相乘法對等式的左邊進行因式分解，再根據(jù)，的值均是正整數(shù)進行討論即可得出答案．
【解析】∵，且，都是正整數(shù) ∴是正整數(shù)，是整數(shù)，
又∵，7是正整數(shù)，∴，均是正整數(shù)，
又∵7=7×1，∴或，解得，
解得（不符合題意，舍去）所以x=3，y=2．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握十字相乘法分解因式并確定出關(guān)于x、y的方程組是解題的關(guān)鍵．
題型6 利用因式分解判斷三角形
1．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解方法叫作分組分解．
例如：．
利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）分解因式：；
（2）三邊滿足，判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）為等腰三角形．理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意分組分解，再用提公因式法因式分解；（2）將等式的左邊分組分解，再用提公因式法因式分解，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得進而判斷三角形的形狀．
【詳解】解：（1）．
（2）為等腰三角形．理由如下：
∵，∴，∴．
∵，，為三邊，∴，∴，即，∴為等腰三角形．
【點睛】本題考查了分組分解法，提公因式法因式分解，三角形三邊關(guān)系，掌握提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·陜西蓮湖·八年級期末）閱讀下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項數(shù)多于3的多項式只單純用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解．過程如下：，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決問題：（1）分解因式：．
（2）已知，，為的三邊，且，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）等腰三角形，見解析
【分析】（1）先將代數(shù)式進行分組，然后再根據(jù)公式法和提取公因式法進行因式分解即可；
（2）對等式進行因式分解，求得，即可判定．
【詳解】解：（1）原式．
（2）是等腰三角形．
理由：，，，．
∵，∴，即，∴是等腰三角形．
【點睛】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，綜合運用因式分解的幾種方法是重難點．
3．（2020·湖南天元·建寧實驗中學(xué)初一開學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了。
過程為：；
這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等邊三角形
【分析】（1）首先將前三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形狀是等腰三角形或等邊三角形．
【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵．
4.（2020?徐聞縣期中）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】先根據(jù)完全平方公式進行變形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【答案】△ABC是等邊三角形．
證明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和完全平方公式、因式分解，能根據(jù)完全平方公式得出（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0是解此題的關(guān)鍵．
5．（2020·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項式只用上述方法就無法分解,如,我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn),前兩項符合平方差公式,后兩項可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了,過程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．
【答案】（1）；（2）△ABC的形狀是等腰三角形；
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進行分解，再根據(jù)平方差公式分解即可；
（2）先從中提取公因式，從中提取公因式，再提取它們的公因式，最后根據(jù)，判斷出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形狀是等腰三角形.
【點睛】本題主要考查因式分解及應(yīng)用，熟練運用分組分解法是關(guān)鍵.
6．（2020·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．
利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由見解析．
【分析】(1)前三項符合完全平方公式，再和最后一項應(yīng)用平方差公式分解因式即可．
(2)前兩項、后兩項均可提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，據(jù)此把a2-ab-ac+bc分解因式，進而判斷出△ABC的形狀即可．
【解析】解：(1)原式，故答案為．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC為等腰三角形．故答案為等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．
7．（2020·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形狀是等邊三角形．
【分析】（1）認真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項式的結(jié)構(gòu)特點，合理分組運用完全平方公式后再整體運用平方差公式進行分解．（2）等式左邊的多項式拆開分組，構(gòu)造成兩個完全平方式的和等于0的形式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根據(jù)兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形狀是等邊三角形．
【點睛】本題考查了用分組分解法對超過3項的多項式進行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，綜合運用因式分解的幾種方法是重難點．
8.（2020?東營期中）已知a，b，c為△ABC的三條邊，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，則該△ABC是什么三角形？
【分析】把a2+b2+c2＝ab+ac+bc的兩邊乘2，然后分類利用完全平方公式各自因式分解，進一步利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b、c三邊之間的關(guān)系解決問題．
【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0
∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．
【點睛】此題考查利用完全平方公式因式分解和非負數(shù)的性質(zhì)解決問題，要根據(jù)所給的條件靈活運用．

題型7 利用因式分解求值
1．（2020·樹德中學(xué)都江堰外國語實驗學(xué)校期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先對原式運用平方差公式進行因式分解，然后再整體代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【點睛】本題主要考查了應(yīng)用平方差公式進行因式分解和整體代入法，能夠正確的進行因式分解是解題的關(guān)鍵.
2．（2021·浙江瑞安·開學(xué)考試）若是方程組的解，則代數(shù)式的值是_______．
【答案】35
【分析】根據(jù)題意可得，再利用因式分解代入計算即可．
【解析】解：∵ 是方程組的解，∴ ，
∴ ，故填：35．
【點睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義．以及因式分解，利用整體法求代數(shù)式的值．
3．（2020·沭陽縣修遠中學(xué)初一期末）已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（　?。?br /> A． B．或 C．1 D．1或11
【答案】D
【分析】此題先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再結(jié)合a、b、c是正整數(shù)和a＞b探究它們的可能值，從而求解．
【解析】解：根據(jù)已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整數(shù)，∴a－c＝1或a－c＝11，故選D．
【點睛】此題考查了因式分解；能夠借助因式分解分析字母的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2021·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．
【答案】3
【分析】根據(jù)a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案為：3．
【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．
5．（2020·貴陽市白云區(qū)南湖實驗中學(xué)初二期末）已知，，則代數(shù)式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根據(jù)，，求出a-c=-1，再將多項式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案為：-3.
【點睛】此題考查多項式的化簡求值，掌握多項式的因式分解的方法：分組分解法和提公因式法是解題的關(guān)鍵.
6.（2021?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由題意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz變形為（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入計算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、完全平方公式的運用；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2020·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由題意分析a，b是相互獨立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項，a決定因式含x的一次項系數(shù)；利用多項式相乘的法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x2＋ax＋b，甲看錯了b，但a是正確的，
他分解結(jié)果為(x＋2)(x＋4)＝x2＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看錯了a，?分解結(jié)果為
(x＋1)(x＋9)＝x?2?＋10x＋9，∴b＝9，故答案為：－3.
【點睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運算．是中考中的常見題型．此題主要考查了因式分解的意義，根據(jù)已知分別得出a，b的值是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2020·山西陽泉·初二期末）請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)．

任務(wù):（1）利用上述方法推導(dǎo)立方和公式 (從左往右推導(dǎo))；
（2）已知,求的值．
【答案】（1）推導(dǎo)見解析；（2），．
【分析】（1）應(yīng)用添項辦法進行因式分解可得:;（2）根據(jù)配方法和立方差公式可得.
【解析】解:

解：



【點睛】考核知識點：因式分解應(yīng)用.靈活運用因式分解方法轉(zhuǎn)化問題是關(guān)鍵.
9.（2021?鯉城區(qū)校級期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
【分析】（1）將已知的兩個式子相減可得b﹣c＝2，則所求式子可化為5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）將所求式子利用完全平方公式化為a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再將（1）的式子代入即可．
【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，∴b﹣c＝3﹣1＝2，∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．
【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；理解題意，將已知式子進行合理的變形，再運用因式分解進行求解是解題的關(guān)鍵．

題型8 因式分解的應(yīng)用
解題技巧：因式分解知識方法應(yīng)用與人們?nèi)粘Ｉ罹o密聯(lián)系，解決應(yīng)用型問題，常用提公因式法、運用公式法等，并且我們要注意需符合實際要求。
1．（2020·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長分別是a、b，長方形紙片乙的長和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個新的正方形，拼成的不同正方形的個數(shù)為_____．

【答案】3
【分析】根據(jù)正方形的面積結(jié)合因式分解進行拼圖即可解決問題．
【解析】解：如圖所示：

共有3種不同的正方形．故答案為3．
【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出甲、乙、丙的面積，然后結(jié)合正方形的面積進行拼圖即可．
2.（2021?乳山市期中）【閱讀材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
【問題解決】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．
【分析】（1）將x﹣y看做整體，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）將a+b看做整體，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先計算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再將n2+3n看做整體因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，繼而由n2+3n+1為正整數(shù)可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1為正整數(shù)．
∴代數(shù)（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．
【點睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用整體思想和十字相乘法與完全平方公式因式分解的能力．
3．（2020·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的例題．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
為什么要對2n2進行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，且滿足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周長．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周長為16或17.
【分析】（1）先利用分組法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分組法分解因式，求得ab的值，再根據(jù)等腰三角形確定邊長，最后求出周長即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2?＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三邊長，∴當(dāng)a=c=5時，△ABC的周長為5+5+6=16，
當(dāng)b=c=6時，△ABC的周長為5+6+6=17，故△ABC的周長為16或17．
【點睛】本題考查了分組法分解因式以及等腰三角形的周長，注意拆項是分組法分解因式的關(guān)鍵．
4．（2020·河南鄭州外國語中學(xué)初二期中）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式進行因式分解的過程.
解：設(shè)
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的__________（填代號）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求，該多項式分解因式的最后結(jié)果為______________．
（3）請你模仿以上方法對多項式進行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）從解題步驟可以看出該同學(xué)第二步到第三步運用了兩數(shù)和的完全平方公式；（2）對第四步的結(jié)果括號里的部分用完全平方公式分解，再用冪的乘方計算即可．（3）模仿例題設(shè)，對其進行換元后去括號，整理成多項式，再進行分解，分解后將A換回，再分解徹底即可．
【解析】（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C
（2）原式==故答案為：
（3）設(shè)．


【點睛】本題考查的是因式分解，解題關(guān)鍵是要能理解例題的分解方法并能進行模仿，要注意分解要徹底．
5．（2020·重慶月考）仔細閱讀下列解題過程：
若，求的值．
解：

根據(jù)以上解題過程，試探究下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（2）首先把第2項裂項，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得代入求得數(shù)值；（3）先把代入，得到關(guān)于和 的式子，再仿照（1）（2）題．
【詳解】解：（1）

（2）

（3）


【點睛】本題考查的分組分解法、配方法和非負數(shù)的性質(zhì)，對于項數(shù)較多的多項式因式分解，分組分解法是一個常用的方法. 首先要觀察各項特征，尋找熟悉的式子，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是基礎(chǔ).
6．（2020·沙坪壩·重慶八中課時練習(xí)）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，那么規(guī)定正整數(shù)為“四季數(shù)”，例如：64是4的倍數(shù)，所以64是“四季數(shù)”．
（1）已知正整數(shù)是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，求證：是“四季數(shù)”；
（2）已知一個兩位正整數(shù)（，其中，為自然數(shù)），將其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，得到新數(shù)，若與的差是“四季數(shù)”，請求出所有符合條件的兩位正整數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)），根據(jù)P是任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差得出p的值，利用因式分解變形即可得出答案；（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n為整數(shù)），用含n的式子表示出y-x，再根據(jù)x，y的范圍及“四季數(shù)”的定義可得答案．
【解析】解：（1）證明：設(shè)任意兩個連續(xù)偶數(shù)為2n和2n+2（n≥0，且為整數(shù)）
則p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且為整數(shù)，∴2n+1必為正整數(shù)，∴4(2n+1)一定是4的倍數(shù)，∴P是“四季數(shù)”；
（2）由題意得：m=10y+x，則m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n為整數(shù))，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y為自然數(shù)，∴1≤y-x≤8，
當(dāng)n=9時，y-x=4，∴，，，，；
當(dāng)n=18時，y-x=8，∴．∴所有符合條件的兩位正整數(shù)k有：15，26，37，48，59，19．
【點睛】本題考查了因式分解在新定義習(xí)題中的證明及其計算，讀懂定義，是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·南陽市第三中學(xué)月考）閱讀材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足=0，
關(guān)于此三角形的形狀的以下命題：①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正確命題的序號為________________．
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求△ABC的周長．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化簡后，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值即可；
（2）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出，進行判斷即可.
（3）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，進而確定出三角形周長．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案為2；0；
(2)∵

①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．都正確.
故答案為①②③④
(3)∵ ∴ ∴
則a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三邊關(guān)系可知，三角形三邊分別為1、3、3，
則△ABC的周長為1+3+3=7．
【點睛】考查因式分解的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和為0，則它們都為0.
8．（2020·邵東創(chuàng)新實驗學(xué)校初一期中）先閱讀下列解答過程，然后再解題．
例：已知多項式2x3﹣x2+m有一個因式是2x+1，求m的值．
解法一：設(shè)2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x 2+ax+b），
則2x 3﹣x2+m＝2x 3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比較系數(shù)得，解得，∴m＝．
解法二：設(shè)2x3﹣x2+m＝A?（2x+1）（A為整式）
由于上式為恒等式，為方便計算了取x＝﹣，2×（﹣）3﹣（﹣）2+m＝0，故m＝．
（1）已知多項式2x3﹣2x2+ m有一個因式是x+2，求m的值．
（2）已知x 4+ m x3+ n x﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】（1）m＝24；（2）m＝﹣5，n＝20．
【分析】（1）設(shè)2x3﹣2x2+m＝A?（x+2）（A為整式），由于是恒等式，則取x=-2，代入即可解答；
（2）設(shè)x4+mx3+nx﹣16＝A?（x﹣1）（x﹣2）（A為整式），由于是恒等式，則取x=1和x=2，代入即可解答．
【解析】解：（1）∵多項式2x3﹣2x2+m有一個因式是x+2，
∴設(shè)2x3﹣2x2+m＝A?（x+2）（A為整式）
由于上式為恒等式，為方便計算取x＝﹣2，
2×（﹣2）3﹣2×（﹣2）2+m＝0，故m＝24；
（2）∵x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），
∴設(shè)x4+mx3+nx﹣16＝A?（x﹣1）（x﹣2）（A為整式）
由于上式為恒等式，為方便計算取x＝2和x＝1，
代入得：24+m×23+2n﹣16＝0，14+m×13+n﹣16＝0，解得：m＝﹣5，n＝20．
【點睛】本題考查了因式分解的意義以及分解因式等知識點，弄懂題意、理解所給解答方法是求解本題的關(guān)鍵.
9．（2020·江蘇灌云·月考）（閱讀材料）
把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；由于(x+3) 2≥0，所以(x+3) 2+2≥2，即x2+6x+11的最小值為2．
請根據(jù)上述材料解決下列問題：
(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；(3)用配方法因式分解：x4+4；(4)求4x2+4x+3的最小值．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4)
【分析】(1)由 從而可得答案；
(2)由化為兩數(shù)的平方差，再利用平方差公式分解，從而得答案；
(3)由化為兩數(shù)的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化為一個非負數(shù)與一個常數(shù)的和，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求解最小值即可．
【解析】解：(1) 故答案為：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
【點睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，同時考查了完全平方公式與平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解題的關(guān)鍵．
10．（2020·河北邢臺·初三二模）如果都是非零整數(shù)，且，那么就稱是“4倍數(shù)”．
（1）30到35之間的“4倍數(shù)”是_________，小明說：是“4倍數(shù)”，嘉淇說：也是“4倍數(shù)”，他們誰說的對？____________．
（2）設(shè)是不為零的整數(shù)．①是___________的倍數(shù)；②任意兩個連續(xù)的“4倍數(shù)”的積可表示為____________，它_____________（填“是”或“不是”）32的倍數(shù)．
（3）設(shè)三個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)是（是整數(shù)），寫出它們的平方和，并說明它們的平方和是“4倍數(shù)”．
【答案】（1）32；小明；（2）①2；②或；是.（3）三個連續(xù)偶數(shù)為，，，說明見解析.
【分析】（1）32是4的倍數(shù)；利用平方差公式和完全平方公式求出，的值即可判斷；（2）①與是一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，所以是2的倍數(shù)；②找出兩個連續(xù)的“4倍數(shù)”求積即可，再根據(jù)結(jié)果判斷是否是32倍數(shù)即可；（3）求三個連續(xù)偶數(shù)為，，得平方和即可．
【解析】解：（1）30到35之間的“4倍數(shù)”是32；=,可見是“4倍數(shù)”，所以小明說的對．
（2）①與是一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，所以是2的倍數(shù)；
②==，即或；
中與是一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，所以是2的倍數(shù)，則是32的倍數(shù)．
（3）三個連續(xù)偶數(shù)為，，．

∵為整數(shù)，∴是“4倍數(shù)”.
【點睛】本題用公式法進行因式分解以及整式的化簡在找規(guī)律中的應(yīng)用，靈活應(yīng)用法則是解答此題的關(guān)鍵．


相關(guān)試卷

考點02 整式乘法與乘法公式-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點02 整式乘法與乘法公式-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點02整式乘法與乘法公式原卷版docx、考點02整式乘法與乘法公式解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共78頁， 歡迎下載使用。

考點02 分式方程及其應(yīng)用-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點02 分式方程及其應(yīng)用-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點02分式方程及其應(yīng)用原卷版docx、考點02分式方程及其應(yīng)用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

考點01 冪的相關(guān)運算-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點01 冪的相關(guān)運算-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點01冪的相關(guān)運算原卷版docx、考點01冪的相關(guān)運算解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共46頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

考點01 分式的性質(zhì)與運算-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版）

考點01 分式的性質(zhì)與運算-八年級數(shù)學(xué)上冊高頻考點專題突破（人教版）
期末押題測試卷（二）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）

期末押題測試卷（二）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）
期末押題測試卷（三）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）

期末押題測試卷（三）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）
期末押題測試卷（一）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）

期末押題測試卷（一）-【高頻考點】最新八年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（人教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部