?考點01 軸對稱與等腰三角形
知識框架

基礎知識點
知識點1-1 軸對稱圖形與軸對稱的概念
1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁部分折疊后能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。
注：①對稱軸必須是一條直線 例：太極圖不是對稱圖形
②對稱圖形是一幅圖 例 不是 是
③軸對稱，對稱軸可將圖形分為兩個全等部分，但被對稱軸分為全等兩個部分的圖形不一定是對稱圖形。（即僅翻折，平移、旋轉不可）
例：
3）軸對稱：將一個圖形沿某一條直線折疊，它能與另一圖形重合。我們稱這兩個圖形關于這條直線（成軸）對稱。這條直線叫作對稱軸。折疊后重合的點叫作對應點
注：①對稱軸必須是直線；②對稱圖形是兩幅圖形；③軸對稱的兩個圖形一定全等，但全等的兩個圖形不一定軸對稱
1．（2021·重慶八中七年級期末）下列各城市地鐵標志中，軸對稱圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·揚州中學教育集團樹人學校九年級三模）橫撇豎捺，構架成一個個文字，在下列表示生肖的方塊字中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江蘇九年級二模）二十四節(jié)氣是歷法中表示自然節(jié)律變化以及確立“十二月建”的特定節(jié)令，下面四幅設計作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（2021·河北七年級期末）下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．趙爽弦圖 B．費馬螺線
C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線
5．（2021·四川成都市·七年級期中）下列圖形中,是軸對稱圖形的有（ ）個．
①角;②線段;③等腰三角形;④等邊三角形;⑤一般三角形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2021·江蘇九年級二模）如圖的四個圖案中，具有一個共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿足上述性質(zhì)的是（ ）

A．212 B．444 C．535 D．808

知識點1-2 圖形軸對稱的性質(zhì)
1）垂直平分線（中垂線）：經(jīng)過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線
2）中垂線的畫法：（尺規(guī)）
原理：AC=BC=BD=AD△ACD≌△BCD∠ACO=∠BCO△ACO≌△BCO
AO=OB且∠COA=∠COB=90°CD為AB的中垂線
3）畫2個軸對稱圖形，連接對應點，尋找規(guī)律
①軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的中垂線
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的中垂線
4）確定對稱軸的方法：找出一組對應點，連線后作中垂線即為對稱軸（軸對稱圖形或抽對稱的兩個圖形都適用）
1．（2021·四川石室初中八年級期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，P為MN上任一點（A、P、A′不共線），下列結論中錯誤的是（ ）

A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC與△A′B′C′面積相等 D．直線AB，A′B′的交點不一定在直線MN上
2．（2021·江蘇南通市·九年級一模）如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，△ABD與△ADB’關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B’，若∠B’AC＝14°，則∠B的度數(shù)為 （ ）

A．38° B．48° C．50° D．52°
3．（2021·河南七年級期末）如圖，點P在內(nèi)部，點E，F(xiàn)分別是點P關于直線，的對稱點，若，則______．

4．（2020·河南鄭州市·八年級月考）如圖所示，在四邊形中，邊與關于對稱，則下面結論錯誤的是（ ）

A．平分 B． C．平分 D．平分
5．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）下列說法正確的是（　　?。?br /> A．如果兩個三角形全等，則它們是關于某條直線成軸對稱的圖形
B．如果兩個三角形關于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形
C．等邊三角形是關于一條邊上的中線成軸對稱的圖形
D．一條線段是關于經(jīng)過該線段中點的中線成軸對稱的圖形
6．（2021學年七年級數(shù)學下學期期末專項復習）如圖，△ABC中，C、C′關于AB對稱，B、B′關于AC對稱，D、E分別在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于點F，若∠BFD＝α，∠BAC＝β，則α與β之間的關系為（ ）

A．2β＋α＝180° B．α＝2β C．α＝ D．α＝180°﹣

知識點1-3 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定
1）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
PA=PB
2）判定：到一條直線兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
3）三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點
外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點的距離相等
1．（2021·河北保定市·八年級期末）內(nèi)一點到三邊距離相等，則點一定是（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點
C．三條高的交點 D．三條中線的交點
2．（2021·河北保定市·八年級期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，，若的周長為，，則的周長為（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·四川成都鐵路中學八年級期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點P是三個內(nèi)角平分線的交點，點O是三邊垂直平分線的交點，當P、O同時在不等邊△ABC的內(nèi)部時，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關系是___．

4．（2021·江西八年級期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于點，交于點，點是直線上的一個動點，若，則的最小值為（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2021·山東濟南市·七年級期末）如圖，在中，，分別作，兩邊的垂直平分線、，垂足分別是點、．以下說法正確的是______（填序號）．
①；②；③；④點到點和點的距離相等．

6．（2021·遼寧九年級二模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到，點C的對應點為點，的延長線交BC于點D，連接AD．則下列說法錯誤的是（ ）

A． B． C． D．AD平分

知識點1-4 畫軸對稱圖形
1）關于對稱軸l成軸對稱圖形的性質(zhì)：
①兩個圖形完全相等（全等）；②對應點的連線組成的線段被對稱軸l垂直平分
2）畫一個與已知圖形關于對稱軸對稱圖形步驟：
①描出圖形關鍵點；②過關鍵點畫對稱軸垂線，并截取對應長度線段，端對為對應點
③按上述步驟確定所有關鍵點的對應點；④連線
注：①折線部分：特殊點之間直線連接即可；②曲線部分：選取曲線中的特殊點，找出這些特殊點，再用曲線連接。
例： 以圓心為特殊點
1．（2021·浙江九年級一模）如圖，己知圖形X和直線l．以直線l為對稱軸，圖形X的軸對稱圖形是（ ）

A． B．
C． D．
2．（2021·廣東九年級其他模擬）小明將一正方形紙片畫分成16個全等的小正方形，且如圖所示為他將其中四個小正方形涂成灰色的情形．若小明想再將一小正方形涂成灰色，使此紙片上的灰色區(qū)域成為線對稱圖形，則此小正方形的位置為何？（ ）.

A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行
3．（2021·石家莊市第四十四中學九年級一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的為格點三角形，在圖中與成軸對稱的格點三角形可以畫出（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上
4．（2021·河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（ ）

A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
5．（2021·湖南九年級其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有（　?。?br />
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
6．（2020·無錫市積余實驗學校八年級月考）小明站在河岸邊看見水中的自己胸前球衣的號碼是，則實際的號碼為____．
7．（2021·湖北八年級期末）如圖，的頂點，，都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖．（1）畫，使它與關于直線成軸對稱；（2）在直線上找一點，使點到點，點的距離之和最短；（3）在直線上找一點，使點到邊，的距離相等．

知識點1-5對稱點的坐標特征
1)P（x，y）
①關于x軸對稱（y=0） Q1（x，-y）;②關于y軸對稱（x=0） Q2（-x，y）;③關于原點對稱 Q3（-x，-y）
2) 規(guī)律 P（x0，y0）
①關于x=m對稱 Q1（2m-x，y） ②關于y=n軸對稱 Q2（x，2n-y）
1．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果點與關于y軸對稱，則b的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北大冶·）在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山東沂水初二期末）已知點與點關于直線對稱，那么等于______．
4．（2020·黑龍江甘南初二期末）若點M（m，﹣1）關于原點的對稱點是N（2，n），則m+n的值是_____．

知識點1-6 等腰（等邊）三角形的概念、性質(zhì)定理和判定
1）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形

腰：相等的兩邊 底邊：不相等的那條邊
頂角：兩腰的夾角 底角：腰與底邊的夾角
注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性質(zhì)都滿足；②等腰三角形是軸對稱圖形
2）性質(zhì)一：等腰三角形的兩個底角相等。
證明：作中線、作高、作角平分線皆可證明
注：涉及等腰三角形的角或邊時，一般要指出頂角、底角，底邊、腰。若未指出，會存在多解情況。
例：等腰三角形，一邊長7cm，另一邊長8cm，則三角形周長為：
3）等腰三角形的判定

4）等邊三角形的性質(zhì)與判定：
性質(zhì)：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于 60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有 三 條對稱軸.
判定：(1)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形； (2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.
1．（2021.江蘇八年級期中）有下列說法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的兩底角相等，③等腰三角形的中線、高線和角平分線互相重合； ④等腰三角形兩底角的平分線相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高線其中正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·山東九年級一模）如圖，等邊三角形紙片ABC的周長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·江蘇中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·福建九年級二模）如圖，正五邊形中，F(xiàn)為邊中點，連接，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·廣東九年級一模）如圖，在中，，是角平分線，是中線，則的長為

A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021·遼寧九年級一模）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，點在上，且，則（ ）

A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（2021·廣西欽州市·八年級期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使，則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2021·廣東八年級期末）如圖，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，則下列結論正確的有（　　）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2021·重慶八年級期末）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
10．（2021·四川省宜賓市第二中學校九年級一模）如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結論中正確的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．（2021·淮安市浦東實驗中學八年級期中）如圖，，是延長線上一點，若，動點從點出發(fā)沿以的速度移動，動點從點沿以的速度移動，如果點、同時出發(fā)，用表示移動的時間，當______時，是等腰三角形？

知識點1-7 等腰三角形“三線合一”
1）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）
注：①“三線合一”僅指等腰三角形中的一條線、另外兩條線無此規(guī)律；
②利用“三線合一”，可判斷等腰三角形；
③只要“兩線合一”，則必定“三線合一”（用全等易證）
1．（2020·廣東深圳·中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·上饒市第二中學初二期中）如圖，在中，為的中點，有下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

3．（2020·廣東廣州·綠翠現(xiàn)代實驗學校初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC， AD是BC邊上的高，BD=4cm，則BC=_____ cm．

4．（2020·福建中考真題）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3

5．（2021·上海風華初級中學初二月考）如圖所示，已知在五邊形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,∠B=∠E，點F是CD的中點，求證：AF⊥CD．

6．（2021·成都市初二月考）如圖是等腰的頂角的平分線，E點在上，F(xiàn)點在上，且平分，則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．











重難點題型
題型1 判斷軸對稱圖形
方法技巧：掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。
注意：理解軸對稱圖形的定義應注意兩點：
（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。
（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。
1．（2021·云南師大附中初二期末）2020年初，新型冠狀病毒引發(fā)肺炎疫情．一方有難，八方支援，危難時刻，全國多家醫(yī)院紛紛選派醫(yī)護人員馳援武漢．下面是四家醫(yī)院標志的圖案部分，其中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（2021·湖北武漢初三二模）在下列四個交通標志圖中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·廣東高州·初二期末）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南師大附中高新實驗中學初三二模）下列航空公司的標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·山東東明·初二期末）如圖，我國四大銀行的商標圖案中，為軸對稱圖形的是（　?。?br />
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
6．（2020·江蘇新沂初三一模）剪紙藝術是我國古老的民間藝術之一，作為一種鏤空藝術，它能給人以視覺上的透空感覺和藝術享受．下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．

題型2 軸對稱性質(zhì)的應用（折疊）
方法技巧：常見應用為折疊問題。折疊問題中，折痕就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關于對稱軸對稱。
1．（2021·江蘇七年級期末）如圖，在長方形紙片中，，將長方形紙片沿折疊，點落在點處，交邊于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室七年級期中）如圖，將長方形沿折折疊后，與交于點，若，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·江蘇七年級期末）如圖，在長方形紙片中，，，把紙片沿折疊后，點、分別落在、的位置．若，則等于（ ）

A．70° B．65° C．50° D．25°
4．（2021·重慶七年級期末）如圖，為等腰直角三角形，、將按如圖方式進行折疊，使點A與邊上的點F重合，折痕分別與、交于點D、點E．下列結論：①；②；③；④．其中一定正確的結論有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2021·江蘇七年級期中）如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，點A、D分別落在點A1、D1處．若∠1＋∠2＝130°，則∠B＋∠C＝___°．

6．（2021·湖北襄陽市·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，將四邊形沿對角線BD折疊，點A恰好落在DC邊上的點E處，若∠EBC=20°，求∠EBD的度數(shù)．

題型3 線段垂直平分線性質(zhì)的應用
方法技巧：掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。
（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。
1．（2021·河南八年級期末）如圖，在中，連接，按以下步驟作圖：分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點，，作直線，交于點，交于點．若，，則的周長為（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·山東臨沂市·八年級期末）如圖，中，，，，于點，是的垂直平分線，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（ ）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．（2021·廣東七年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分別以點A和點C為圓心，大于畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為___．

4．（2021·山東八年級期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點，則的周長的最小值為_________．

5．（2021·河北九年級二模）如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．

步驟1：以為圓心，長為半徑畫?、?；
步驟2：以為圓心，長為半徑畫?、?，交?、儆邳c；
步驟3：連接，交的延長線于點．
則下列說法不正確的是（ ）
A．是中邊上的高 B． C．平分
D．作圖依據(jù)是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上
6．（2021.江蘇八年級期中）如圖，中，邊的垂直平分線交于點P．

（1）求證：．（2）點P是否也在邊的垂直平分線上？請說明理由．



7．（2021·湖南懷化市·八年級期末）如圖．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．




8．（2021·石家莊市第四十中學九年級二模）如圖，在中，D為BC中點，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．
（1）求證：；（2）若，，求AF的長．



題型4 等腰三角形的性質(zhì)
方法技巧：掌握等腰三角形的性質(zhì)：
1.等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。
2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。
3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。
1．（2021·廣東清遠市·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD為∠ABC的平分線，則∠ABD＝_______°．

2．（2021·江蘇九年級二模）頂角是的等腰三角形叫做黃金三角形．如圖，是正五邊形的3條對角線，圖中黃金三角形的個數(shù)是_________．


3．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖，△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，F(xiàn)D＝FE，△DEF的頂點E在邊BC上移動，在移動過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與線段CA相交于點Q，當E為BC中點，連接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，則AC的長＝________．

4．（2021·重慶南開中學八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AC、BC上，AD=CE，連接BD，AE，點M、N分別在線段BE、BD上，滿足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，則∠AEN的度數(shù)為_______．

5．（2021·重慶八中八年級期末）如圖，在中，，M、N為邊AB、BC上的兩個動點，將沿MN翻折，翻折后點B的對應點D落在直線BC上方，連接CD，，且，則當是等腰三角形時，_____________度．

6．（2021·四川）如圖，已知，點、、…在射線上，點、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為__________．

7．（2021·陜西交大附中分校九年級其他模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E為AB邊中點，且∠CED＝120°，則邊DC長度的最大值為_____．


題型5 復雜的尺規(guī)作圖
方法技巧：熟悉尺規(guī)作圖的五種基本做法，結合題設要求解題即可
1．（2021·成都市初二月考）某小區(qū)為方便M、N兩幢住宅樓的住戶投放分類后的垃圾，擬在小區(qū)主路的交叉區(qū)域內(nèi)設置一個垃圾投放點P，現(xiàn)要求P點到兩條道路的距離相等，且使，請你通過尺規(guī)作圖找出這一P點（不寫作法，保留作圖痕跡）

2．（2021·浙江九年級一模）如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條髙速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖標出它的位置．

3．（2021·北京七年級期末）已知：點P是三角形ABC內(nèi)一點．
（1）過點P作AC的平行線交AB于點E，交BC于點F；（2）過點P作AB的垂線，垂足為點Q；
（3）測量∠EPQ= °；（4）測量線段BF= cm．

4．（2021·廣東八年級期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，∠A＝80°，∠C＝40°．
（1）作BC邊上的高AD，求∠BAD的度數(shù)；（2）作∠BAC的平分線AE，分別交BC，BF于點E，O，求∠AOB的度數(shù)．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不寫作法）

5．（2021·重慶八年級期末）在中，，，．

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作的平分線交于點，過作直線的垂線交于點；
（2）求的周長．

6．（2020·江陰初級中學初三月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AB的中點，AC＜BC．
(1)試用無刻度的直尺和圓規(guī)，在BC上作一點E，使得直線ED平分ABC的周長；(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)．(2)在(1)的條件下，若DE分Rt△ABC面積為1﹕2兩部分，請?zhí)骄緼C與BC的數(shù)量關系．



題型6 利用軸對稱性質(zhì)求最值
1．（2021·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（ ）

A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
2．（2021·和平區(qū)·天津一中八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當?shù)闹底钚r，的大小=__________（度）．

3．（2021·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．

4．（2021·清遠市清新區(qū)鳳霞中學）如圖，點D是銳角內(nèi)一點，于點E，點F是線段的一個動點，點G是射線的一個動點，連接、、，當?shù)闹荛L最小時，與的數(shù)量關系式是________．

5．（2021·山東菏澤市·八年級期末）下圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？（不寫做法，保留作圖痕跡）



6．（2021·湖北武漢市·八年級期末）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，在四邊形中，是的中點，，，，若，則線段的最大值為___________．

8．（2021·山東青島市·八年級期末）如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點和動點同時出發(fā)，分別以每秒的速度由向和由向運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設運動時間為，，和交于點．
（1）在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；（2）連接，求為何值時，；
（3）若于點，點為上的點，且使最短．當時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．



題型7 等腰三角形與全等三角形綜合題
1．（2021·重慶南開中學八年級期末）如圖，在銳角△ABC中，點D在線段CA的延長線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點E，交∠BAC的平分線于點M，交BAD的平分線于點N，過點C作AM的垂線分別交AM于點F，交MN于點O，過點O作OG⊥AB于點G，點G恰為AB邊的中點，過點A作AI⊥BC于點I，交OC于點H，連接OA、OB，則下列結論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號）

2．（2021·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點．（1）求證：；（2）如圖2，若點是線段上一點，平分交所在直線于點．求證：．（3）如圖3，若點是線段上一點（不與點重合），連接，在下方作邊交所在直線于點．猜想：三條線段之間的數(shù)量關系，并證明．


3．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點A作AH∠BC于點H，交BO于點P．（1）求線段OP的長度；（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；
（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交線段A延長線于N點，則S△BDM－S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．



4．（2021·江蘇景山中學八年級期末）（1）如圖1，等邊△ABC中，點D為AC的中點，若∠EDF＝120°，點E與點B重合，DF與BC的延長線交于F點，則DE與DF的數(shù)量關系是　 ?。籅E＋BF與的BC數(shù)量關系是　 ??；（寫出結論即可，不必證明）

（2）將（1）中的點E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點，DF交BC的延長線于F點，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的結論并加以證明；
（3）將（1）中的點E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點，DF交BC的延長線于F點（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關系是　 ?。ㄖ苯訉懗鼋Y論即可）


5．（2021·南師附中樹人學校九年級月考）如圖1，若△DEF的三個頂點D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．
（1）如圖2，點D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接 　 ?。瓵．等腰三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形或等邊三角形 D．直角三角形
（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點D為角的頂點任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點E，DF交AC于點F．
我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點F與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合．在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：　 　是等邊三角形．
②探究2：在BC上任取點E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點E與點B、點C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，請作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）

6．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點，D為BC邊上一動點，將AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，連接CE、DE、ME．（1）求證：CD＋CE＝CA；
（2）求出點M到CE所在直線的距離；（3）當ME＝時，求CE的值．

7．（2021·四川）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標注推導理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，連接CD、BE，求證：DC＝BE；（3）如圖3，若∠ACB=90°，連接DE，交AB于點F，求證：DF＝EF．




8．（2021·山東八年級期末）已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在射線BF上，連接CE．
（1）如圖1，BD與CE是否相等？請說明理由；（2）如圖1，求∠BCE的度數(shù)；（3）如圖2，當D在BC延長線上時，連接BE，△ABE、△CDE與△ADE的面積有怎樣的關系？并說明理由．





相關試卷

考點03 因式分解-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點03 因式分解-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點03因式分解原卷版docx、考點03因式分解解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共84頁， 歡迎下載使用。

考點02 分式方程及其應用-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點02 分式方程及其應用-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點02分式方程及其應用原卷版docx、考點02分式方程及其應用解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

考點01 認識三角形和多邊形-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）：

這是一份考點01 認識三角形和多邊形-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版），文件包含考點01認識三角形和多邊形原卷版docx、考點01認識三角形和多邊形解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共101頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

考點01 全等三角形的性質(zhì)與判定-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）

考點01 全等三角形的性質(zhì)與判定-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）
考點01 冪的相關運算-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）

考點01 冪的相關運算-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）
考點01 分式的性質(zhì)與運算-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）

考點01 分式的性質(zhì)與運算-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）
第十三章 軸對稱 章末檢測卷-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）

第十三章 軸對稱 章末檢測卷-八年級數(shù)學上冊高頻考點專題突破（人教版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部