考點02 整式乘法與乘法公式-八年級數學上冊高頻考點專題突破（人教版）-試卷下載-教習網

?考點02 整式乘法與乘法公式
知識框架

基礎知識點
知識點1-1整式乘法
1、單項式乘單項式:單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
注：①單項式乘單項式，結果仍為單項式；②單項式相乘時，注意不要漏掉無相同之母的項。
2、單項式乘多項式:根據乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數與原多項式的項數相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。
3、多項式乘多項式:先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。
1．（2021·河源市第二中學七年級期中）.
【答案】
【分析】先根據單項式乘單項式的運算法則計算即可．
【詳解】解：．故答案為：．
【點睛】此題主要考查了整式的運算，根據單項式乘單項式的運算法則計算即可．
2．（2021·哈爾濱市第四十七中學八年級開學考試）計算：______．
【答案】
【分析】根據單項式與多項式的乘法以及同底數冪相乘的運算法則求解即可．
【詳解】解：故答案為．
【點睛】此題考查了單項式與多項式的乘法以及同底數冪相乘的運算法則，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
3．（2021·儀征市第三中學七年級月考）若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，則m的值為_______．
【答案】-4
【分析】已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出m的值即可．
【詳解】∵，∴3+n=m，3n=-21，解得：m=-4，n=-7，答案：-4．
【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘法是解題的關鍵．
4．（2021·武漢一初慧泉中學八年級月考）（+m）與（+3）的乘積中不含的一次項，則m的值為（）
A．-3 B．3 C．0 D．1
【答案】A
【分析】先根據多項式乘多項式法則化簡，再找出所有含x的一次項，合并系數，令含x的一次項的系數等于0，即可求m的值．
【詳解】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘積中不含x的一次項，∴m+3＝0，∴m＝﹣3．選：A．
【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式的法則，注意不含某一項就是說含此項的系數等于0．
5．（2021·利辛縣第四中學七年級期中）先化簡，再求值．，其中．
【答案】，．
【分析】先根據整式的混合運算計算法則化簡，然后代值計算即可.
【詳解】解：，
當時，原式.
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，解題的關鍵在于能夠熟練掌握整式的混合運算計算法則.
6．（2021·東平縣實驗中學月考）先化簡，再求值．其中．
【答案】，20．
【分析】根據多項式乘法的計算法則化簡原式后再把x的值代入計算即可．
【詳解】解：
∴當時，原式=．
【點睛】本題考查了整式的化簡求值，根據多項式乘法的計算法則對原式進行化簡是解題關鍵．
7．（2020·深圳市羅湖外語學校初中部期中）已知，則（）
A．1 B．－1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】將代入，計算即可得到結果．
【解析】將代入得：
，
∴．故選：B．
【點睛】本題考查代數式求值，應用特殊值代入求解是解題的關鍵．
8．（2020·江蘇無錫市·七年級期中）在數學中，為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉就引進了求和符號“”．如記=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，則m的值是（）
A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20
【答案】B
【分析】利用題中的新定義計算即可得到m的值．
【詳解】根據題意得，
∵
∴n=5,即= x2＋x?6＋x2＋x?12＋x2＋x?20== 則m＝?38．故選：B．
【點睛】此題考查了整式的乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
9．（2020·江蘇南京市·七年級期末）根據需要將一塊邊長為的正方形鐵皮按如圖的方法截去一部分后，制成的長方形鐵皮（陰影部分）的面積是多少？幾名同學經過討論給出了不同的答案，其中正確的是（）
①；②；③；④

A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
【答案】A
【分析】因為正方形的邊長為x，一邊截去寬5的一條，另一邊截去寬6的一條，所以陰影部分長方形的長和寬分別為x﹣5與x﹣6．然后根據長方形面積計算公式進行計算．
【詳解】解：①由題意得：陰影部分長方形的長和寬分別為x﹣5、x﹣6，
則陰影的面積＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故該項正確；②如圖所示：

陰影部分的面積＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故該項正確；
④如圖所示：陰影部分的面積＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故該項正確；③由④知本項錯誤．故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式的乘除運算﹣多項式乘多項式．實際上也是去括號、合并同類項，理解好圖形面積的多種表達形式是解題關鍵．

知識點1 -2平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數的平方差。
注：①字母a、b僅是一個表達式，即可以表示一個數字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。
②在套用平方差公式時，要依據公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。
1．（2021·四川省成都市七中育才學校）計算（x﹣y）（x+y）的結果是（　?。?br /> A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2
【答案】C
【分析】根據平方差公式求出答案即可．
【詳解】解：，故選：C．
【點睛】本題考查了平方差公式，能熟記平方差公式是解此題的關鍵，注意：．
2．（2021·蘭州市第五十五中學七年級月考）下列各式中能用平方差公式計算的是（）
A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b）
【答案】C
【分析】根據平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2對各選項分別進行判斷．
【詳解】解：A、不是兩數之和與兩數差的積，所以選項不符合；
B、不是兩數之和與兩數差的積，所以選項不符合；
C、是兩數之和與兩數差的積，能使用平方差公式，所以選項符合；
D、不是兩數之和與兩數差的積，所以選項不符合；故選：C．
【點睛】本題考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了完全平方公式．
3．（2021·汕頭市龍湖實驗中學八年級期末）若，，則的值為（）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據平方差公式計算即可得到答案
【詳解】解：∵，∴，∴．故選B．
【點睛】此題考查平方差公式，熟記公式并熟練應用是解題的關鍵．
4．（2021·杭州市十三中教育集團（總校）七年級期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．則a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】從結論入手，用平方差公式進行因式分解，再對第一個條件進行變形即可求出答案．
【詳解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案為：10．
【點睛】此題考查了平法差公式的應用，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
5．（2021·成都嘉祥外國語學校七年級開學考試）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，則a﹣b＝_____．
【答案】3
【分析】根據平方差公式，可得答案．
【詳解】解：∵，又，∴，故答案為3．
【點睛】本題考查了平方差公式，利用平方差公式是解題關鍵．
6．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）的值為_______．
【答案】
【分析】設，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【詳解】設，
則，
，
所以，故答案為：．
【點睛】本題考查了利用平方差公式進行運算求值，熟練掌握平方差公式是解題關鍵．
7．（2020·南通市新橋中學）如圖，在邊長為 a 的正方形中減去一個邊長為 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個長方形（如圖），通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用代數式表示出兩個圖形陰影部分的面積，即可得出等式．
【詳解】解：左圖的陰影部分的面積為a2-b2，右圖的陰影部分的面積為（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故選：C．
【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式表示圖形的面積是得出等式的前提．
8．（2021·蘭州市第五十五中學七年級月考）如圖1所示，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．
（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：，；
（2）請問以上結果可以驗證哪個乘法公式？
（3）試利用這個公式計算：．

【答案】（1）：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）a2-b2=（a+b）（a-b）；（3）264
【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積，圖（2）所示的長方形的長和寬分別為（a+b）、（a-b），由此可計算出面積；（2）根據陰影部分的面積相等可得出平方差公式；
（3）利用原式補項（2-1），進而利用平方差公式求出答案．
【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，
故圖（1）陰影部分的面積值為：a2-b2，圖（2）陰影部分的面積值為：（a+b）（a-b）．
故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）以上結果可以驗證乘法公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（3）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（216-1）（216+1）（232+1）+1=（232-1）（232+1）+1=264-1+1=264．
【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進行計算，因此，本題熟練掌握平方差公式是關鍵．
9．（2021·陜西八年級期末）探究下面的問題：
（1）如圖①，在邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形（），把余下的部分剪拼成如圖②的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是______（用式子表示）；
（2）運用你所得到的公式計算：①；②．

【答案】（1）a2?b2＝（a＋b）（a?b）；（2）①99.96；②x2?6xz＋9z2?4y2
【分析】（1）分別根據面積公式進行計算，根據圖甲的面積＝圖乙的面積，列式即可；
（2）利用平方差公式進行計算，即可得到計算結果．
【詳解】解：（1）圖甲陰影面積＝a2?b2，圖乙陰影面積＝（a＋b）（a?b），
∴得到的等式為：a2?b2＝（a＋b）（a?b），故答案為：a2?b2＝（a＋b）（a?b）；
（2）①10.2×9.8＝（10＋0.2）×（10?0.2）＝102?0.22＝100?0.04＝99.96；
②＝（x?3z＋2y）（x?3z?2y）＝（x?3z）2?（2y）2＝x2?6xz＋9z2?4y2．
【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進行計算，本題熟練掌握平方差公式是關鍵．

知識點1-3 完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積
注：①a、b僅是一個符號，可以表示數、字母、單項式或多項式；②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式
拓展：利用可推導除一些變式
①
②
注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結合推導出來。
1．（2020·福建省石獅市自然門學校月考）下列計算正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據完全平方公式即可計算判斷.
【解析】A. ，故錯誤； B. ，故錯誤；
C. 故錯誤； D. ，正確，故選D.
【點睛】此題主要考查完全平方公式，解題的關鍵是熟知完全平方公式的運用.
2．（2021·重慶實驗外國語學校七年級期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，則xy＝________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式列出關系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．
【詳解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，則xy=1，故答案為：1．
【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．
3．（2021·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學八年級開學考試）若，則的值為（）
A．2 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據完全平方公式把原式變形，代入計算即可．
【詳解】解：（x-y）2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=（x+y）2-1，
當x+y=3時，原式=32-1=8．故選：C．
【點睛】本題考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
4．（2021·西安市鐵一中學八年級開學考試）4a2＋ka＋9是一個完全平方式，則常數k等于____．
【答案】±12
【分析】根據完全平方式的結構特征，直接求解即可．
【詳解】解：∵4a2＋ka＋9是一個完全平方式，∴4a2＋ka＋9=（2a±3）2，∴k=±12．故答案：±12．
【點睛】本題主要考查完全平方式的定義，掌握完全平方式的形式：a2±2ab＋b2是解題的關鍵．
5．（2021·沭陽縣修遠中學）先化簡，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【答案】，
【分析】根據完全平方和平方差公式進行計算，再進行整式的加減運算，最后將字母的值代入求解即可
【詳解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）
當x＝2，y＝1時原式
【點睛】本題考查了整式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的運算是解題的關鍵．
6．（2021·廣東東莞市·湖景中學八年級月考）已知，則______．
【答案】3
【分析】根據完全平方公式求得的值，然后再來求的值．
【詳解】解：，又，．故答案為：．
【點睛】本題主要考查完全平方公式，解題的關鍵是熟記公式的幾個變形公式．
7．（2021·杭州市十三中教育集團七年級期中）先化簡，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合運算法則化簡，再把已知整體代入得出答案．
【詳解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．
8．（2021·揚州中學教育集團樹人學校七年級期中）閱讀材料：
例題：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
參照上面材料，解決下列問題：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先變形出完全平方公式，利用完全平方數的非負性即可得出解；
（2）先變形出完全平方公式，利用完全平方數的非負性即可得出解.
【詳解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，故答案為：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
則，解得x+y＝1﹣＝，故答案為：．
【點睛】本題考查了完全平方公式的變形以及完全平方數的非負性的應用，掌握完全平方數的非負性是解題的關鍵.
9．（2021·四川省成都市七中育才學校七年級期末）數學活動課上，張老師準備了若干個如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．

（1）觀察圖②，請你寫出代數式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系是　　；
（2）根據（1）中的等量關系，解決下列問題；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
【答案】（1）；（2）①3；②
【分析】（1）正方形的總面積等于各部分面積和，就可得出答案；
（2）①由，可知，再代入（1）中的結論，即可求得的值；
②用換元法，令，則，，代入原式化簡計算即可．
【詳解】解：（1）由正方形的總面積等于各部分面積和，得到：；
（2）①∵∴
又∵，且 ∴∴
②令，則，
∴ ∴
【點睛】本題考查完全平方式的應用，平分根的運算，根據相關知識點解題是關鍵．

知識點1-4 公式的拓展
1） ==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
2）同樣，a、b、c可以通過換元。如，令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
3）立方差公式：；立方和與立方差：=
1．（2020·四川射洪中學月考）已知，求代數式的值．
【答案】12
【分析】將原式乘2，即可分成3個完全平方式，代入已知數據可求解．
【解析】原式==
=
原式
【點睛】本題考查求代數式的值，利用整體代入思想，把某代數式看作一個“整體”，即當成一個新的字母，再求關于這個新字母的代數式的值，運用整體思想的關鍵是找準被看作整體的代數式．
2．（2020·湖南岳陽·初一期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式，例如利用如圖1可以得到，那么利用如圖2所得到的數學等式是（）.
A． B．
C． D．

【答案】B
【分析】由圖2可知，正方形的面積有兩種求法,分別求解，即可得到等式.
【解析】圖2的正方形面積第一種求法為；第二種求法是把它分割成9個圖形的面積之和，為故選B.
【點睛】此題主要考查乘法公式的幾何驗證，解題的關鍵是根據圖形的面積求解.
3．（2020·江蘇建湖·初一期中）學習《乘法公式》時可以發(fā)現：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進而可以利用得到的等式解決問題．
（1）如圖1，是由邊長為a、b的正方形和長為a、寬為b的長方形拼成的大長方形，由圖1可得等式：　　；
（2）知識遷移：①如圖2，是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個大正方體，類比（1），用不同的方法表示這個大正方體的體積，可得等式：　　；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代數式a3＋b3的值．

【答案】（1）（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；②91．
【分析】（1）用兩種不同的方法表示大長方形的面積，可以得到一個等式，
（2）①用兩種不同的方法表示大正方體的體積，可以得到一個等式，②利用等式變形，可求出答案．
【解析】解：（1）如圖1，整體上長方形的面積為（a＋b）（2a＋b），組成大長方形的六部分的面積和為a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，
因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案為：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；
（2）①整體上大正方體的體積為（a＋b）3，組成大正方體的2個小正方體和6個小長方體的體積的和為a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案為：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，
a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．
【點睛】本題考查幾何體的體積、圖形的面積的計算方法，用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積或同一個幾何體的體積，是得到等式的關鍵．
4．（2020·全國初一課時練習）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．例如圖可以得到．請解答下列問題：

（1）寫出圖中所表示的數學等式；（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值；（3）小明同學打算用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張相鄰兩邊長為分別為、的長方形紙片拼出了一個面積為長方形，那么他總共需要多少張紙片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面積，再根據正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可.
（2）將，代入（1）中得到的式子，然后計算即可；
（3）長方形的面積，然后運算多項式乘多項式，從而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根據題意得，
所以，，所以答：小明總共需要張紙。
【點睛】本題主要考查整式的運算，難度較大，熟練掌握整式的運算以及代數式求值是解題關鍵.
5．（2021·福建省安溪恒興中學）我們知道:有些代數恒等式可以利用平面圖形的面積來表示，如：
就可以用如圖所示的面積關系來說明．
(1)請根據如圖寫出代數恒等式,并根據所寫恒等式計算：
(2)若求的值；
(3)現有如圖中的彩色卡片:A型、B型、C型，把這些卡片不重疊不留縫隙地貼在棱長為的100個立方體表面進行裝飾，A型、B型、C型卡片的單價分別為0.7元/張、0.5元/張、0.4元/張，共需多少費用?

【答案】（1）；（2）（3）1260元
【分析】(1)根據正方形的面積等于正方形里各個圖形的面積之和即可解答；找到與求出的代數恒等式的對應字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代數恒等式即可.(2)根據（1）中求出的代數恒等式，先求出，再把整體代入即可求值.(3)先確定立方體的一個面需要A型、B型、C型卡片各幾張，需多少費用，再求1個，100個的費用.
【解析】 (1)

(2)
∵∴
(3)故立方體一面需A型卡片1張、B型卡片2張、C型卡片1張，需：
0.7+0.5×2+0.4=2.1元 100個小立方體需：2.1×6×100=1260元.
【點睛】本題考查的是多項式乘法的幾何意義，將多項式的乘法用幾何圖形的面積進行說明，能用不同方法表示圖形的面積是關鍵.
6．（2020·江蘇江陰初一期中）（知識生成）我們已經知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應的等式，2002年8月在北京召開了國際數學大會，大會會標如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，四個直角三角形的兩條直角邊長均分別為a、b，斜邊長為c．
（1）圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為　 ??；
（2）圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為　　、　　
（3）你能得出的a，b，c之間的數量關系是　 ?。ǖ忍杻蛇呅杌癁樽詈喰问剑?br /> （4）一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為　　
（知識遷移）通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．
（5）用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為__________________　　
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．

【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】（1）根據直角三角形的兩邊長即可得到結論；（2）求出圖形的各個部分的面積，即可得出答案；
（3）根據（1）的結果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方體的條件和各個部分的體積，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】解：（1）圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為（b﹣a），故答案為：（b﹣a）；
（2）圖中陰影部分的面積為c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案為：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2＋b2＝c2，故答案為：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案為：13；
（5）圖形的體積為（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案為：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，解得：a3＋b3＝40．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的幾何應用，能正確列代數式表示各個部分的體積和面積是解此題的關鍵．
7．（2020·四川郫都·初一期末）（知識生成）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為b（a＞b）的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之間的等量關系式：　 ?。?br /> （知識遷移）類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：　　；（成果運用）利用上面所得的結論解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．

【答案】知識生成：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；知識遷移：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（1）x﹣y＝±5；（2）a3+b3＝90．
【分析】【知識生成】由題意利用面積相等推導公式（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知識遷移】由題意利用體積相等推導（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）根據題意應用知識生成的公式，進行變形，代入計算即可；
（2）由題意先根據非負數的性質得：a+b＝6，ab＝7，由知識遷移的等式可得結論．
【解析】解：【知識生成】如圖1，方法一：已知邊長直接求面積為（a﹣b）2；
方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，∴面積為（a+b）2﹣4ab，
∴由陰影部分面積相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；故答案為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知識遷移】方法一：正方體棱長為a+b，∴體積為（a+b）3，
方法二：正方體體積是長方體和小正方體的體積和，即a3+b3+3a2b+3ab2，∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案為：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝6，xy＝，∴（x﹣y）2＝62﹣4×，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝±5；
（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，∴a+b＝6，ab＝7，∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90．
【點睛】本題考查完全平方公式的幾何意義，注意掌握并能夠由面積相等并過渡到利用體積相等推導公式是解題的關鍵．

重難點題型
題型1 整式乘法基本運算
解題技巧： p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
1．（2021·廣東揭陽市·七年級期末）計算：__________________
【答案】
【分析】根據單項式乘以單項式運算法則，系數與系數相乘，相同字母的指數相加即可．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】題目主要考查單項式乘以單項式的運算法則，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
2．（2021·江蘇七年級期中）化簡：（﹣3x2）?（4x﹣3）＝___．
【答案】﹣12x3+9x2
【分析】直接利用單項式乘以多項式的計算法則求解即可.
【詳解】解：，故答案為：.
【點睛】本題主要考查了單項式乘以多項式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握單項式乘以多項式的計算法則.
3．（2021·東平縣實驗中學月考）若，則=_____________，=____________．
【答案】-3，-10
【分析】已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出p與q的值即可．
【詳解】解：已知等式整理得：，則，，故答案為：-3，-10．
【點睛】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4．（2020·遼寧昌圖·期末）已知一個長方形的面積是，且它的一條邊長為2a，則與這條邊相鄰的邊的長度為______
【答案】
【分析】直接利用長方形面積等于長乘以寬，列式計算得出答案．
【解析】∵已知一個長方形的面積是，且它的一條邊長為2a
∴與這條邊相鄰的邊的長=故答案為：
【點睛】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
5．（2021·杭州市公益中學七年級開學考試）如果（x+a）（x+b）的結果中不含x的一次項，那么a、b滿足（　　）
A．a＝b B．a＝0 C．a＝﹣b D．b＝0
【答案】C
【分析】根據題意，將（x+a）（x+b）展開，令一次項系數為0，進而確定的關系．
【詳解】（x+a）（x+b）中不含x的一次項，，即．故選C．
【點睛】本題考查了多項式的乘法，多項式的系數，掌握整式的乘法運算是解題的關鍵．
6．（2021·四川省成都市七中育才學校）已知（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，則m與n的值分別是（　?。?br /> A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝1，n＝6 C．m＝﹣1，n＝﹣6 D．m＝﹣1，n＝6
【答案】C
【分析】首先根據多項式乘多項式的運算法則計算已知等式的左邊，再根據系數相等可得答案．
【詳解】解：，，．故選：C．
【點睛】此題考查的是多項式乘多項式，掌握其運算法則是解決此題關鍵．
7．（2021·上海市長寧中學初一月考）如果規(guī)定＝mq﹣np．
（1）求的值；（2）當　的值為8時，求x的值．
【答案】（1）44；（2）x＝．
【分析】（1）原式利用題中的新定義化簡即可求出值；（2）已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出x的值．
【解析】解：（1）根據題中的新定義得：＝50﹣6＝44；
（2）根據題中的新定義化簡得： =（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，
整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，解得：x＝．
【點睛】此題考查了整式的混合運算——化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
8．（2021·上海市浦東新區(qū)進才實驗中學初一月考）（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____
（4）若則_____
【答案】（1）2001 （2）（3）（4）﹣120
【分析】（1）根據題意，得到；再將原式進行變形即可得出答案
（2）先設原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后將a代入即可
（3）根據冪的乘方運算公式對原式進行變形，然后進而的出答案（4）采用賦值法進行計算
【解析】（1）由題意得：；
∴======2001
（2）設，則；
∴，即 ∴原式=
（3）=?==192
∴ ∴ ∴
（4）當x=1時，1= ……①
當x=﹣1時，= ……②
當x=0時，1= ①＋②==
即= ∴=＋1=﹣120
【點睛】本題主要考查了代數式的變形求值，掌握各類代數式求值的特點是解題關鍵

題型2平方差與完全平方公式的基本運用
解題技巧：套用公式公式的前提是式子滿足公式形式。當題目中的形式比較復雜，不能直接套用公式時，我們可以將式子拆分，或者部分套用公式，或者對式子進行一定的變形。
完全平方公式：用
平方差公式為：，常見變化如下：
位置變化：（a+b）（－b+a）=；符號變化：（－a－b）（a－b）=－（）
系數變化：（3a+2b）（3a－2b）=
指數變化：
項數變化：（a+b－c）（a－b+c）=
連用變化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=
1．（2021·西安市鐵一中學八年級開學考試）下列各式中，不能用平方差公式計算的是（）
A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）
C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a） D．（﹣x＋y）（x﹣y）
【答案】D
【分析】根據平方差公式的定義進行分析解答即可，兩個數的和與這兩個數差的積，等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式．
【詳解】解：A、原式＝（?3y＋4x）（?3y?4x），可以運用平方差公式，故本選項錯誤；
B、符合兩個數的和與這兩個數差的積的形式，可以運用平方差公式，故本選項錯誤；
C、可以把?c＋a看做一個整體，故原式＝（?c＋a＋b）（?c＋a?b），可以運用平方差公式，故本選項錯誤；
D、不能整理為兩個數的和與這兩個數差的積的形式，所以不可以運用平方差公式，故本選項正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查平方差公式的定義，關鍵在于逐項分析，找到不符合平方差公式定義的選項．
2．（2021·浙江杭州市·翠苑中學九年級二模）若，，則（）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根據平方差公式解答即可．
【詳解】解：∵a+b=3，a-b=-1，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×(-1)=-3．故選：D．
【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟記平方差公式是解答本題的關鍵．
3．（2021·佛山市華英學校七年級期中）若，則表示的式子為______．
【答案】
【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可求出M．
【詳解】解：∵，∴M表示的式子為．故答案是：．
【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
4．（2021·浮梁縣第一中學七年級期中）已知m2＋2km＋16是完全平方式，則k＝_____．
【答案】±4
【分析】m2＋2km＋16是完全平方式，則16不會是某數加某數獲得，而一定是某數的平方獲得，因此16開平方得到±4，進而確定k =±4
【詳解】∵m2＋2km＋16是完全平方式又16=(±4)2∴k=±4故答案為：±4
【點睛】本題考查構成完全平方式的條件，能構成完全平方說明16一定是某個數的平方而不會是通過加減產生，突破這一點此題即可迎刃而解．
5．（2020·隆昌市知行中學月考）下列乘法中，能運用完全平方公式進行運算的是（）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根據完全平方公式的特點：兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中兩項完全相同．
【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特點，故能運用平方差公式進行運算；
D，后邊提取負號得：-（a+b）（a+b），故能運用完全平方公式進行運算．故選：D．
【點睛】本題考查完全平方公式的結構，解題的關鍵是注意兩個二項式中兩項完全相．
6．（2021·佛山市華英學校七年級期中）已知，，則的值為（）
A．28 B．30 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根據完全平方公式的變形形式：=，直接代入求值即可．
【詳解】解：∵=，∴=36-2×3=30，故選B．
【點睛】本題主要考查代數式求值，掌握完全平方公式及其變形，是解題的關鍵．
7．（2021·湖南師大附中博才實驗中學八年級期中）如果二次三項式是一個完全平方式，那么m的值是（）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先根據乘積二倍項確定出兩個數，再根據完全平方公式的平方項列式求解即可．
【詳解】解：∵-8x=-2×4?x，∴m=42=16，解得m=16．故選：B．
【點睛】本題是完全平方公式的應用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式，根據乘積二倍項確定出這兩個數是求解的關鍵．
8．（2021·嵊州市初級中學七年級期中）化簡
（1）先化簡，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），；（2）16．
【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式化簡得出最簡結果，再代入計算即可得答案；
（2）利用完全平方公式變形，再代入計算即可得答案．
【詳解】解：（1）=，
當時，原式．
（2）．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題關鍵．

題型3 構造平方差公式及公式逆用
1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知實數，滿足，則代數式的值為_____.
【答案】3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再將m+n、m-n的值代入、計算即可得出答案.
【解析】∵，，∴.故答案為3.
【點睛】本題考查平方差公式，解題關鍵是根據平方差公式解答.
2．（2020·紹興市文瀾中學期中）若，且，則_____
【答案】2.5
【分析】根據平方差公式的逆運算即可求解.
【解析】∵，，∴()÷()= 2.5
【點睛】此題主要考查平方差公式，解題的關鍵是熟知平方差公式的逆用.
3．（2020·全國初一課時練習）計算：____________.
【答案】2019.
【分析】原式利用數的變形化為平方差公式，計算即可求出值．
【解析】解：∵
∴=故答案是：2019.
【點睛】此題考查了用平方差公式進行簡便計算，熟悉公式特點是解本題的關鍵．
4．（2020·揭西縣第三華僑中學初一月考）計算： _______________.
【答案】1
【解析】試題分析：根據平方差公式，直接可得==20022-（20022-1）=1.故答案為：1.
點睛：此題主要考查了平方差公式，解題關鍵是利用數字的關系可變化為平方差公式的形式，然后用公式直接計算即可.此題直接計算運算量大，不好計算，用公式可簡便計算.
5．（2020·福建省惠安科山中學月考）若，則數的末位數字是_______．
【答案】6
【分析】將原式轉化成，再結合平方差公式解題即可．
【解析】

的個位數是6
的個位數是6．故答案為：6．
【點睛】本題考查平方差公式、尾數特征等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
6．（2020·四川省營山中學校初一期中）的計算結果的個位數字是（）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【分析】先將2變形為，再根據平方差公式求出結果，根據規(guī)律得出答案即可．
【解析】解：

，，，，，，，，
的個位是以指數1到4為一個周期，冪的個位數字重復出現，
，故與的個位數字相同即為1，∴的個位數字為0，
∴的個位數字是0．故選：D．
【點睛】本題考查了平方差公式的應用，能根據規(guī)律得出答案是解此題的關鍵．
7．（2020·全國初一課時練習）若……，則A的值是
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】把變成然后利用平方差公式計算即可
【解析】……
……
……
故選D
【點睛】能夠靈活運用平方差公式解題是本題關鍵
8．（2020·石家莊外國語教育集團初一期中）（探究）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．
（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖①　　　　圖②　　　??；
（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；

（應用）請應用這個公式完成下列各題：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，則4m2﹣n2的值為　　　??；
②計算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（拓展）計算的結果為　　　?。?br /> 【答案】探究：（1），；（2）；應用：①12；②；拓展：．
【分析】探究：（1）圖①陰影部分的面積等于兩個正方形的面積差，圖②陰影部分的面積等于一個大長方形的面積；（2）根據圖①與圖②的面積相等即可得；
應用：①根據上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；②利用兩次平方差公式即可得；
拓展：將原式改寫成，再多次利用平方差公式即可得．
【解析】探究：（1）圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即，
圖②的陰影部分為長為，寬為的矩形，則其面積為，
故答案為：，；
（2）由圖①與圖②的面積相等可得到乘法公式：，
故答案為：；
應用：①，故答案為：12；
②原式，，；
拓展：原式，
，，
，，．
【點睛】本題考查了平方差公式與幾何圖形、以及應用，熟練掌握平方差公式是解題關鍵．

題型4 完全平方式的應用（含參問題）
解題技巧：完全平方式的定義:對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數整式B，使A=B2，則稱A是完全平方式a22ab +b2 =(ab)2。注意:(1)對于a2=x(x0)，a有正負兩種結果。(2)區(qū)分缺首尾項和缺中間項.
1．（2021·嵊州市初級中學七年級期中）如果是一個完全平方式，那么的值是（）．
A． B．15 C． D．3
【答案】C
【分析】由題意可知首末兩項是3x和5的平方，那么中間項為加上或減去3x和5的乘積的2倍即可求解．
【詳解】解：∵9x2?kx+25是一個完全平方式，∴-kx=（±2）×3x×5，則k=±30．故選：C．
【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握并根據兩平方項確定出這兩個數，再根據乘積二倍項求解．
2．（2021·重慶一中八年級開學考試）若多項式x2+kx+25是完全平方式，則k＝___．
【答案】
【分析】根據題意直接利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到k的值．
【詳解】解：∵，∴.故答案為：.
【點睛】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方式的特征是解題的關鍵，形如a2±2ab+b2這樣的式子是完全平方式．
3．（2021·四川省成都市七中育才學校）若x2+8x+m是完全平方式則m的值為_____．
【答案】16
【分析】先根據完全平方公式的乘積二倍項，再根據兩平方項確定出這兩個數即可確定的值．
【詳解】解：是完全平方式，，故答案為：16．
【點睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方公式的特點是解此題的關鍵，注意：完全平方式有兩個：和．
4．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一個有理數的平方，則不能為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分多項式的三項分別是乘積二倍項時，利用完全平方公式分別求出n的值，然后選擇答案即可．
【解析】2n是乘積二倍項時，2n+218+1=218+2?29+1=（29+1）2，此時n=9+1=10，
218是乘積二倍項時，2n+218+1=2n+2?217+1=（217+1）2，此時n=2×17=34，
1是乘積二倍項時，2n+218+1=（29）2+2?29?2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此時n=-20，
綜上所述，n可以取到的數是10、34、-20，不能取到的數是36．故選：D．
【點睛】本題考查了完全平方式，難點在于要分情況討論，熟記完全平方公式結構是解題的關鍵．
5．（2020·山東威海初二期中）將多項式加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是( )
A． B．±4x C． D．
【答案】D
【分析】分x2是平方項與乘積二倍項，以及單項式的平方三種情況，根據完全平方公式討論求解.
【解析】解：①當x2是平方項時，4士4x+x2=（2士x）2，則可添加的項是4x或一4x；
②當x2是乘積二倍項時，4+ x2+ =（2+）2，則可添加的項是；
③若為單項式，則可加上-4.故選：D.
【點睛】本題考查了完全平方式，比較復雜，需要我們全面考慮問題，首先考慮三個項分別充當中間項的情況，就有三種情況，還有就是第四種情況加上一個數，得到一個單獨的單項式，也是可以成為一個完全平方式，這種情況比較容易忽略，要注意.
6．（2020·浙江桐鄉(xiāng)初二月考）若代數式x2＋ax＋64是一個完全平方式，則a的值是（）
A．－16 B．16 C．8 D．±16
【答案】D
【解析】試題分析：根據完全平方式的意義，首平方，尾平方，中間加減積的2倍，可知a=±2×8=16.
故選：D
點睛：此題主要考查了完全平方式的意義，解題關鍵是明確公式的特點，即：完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方。另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方。算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央。
7．（2020·長春市第五十二中學月考）若是完全平方式，則的值是（）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】有完全平方式的特征，列式進行計算，即可得到答案．
【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，
解得：或；故選：C．
【點睛】本題考查了完全平方式的應用，解題的關鍵是掌握完全平方式的特征進行解題．

題型5完全平方式的應用（知二求二）
解題技巧：用可推導除一些變式
①
②
注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結合推導出來。
1．（2020·全國初二課時練習）若，，則的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，利用完全平方公式把展開，再把展開，然后兩式相減，就可以得到的值．
【解析】，即．
又．故選C．
【點睛】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵在于對完全平方公式的熟練運用．
2．（2020·重慶南開中學期末）若，，則__________．
【答案】12
【分析】用完全平方公式進行恒等變形，求出的值再代入求解即可．
【解析】解：由完全平方公式：，代入數據：得到：，
∴，∴，故答案為：12．
【點睛】本題考查了完全平方公式及其恒等變形，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關鍵．
3．（2020·山東歷下·初一期中）已知，則_____________.
【答案】14
【分析】設，則，，于是原式可變形為關于a2的等式，求出a2即為所求的式子的值．
【解析】解：設，則，，
因為，所以，
整理，得：，所以，即14．故答案為：14．
【點睛】本題考查了整式乘法的完全平方公式及其變形，設、靈活利用整體代入的數學思想是解題的關鍵．
4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，則______．
【答案】12
【分析】根據完全平方公式的兩個關系式間的關鍵解答即可.
【解析】∵，，∴，
∴19=5+4xy，∴xy=，∴，故答案為：12.
【點睛】此題考查完全平方公式，熟記公式并掌握兩個公式的等量關系是解題的關鍵.
5．（2020·湖南邵陽·期末）已知，，則的值為______．
【答案】53
【分析】根據題意直接利用完全平方公式將原式變形，進而計算即可得出答案．
【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案為：53．
【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握并正確記憶完全平方公式是解題的關鍵．
6．（2020·射陽縣第二初級中學初一期中）若則________________．
【答案】
【分析】根據完全平方公式：可求得結果
【解析】故答案為：46
【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，在完全平方公式中，我們要注意有3個模塊：(a±b)、ab、，已知其中的任意2個模塊，通過公式變形，都可求得第三個模塊.
7．（2020·江蘇省邗江實驗學校期中）若x，y滿足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．
【答案】（1）12；（2）56；（3）±2
【分析】（1）先根據完全平方公式進行變形，再代入求出即可；
（2）先根據完全平方公式進行變形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根據完全平方公式求出即可．
【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．
【點睛】本題考查完全平方公式，靈活運用完全平方公式進行變形是解題的關鍵．
8．（2020·隆昌市知行中學月考）求值．
若，，求①，②的值．
【答案】①25，②
【分析】①將兩邊平方，利用完全平方公式展開，把的值代入即可求出的值；
②計算，利用完全平方公式展開，把與的值代入計算，開方即可求出值．
【解析】①將兩邊平方得：，
把代入得：，即；
②∵，則．
【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．

題型6 完全平方公式應用（）
1．（2020·全國初二課時練習）若x﹣=3，則=（　?。?br /> A．11 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】先由x﹣=3兩邊同時平方變形為，進而變形為，從而得解．
【解析】解：∵x﹣=3，∴，
∴，∴，∴，故選：C．
【點睛】此題要運用完全平方公式進行變形.根據a2+b2=(a+b)2-2ab把原式變?yōu)?，再通分，最后再取倒?易錯點是忘記加上兩數積的2倍．
2．（2020·四川錦江·初二學業(yè)考試）已知，則____________．
【答案】47
【分析】直接利用完全平方公式計算得出答案．
【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，
則47，故答案為：47．
【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值以及完全平方公式，正確運用公式是解題關鍵．
3．（2020·長春市第四十七中學月考）回答下列問題：
（1）填空：（2）若，求的值．
【答案】（1）2，2；（2）23
【分析】（1）利用完全平方公式變形即可得到結果；
（2）原式利用完全平方公式化簡，將已知等式代入計算即可求出值；
【解析】解：（1）故答案為：2；2；
（2）∵∴原式=（）2 - 2=25-2=23．
【點睛】本題考查完全平方公式，解題關鍵在于熟練掌握完全平方公式．’
4．（2021·江門市第二中學初二月考）若，則 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化為，再將化為，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化為，化為
∴原式==32-1=8
【點睛】本題考查了代數式求值，解題關鍵在于對等式的變形和完全平方公式的靈活運用。
5．（2020·四川南充·一模）若，則的值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由計算出x2+=7，再由，按完全平方公式展開，代入數值即可．
【解析】解：由∴x2++2=9，∴x2+=7，
則= x2+-2=7-2=5．故選：B．
【點睛】本題考查完全平方公式，解題關鍵是熟記公式的幾個變形公式．
6．（2020·上海市久隆模范中學初一期中）已知求_________________。
【答案】47
【分析】根據已知等式兩邊同時除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【解析】∵，，∴兩邊同時除以x得：，即，
∴，即，∴，∴.
【點睛】本題考查已知式子的值求代數式的值，熟練應用等式的基本性質及完全平方公式是解題的關鍵.
7．（2020·四川省金堂縣隆盛鎮(zhèn)初級中學初一月考）已知，那么+的值是______________.
【答案】3
【分析】把化為，再由+=即可求解.
【解析】∵，∴，∴，
∴+=故答案為：3.
【點睛】本題考查了完全平方公式的變形應用，根據題目的特點，正確利用完全平方公式的變形是解決問題的關鍵.
8．（2020·重慶北碚·初三其他）已知，則等于（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把已知條件兩邊平方，然后利用完全平方公式展開整理即可得解．
【解析】∵，∴，即，∴．故選A．
【點睛】本題考查了完全平方公式，解題的關鍵在于乘積二倍項不含字母．
9．（2020·四川雁江·初二期末）已知，求，的值．
【答案】2，2
【分析】將已知的等式左右兩邊分別平方，再展開求得．
【解析】解：∵，∴，∴，
∴． ∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了完全平方公式，關鍵是把所求代數式整理為與所給等式相關的形式或與得到結果相關的形式．

題型7 配方法的應用
解題技巧：運用一個式子求解多個未知數，考慮平方的非負性，初中階段目前所學具有非負性的有（n為正整數).
1．（2020·廣西興業(yè)·月考）代數式的最小值為（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配方法對代數式做適當變形，通過計算即可得到答案．
【解析】代數式
∵∴即代數式故選：A．
【點睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識；解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質，從而完成求解．
2．（2020·江蘇寶應.初一期中）已知，，，則代數式的值為______．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
則原式

，故答案為：3．
【點睛】本題考查了代數式的求值，正確利用完全平方公式把所求的式子進行變形是關鍵．
3．（2020·吉林長春外國語學校初二期中）把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負性這一性質增加問題的條件，這種解題方法通常被稱為配方法．配方法在代數式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應用．
例如：若代數式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴當a＝b＝1時，代數式M有最小值1．
請根據上述材料解決下列問題：
（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2+4a+　 ??；
（2）若代數式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代數式a+b+c的值．
【答案】（1）4；（2）M的最小值為﹣3；（3）a+b+c=.
【分析】（1）根據常數項等于一次項系數的一半進行配方即可；
（2）先提取，將二次項系數化為1，再配成完全平方，即可得答案；
（3）將等式左邊進行配方，利用偶次方的非負性可得a，b，c的值，從而問題得解．
【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案為：4；
（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值為﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1，，∴a+b+c=.．
【點睛】本題考查了配方法的應用，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．
4．（2020·吉林長春.初二期中）閱讀下列解題過程，再解答后面的題目.
例題：已知，求的值.
解：由已知得即
∵，
∴有，解得∴.
題目：已知，求的值.
【答案】-
【分析】先將左邊的式子寫成兩個完全平方的和的形式，根據非負數的性質求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【解析】將，化簡得，即．
∵，，且它們的和為0，∴ ，，∴.
【點睛】本題考查的是完全平方公式的應用，解題的關鍵是將左邊的式子寫成兩個完全平方的和的形式．
5．（2020·福建同安?初二月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值等．
例如：求代數式的最小值．
當時，有最小值，最小值是．
根據閱讀材料用配方法解決下列問題：
（1）當為何值時，代數式有最小值，求出這個最小值．
（2）當，為什么關系時，代數式有最小值，并求出這個最小值．
（3）當，為何值時，多項式有最大值，并求出這個最大值．
【答案】（1）代數式有最小值為1；（2）代數式有最小值為3．（3）當，時，多項式有最大值為17．
【分析】（1）根據完全平方公式將寫成，然后利用非負數的性質進行解答；
（2）利用配方法將多項式轉化為，然后利用非負數的性質進行解答；（3）利用配方法將多項式轉化為，然后利用非負數的性質進行解答.
【解析】（1）原式當時，代數式有最小值為1；
（2）原式
代數式有最小值為3．
（3）原式

當，時，多項式有最大值為17．
【點睛】本題考查了配方法和完全平方公式的應用，以及偶次方非負性的應用，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵.
6．（2020·福建寧化?初一期中）“化歸與轉化的思想”是指在研究解決數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決.
（1）根據平方數是非負數這一性質，我們知道，可以得到.如果，求、的值.
（2）已知，試問：多項式的值是否與變量的取值有關?若有關請說明理由；若無關請求出多項式的值.
【答案】（1）a=﹣1，b=2；（2）值與x無關，值為3．
【分析】（1）根據題意，可以將題目中的式子化為材料中的形式，從而可以得到a、b的值；（2）先計算a﹣b，a﹣c，c﹣b的值，然后根據a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，代入求值即可．
【解析】（1）由a2+b2+2a﹣4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）=0，（a+1）2+（b﹣2）2=0，所以有a+1=0，b﹣2=0，解得：a=﹣1，b=2；
（2）多項式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值與變量x的取值無關．理由如下：
∵ax+2017，bx+2015，cx+2016，∴a﹣b=2，a﹣c=1，c﹣b=1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=（ab）+（ac）+（cb）=3，∴多項式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值與變量x的取值無關，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是3．
【點睛】本題考查了完全平方公式的應用、非負數的性質﹣偶次方，解題的關鍵是明確題目中的材料，可以將問題中方程轉化為材料中的形式．
7．（2020·福建泉州初三一模）已知：，且則．
【答案】14
【解析】因為，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．
考點：1．配方法2．非負數的性質．
8．（2020·湖南江永初一期中）已知a—4a+9b+6b+5=0,則a+b=_________。
【答案】
【解析】—4a+9+6b+5=0,
9．（2020·深圳市高級中學初二期中）若，則ab的值是（）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】將利用完全平方公式變形，求出a、b，問題得解．
【解析】解：變形得，，
即，∴，∴a=-3，b=2，∴．
【點睛】本題考查了利用完全平方公式變形求解，熟知完全平方公式是解題關鍵．

題型8乘法公式的幾何背景
解題技巧：兩個三項式相乘，若直接觀察題目的結構無法找到合適的公式套用，這時需要作合理的裂項，添加括號，再利用整體思想套用公式，這時應用乘法公式解題的基本技巧。
1．（2020·長春市第四十七中學月考）從下圖的變形中驗證了我們學習的公式（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據正方形中有顏色部分的面積=長方形的面積可得．
【解析】解：左邊正方形中有顏色部分的面積為a2-b2，右邊長方形的面積為（a+b）（a-b），
根據正方形中有顏色部分的面積=長方形的面積可得a2-b2=（a+b）（a-b），故選：D．
【點睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，解題的關鍵是根據題意得出正方形中有顏色部分的面積=長方形的面積，并表示出兩部分的面積．
2．（2020·廣東揭陽·期中）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是　　；（請選擇正確的一個）
A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b）
（2）應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【答案】（1）B；（2）①3；②．
【分析】（1）根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的結論寫成兩個式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的結論化成式子相乘的形式即可求解．
【解析】解：（1）第一個圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b），
則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；
（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；
②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=×=．
【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關鍵．
3．（2020·四川射洪中學月考）通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數恒等式，如圖可表示的代數恒等式是（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】C
【分析】根據圖形及等面積法可直接求解．
【解析】解：由圖可知：幾何圖形的面積為：，也可以表示為：；
所以可得；故選C．
【點睛】本題主要考查整式，關鍵是根據題目所給的圖形得到幾何面積的表示，然后利用等積法即可求解．
4．（2020·佛山市順德區(qū)杏壇梁銶琚初級中學月考）我們知道，圖形是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表現一些代數中的數量關系，對幾何圖形做出代數解釋和用幾何圖形的面積表示代數恒等式是互逆的．課本上由拼圖用幾何圖形的面積來驗證了乘法公式，一些代數恒等式也能用這種形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用圖①或圖②等圖形的面積表示．

(1)填一填：請寫出圖③所表示的代數恒等式：______________________________；
(2)畫一畫：試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.
【答案】（1）2a2＋5ab＋2b2；（2）詳見解析.
【分析】（1）由題意，等號的左邊表示的是長方形的面積，等號的右邊表示的是長方形里面的小圖形的面積和；故問題可求．（2）由（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2可知，圖形的兩個邊長為a+b和a+3b；里邊的小圖形有八個，一個面積為a2，4個面積為ab，3個面積為b2．
【解析】 (1)由題意,可得：
整理,得：故答案為
(2)由.可知,圖形的兩個邊長為a+b和a+3b;里邊的小圖形有八個,一個面積為a2,4個面積為ab,3個面積為b2.畫圖如下(答案不唯一)．

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，本題的解答須注意觀察圖形和等式的關系,規(guī)律:大長方形的面積=小圖形的面積和.
5．（2020·四川成都實外）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：

（1）圖2所表示的數學等式為_____________________；
（2）利用（1）得到的結論，解決問題: 若，求的值；
（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點在同一直線上，連接,若兩正方形的邊長滿足求陰影部分面積．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積，另一種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的乘法公式，進行變形得出答案即可；（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形EGF的面積-三角形AED的面積求解．
【解析】（1）由圖可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2?(a2+b2+c2)]= [122?60]=42；
（3）S陰影＝a2+b2? (a?b)a?b2
=a2+b2?a2+ab?b2= (a2+b2+ab)= [(a+b)2?ab]= [152?35]=95．
【點睛】此題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示同一圖形的面積．
6．（2020·北京市順義區(qū)第三中學初一期中）我們經常利用圖形描述問題和分析問題．借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路．
（1）在整式乘法公式的學習中，小明為了解釋某一公式，構造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長為a，b的大小兩個正方形，再延長小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗證了公式．則小明驗證的公式是；

（2）計算：（x+a）（x+b）= ；請畫圖說明這個等式．
【答案】（1）；（2）；畫圖說明見解析．
【分析】（1）根據各部分的面積以及兩種方式的面積相等的關系即可解答；
（2）將（x+a）（x+b）展開即可；畫一個長為x+b，寬x+a的長方形即可．
【解析】解：（1），故答案為；
（2），故答案為：，畫圖如下：

【點睛】本題主要考查的是平方差公式的幾何表示，掌握用代數計算和圖形面積表示平方差公式是解答本題的關鍵．
7．（2020·國開教育集團初一期中）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．
例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現什么結論？請用等式表示出來．

（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個正方形的邊長滿足a+b=10，ab=20，請求出陰影部分的面積．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
【分析】（1）此題根據面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個正方形的面積和6個矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解．
【解析】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S陰影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．
【點睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示同一圖形的面積.
8．（2020·甘肅·初一期末）（閱讀理解）“若滿足，求的值”．
解：設，，則，，．

（解決問題）（1）若滿足，則的值為________；
（2）若滿足，則的值為___________；
（3）如圖，正方形的邊長為，，，長方形的面積是200，四邊形和都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體的數值）．
【答案】（1）140；（2）；（3）1056；見詳解．
【分析】（1）根據題目所給的方法進行計算即可；（2）運用題目所給的方法進行計算即可；
（3）根據題意易得DG、ED的長，然后結合圖形及運用題目所給的方法求解即可．
【解析】（1）解：設，，則，
，
，故答案為：140；
（2）解：設，，則，，
．
（3）解：矩形的面積，設，，
則；
∴陰影部分的面積．答：陰影部分的面積為1056．
【點睛】本題主要考查完全平方公式的應用，熟練掌握公式及整體思想是解題的關鍵．

題型9 整式乘法的歸納猜想問題
1．（2020·青神縣實驗初級中學校初一期中）閱讀下文，回答問題：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）計算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=?? ??；
（3）你能計算399+398+397…+32+3+1的結果嗎？請寫出計算過程（結果用含有3冪的式子表示）.
【答案】（1）;;（2）；（3）.
【分析】(1)根據多項式乘以多項式的法則進行計算即可；(2)觀察式子特點可得規(guī)律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根據（2）中的規(guī)律先計算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得結果.
【解析】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= ∴399+398+397…+32+3+1=
【點睛】本題考查了有特定規(guī)律的整式乘法，按法則進行計算并觀察得到規(guī)律是解題的關鍵.
2．（2020·湖北陽新初二期末）好學小東同學，在學習多項式乘以多項式時發(fā)現：(?x+4)(2x+5)(3x-6)的結果是一個多項式，并且最高次項為：?x?2x?3x＝3x3，常數項為：4×5×(-6)=-120，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數．根據嘗試和總結他發(fā)現：一次項系數就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次項為-3x．
請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．(1)計算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多項式的一次項系數為_____．
(2)(?x+6)(2x+3)(5x-4)所得多項式的二次項系數為_______．
(3)若計算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多項式不含一次項，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，則a2020=_____．
【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次項系數，用每個括號中一次項的系數分別與另外兩個括號中的常數項相乘，最后積相加即可得出結論．（2）求二次項系數，還有未知數的項有x、2x、5x，選出其中兩個與另一個括號內的常數項相乘，最后積相加即可得出結論．（3）先根據（1）（2）所求方法求出一次項系數，然后列出等式求出a的值．（4）根據前三問的規(guī)律即可計算出第四問的值．
【解析】（1）由題意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次項系數是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．
（2）由題意可得(?x+6)(2x+3)(5x-4) 二次項系數是：．
（3）由題意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次項系數是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0∴a=-3．
（4）通過題干以及前三問可知：一次項系數是每個多項式的一次項分別乘以其他多項式常數項然后結果相加可得．所以(x+1)2021一次項系數是：a2020=2021×1=2021．
故答案為：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【點睛】本題考查多項式乘多項式，觀察題干，得出規(guī)律是關鍵．
3．（2021·安徽埇橋初二期末）如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧數”在正整數中，從1開始，第2018個智慧數是_____．
【答案】2693
【分析】如果一個數是智慧數，就能表示為兩個正整數的平方差，設這兩個數分別m、n，設m＞n，即智慧數=m2-n2=（m+n）（m-n），因為m，n是正整數，因而m+n和m-n就是兩個自然數．要判斷一個數是否是智慧數，可以把這個數分解因數，分解成兩個整數的積，看這兩個數能否寫成兩個正整數的和與差．
【解析】解：1不能表示為兩個正整數的平方差，所以1不是“智慧數”．對于大于1的奇正整數2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數都是“智慧數”．
對于被4整除的偶數4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數都是“智慧數”，而4不能表示為兩個正整數平方差，所以4不是“智慧數”．
對于被4除余2的數4k+2（k=0，1，2，3，…），設4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數，
當x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數，而4k+2為偶數，總得矛盾．
所以不存在自然數x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的數均不為“智慧數”．
因此，在正整數列中前四個正整數只有3為“智慧數”，此后，每連續(xù)四個數中有三個“智慧數”．
因為2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018個“智慧數”，故答案為：2693．
【點睛】本題考查平方差公式，有一定的難度，主要是對題中新定義的理解與把握．
4．（2020·石家莊市第二十八中學初一期中）（1），________；________．
（2）猜想：________（其中為正整數，且）．
（3）利用（2）猜想的結論計：________．
【答案】
【分析】（1）直接利用多項乘以多項式的運算法則，即可求出答案；（2）利用（1）中的關系，找出規(guī)律，即可得到答案.（3）利用（2）的結論，然后進行化簡計算，即可得到答案.
【解析】解：（1）==；
==；
故答案為：，；
（2）∵，，
，∴；
故答案為：；
（3）由（2）可知，∵，
∴，
∴
∴
∴；故答案為：.
【點睛】本題考查了整式的數字變化規(guī)律，乘方的運算法則，以及平方差公式的知識，解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行化簡，從而正確的得到式子的規(guī)律.
5．（2020·北京平谷.初一期末）我國古代數學的許多發(fā)現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展開式的系數規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中各項的系數，等等．
有如下四個結論：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②當a=-2，b=1時，代數式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；
③當代數式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0時，一定是a=-1，b=1；
④（a+b）n的展開式中的各項系數之和為2n．上述結論中，正確的有______（寫出序號即可）．

【答案】①②
【分析】根據題中舉例說明，明確楊輝三角的與的展開式的系數間的對應關系，據此逐項分析．
【解析】∵在楊輝三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數，
∴在楊輝三角形中第行的個數，對應展開式中各項的系數，
①∵展開式中各項的系數，為楊輝三角形中第6行的6個數，
∴；
②∵各項系數對應楊輝三角中的第4行的4個數，∴，
當時，代數式=；
③∵各項系數對應楊輝三角中的第5行的5個數，
∴，當代數式時，，不一定是；
④∵當時，展開式各項之和便是系數之和，
∴的展開式中的各項系數之和為，故答案為：①②．
【點睛】本題考查了合情推理，由具體舉例推廣到一般情況下楊輝三角與展開式的系數之間的對應規(guī)律，是解題的關鍵．
6．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均為正整數，若存在整數使得，則稱、關于同余，記作。若、、、、均為正整數，則以下結論錯誤的是_____.
①；②若，，則；
③若，，則；
④若，，則；
【答案】④
【分析】根據新定義進行推理論證便可判斷正誤．
【解析】解：①，，故①正確；
②，，，、為整數），
由兩式相加可得：，為整數），，故②正確；
③，，，、為整數），
，，由兩式相乘可得：，
，為整數，，故③正確；
④，，，，，，
兩式相除得，，，
不一定是整數，不一定正確，故④錯誤．答案為④．
【點睛】本題是一個新定義題，關鍵是根據新定義進行推理計算，主要考查了學生的推理能力和自學能力．
7．（2020·山東濱州初二期末）觀察下列各式：
；；；
；???，則______
【答案】
【分析】根據題意，總結式子的變化規(guī)律，然后得到，然后把代數式化簡，通過拆項合并的方法進行計算，即可求出答案．
【解析】解：∵；；；；……∴；
∴
；故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，以及數字的變化規(guī)律，解題的關鍵是熟練掌握正確掌握題意，找到題目的規(guī)律，從而運用拆項法進行解題．
8．（2020·甘肅天水中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數：，若，用含的式子表示這組數據的和是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得出，再利用整體代入思想即可得出答案．
【解析】解：由題意得：這組數據的和為：

∵，∴原式=,故選：A．
【點睛】本題考查規(guī)律型問題：數字變化，列代數式，整體代入思想，同底數冪的乘法的逆用，解題的關鍵是正確找到本題的規(guī)律：，學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

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