?八年級上期期中檢測卷（人教版）
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，的延長線于點(diǎn)D，的長線于點(diǎn)E．于點(diǎn)C，延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)C，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．是的AB邊上的高 B．是的邊上的高
C．是的邊上的高 D．不是的高
【答案】A
【分析】根據(jù)高是從三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高作答．
【詳解】解：A、不符合高的概念，故錯(cuò)誤；B、符合高的概念，故正確；
C、符合高的概念，故正確；D、符合高的概念，故正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的概念，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．
2．（2021·河南焦作市·八年級期末）如圖，為的一個(gè)外角，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，延長到點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【分析】由三角形外角性質(zhì)結(jié)合圖形，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】∵，∴，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
由三角形外角性質(zhì)即可直接得出，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
沒有條件可以證明出和的關(guān)系，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
∵，，∴，
∴，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)，掌握“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2021·浙江溫州市·八年級期末）如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【分析】直接根據(jù)三角形證明全等的條件進(jìn)行判斷即可；
【詳解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根據(jù)ASA即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根據(jù)AAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的證明條件，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∵AC=DF，∴根據(jù)SAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形證明全等所需添加的條件，正確掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；
4．（2021·黎平縣第五中學(xué)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD＝2，P為AB上一動點(diǎn)，則PD的最小值為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．無法確定
【答案】A
【分析】當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最小，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP＝CD，問題得解.
【詳解】當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最?。勺鲌D可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值為2，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，基本作圖等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
5．（2021·涿州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝16cm2，則陰影部分（△BEF）的面積等于（　?。?br />
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】B
【分析】三角形的一條中線分三角形為兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的面積相等，根據(jù)以上內(nèi)容求出每個(gè)三角形的面積，即可求出答案．
【詳解】解：∵S△ABC＝16cm2，D為BC中點(diǎn)，∴S△ADB＝S△ADC＝ ＝8cm2，
∵E為AD的中點(diǎn)，∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F為CE的中點(diǎn)，∴S△BEF＝ S△BEC＝4cm2，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線平分面積，能求出各個(gè)三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．
6．（2021·湖南茶陵·初二期末）如果點(diǎn)與關(guān)于y軸對稱，則b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，所以它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，列式求值．
【解析】解：∵與關(guān)于y軸對稱，∴，解得．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱時(shí)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系．
7．（2021·山東冠縣·八年級期中）下列各組所述幾何圖形中，一定全等的是（　　）
A．一個(gè)角是的兩個(gè)等腰三角形 B．兩個(gè)等邊三角形
C．各有一個(gè)角是，腰長都是8cm的兩個(gè)等腰三角形 D．腰長相等的兩個(gè)等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法對選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可得.(如：SAS、ASA、AAS、HL等).
【詳解】A、因?yàn)闆]有指出該角是頂角還是底角則無法判定其全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、因?yàn)闆]有指出其邊長相等，而全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、因?yàn)闆]有說明該角是頂角還是底角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、因?yàn)榉蟂AS，故本選項(xiàng)正確，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用，做題時(shí)要確定各角、邊的對應(yīng)關(guān)系，還要注意要證明三角形全等必須有邊的參與.
8．（2021·廣東九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，則∠ACF的度數(shù)為（ ）

A．48° B．36° C．30° D．24°
【答案】A
【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故選A．
考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)．
9．（2020·西安市鐵一中學(xué)初三一模）如圖，點(diǎn)為的重心，則的值是（ ）．
A． B． C． D．無法確定

【答案】C
【分析】如圖,分別延長、、，交、、于點(diǎn)、、，根據(jù)三角形重心定理得到、、是的中線，繼而根據(jù)三中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形即可求得答案.
【解析】如圖,分別延長、、，交、、于點(diǎn)、、，
因?yàn)镚是三角形重心，所以、、是的中線，所以 ，
即，同理，所以，
即= 1:1:1，故選C.

9．（2021·河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（ ）

A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
【答案】B
【分析】利用軸對稱畫圖可得答案．
【詳解】解：如圖所示，
，
球最后落入的球袋是2號袋，故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫出圖形．
11．（2021·鹽城市初二期中）已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，則△ADE的面積為（　　）
A．1 B．2 C．5 D．無法確定

【答案】A
【分析】因?yàn)橹繟D的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出△ADE的面積．過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可．
【解析】過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目需要作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用全等三角形和面積公式來解答．對同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力要求較高，是一道好題．
12．（2021·重慶市綦江中學(xué)八年級月考）如圖，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意逐個(gè)證明即可，①只要證明，即可證明;
②利用三角形的外角性質(zhì)即可證明; ④作于，于,再證明即可證明平分.
【詳解】解：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正確；
∴，由三角形的外角性質(zhì)得：
∴°，②正確；作于，于，如圖所示：

則°，
在和中，，∴，∴，
∴平分，④正確；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選B．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何的綜合型題目，難度系數(shù)偏上，關(guān)鍵在于利用三角形的全等證明來證明線段相等，角相等.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2021·河南駐馬店市·八年級期末）把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換．在自然界和日常生活中，存在著很多這種圖形變換（如圖①）．結(jié)合軸對稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動對稱變換過程中，兩個(gè)對應(yīng)三角形（如圖②）的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是_____________．

【答案】對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等
【分析】由已知條件，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和平移的基本性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：兩個(gè)對應(yīng)三角形的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等．
故答案為：對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱及平移的性質(zhì)，正確把握對應(yīng)點(diǎn)之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14.（2021?德城區(qū)八年級期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合．過角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種做法是利用了全等三角形對應(yīng)角相等，圖中判斷三角形全等的依據(jù)是　 ?。?br />
【分析】由三邊相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做題時(shí)要根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．
【解答】解：由圖可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO和△NCO中MO=NOCO=CONC=MC，∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，即OC是∠AOB的平分線．故答案為：SSS．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是一種重要的能力，要注意培養(yǎng)．
15．（2021·江西萍鄉(xiāng)初二期末）如圖，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則這個(gè)六邊形的周長等于_________．

【答案】15
【分析】凸六邊形ABCDEF，并不是一規(guī)則的六邊形，但六個(gè)角都是120°，所以通過適當(dāng)?shù)南蛲庾餮娱L線，可得到等邊三角形，進(jìn)而求解．
【解析】解：如圖，分別作直線AB、CD、EF的延長線和反向延長線使它們交于點(diǎn)G、H、P．

∵六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°，∴六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等邊三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，F(xiàn)A=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．
∴六邊形的周長為1+3+3+2+4+2=15．故答案為15．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定定理；解題中巧妙地構(gòu)造了等邊三角形，從而求得周長．是非常完美的解題方法，注意學(xué)習(xí)并掌握．
16．（2021·黎平縣第五中學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠ABE＝_____°．

【答案】24．
【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出EM＝EO＝EN，結(jié)合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，如圖所示．
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，
∴EM＝EO，EN＝EO，∴EM＝EN，
∵EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝24°．故答案為24．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義，作垂直巧妙的利用角平分線的性質(zhì)和判定得出BE平分∠ABC是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·重慶八中八年級期末）如圖，在中，，M、N為邊AB、BC上的兩個(gè)動點(diǎn)，將沿MN翻折，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D落在直線BC上方，連接CD，，且，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，_____________度．

【答案】40
【分析】連接BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，得 ，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三種情況討論可得結(jié)果．
【詳解】解：連接BD，如圖，

由折疊可得，MB=MD，BN=DN，∴，
∵ ∴
∴
∵ ∴
∵是等腰三角形，∴分三種情況討論：
①當(dāng)NC=DC時(shí)，
又 ∴
整理得， 故此種情況不存在；
②當(dāng)DN=DC時(shí)， ∴
解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此種情況須舍去；
③當(dāng)DN=NC時(shí)，
∵∴
解得， ∴ 綜上，的度數(shù)為 故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活掌握分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵．
18．（2021·云南省昆明市第十中學(xué)八年級期中）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB＝24，AC＝12，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒沿射線AN運(yùn)動，點(diǎn)D為射線BM上一動點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，且始終保持ED＝CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過_____秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．

【答案】0,4,12,16
【分析】設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時(shí),ΔDEB≌ΔBCA;由斜邊ED=CB,分類討論BE=AC或BE=AB
或AE=0時(shí)的情況,求出的值即可.
【詳解】解:設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時(shí), ΔDEB≌ΔBCA;此時(shí)AE=3t
分情況討論:(1)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),BE=24-3t=12,t=4;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),
①BE=AC 時(shí),3t=24+12,t=12;
② BE=AB時(shí),3t=24+24,t=16.
(3)當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí),AE=0,t=0;
綜上所述,因此, 本題正確答案是:0,4,12,16.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的運(yùn)用.
三、解答題（本大題共6小題，共66分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2021·綿陽市八年級期中）如圖，在由邊長為1的單位正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（﹣2，3）．

（1）畫出平面直角坐標(biāo)系xOy；
（2）畫出格點(diǎn)△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（3）在y軸上畫出點(diǎn)Q，使△QAB的周長最?。?br /> 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.
【分析】(1)由A、C的坐標(biāo)可得到平面直角坐標(biāo)系xOy；
(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出A、B、C對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可；
(3)連接AB1交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)△QAB的周長最?。?br /> 【詳解】解：（1）如圖所示：所畫平面直角坐標(biāo)系即為所求；
（2）如圖所示：△A1B1C1即為所求；
（3）如圖所示：點(diǎn)Q即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2021·河南平頂山市·八年級期中）在中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，連接并將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．

（1）如圖1，如果點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，線段和線段的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，如果點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）．
【答案】（1）；（2）成立，見解析
【分析】（1）運(yùn)用“SAS”證可得；（2）運(yùn)用“SAS”證可得．
【詳解】解：（1），即．
是由繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，．
又，，故答案為：．
（2）仍然成立．證明如下：
，即．
是由繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，．
又，，．
【點(diǎn)精】考核知識點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì)．理解全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
21．（2021·石家莊市第四十中學(xué)九年級二模）如圖，在中，D為BC中點(diǎn)，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．

（1）求證：；（2）若，，求AF的長．
【答案】（1）見解析；（2）4
【分析】（1）連接BE、EC，證明即可；
（2）證明，則，繼而求得的長
【詳解】（1）證明：如圖，連接BE、EC，

∵，D為BC中點(diǎn)，∴，
∵，，且AE平分，∴，
在和中，，（HL）∴．
（2）解：在和中，，
∴（HL），∴，
∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的證明，全等三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．（2021·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校八年級月考）如圖1，已知，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿射線運(yùn)動，點(diǎn)B沿射線運(yùn)動．

（1）如圖2，點(diǎn)C為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，連接、，在點(diǎn)A、B的運(yùn)動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由：
（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q．
①與的數(shù)量關(guān)系為____．②在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，求的度數(shù)．
【答案】（1）不變，120°；（2）①；②或
【分析】（1）由的和不變可知度數(shù)不變；
（2）①利用三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，分別用∠BAO和∠P表示出∠MBP，據(jù)此可得結(jié)果；
②設(shè)為度，可用表示三個(gè)內(nèi)角，分類討論可得答案．
【詳解】解：（1）的度數(shù)不變，理由如下：
點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，
，
，，，
，即的度數(shù)不變；
（2）①點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，
∴，
為的角平分線，，∴，
，，整理得：；
②設(shè)，則，，
為的角平分線，，
，點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，
，，
，，
中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，分四種情況：
（1），則，解得，此時(shí)，
（2），則，解得，此時(shí)，
（3），則，解得，此時(shí)，
（4），則，解得，故舍去，
中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，為或．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線，一元一次方程等知識點(diǎn)，是一道較綜合的題目，難點(diǎn)是表示三個(gè)內(nèi)角分類討論．
23．（2021·江蘇景山中學(xué)八年級期末）（1）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，DF與BC的延長線交于F點(diǎn)，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是　 ?。籅E＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是　 ??；（寫出結(jié)論即可，不必證明）

（2）將（1）中的點(diǎn)E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；
（3）將（1）中的點(diǎn)E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是　 ?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)論即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，因?yàn)?，所以可得出三者之間的關(guān)系；
（2）過作交于點(diǎn)，證明，DE=DF，ME=CF，即可得到結(jié)果；
（3）取中點(diǎn)，連接，證明△END≌△FCD，得到DE=DF，從而判斷BE、BF、BC的關(guān)系．
【詳解】解：（1）等邊中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，，；
（2）；．過作交于點(diǎn)，

則，，是等邊三角形，
則，，則，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中點(diǎn)，連接，如圖所示
，，，
，，
，，．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．
24．（2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延長線上．

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，試探究線段BE和DF的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，試探究線段BE和DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）BE＝FD．證明見解析；（2）BE＝FD，證明見解析．
【分析】（1）首先延長CA與BE交于點(diǎn)G，根據(jù)∠FDB=∠ACB，BE⊥DE，判斷出BE=EG=BG；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABG≌△ACF，即可判斷出BG=CF=FD，再根據(jù)BE=BG，可得BE=FD，據(jù)此判斷即可．
（2）首先過點(diǎn)D作DG∥AC，與AB交于H，與BE的延長線交于G，根據(jù)DG∥AC，∠BAC=90°，判斷出∠BDE=∠EDG；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△DEB≌△DEG，即可判斷出BE=EG=BG；最后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BGH≌△DFH，即可判斷出BG=FD，所以BE=FD，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：（1）如圖，延長CA與BE交于點(diǎn)G，

∵∠FDB＝∠ACB，∴∠EDG＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠EDG，即CE是∠BCG的平分線，
又∵BE⊥DE，∴BE＝EG＝BG，
∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，
∴∠EBF＝∠ACF，即∠ABG＝∠ACF，
在△ABG和△ACF中，，
∴△ABG≌△ACF（ASA），∴BG＝CF＝FD，
又∵BE＝BG，∴BE＝FD．
（2）BE＝FD，
理由如下：如圖，過點(diǎn)D作DG∥AC，與AB交于H，與BE的延長線交于G，
，
∵DG∥AC，∠BAC＝90°，∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°，
又∵∠BDE＝∠ACB，∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣∠C＝∠C，∴∠BDE＝∠EDG，
在△DEB和△DEG中，，
∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝EG＝BG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，即∠HBG＝∠HDF，
在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA），∴BG＝FD，
又∵BE＝BG，∴BE＝FD．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
25．（2021·河南安陽市·八年級期末）（1）如圖1，已知中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，直線l， 直線l，垂足分別為點(diǎn)C，D．依題意補(bǔ)全圖l，并寫出線段BC，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為______；

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，C，O，D三點(diǎn)都在直線l上，并且有，請問（1）中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】（1）補(bǔ)全如圖所示見解析；；（2）成立，證明見解析；（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖，易證△AOD≌△OBC，則有AD=CO，OD=BC，從而可得；
（2）利用三角形內(nèi)角和易證，再證明，同（1）即可證明結(jié)論；
（3）過B、C兩點(diǎn)作y軸垂線，構(gòu)造如（1）圖形，即可得三角形全等，再將線段關(guān)系即可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．
【詳解】（1）補(bǔ)全圖1如圖所示，；

證明：∵，直線l， 直線l，∴∠BCO=∠ODA=90°，∴∠BOC+∠OBC=90°，
又∵，∴∠BOC+∠AOD=90°，∴∠OBC=∠AOD，
在△AOD和△OBC中，∴△AOD≌△OBC（AAS）∴AD=CO，OD=BC，
∵，∴．
（2）成立．證明：如圖，
∵，，∴
在和中∴（AAS）
∴，∴
（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為．過程如下：過B、C兩點(diǎn)作y軸垂線，垂足分別為M、N，
同理（1）可得，CN=AM，AN=MB，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴CN=AM=3，ON=2，OA=1,∴MB=AN=ON-OA=1，OM=AM-OA=2，
∵點(diǎn)B在第四象限，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為：．
【點(diǎn)睛】主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)變換，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
26．（2021·湖北襄陽市·八年級期末）如圖1，在中，過點(diǎn)作，且，連接．

（問題原型）（1）若，且，過點(diǎn)作的的邊上的高，易證，從而得到的面積為______．
（變式探究）（2）如圖2，若，，用含的代數(shù)式表示的面積，并說明理由．
（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，若，，則的面積為______．
【答案】（1）32；（2），理由見解析；（3）16．
【分析】（1）如圖1中，由AAS定理可證△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；（2）如圖2中，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E，由AAS定理可證得△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論．
（3）如圖3中，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵在中，，過點(diǎn)作且過點(diǎn)作的的邊上的高，∴∴
∵∴．
在與中，∴，
∴故答案為：32

（2）理由：過點(diǎn)作延長線于點(diǎn) ∴
∵，∵∴．
在與中，∴，
∴
（3）如圖3中，∵∴BF=BC=×8=4．
過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，
∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．
∵S△BCD=BC?DE，∴S△BCD=∴△BCD的面積為16．故答案為：16
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．






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