人教版九年級數(shù)學上冊專題02圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型(原卷版+解析)

這是一份人教版九年級數(shù)學上冊專題02圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型(原卷版+解析)，共52頁。試卷主要包含了切線長模型等內(nèi)容，歡迎下載使用。
圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對角互補模型、半角模型。
模型1、切線長模型

圖1 圖2
1）切線長模型（標準類）
條件：如圖1，P為外一點，PA，PB是的切線，切點分別為A，B。
結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切線長模型（拓展類）
條件：如圖2，AD，CD，BC是的切線，切點分別為A，E，B。
結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將直尺、含的直角三角尺和量角器按如圖擺放，角的頂點A在直尺上讀數(shù)為4，量角器與直尺的接觸點B在直尺上的讀數(shù)為7，量角器與直角三角尺的接觸點為點C，則該量角器的直徑是（ ）．

A．3B．C．6D．
例2．（2023秋·福建莆田·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，是圓的兩條切線，，為切點，線段交圓于點．下列說法不正確的是（ ）
A．B．C．平分D．
例3．（2023·廣東汕頭·校考一模）如圖，為的切線，A為切點，過點A作，垂足為點C，交于點B，延長與的延長線交于點D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．
模型2. 燕尾模型

條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。 結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，以O為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結(jié)，下列選項中不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問題．
[材料]自從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習慣，就是在每個新章節(jié)備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上課時告訴學生．他通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”．在學習完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點．求作：直線，使與相切于點”．班上小巖同學所在的學習小組經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長為半徑作大圓；（2）若交小圓于點，過點作小圓的切線與大圓交于兩點（點在點的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．
[問題](1)請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說明理由．(2)延長交大圓于，連接，若，，求的長．
例3．（2023秋·湖北·九年級統(tǒng)考期末）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡：
(1)如圖1，與是圓內(nèi)接三角形，，，畫出圓的一條直徑．
(2)如圖2，，是圓的兩條弦，且不相互平行，畫出圓的一條直徑．
模型3. 蝴蝶模型
條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。
結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．
(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．
例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）概念引入
在一個圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．
概念理解
(1)如圖1，在中，半徑是5，弦，則這條弦的弦心距長為 ．
(2)通過大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時卻遇到了麻煩．請結(jié)合圖2幫助小明完成證明過程如圖2，在中，，，，求證：．
概念應用如圖3，在中，的直徑為20，且弦垂直于弦于，請應用上面得出的結(jié)論求的長．
例3．（2022·江西·九年級統(tǒng)考期中）用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中的平分線：
（1）如圖1，的兩邊與一圓切于點，點是優(yōu)弧的三等分點；
（2）如圖2，的兩邊與一圓交于，且．
模型4. 手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型
注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來的（常用旋轉(zhuǎn)或截長補短法）。

條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。
結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特別地，當=60°時，CD=CA+CB； 當=90°時，CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．
（2）[初步探索]小明同學思考如下：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：根據(jù)小明的思路，請你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為______．
（3）類比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．
（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．

例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．
（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，①證明：圓中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD
（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果．
課后專項訓練
1．（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點，則的長為（ ）
A．6B．8C．4D．3
2．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點A，B，E，CD分別交PA，PB于點C，D，且P，E，O三點共線．若∠P＝60°，則CD的長為（ ）
A．4B．2C．3D．6
3．（2023春·山東九年級課時練習）如圖，切于點切于點交于點，下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．
4．（2022秋·安徽淮南·九年級校考階段練習）如圖，點 和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·廣西·九年級專題練習）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．
6．（2022春·江蘇九年級期中）如圖，已知，，分別切于點A，B，D，若，則的周長是 ．若，則 ．

7．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖， 的半徑為 2， 為圓上一動弦，以 為邊作正方形，求的最大值 ．
8．（2022·湖北黃岡·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點P為CD的中點，若點D在圓上逆時針運動的路徑長為π，則點P運動的路徑長為 ．
9．（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓O的直徑，射線和是它的兩條切線，D點在射線上運動（且不與點A重合），E點在半圓O上，滿足，連接并延長交射線于點C．(1)求證：是半圓O的切線；(2)設，．①寫出y與x的關(guān)系式；
②若，求陰影部分的面積．

10．（2023春·北京西城·九年級?？奸_學考試）如圖，線段為的直徑，，分別切于點，，射線交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，．
(1)求證：；(2)求線段的長．

11．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學試題）如圖1，直線l是過圓心O的一條直線，點M，N是直線l上關(guān)于點O對稱的兩點．AB，CD是圓O的兩條直徑，其中，過點A，B，C，D作圓O的切線AN，BM，CN，DM．
(1)求證：的角平分線垂直平分線段MN．(2)在若干個多邊形組成的整體中，位于整體外側(cè)的邊的延長線相交組成的邊數(shù)最少的封閉多邊形，其面積被稱為該整體的延展面積．例如圖2，虛線所示的矩形的面積為兩個小矩形所組成的整體的延展面積．則圖1中，若可發(fā)生變化且不為60°，要使由四邊形ANCO和四邊形BMDO組成的整體的延展面積與時的相同，求可能的度數(shù)．
12．（2023·陜西西安·九年級校考期末）如圖，為圓的弦，半徑，分別交于點，．且．（1）求證：．（2）作半徑于點，若，，求的長．
13．（2022·綿陽市·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．（1）證明：點E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長．
14．（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，A，B，C，P是圓上的四個點，．
(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)若，求的長

15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：
阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．
如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點，即．
小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點截取一段線段，連接．
小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點M作于點H，連接
任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，
(2)就圖3證明：．
16．（2023·廣東東莞·校考模擬預測）已知在坐標系內(nèi)有一圓D（如圖所示），D上有兩點P，Q，過這兩點作圓D的切線．(1)求證：(2)若，求證：點D在的垂直平分線上．
專題02 圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型
知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。
圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對角互補模型、半角模型。
模型1、切線長模型

圖1 圖2
1）切線長模型（標準類）
條件：如圖1，P為外一點，PA，PB是的切線，切點分別為A，B。
結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切線長模型（拓展類）
條件：如圖2，AD，CD，BC是的切線，切點分別為A，E，B。
結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將直尺、含的直角三角尺和量角器按如圖擺放，角的頂點A在直尺上讀數(shù)為4，量角器與直尺的接觸點B在直尺上的讀數(shù)為7，量角器與直角三角尺的接觸點為點C，則該量角器的直徑是（ ）．

A．3B．C．6D．
【答案】D
【分析】連接，，，根據(jù)題意有：，，根據(jù)、是圓O的切線，可得，，證明，可得，即，問題得解．
【詳解】連接，，，如圖，

根據(jù)題意有：，，∵、是圓O的切線，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴量角器的直徑是，故選：D．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，解直角三角形等知識，明確題意，靈活運用切線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·福建莆田·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，是圓的兩條切線，，為切點，線段交圓于點．下列說法不正確的是（ ）
A．B．C．平分D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)證明，然后利用等腰三角形三線合一、全等三角形性質(zhì)對四個選項逐一判斷．
【詳解】∵，是圓的兩條切線∴
∵∴（）∴，故A正確，不符題意；
∴，故C正確，不符題意；
∵∴在中，故B正確，不符題意；
若，連接，∵，∴∴是等邊三角形，
∴，顯然不一定成立，故D錯誤，符合題意；故選D
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形三線合一、全等三角形判定與性質(zhì)，掌握這些是本題關(guān)鍵．
例3．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，為的切線，A為切點，過點A作，垂足為點C，交于點B，延長與的延長線交于點D．
(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)10
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出，再求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
，，，是的切線，，
在與中，，，
，，是半徑，是的切線；
（2）解：，，
在中，，
、為的切線，，
在中，，即，
解得，．
【點睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應用，切線長定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．
模型2. 燕尾模型

條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。 結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，以O為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結(jié)，下列選項中不一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)逐項分析即可．
【詳解】解：由圓的基本性質(zhì)可知：，，
∴，即：，故A正確；∴和均為等腰三角形，
∵和的頂角均為，
∴，，
∴，∴，故B正確；
∵當是的中位線時，滿足，由于不一定為的中點，
∴不一定等于，故C錯誤；
在和中，∴，∴，故D正確；故選：C．
【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解圓的基本性質(zhì)，熟練運用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．
例2．（2023秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問題．
[材料]自從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習慣，就是在每個新章節(jié)備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上課時告訴學生．他通過查閱新課標獲悉：切線長定理由“選學”改為“必學”，并新增“會過圓外的一個點作圓的切線”．在學習完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點．求作：直線，使與相切于點”．班上小巖同學所在的學習小組經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長為半徑作大圓；（2）若交小圓于點，過點作小圓的切線與大圓交于兩點（點在點的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．
[問題](1)請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說明理由．(2)延長交大圓于，連接，若，，求的長．
【答案】(1)作圖方法正確；作圖見解析；理由見解析(2)
【分析】（1）作圖方法正確，作出圖形，如圖所示，要證是小圓的切線，由圖及“連半徑、證垂直”的方法，先根據(jù)條件判定，進而得到，即可確定，從而得證；
（2）連接，如圖所示，在中，，，利用勾股定理得到，再由垂徑定理得到，結(jié)合，利用三角形中位線定理得到，在中，由勾股定理可得．
【詳解】（1）解：小巖同學所在的學生習小組提供的作圖方法正確，如圖所示：
以上即為所求作的圖形；理由如下：
∵是小圓的切線，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
又為半徑，∴是小圓的切線；
（2）解：連接，如圖所示：
在中，，，∴，
∵，為圓的半徑，，
，∴，∵為大圓的直徑，∴，
在中，．
【點睛】本題考查圓綜合，涉及切線證明、兩個三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，讀懂題意，作出圖形，熟練掌握切線判定、垂徑定理及勾股定理的運用是解決問題的關(guān)鍵．
例3．（2023秋·湖北·九年級統(tǒng)考期末）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡：
(1)如圖1，與是圓內(nèi)接三角形，，，畫出圓的一條直徑．
(2)如圖2，，是圓的兩條弦，且不相互平行，畫出圓的一條直徑．
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【分析】（1）設、交于點G，連接，交圓于點F，即可作答；
（2）連接、，交于點F，延長、，兩線交于點E，作直線，交圓于點M、N，即可作答．
【詳解】（1）如圖，設、交于點G，連接并延長，交圓于點F，
線段即為所求；
證明：如圖，、交于點Q，、交于點P，連接，交于點H，
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵， ∴，
∵，，∴，
∴，，
∴垂直平分弦，∴是圓的直徑；
（2）如圖，連接、，交于點F，延長、，兩線交于點E，作直線，交圓于點M、N，
線段即為所求． 證明方法同（1）．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握圓周角定理以及垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
模型3. 蝴蝶模型
條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。
結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．
(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．
(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．
【答案】(1)(2)見解析
【分析】（1）連接，，過點作，則為，的中點，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．
【詳解】（1）連接，，過點作，則為，的中點，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案為：
（2）過作，作，垂足分別為、，
∴，，，，
又∵，∴，連接、、、，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解此類題的關(guān)鍵．
例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）概念引入
在一個圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．
概念理解
(1)如圖1，在中，半徑是5，弦，則這條弦的弦心距長為 ．
(2)通過大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時卻遇到了麻煩．請結(jié)合圖2幫助小明完成證明過程如圖2，在中，，，，求證：．
概念應用如圖3，在中，的直徑為20，且弦垂直于弦于，請應用上面得出的結(jié)論求的長．
【答案】(1)3；(2)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，然后再根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可；
（2）連接、，證明，即可得出答案；
概念應用過點作交于，過點作交于，連接，證明四邊形是正方形，得出，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理求出，最后求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：連接，，，，
，，，，故答案為：3；
（2）證明：連接、，
，，，
，，，
，，，
，；
概念應用解：過點作交于，過點作交于，連接，
，，
，，四邊形是正方形，，
，，的直徑為20，，
，，.
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性質(zhì)．
例3．（2022·江西·九年級統(tǒng)考期中）用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中的平分線：
（1）如圖1，的兩邊與一圓切于點，點是優(yōu)弧的三等分點；
（2）如圖2，的兩邊與一圓交于，且．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）利用點、是優(yōu)弧的三等分點，連接，，其交點為，即可得出答案；
（2）利用，連接，，其交點為，即可得出答案．
【詳解】解：（1）射線即為所求，如圖：
證明：連接、，如圖：
∵的兩邊與一圓切于點，∴
∵點，是優(yōu)弧的三等分點∴
∴在和中∴
∴∴射線為的平分線；
（2）射線即為所求，如圖：
證明：∵，，
∴∴，
∴即
∵，
∴∴
∴即
∵∴
∴射線為的平分線．
【點睛】此題主要考查了復雜作圖，涉及到的知識點有切線長定理、同弧或等弧所對的弦相等、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、等式性質(zhì)等知識點，利用角平分線的定義得出角平分線上的點是解題關(guān)鍵．
模型4. 手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型
注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來的（常用旋轉(zhuǎn)或截長補短法）。

條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。
結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特別地，當=60°時，CD=CA+CB； 當=90°時，CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延長到，使，連接，先證明，得到，再證明，，最后得到．
【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，
在和中，，
，
，
即，，故選：C．
【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
例2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．
（2）[初步探索]小明同學思考如下：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：根據(jù)小明的思路，請你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為______．
（3）類比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．
（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）8；（3）；（4）
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；
（2）當是的直徑時，，此時的值最大，所以的最大值是；
（3）先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點在同一條直線上，則，當是的直徑時，，此時的值最大，則，即可求得周長的最大值是；
（4）連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，
，，
、、三點在同一條直線上，，
是等邊三角形，，
，是等邊三角形，， ；
（2）是的弦，且的半徑為，
當經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，
的最大值是，故答案為：．
（3）類比遷移解：如圖，，，
是的直徑，且圓心在上，，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，則，，，
，，
、、三點在同一條直線上，
，，
當經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，
，的最大值是，
，周長的最大值是．
（4）拓展延伸解：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，
，，，
連接、，，，
，，，
，，，的最小值為．
【點睛】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．
（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，①證明：圓中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD
（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）AD＋CD＝BD
【分析】（1）①由圓周角性質(zhì)得出∠ADB＝∠CDB，即可得出結(jié)論；②延長DC至點E，使得CE＝AD，連接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，由等邊三角形的判定得△BDE為等邊三角形即可得出結(jié)論；（2）延長DC至點E，使得CE＝AD，連接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，易判斷△BDE為為等腰直角三角形即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①證：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圓周角∠ADC，∴圓中存在“爪形D”；
②延長DC至點E，使得CE＝AD，連接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，
∴△BDE為等邊三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：
延長DC至點E，使得CE＝AD，連接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，
∴△BDE為等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識，讀懂題意正確理解題中圓中“爪形A”是解題的關(guān)鍵．
課后專項訓練
1．（2023秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點，則的長為（ ）
A．6B．8C．4D．3
【答案】D
【分析】由切線長定理得．從而得到，再由的周長為22，可得到，從而得到．再由，可得是等邊三角形，即可求解．
【詳解】解：∵與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點，
∴，∵，∴．
∵的周長為22，∴，∴，
∴，∴．
∵，∴是等邊三角形，∴．故選：D．
【點睛】本題主要考查了切線長定理，等邊三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握切線長定理，等邊三角形判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點A，B，E，CD分別交PA，PB于點C，D，且P，E，O三點共線．若∠P＝60°，則CD的長為（ ）
A．4B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】，先證明，得出，，得出，過點作，在中，設，則，利用勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：連接，
在和，PA，PB，分別切⊙O于點A，B，
，，
，，
，是等邊三角形，
，
，
又，
，
，，
過點作，如下圖
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，點為的中點，，
在中，設，則，，
，解得：，，，故選：A．
【點睛】本題考查了圓的切線，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線，掌握切線的性質(zhì)來求解．
3．（2023春·山東九年級課時練習）如圖，切于點切于點交于點，下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．
【答案】D
【分析】利用切線長定理證明△PAG≌△PBG即可得出．
【詳解】解：連接OA，OB，AB，AB交PO于點G，
由切線長定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，從而AB⊥OP．因此A．B．C都正確．
無法得出AB＝PA＝PB，可知：D是錯誤的．綜上可知：只有D是錯誤的．故選：D．
【點睛】本題考查了切線長定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用切線長定理解答．
4．（2022秋·安徽淮南·九年級校考階段練習）如圖，點 和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，證，利用全等的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】解：，
，，
在和中，，
，，故選：B．
【點睛】本題考查了圓的半徑相等，全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·廣西·九年級專題練習）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．
【答案】3
【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．
【詳解】解：∵E點為AF中點，∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，，
∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．
【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
6．（2022春·江蘇九年級期中）如圖，已知，，分別切于點A，B，D，若，則的周長是 ．若，則 ．

【答案】 30
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)，即可求出結(jié)果；
（2）連接、、，證明，，可得，，從而可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，利用四邊形的內(nèi)角和求得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：連接、、，∵，，分別切于點A，B，D，
∴，，，
∴，
∵、分別與相切于點A、B，∴，
又∵，∴，
∵與相切于點D，∴，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴，故答案為：30；．

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖， 的半徑為 2， 為圓上一動弦，以 為邊作正方形，求的最大值 ．
【答案】/
【分析】把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．
【詳解】如圖，連接、、把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在正方形中，， ，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
當O、、D三點共線時，取，
此時，的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
8．（2022·湖北黃岡·九年級專題練習）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點P為CD的中點，若點D在圓上逆時針運動的路徑長為π，則點P運動的路徑長為 ．
【答案】π．
【分析】連接OA，OB，AD，OP，OD，過點O作OH⊥AB于H．由圓周角定理可知∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，即可推出∠DOC+∠AOB＝180°．由OH⊥AB，DP＝PC，可證明AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD．根據(jù)同圓半徑相等可證明∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，即推出∠AOH+∠COP＝90°，又因為∠AOH+∠OAH＝90°，所以∠COP＝∠OAH，即可利用“AAS”證明△OHA≌△CPO，推出OP＝AH＝3，即點P的運動軌跡是以O為圓心，OP為半徑的圓，再根據(jù)題意知OD，OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，即可求出其圓心角，最后根據(jù)弧長公式即可求出答案．
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，AD，OP，OD，過點O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，
∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，
∴AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，
∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠COP＝∠OAH，
在△OHA和△CPO中，
∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，
∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OP為半徑的圓，
∵點D在圓上逆時針運動的路徑長為π，設圓心角為n，
∴，
∴n＝60°，
∵OD，OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，
∴點P的運動路徑的長．
故答案為：π．
【點睛】本題為圓的綜合題，考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)以及弧長公式等知識．正確的畫出其輔助線是解答本題的關(guān)鍵，本題較難．
9．（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓O的直徑，射線和是它的兩條切線，D點在射線上運動（且不與點A重合），E點在半圓O上，滿足，連接并延長交射線于點C．

(1)求證：是半圓O的切線；
(2)設，．
①寫出y與x的關(guān)系式；
②若，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①；②．
【分析】（1）連接，利用圓的切線的性質(zhì)和全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；
（2）①過點D作于點F，利用（1）中的結(jié)論，利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；
②依題意畫出圖形，利用解答即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵射線是半圓O的切線，E點在半圓O上，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴是半圓O的切線；
（2）解：①過點D作于點F，如圖，

∵、是半圓O的兩條切線，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴．
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
②當時，
∵，
∴與重合，此時四邊形為矩形，
連接，則四邊形為正方形，如圖，

∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，正方形，扇形的面積，依據(jù)題意添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023春·北京西城·九年級?？奸_學考試）如圖，線段為的直徑，，分別切于點，，射線交的延長線于點，的延長線交于點，于點．若，．

(1)求證：；
(2)求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)切線長定理，對頂角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)計算即可．
（2）連接，運用切線的性質(zhì)定理，勾股定理計算即可．
【詳解】（1）∵線段為的直徑，，分別切于點，，
∴，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）連接，
∵，是圓的切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是圓的切線，是圓的切線，
∴，，
設，
則，

∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故．
【點睛】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握切線長定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，是解題的關(guān)鍵．
11．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學試題）如圖1，直線l是過圓心O的一條直線，點M，N是直線l上關(guān)于點O對稱的兩點．AB，CD是圓O的兩條直徑，其中，過點A，B，C，D作圓O的切線AN，BM，CN，DM．
(1)求證：的角平分線垂直平分線段MN．
(2)在若干個多邊形組成的整體中，位于整體外側(cè)的邊的延長線相交組成的邊數(shù)最少的封閉多邊形，其面積被稱為該整體的延展面積．例如圖2，虛線所示的矩形的面積為兩個小矩形所組成的整體的延展面積．則圖1中，若可發(fā)生變化且不為60°，要使由四邊形ANCO和四邊形BMDO組成的整體的延展面積與時的相同，求可能的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)120°
【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得△MDO≌△MBO，從而易得∠AON=∠DOM，再由角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論成立；
（2）分別延長整體外側(cè)的邊的延長線分別相交于點E、F，如圖3與如圖4，則所得的四邊形為菱形，對于圖3，過點E作EP⊥MB于點P，則可求得菱形的邊長，從而可得菱形的面積，即可該整體的延展面積；當∠AOD不為60°時，如圖4，則由題意知，菱形的邊長與圖3中菱形邊長相等，由三角函數(shù)知識可求得∠E的度數(shù)，從而可求得∠AOD的度數(shù)．
【詳解】（1）如圖，設OG是∠AOD的角平分線，則∠1=∠2
∵MB、MD分別是⊙O的兩條切線
∴OD⊥MD，OB⊥MB
∵OD=OB，OM=OM
∴△MDO≌△MBO(HL)
∴MD=MB，∠MOD=∠MOB
∵∠NOA=∠MOB
∴∠NOA=∠MOD
∵∠1+∠2+∠NOA+∠MOD=180°
∴2∠1+2∠NOA=180°
即∠1+∠NOA=90°
∴∠GON=90°
即OG⊥MN
∵點M，N是直線l上關(guān)于點O對稱
∴OM=ON
∴OG垂直平分線段MN
即的角平分線垂直平分線段MN
（2）分別延長整體外側(cè)的邊的延長線分別相交于點E、F，如圖3與如圖4
∵AN⊥AB，BM⊥AB
∴AN∥BM
同理：DM∥CN
∴四邊形MENF是平行四邊形
∵OA=OB，OM=ON，∠AON=∠BOM
∴△AON≌△BOM
∴NA=MB
∵MB、MD、EA、ED分別是⊙O的切線
∴MB=MD，EA=ED
∴ME=MD+ED=MB+EA，NE=NA+EA=MB+EA
即ME=NE
∴四邊形MENF是菱形
圖3中，當∠AOD=60°時，∠DOB=180°?∠AOD=120°
∵OB⊥MB，OD⊥DM
∴∠DMB=60°
過點E作EP⊥MB于點P，則可得EP=AB
在Rt△EPM中，
則此時四邊形MENF的面積為
當∠AOD不等于60°時，如圖4，過點M作MH⊥EN于H，則MH=AB
由題意知，
∴即
∴
在Rt△MHE中，
∴∠E=60°
∵OA⊥AE，OD⊥DE
∴∠AOD=180°?∠E=120°
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，銳角三角函數(shù)，菱形的判定與性質(zhì)，菱形的面積計算等知識，屬于圓的綜合題，關(guān)鍵是讀懂（2）中題目的含意并正確理解題意，抓住問題的實質(zhì)，畫出圖形．
12．（2023·陜西西安·九年級?？计谀┤鐖D，為圓的弦，半徑，分別交于點，．且．
（1）求證：．
（2）作半徑于點，若，，求的長．
【答案】（1）證明見解析 （2）3．
【分析】（1）連接OA、OB，證明，即可得到；
（2）設OM=x，則OA=ON=x+2，在RtAOM中，根據(jù)勾股定理，列出方程，求出x，即可．
【詳解】解：（1）證明：連接OA、OB，如圖所示：
∵
∴∠AOE=∠BOD
∵OA=OB
∴∠OAE=∠OBF
∴
∴
（2）∵
∴AM=BM=4
設OM=x，則OA=ON=x+2
在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，
解得：x=3
∴OM=3．
【點睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，全等三角形判定，垂徑定理以及勾股定理，熟練各知識點以及準確計算是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2022·綿陽市·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）證明：點E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）要證明：E是OB的中點，只要求證OE＝OB＝OC，即證明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長，進而求出CD的長．
【詳解】（1）證明：連接AC，如圖
∵直徑AB垂直于弦CD于點E，
∴，AC＝AD，
∵過圓心O的線CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂線，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等邊三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴點E為OB的中點；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8
∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝．
【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、中垂線性質(zhì)、30°所對的直角邊是斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)．解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．
14．（2023春·湖北武漢·九年級?？计谥校┤鐖D，A，B，C，P是圓上的四個點，．

(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．
(2)若，求的長
【答案】(1)是等腰三角形，理由見解析
(2)．
【分析】（1）由圓周角定理得到，即可證明問題；
（2）作于M，交延長線于N，推出，得到AM=AN，PN=PM，即可證明Rt△ABN≌Rt△ACM，得到，從而求出的長，得到的長，于是求出的長．
【詳解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：作于M，交延長線于N，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．
15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：
阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．
如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點，即．
小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點截取一段線段，連接．
小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點M作于點H，連接
任務：
(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，
(2)就圖3證明：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）首先證明，進而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取C，連接，
∵是的中點，
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
∴ ；
（2）證明：在中，，
在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·廣東東莞·?？寄M預測）已知在坐標系內(nèi)有一圓D（如圖所示），D上有兩點P，Q，過這兩點作圓D的切線．
(1)求證：(2)若，求證：點D在的垂直平分線上．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）設直線交于T，由切線的性質(zhì)得到，再由四邊形內(nèi)角和定理得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，由此即可推出，即可證明結(jié)論；
（2）如圖所示，連接，證明，得到，即可證明點D在的垂直平分線上．
【詳解】（1）證明：設直線交于T，
∵是圓D的兩條切線，∴，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）解：如圖所示，連接，
在和中，，
∴，∴，∴點D在的垂直平分線上．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，四邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．