基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)
集合是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它能簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問題.作為一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象,同“數(shù)”的研究類似,遵循基本的研究路徑:定義→關(guān)系→運(yùn)算(見右圖—集合知識(shí)結(jié)構(gòu)圖).這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.簡單說來,在掌握集合知識(shí)的同時(shí),還要獲得如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本經(jīng)驗(yàn).
本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)就是掌握集合語言的使用,分三個(gè)階段來進(jìn)行:一是讀懂問題中的集合概念和符號(hào);二是處理問題時(shí),能根據(jù)需要運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述;三是根據(jù)情境需求能進(jìn)行三種語言(自然語言、圖形語言、符號(hào)語言)的轉(zhuǎn)換.這也正是本學(xué)習(xí)單元的素養(yǎng)暗線. 在掌握集合語言的過程中,逐漸熟悉集合的抽象性,積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn)一:元素與集合的概念一般地,我們把　　　　　　　統(tǒng)稱為元素,通常用小寫字母a,b,c,…表示.把一些元素組成的　　　　叫做集合(簡稱為集),通常用大寫字母A,B,C,…表示集合.?
名師點(diǎn)睛集合的三個(gè)特性(1)描述性:“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念,它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣,都只是描述性的說明.(2)整體性:集合是一個(gè)整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對(duì)象一旦組成了集合,這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體.(3)廣泛性:組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程,也可以是人或物等.
微思考你能舉例說出初中階段我們?cè)诖鷶?shù)方面學(xué)習(xí)過的集合嗎?
提示 自然數(shù)集合,有理數(shù)集合,實(shí)數(shù)集合,方程解的集合,不等式解的集合.
知識(shí)點(diǎn)二:集合中元素的特性1.集合中元素的三特性:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?2.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是　　　　的.?
名師點(diǎn)睛對(duì)集合中元素的特性的理解(1)確定性是集合的基本特征,沒有確定性就不能構(gòu)成集合.例如“課本中的難題”“聰明的孩子”,其中“難題”“聰明”因界定的標(biāo)準(zhǔn)模糊,故都不能組成集合.(2)互異性是判斷能否組成集合的另一標(biāo)準(zhǔn),也是最容易被忽視的性質(zhì).例如:“組成gd中的字母集合的元素是g,,,d”這句話是不對(duì)的,因?yàn)樵谶@個(gè)單詞中,字母“”雖然出現(xiàn)了兩次,但如果歸入集合中只能算作一個(gè)元素.根據(jù)互異性,正確的說法應(yīng)為“單詞gd中的字母組成集合的元素有3個(gè),分別為g,,d”.(3)無序性是指集合內(nèi)的元素是無序的.
微思考按照集合的定義,能找出符合下面的條件的集合嗎?①某班比較胖的同學(xué);②某班體重超過90 kg的同學(xué).
提示 ①不能,因?yàn)椤芭帧睕]有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn);②能,因?yàn)椤俺^90 kg”是一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn).
知識(shí)點(diǎn)三:元素與集合的關(guān)系
微思考(1)符號(hào)“∈”和“?”的寫法與以前學(xué)過的什么符號(hào)有類似性???(2)如何準(zhǔn)確理解符號(hào)“∈”和“?”?
提示 與符號(hào)“=”和“≠”有類似性.
提示 符號(hào)“∈”和“?”是表示元素與集合之間的關(guān)系,只能用于元素與集合之間,并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素,右邊是集合,具有方向性,左右兩邊不能互換.
知識(shí)點(diǎn)四:常用數(shù)集及其記法
微思考(1)非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別???(2)最小的自然數(shù)是什么?
提示 非負(fù)整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.
提示 由于自然數(shù)又稱為非負(fù)整數(shù),因此最小的自然數(shù)是0.
探究點(diǎn)一 集合的概念
問題1怎樣的對(duì)象全體可以構(gòu)成一個(gè)集合?【例1】 給出下列各組對(duì)象:①我們班中比較高的同學(xué);②無限接近于0的數(shù)的全體;③比較小的正整數(shù)的全體;④平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體;⑤正三角形的全體;⑥ 的近似值的全體.其中能夠構(gòu)成集合的有(　　)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)分析 判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合,就看判斷標(biāo)準(zhǔn)是否明確.
解析 ①②③⑥不能構(gòu)成集合,因?yàn)闆]有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn);④⑤可以構(gòu)成集合,“平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)”和“正三角形”都有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn).
規(guī)律方法　判斷一組對(duì)象能否組成集合的關(guān)鍵是看該組對(duì)象是否具有明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象,都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素.應(yīng)特別注意,含有不確定的模棱兩可的對(duì)象,不是數(shù)學(xué)意義上的集合.本題中①②③⑥都含有范圍不確定的對(duì)象.
變式訓(xùn)練[2023河北武安高一月考]下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是(　　)A.某教室內(nèi)的全部桌子B.2022年高考數(shù)學(xué)難題C.所有有理數(shù)D.小于π的正整數(shù)
解析 “某教室內(nèi)的全部桌子”屬于確定的概念,故能構(gòu)成集合;由于難題屬于不確定的概念,因此“2022年高考數(shù)學(xué)難題”不能構(gòu)成集合;由于任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù),故能構(gòu)成集合;小于π的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選B.
探究點(diǎn)二 集合中元素的特性及其應(yīng)用
問題2集合中的元素除了確定性外,是否還有其他特性?【例2】 已知集合A含有3個(gè)元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析 由-3∈A,分兩種情況進(jìn)行討論,注意根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行 檢驗(yàn).
解因?yàn)?3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=- .當(dāng)a=-1時(shí),a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不滿足元素的互異性,所以舍去a=-1.當(dāng)a=- 時(shí),經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.故a=- .
問題3兩個(gè)集合相等,本質(zhì)上反映了集合的元素具備怎樣的特性?【例3】 設(shè)a,b∈R,集合A中含有1,a+b,a3個(gè)元素,集合B中含有0, ,b3個(gè)元素.若集合A和集合B是相等的,則b-a=(　　)A.2B.-1C.1D.-2
解析 由已知,a≠0,故a+b=0,則 =-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
規(guī)律方法　集合中的元素除了確定性外,還有互異性、無序性.在涉及含字母的集合中元素問題時(shí),在根據(jù)題意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意檢驗(yàn)所求字母的值是否滿足集合中元素的性質(zhì),尤其是是否滿足集合中元素的互異性.
探究點(diǎn)三 元素與集合的關(guān)系
問題4如何判斷一個(gè)元素是否屬于一個(gè)集合?【例4】 (1)已知不等式2x-5

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1.1 集合的概念

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