基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
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知識點一:子集與真子集1.Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.名師點睛對Venn圖的理解(1)表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用Venn圖能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系.
名師點睛1.對子集的理解若A?B,則A有以下三種情況:①A是空集;②A是由B的部分元素組成的集合;③A是由B的全部元素組成的集合.故不能簡單地認(rèn)為“若A?B,則A是由B的部分元素組成的集合”.2.對真子集的理解(1)集合A是集合B的真子集,需要滿足以下兩個條件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x?A.(2)任何集合都一定有子集,用列舉法表示的集合,其真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1,也就是本身.
微思考(1)子集定義中“任意一個元素”能否改為“某個或某些元素”????(2)符號“?”與符號“∈”有什么區(qū)別????(3)集合A?B與集合A?B有什么區(qū)別與聯(lián)系??
提示 不能.“A是B的子集”的定義中“集合A中的任意一個元素都是集合B的元素”,即對任意x∈A都能得到x∈B.注意“任意一個元素”而不是某個或某些元素.
提示 符號“?”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“∈”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.
提示 A?B?A=B或A?B.因此若集合A是集合B的子集包含兩個方面:A?B或A=B.
知識點二:集合相等一般地,如果集合A的　　　　　　　都是集合B的元素,同時集合B的　　　　　　　　都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作　　　　　.?也就是說,若A　　　B,且B　　　A,則A=B.?名師點睛對集合相等的理解(1)集合A與集合B相等,就是集合A與集合B中的元素完全一致.(2)集合“A=B”可類比實數(shù)中的結(jié)論“若a≤b,且b≤a,則a=b”,即“若A?B,且B?A,則A=B”.
微思考通過子集來描述集合相等的定義與本書定義“構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的”有什么不同?
提示 現(xiàn)在的定義更抽象,具有邏輯推理性;原始的定義更具體,富有直觀性.
知識點三:空集一般地,我們把不含有　　　　　　的集合叫做空集,記為　　　,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即??A.? 也是集合
名師點睛有限集合的子集問題若有限非空集合A中含有n個元素,則有:(1)集合A的子集的個數(shù)為2n;(2)集合A的真子集的個數(shù)為2n-1;(3)集合A的非空子集的個數(shù)為2n-1;(4)集合A的非空真子集的個數(shù)為2n-2.例如,集合{1,2}的元素個數(shù)為2,其子集個數(shù)為22=4,子集分別為?,{1},{2},{1,2};真子集個數(shù)為22-1=3,真子集分別為?,{1},{2};非空子集個數(shù)為22-1=3,非空子集分別為{1},{2},{1,2};非空真子集個數(shù)為22-2=2,非空真子集分別為{1},{2}.
微思考0,{0},?之間有什么區(qū)別與聯(lián)系?
提示 0表示一個元素,{0}是含有一個元素0的集合,?是不含任何元素的集合,因此??{0}.
知識點四:子集與真子集的性質(zhì)由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,　　　　　;?(2)空集是任何非空集合的真子集,　　　　　;?(3)任何一個集合是它自身的子集,即　　　　　;?(4)若一個集合只有一個子集,則該集合是　　　.?微思考若A?B,能不能看成集合A是集合B中部分元素組成的集合?
提示 不能.因為當(dāng)A=?時,A?B,但A中不含任何元素;當(dāng)A=B時,有A?B,但A中含有B中所有元素.
問題1在學(xué)習(xí)實數(shù)時,首先是學(xué)習(xí)實數(shù)的定義及表示,然后是研究實數(shù)之間的關(guān)系、運算.“集合”與“實數(shù)”一樣,都是數(shù)學(xué)研究對象,其研究路徑也可類比.據(jù)此,在前面研究了集合的定義及表示后,接下來該如何研究?研究什么?問題2類比實數(shù)之間的大小關(guān)系、相等關(guān)系,集合與集合之間有哪些關(guān)系?
探究點一 集合的子集、真子集問題
問題3如何做到不重不漏地列出具體集合的子集?【例1】 (1)集合A={x|0≤x

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1.2 集合間的基本關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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