1.1.1　集合及其表示方法
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探究點(diǎn)一　集合的概念探究點(diǎn)二　元素與集合的關(guān)系探究點(diǎn)三　集合中元素的特性
第1課時(shí)　集合的概念及幾種常見的數(shù)集
1.正確認(rèn)識(shí)集合,會(huì)判斷哪些能組成集合哪些不能;2.能在具體情境中判斷元素與集合的關(guān)系,知道什么是空集;3.能正確判斷兩集合是否相等,掌握常見集合的表示.
知識(shí)點(diǎn)一　集合、元素的相關(guān)概念及元素的特征
2.元素與集合的關(guān)系(1)如果a是集合A的元素,就記作　　　　,讀作“a　　　　A”.?(2)如果a不是集合A的元素,就記作　　　　,讀作“a　 　　　A”.?3.集合的特點(diǎn):集合中元素的三個(gè)特點(diǎn)為　　　　　、　　　　　、無序性. ?4.集合的相等:給定兩個(gè)集合A和B,如果組成它們的元素　　　　　　,就稱這兩個(gè)集合相等,記作A=B. ?5.集合的分類根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)分為兩類:含有有限個(gè)元素的集合稱為　　　　　,含有無限個(gè)元素的集合稱為　　　　　.空集是　　　　　.?
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面上到原點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)可以組成一個(gè)集合.(　 )(2)人教B版必修第一冊(cè)課本上所有的難題能夠組成一個(gè)集合.(　 )(3)若集合A中有4個(gè)元素0,1,2,3,集合B中有4個(gè)元素3,2,1,0,則A=B.(　 )
[解析] (1)“平面上到原點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)”是確定的,能夠組成集合.
[解析] (2)“人教B版必修第一冊(cè)課本上所有的難題”不是確定的,不能組成集合.
[解析] (3)根據(jù)集合相等的定義,可知A=B.
解:(1)因?yàn)榧螦是由高一年級(jí)20個(gè)班組成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.(2)a與b是兩個(gè)不同的班,這是因?yàn)榧螦中的元素具有互異性.
2. 某中學(xué)2022級(jí)高一年級(jí)20個(gè)班構(gòu)成一個(gè)集合A.(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素嗎?(2)若a∈A,b∈A,則元素a,b有什么關(guān)系?為什么?
知識(shí)點(diǎn)二　常用數(shù)集及其記法
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)方程x-1=0的解是集合Z中的元素.(　 )(2)集合Q中含有元素π.(　 )(3)0?N.(　 )
[解析] (1)1是整數(shù).
[解析] (2)π是無理數(shù),不是Q中的元素.
[解析] (3)0是自然數(shù).
利用集合中元素的特性解決與方程有關(guān)的問題.集合與方程有密切聯(lián)系,利用集合中元素的特性,即元素的互異性,可以求出集合中參數(shù)的值.
例 若集合A中有兩個(gè)元素-1,3,集合B中有兩個(gè)元素x1,x2,且x1,x2均滿足方程x2+ax+b=0,A=B,求實(shí)數(shù)a,b的值.
例1 (1)下列選項(xiàng)中不能組成一個(gè)集合的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.著名科學(xué)家B.2022屆北京大學(xué)所有的本科畢業(yè)生C.所有的正奇數(shù)D.所有的等腰三角形
[解析] (1)選項(xiàng)A中,著名的科學(xué)家沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn),而選項(xiàng)B,C,D中所研究元素的標(biāo)準(zhǔn)明確.故選A.
(2)(多選題)下列哪些對(duì)象能構(gòu)成一個(gè)集合 (　 )A.身材高大的人B.比2大的數(shù)C.直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)D.面積較大的矩形
[解析] (2)對(duì)于A,因?yàn)闊o法界定什么樣的人身材高大,所以身材高大的人不是確定的,故A不能構(gòu)成一個(gè)集合;對(duì)于B,比2大的數(shù)是確定的,故B能構(gòu)成一個(gè)集合;對(duì)于C,直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)是確定的,故C能構(gòu)成一個(gè)集合;對(duì)于D,面積較大的矩形也不是確定的,故D不能構(gòu)成一個(gè)集合.故選BC.
[素養(yǎng)小結(jié)]確定性是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn).如果這組對(duì)象是“確定無疑”的,則可以構(gòu)成集合;如果這組對(duì)象是“模棱兩可”的,則不可以構(gòu)成集合.
探究點(diǎn)二　元素與集合的關(guān)系
變式 (1)[2022·鄭州期中] 下列說法中正確的是(　 )A.N*中最小的元素是0B.若-a∈N,則a∈NC.若a∈Q,b∈N,則ab∈QD.方程x2+1=2x的解集中含有兩個(gè)元素
[解析] (1)因?yàn)镹*是不含0的自然數(shù)集,所以A錯(cuò)誤;取a=-2,則-(-2)=2∈N,-2?N,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于D,解集中只含有元素1,故D錯(cuò)誤.只有C正確,故選C.
(2)由所有能被3整除的數(shù)組成的集合為M,則下列數(shù)中一定是集合M的元素的是　　　　.?①能被2整除的數(shù);②能被6整除的數(shù);③能被-3整除的數(shù);④能被5整除的數(shù).
[解析] (2)能被2整除的數(shù)不一定能被3整除,能被6整除的數(shù)一定能被3整除,能被-3整除的數(shù)一定能被3整除,能被5整除的數(shù)不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
[素養(yǎng)小結(jié)]判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法:(1)當(dāng)集合中的元素直接給出時(shí),首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的,然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn);(2)對(duì)于某些不便直接表示的集合,首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.
拓展 [2022·吉林大安期中] 已知集合A中含有三個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)a∈A時(shí),有6-a∈A,那么a= (　 )A.2B.2或4C.4D.0
[解析] 當(dāng)a=2時(shí),2∈A,6-a=4∈A,∴a=2滿足題意;當(dāng)a=4時(shí),4∈A,6-a=2∈A,∴a=4滿足題意;當(dāng)a=6時(shí),6∈A,但6-a=0?A,∴a=6不滿足題意.綜上所述,a=2或a=4.故選B.
例3 (1)[2021·常州一中高一期中] 已知集合A中含有兩個(gè)元素a+1,a2+4a-9,若-4∈A,則實(shí)數(shù)a的值為(　 )A.-5B.1C.5或-1D.-5或1
探究點(diǎn)三　集合中元素的特性
[解析] (1)因?yàn)锳中有兩個(gè)元素,且-4∈A,所以-4=a+1或-4=a2+4a-9.當(dāng)a+1=-4,即a=-5時(shí),a2+4a-9=-4,不滿足集合元素的互異性,舍去.當(dāng)-4=a2+4a-9時(shí),a=-5或a=1.若a=-5,則a+1=-4,a2+4a-9=-4,此時(shí)不滿足集合元素的互異性,舍去;若a=1,則a+1=2,a2+4a-9=-4,此時(shí)集合中的元素為2,-4,符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的值為1.故選B.
(2)已知集合S中含有三個(gè)元素2,a,b,集合P中含有三個(gè)元素2a,2,b2,且S=P.若a,b均是整數(shù),則a=　　　　,b=　　　　.?
變式 已知集合A中含有兩個(gè)元素1,a2-2a+2.若a∈A,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.?
[解析] 由題意可知a=1或a=a2-2a+2.當(dāng)a=1時(shí),a2-2a+2=1,與集合中元素的互異性矛盾,舍去;當(dāng)a≠1時(shí),a=a2-2a+2,解得a=1(舍去)或a=2,當(dāng)a=2時(shí),集合A中的兩個(gè)元素為1,2,滿足題意. 故a=2.
[素養(yǎng)小結(jié)]利用集合中元素的特點(diǎn)求參數(shù)的注意事項(xiàng):(1)根據(jù)集合中元素的確定性,可以解出參數(shù)的所有可能取值,再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn);(2)利用集合中元素的特點(diǎn)解題時(shí),要注意分類討論思想的應(yīng)用.
2. 用“bk”中的字母構(gòu)成的集合中,元素的個(gè)數(shù)為(　 )A.1B.2C.3D.4
[解析] “bk”中的字母構(gòu)成的集合中共有3 個(gè)元素,分別為b,,k.故選C.
4. [2022·衡水冀州中學(xué)高一期中] 設(shè)集合A中有兩個(gè)元素-1,a2-2a+5,若4∈A,則a=(　 )A.-1B.0C.1D.3
[解析] 因?yàn)榧螦中有兩個(gè)元素-1,a2-2a+5,且 4∈A,所以a2-2a+5=4,可得a2-2a+1=0,解得a=1.故選C.

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1.1.1 集合及其表示方法

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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