高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：數(shù)列模型的實際應(yīng)用問題（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（共20小題；）
1. 根據(jù) 年央行商業(yè)貸款基準(zhǔn)利率的有關(guān)規(guī)定：一年以下（含一年）年利率為；一至三年（含三年）利率為，三至五年（含五年）利率也為，五年以上利率為；某人向銀行貸款萬元，按年計復(fù)利的話，五年后一次性還清，則需要還款
A. 萬元B. 萬元
C. 萬元D. 萬元

2. 某林場計劃第一年造林畝，以后每年比前一年多造林，則第四年造林
A. 畝B. 畝C. 畝D. 畝

3. 河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．在龍門石窟的某處“浮雕象”共有層，每一層的數(shù)量是它下一層的倍，這些“浮雕象”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．已知該處共有個“浮雕象”，則正中間那層的“浮雕象”的數(shù)量為
A. B. C. D.

4. 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的倍，則塔的頂層共有燈
A. 盞B. 盞C. 盞D. 盞

5. 古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于尺，則至少需要
A. 天B. 天C. 天D. 天

6. 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，身上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面節(jié)的容積共升，下面節(jié)的容積共升，則第節(jié)的容積為
A. B. C. D.

7. 某廠在年底制定生產(chǎn)計劃，要使年底的總產(chǎn)量在年底的基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長率為
A. B. C. D.

8. 中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何?此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少?該問題中，斗為升，則馬主人應(yīng)償還粟
A. 升B. 升C. 升D. 升

9. 《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等?意思是今有蒲第一天長高尺，莞第一天長高尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間為（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）
A. 天B. 天C. 天D. 天

10. 我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百一十五里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地”則該人第一天走的路程為
A. 里B. 里C. 里D. 里

11. “十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為
A. B. C. D.

12. 《張邱建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈．頭節(jié)高五寸，頭圈一尺三．逐節(jié)多三分，逐圈少分三．一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)?”（注釋：①第一節(jié)的高度為尺；②第一圈的周長為尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多尺；④每圈周長比其下面的一圈少尺）問：此民謠提出的問題的答案是
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺

13. "神六飛天，舉國歡慶"，據(jù)科學(xué)計算，運(yùn)載“神舟六號”飛船的“長征二號”系列火
箭，在點火分鐘通過的路程為，以后每分鐘通過的路程增加，在達(dá)到離地面的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程大概需要的時間是
A. 分鐘B. 分鐘C. 分鐘D. 分鐘

14. 某棵果樹前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示．從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，值為
A. B. C. D.

15. 九章算術(shù) 中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面節(jié)的容積共升，下面節(jié)的容積共升，現(xiàn)自上而下取第，，節(jié)，則這節(jié)的容積之和為
A. 升B. 升C. 升D. 升

16. 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”則該問題的答案是
A. 盞B. 盞C. 盞D. 盞

17. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下“兩鼠穿墻”問題：有兩只老鼠同時從墻的兩面相對著打洞穿墻．大老鼠第一天打進(jìn) 尺，以后每天進(jìn)度是前一天的倍．小老鼠第一天也打進(jìn) 尺，以后每天進(jìn)度是前一天的一半．如果墻的厚度為尺，則兩鼠穿透此墻至少在第
A. 天B. 天C. 天D. 天

18. 某地區(qū)在六年內(nèi)第年的生產(chǎn)總值（單位：億元）與之間的關(guān)系如圖所示，則下列四個時段中，生產(chǎn)總值的年平均增長率最高的是
A. 第一年到第三年B. 第二年到第四年
C. 第三年到第五年D. 第四年到第六年

19. 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù) ：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是
A. B. C. D.

20. 一種專門侵占內(nèi)存的計算機(jī)病毒，開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原的倍，若該病毒占據(jù) 內(nèi)存（），則開機(jī)后經(jīng)過分鐘．
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 夏季某高山上的溫度從山腳起，每升高米降低，已知山頂處的溫度是，山腳溫度是，則該山的山頂相對于山腳處的高度是．

22. 中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達(dá)目的地，則第二天走了里路．

23. 有一種計算機(jī)病毒可以通過電子郵件進(jìn)行傳播，如果第一輪被感染的計算機(jī)數(shù)是臺，并且以后每一臺已經(jīng)被感染的計算機(jī)都感染下一輪未被感染的臺計算機(jī)，則至少經(jīng)過輪后，被感染的計算機(jī)總數(shù)超過臺．

24. 某地區(qū)森林木材存有量為，且每年增長率為，因生產(chǎn)建設(shè)的需要，每年年末要砍伐的木材量為，設(shè) 為第年末后該地區(qū)森林木材存量，則．

25. 對任何正整數(shù) ，記為的各位數(shù)字的平方和，對有，則．

三、解答題（共5小題；）
26. 某區(qū)為推動教育現(xiàn)代化，計劃從年至年為中小學(xué)每年新購置的電腦臺數(shù)均按的比率增長．其中，年兩年新購置的電腦數(shù)之和為，該區(qū) 年為中小學(xué)新購置的電腦臺數(shù)為多少?

27. 某投資商到一開發(fā)區(qū)投資萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出萬元，以后每年支出增加萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入萬元．設(shè) 表示前年的純利潤總和．
（前年的總收入前年的總支出投資額）．
（1）該廠從第幾年開始盈利?
（2）若干年后，投資商為開發(fā)新項目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達(dá)到最大時，以萬元出售該廠；②純利潤總和達(dá)到最大時，以萬元出售該廠，問哪種方案更合算?

28. 一對夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日這一天到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子歲上學(xué)時（歲的生日不再存入）將所有存款（含利息）全部取出，請你為這對夫婦算一算，能取回的錢的總數(shù)是多少?

29. 已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為（單位：），其中有部分舊住房需要拆除．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的建設(shè)新住房，同時也拆除面積為（單位：）的舊住房．
（1）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達(dá)式：
（2）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了，則每年拆除的舊住房面積是多少?（計算時取）

30. 在定期自動轉(zhuǎn)存模型下，
（1）如果儲戶存入定期為年的元存款，定期年利率為，連存年后，再取出本利和，試求出儲戶年后所得的本利和公式；
（2）如果存入萬元定期存款，存期年并自動轉(zhuǎn)存，年利率為，那么年后共得本利和多少萬元?
答案
1. B
2. B【解析】第一年造林畝，則第二年造林（畝），第三年造林為（畝），第四年造林（畝）．故選B．
3. D【解析】根據(jù)題意，可知從最下層往上“浮雕象”每層的數(shù)量構(gòu)成一個公比為等比數(shù)列，
設(shè)最下層的浮雕數(shù)量為，則由，解得，
所以正中間那層為第層，其“浮雕象”的數(shù)量．
4. B【解析】方法一：
設(shè)從上往下數(shù)第層的燈盞數(shù)量為，前層的燈盞數(shù)量和為，
由題意知，為公比為的等比數(shù)列，且，
所以，解得，即頂層的類為盞．
故選B．
方法二：
設(shè)塔頂?shù)? 盞燈，由題意是公比為的等比數(shù)列，
所以，
解得．
故選：B．
5. C
【解析】由題意知，這是一個等比數(shù)列問題，已知等比數(shù)列的公比，
，求的最小正整數(shù)，
因為，
所以，
所以，
，
所以．
故選C．
6. A【解析】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，
由題意得：，，
即
解得
所以．故選：A．
7. D【解析】設(shè) 年底的總產(chǎn)量為，年平均增長率為，則，
所以，
所以．
8. D【解析】因為，設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還的量分別為，，，
由題意可知其構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列，且，
則，解得，
所以馬主人要償還的量為．
9. C【解析】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列，其，公比為，其前項和為，則．
莞的長度組成等比數(shù)列，其，公比為，其前項和為．則，
由題意可得，，
整理得，，解得或（舍去）．
所以．
所以蒲、莞長度相等大約需要天．
10. C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)此人每天所走的路程為數(shù)列，其首項為，即此人第一天走的路程為，
又由從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
又由，即有，
解得：．
11. D【解析】從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為：．
12. A【解析】因為每竹節(jié)間的長相差尺，設(shè)從地面往上，每節(jié)竹長為：，，，，，
所以是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
由題意知竹節(jié)圈長，后一圈比前一圈細(xì)，分厘米即尺，
設(shè)從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為，，，，，
由是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以一蟻往上爬，遇圈則繞圈，爬到竹子頂，行程是：（尺）．
故答案選：A．
13. C
14. C【解析】方法一：因為隨著的增大，在增大，要使取得最大值，只要讓隨著的增大的值超過（平均變化）的加入即可，的值不超過（平均變化）的舍去，由圖象可知，，，，這幾年的改變量較大，所以應(yīng)該加入，到第，年的時候，改變量明顯變小，所以不應(yīng)該加入，故答案為C．
方法二：假設(shè) 是取的最大值，所以只要即可，也就是，即可以看作點與連線的斜率大于點與連線的斜率，所以觀察可知到第與連線的斜率開始大于點與連線的斜率．故答案為C．
15. B
16. B
17. B【解析】由題意：大老鼠與小老鼠每天走的路程為等比數(shù)列，
則有：大鼠：，前天共走了尺，
小鼠：，前天共走了尺，
若墻厚度尺尺，
，即，
時，未穿透，
時，穿透，
至少第天．
18. A【解析】設(shè)年平均增長率為，為第年的生產(chǎn)總值，因為，所以，由圖象比較，，，的大小可知，的值最大
19. A【解析】設(shè)該數(shù)列為，設(shè) ，則，
由題意可設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則．
可知當(dāng) 為時，數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和，即為．
容易得到時，，
A 項，由，，可知，故 A 項符合題意．
B 項，仿上可知，可知，顯然不為的整數(shù)冪，故 B 項不符合題意．
C 項，仿上可知，可知，顯然不為的整數(shù)冪，故 C 項不符合題意．
D 項，仿上可知，可知，顯然不為的整數(shù)冪，故 D 項不符合題意．
方法二：由題意可知：，，，，，
根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，求得每項和分別為：，，，，，
每項含有的項數(shù)為：，，，，，
總共的項數(shù)為，
所有項數(shù)的和為

由題意可知：為的整數(shù)冪．只需將消去即可，
則① ，解得：，總共有，不滿足，
② ，解得：，總共有，不滿足，
③ ，解得：，總共有，不滿足，
④ ，解得：，總共有，滿足．
所以該款軟件的激活碼為．
20. A
【解析】因為開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原的倍，所以分鐘后占據(jù)內(nèi)存，兩個分鐘后占據(jù)內(nèi)存，三個分鐘后占據(jù)內(nèi)存，故個分鐘后，所占內(nèi)存是原的倍，則應(yīng)有，所以，．
21. 米
22.
【解析】由題意，知每天所走路程形成以為首項，公比為的等比數(shù)列，則，解得，則，即第二天走了里路．
23.
【解析】假設(shè)第輪被感染的計算機(jī)為臺，則第輪被感染的計算機(jī)數(shù)為臺，而，所以，令它大于即可求出結(jié)果．
24.
【解析】由題意可知

25.
【解析】根據(jù)題意，得
于是從開始它是一個周期為的周期數(shù)列，從而
26. 臺．
27. （1）由題意知
由，即，解得．
由知，從第三年開始盈利．
（2）方案①：年平均純利潤
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立．
故方案①共獲利（萬元），此時．
方案②：
當(dāng) 時，．
故方案②共獲利（萬元）．
比較兩種方案，獲利都是萬元，但由于第①種方案只需年，而第②種方案需年，故選擇第①種方案更合算．
28. 不妨從每年存入的元到歲時產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時的元到歲時變成了，歲生日的元到歲時變成了，歲生日的元到歲時變成了，；歲生日的元到歲時變成了．
所以由數(shù)列可知，歲時取出的錢的總數(shù)為：．
29. （1）第年末的住房面積
第年末的住房面積
（2）第年末的住房面積
第年末的住房面積
第年末的住房面積
依題意可知，解得，所以每年拆除的舊房面積為．
30. （1）記得年后所得本利和為，
根據(jù)題意，第年存入的本金元，年后到期利息元，年后本利和為（元）；
年后到期利息為元，年后本利和為（元）；
；
各年的本利和是一個以為首項，為公比的等比數(shù)列．
故年后到期的本利和（元）．
（2）根據(jù)上式，年后本利和為（萬元）．
即年后共得本利和約為萬元．

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