?第3講　數(shù)列解答題（數(shù)列求和）
目錄
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：倒序相加法
突破二：分組求和法
突破三：裂項(xiàng)相消法
突破四：錯(cuò)位相減法求和
突破五：奇偶項(xiàng)討論求和
突破六：特定通項(xiàng)數(shù)列求和
突破七：插入新數(shù)列混合求和
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
1、倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2、分組求和法
如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
3、裂項(xiàng)相消法
3.1等差型
①
特別注意
②
如：（尤其要注意不能丟前邊的）
3.2無(wú)理型
①
如：
3.3指數(shù)型
①
如：
3.4通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型
如：①
②
本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.
4、錯(cuò)位相減法求和
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．
5、奇偶項(xiàng)討論求和
5.1通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：
5.2通項(xiàng)含有的類型；例如：
6、特定通項(xiàng)數(shù)列求和
6.1通項(xiàng)含絕對(duì)值：如：求的前項(xiàng)和
6.2通項(xiàng)含取整函數(shù)：如：求的前項(xiàng)和
6.3通項(xiàng)含自定義符號(hào)如：記表示x的個(gè)位數(shù)字，如
求的前項(xiàng)和
7、插入新數(shù)列混合求和
7.1插入新數(shù)列構(gòu)成等差

7.2插入新數(shù)列構(gòu)成等比
7.3插入新數(shù)混合
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：倒序相加法
1．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（????）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【詳解】，①
，②
兩式相加，又因?yàn)?br /> 故，所以
所以的前20項(xiàng)的和為

故選：B
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，，即，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，
，，
所以，，
因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：B.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題已知是上的奇函數(shù)，
故，
代入得：，
∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
令，
則，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故選：C．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知若等比數(shù)列滿足則（????）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【詳解】

等比數(shù)列滿足


即2020
故選：D
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則________.
【答案】##
【詳解】解：，



，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案為：.
6．（2022·黑龍江·尚志市尚志中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．
【答案】
【詳解】∵，
∴．
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，
∴．
設(shè)，①
則，②
①＋②，得
，
∴．
故答案為：
突破二：分組求和法
1．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是和的等差中項(xiàng).數(shù)列是等差數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為．
由已知得　代入可得．
于是．
故，解得或．
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，故，
.
設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為．
所以.
所以.
（2）解：由題得.
所以數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中）已知數(shù)列滿足（，且），且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在數(shù)列中，由得，而，
則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
因成等差數(shù)列，即，
有，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）由（1）得

=
3．（2022·廣東·中山大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足：，．
(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列，求滿足的最大正整數(shù)n．
【答案】(1)證明見解析，
(2)13
（2）利用分組求和法求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
【詳解】（1）法一：①，得②，
②－①，得，即，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，
又，∴，，公差，所以．
法二：令時(shí)，，，，
令時(shí)，，猜想．
下面數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，，，，
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
解得，所以成立．
綜上所述，時(shí)，．
，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
（2），
所以，
即
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
，，
所以滿足條件的最大正整數(shù)為13．
4．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且
由題意得：，又，，解得：，
∴ ，．
（2）
∴

．
5．（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)，；
(2)
（1）
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
由已知可得，即，解得，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，滿足上式，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）
由（1）可得，
∴，
所以
所以，
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以，
單調(diào)遞增，的最小值為，
要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
只要，即，
由可得，解得，
所以由可得，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為
突破三：裂項(xiàng)相消法
1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級(jí)中學(xué)一模（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)；.
(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，由題意得：解得
所以，
由，得，
又，所以是公比為的等比數(shù)列，
所以.
（2）證明：，
.
要證，即證，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，
所以得證.
2．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由題意得：；
當(dāng)時(shí)，，又，；
當(dāng)且時(shí)，，
整理可得：，
，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.
（2）由（1）得：，
.
3．（2022·四川·南江中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)，恒成立，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求證：．
【答案】(1)，，（）；
(2)證明見解析．
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，
由，，則，故．
由得，解得
∴，．（）
（2）由（1）可知，，故
∵，，則
∴．故命題得證.
4．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高三期中（文））已知等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，則

∴，∵，∴，
∴的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得，
.5．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)）在單調(diào)遞增數(shù)列中，已知，，且，，成等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．若對(duì)，不等式均成立．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，，故，
由己知條件得，，，
化簡(jiǎn)可得，
在等式左右兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)得，
故數(shù)列為等差數(shù)列，，
所以數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
故，即，
因?yàn)?，可得?br /> 故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.
（2），
∴
，
由，可知，若均成立，則.
6．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）將兩側(cè)同除，
可得，，
又因?yàn)椋?br /> 即數(shù)列是首項(xiàng)為1，,公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，，即，
則，

.
7．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且．
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
（1）
因?yàn)?，所，
則，所以數(shù)列是以 為首項(xiàng)，公差等于1的等差數(shù)列，
∴，即；
（2）
，
則；
綜上，， .
突破四：錯(cuò)位相減法求和
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由，得，
所以
，
又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，，
所以.記的前n項(xiàng)和為，
則①，
②，
由①-②得
，
所以.
2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）在數(shù)列中，因，則，
于是得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）知，，
則，
于是得，
兩式相減得：，
所以.
3．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和滿足，，且，設(shè)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，且，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，即，，
所以是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，從而得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得到結(jié)果.
所以．
（2）因?yàn)?，所以，即是等比?shù)列．
又，，所以公比，
所以．
由（1）知，所以．
所以，
所以，
兩式相減得，
即，所以．
4．（2022·四川資陽(yáng)·一模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由得，
當(dāng)時(shí)，，故，
則，即，

是以為公比的等比數(shù)列，
由得，即

故
（2）
則時(shí)，，
兩式相減得，
故，
又，則，符合，


則
則

5．（2022·云南云南·模擬預(yù)測(cè)）給定三個(gè)條件：①成等比數(shù)列，②，③，從上述三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.
問題：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，___________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.
選條件①：成等比數(shù)列，
，
解得，故數(shù)列的通項(xiàng).
選條件②：，
解得，故數(shù)列的通項(xiàng).
選條件③：，
，
解得，故數(shù)列的通項(xiàng).
（2）由（1）得
所以，
可得，
兩式相減得
，
所以.
突破五：奇偶項(xiàng)討論求和
1．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
(1)
證明：因?yàn)?，?br /> 所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；
(2)
由（1）可得，即，
則
.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
則

.
2．（2022·陜西·銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
（1）
因?yàn)椋裕?br /> 所以當(dāng)時(shí)，．
兩式相減，得，
即．
所以．
相減得，
即．
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
當(dāng)n＝1時(shí)，，解得．
所以公差．
所以．
（2）
，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．
綜上所述，
3．（2022·江西贛州·二模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
(1)
當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，，即
所以得
即以為首相，公比為2的等比數(shù)列
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(2)

①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

綜上：
4．（2022·山東濰坊·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明，，是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，證明見解析；
(2)．
(1)
①，，
當(dāng)時(shí)，，∴或(舍)，
當(dāng)時(shí)，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為－2，公比為2的等比數(shù)列，
∴．
∵
，
∴，，成等差數(shù)列；
(2)
，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，



．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，




．
綜上可知．
5．（2022·天津和平·一模）已知等差數(shù)列各項(xiàng)均不為零，為其前項(xiàng)和，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；
(3)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和的最大值、最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值為，最小值為
（1）
因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，
所以，
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以，
即所以，
；
（2）
解法1：，
==，
解法2：， ①
， ②???①-② 得
，
；
（3）

記的前n項(xiàng)和為，
則=
，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)隨著n的增大而減小，可得，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)隨著n的增大而增大，可得，
所以的最大值為，最小值為.
突破六：特定通項(xiàng)數(shù)列求和
1．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.
①；②；③.
已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，_____.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，其中表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)147
（1）
解：選擇條件①.
由，得，
兩式作差得，即，
故為等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，由條件①知，，故公差，
所以.
選擇條件②.
當(dāng)時(shí)，可知，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，
即，又，所以，
所以是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以.
選擇條件③.
由，得為常數(shù)列，
所以，得，
當(dāng)時(shí)，，
又也符合上式，所以.
（2）
解：由（1）可得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，
.
2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高三階段練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，_____________.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)表示不超過的最大整數(shù)，記，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)若選①或②，,；選③，
(2)若選①或②，；選③，
（1）
若選①：
因?yàn)椋裕?br /> 兩式相減得，整理得，
即，所以為常數(shù)列，，所以；
若選②：
因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減，
得，因?yàn)椋裕?br /> 故為等差數(shù)列，則；
若選③：
由，變形得：，則，
易知，所以，則為等差數(shù)列，由，則，，所以，
由當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以.
（2）
若選①或②：
由題意，，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；
.
若選③：
由題意，，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；
.
3．（2022·廣東珠?！じ呷A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若表示不大于m的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求．
【答案】(1)
(2)26
（1）
設(shè)的公差為d，的公比為，
因?yàn)椋?，?br /> 所以，
整理可得：，
解得或（舍），
所以．
（2）
由（1）有： ，
則，
，
兩式相減得
，
整理得，顯然，且，
故為遞增數(shù)列，又因?yàn)?，，?br /> 所以，當(dāng)時(shí)，，
所以．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
（1）
因?yàn)闉楣顬榈牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，
且
所以，解得，則公差，
所以，
由于，所以，

（2）
由于，
，

，
所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和，


5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)
(1)
，
或，
為正項(xiàng)數(shù)列，
；
(2)
，
是周期為12的周期數(shù)列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，

.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）.
【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以；
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí)，即
突破七：插入新數(shù)列混合求和
1．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中是公差不為的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得：，
，則，
為等比數(shù)列，等比數(shù)列的公比為；
當(dāng)時(shí)，，，解得：，

（2）假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)，
由（1）得：，又，；
成等比數(shù)列，，即，
成等差數(shù)列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，則，與已知中是公差不為的等差數(shù)列相矛盾，
假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在滿足題意的項(xiàng).
2．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在①，②的前7項(xiàng)和為77，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．
已知等差數(shù)列中，，_____________．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入4個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成新的等差數(shù)列，則是不是數(shù)列的項(xiàng)？若是，它是的第幾項(xiàng)？若不是，，求k的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)是數(shù)列的第21項(xiàng)
【詳解】（1）（1）設(shè)的公差為d．因?yàn)?，所以?br /> 若選①，因?yàn)?，所以?br /> 解得，故．
若選②．因?yàn)榈那?項(xiàng)和為77，
所以，
解得，故．
若選③．因?yàn)?br /> ，
解得，故．
（2）由已知數(shù)列的第n項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，
令，解得，
故是數(shù)列的第21項(xiàng)．
3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，
則且
則或（舍）
則，
即通項(xiàng)公式
（2）因?yàn)榕c（，2，…）之間插入，
所以在數(shù)列中有10項(xiàng)來(lái)自，10項(xiàng)來(lái)自，
所以
4．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，設(shè).
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)將插入中，插入中，插入中，，依此規(guī)律得到新數(shù)列，求該數(shù)列前20項(xiàng)的和.
【答案】(1)，證明見解析
(2)
（1）
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，故，所?
因?yàn)?，所以?shù)列是公比為4的等比數(shù)列.
（2）
由題意，該數(shù)列前20項(xiàng)的和包含的前5項(xiàng)，的前15項(xiàng)，
設(shè)該數(shù)列前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，
所以.
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)，且線段P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是.
（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值；
（2）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm.
【答案】（1）證明見解析；（2）Sm＝
【詳解】（1）證明：∵P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∴＝，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)，
∴y1＝，y2＝，
∴y1＋y2＝＋
＝
＝
＝＝＝，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為＝.
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值.
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am
＝
令
由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)
∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).
又f（1）＝＝，
∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.
2．（2022·廣東江門·高二期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且滿足，
所以，即，
又，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，則，
所以.
3．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列滿足：；
(1)判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)是，證明見解析
(2)
【詳解】（1）將兩邊同除
得：，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，


是“指數(shù)型數(shù)列”
（2）因?yàn)椋瑒t

.
4．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且滿足，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由已知，
設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公差為
，
解得：，
所以
因?yàn)椋?br /> 數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，所以
解得：， ，所以
所以
（2）由已知
所以



5．（2022·福建泉州·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且．
(1)求的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)?br /> 所以，，
因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即，
所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.
所以
（2）解：由（1）知，其公差為，
所以，
所以，
6．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為0，且，數(shù)列的首項(xiàng)，且對(duì)任意正整數(shù)恒有.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和S2n.
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以，
令，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，所以.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
所以奇數(shù)項(xiàng)的前項(xiàng)和為，
偶數(shù)項(xiàng)的前項(xiàng)和為①，
①得：②，
①-②得：

，
所以，.
7．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二期中（文））是等差數(shù)列，公差，是的前項(xiàng)和.已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，得①
又②
由①得代入②得
解得或
時(shí)，，不合題意，舍去
所以，，則
所以
（2）解：


.
所以.
8．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求證：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)棰伲?br /> 所以時(shí)，②，
得，即，，
所以，，
在①式中，令，得，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列．
所以，
所以．
（2））由，所以
．
因?yàn)?，所以，得證．
9．（2022·湖北·高三期中）已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求正整數(shù)n的最大值.
【答案】(1)；
(2)1617
【詳解】（1）由題意可知：，解得
∴ ∴
（2）由題意可知
∴
∵，解得
∴n的最大整數(shù)為1617
10．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三期中（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
（1）
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，
則，
整理得.
因?yàn)椋?br /> 所以.
當(dāng)時(shí)，，
又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
（2）
由（1）得，
所以.
所以，
所以.
11．（2022·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為4的單調(diào)遞增數(shù)列，滿足
(1)求證：；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列前?和，求的值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）證明：由題意得，，即，即，
∵數(shù)列是首項(xiàng)為4的單調(diào)遞增數(shù)列，，∴
（2）由（1）得，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故，
則，





∴
12．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，．
（1）求的值，并證明的等比數(shù)列；
（2）設(shè)，，求．
【答案】（1），證明見解析；（2）.
【詳解】：（1）令，得 ，
化簡(jiǎn)得，
∵，∴ ．
由題意得，
整理得，
∴，
∴，∴ ，
∴是等比數(shù)列．
（2）由（1）知，，
∴，
∴

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