?第2講　數(shù)列解答題（數(shù)列求通項）
目錄
第一部分：知識強化
第二部分：重難點題型突破
突破一：法
突破二：法
突破三：累加法
突破四：累乘法
突破五：構(gòu)造法
突破六：倒數(shù)法
突破七：隔項等差
突破八：隔項等比
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)
第一部分：知識強化
1、對于數(shù)列，前項和記為；
①；②
①- ②：
法歸類
角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系

用，得到

例子：已知，求
角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系
替換題目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左側(cè)含有：
作差法（類似）
例子：已知求

2、對于數(shù)列，前項積記為；
①；②
①②：
法歸類
角度1：已知和的關(guān)系
角度1：用，得到
例子：的前項之積.

角度2：已知和的關(guān)系
角度1：用替換題目中
例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.
3、累加法（疊加法）
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：





將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
4、累乘法（疊乘法）
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：





將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：

整理得：
5、構(gòu)造法
類型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.
標準模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）
類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式.
（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項公式.
（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式.
6、倒數(shù)法
用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.）
7、隔項等差數(shù)列
已知數(shù)列，滿足，
則；
（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：
①構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
②構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
8、隔項等比數(shù)列
已知數(shù)列，滿足，
則；
（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：
①構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
②構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
第二部分：重難點題型突破
突破一：法
1．（2022·河北張家口·高三期中）已知正項數(shù)列的前n項和為，其中．
(1)求的通項公式，并判斷是否是等差數(shù)列，說明理由；
【答案】(1)，數(shù)列不是等差數(shù)列，理由見解析；
【詳解】（1）由得，當時，，兩式相減得，整理得，
因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以，則，即，
在中，令，則，
解得或-1（舍去），所以，
所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，公差為2，
所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.
2．（2022·湖南益陽·高二階段練習(xí)）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）當時，，解得；
當時，由，得，
兩式相減可得，，又，
，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，
因此，的通項公式為；
3．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和，且.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）證明：∵，
∴當時，，
∴，
∴.
當時，，
∴，即，
故是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
4．（2022·江蘇南通·高三期中）已知為正項數(shù)列的前n項和，且，當時，.
(1)證明為等差數(shù)列，并求的通項公式；
【答案】(1)證明見解析，
【詳解】（1）因為，所以，
所以為等差數(shù)列.
因為，所以，所以，
所以
當時，
，
當時，，所以.
5．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1）由題，當時，，即.
①
當時，②
①-②得，
所以.
當時，也適合，
綜上，.
6．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且對任意的都有．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)，
【詳解】（1）解：因為，，
當時，，
兩式相減，得，即．
又當時，，得，滿足上式．
所以，．
7．（2022·福建·泉州五中高三期中）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為．且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由已知得：，
因為，，
所以，且，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，．
8．（2022·湖北襄陽·高三期中）已知數(shù)列滿足
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：當時，，則，
當時，由，
可得，
上述兩個等式作差可得，則，
又也滿足，所以的通項公式為.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，滿足，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.
【答案】證明見解析.
【詳解】，，而有，于是得，
顯然，，因此，
所以數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列.
突破二：法
1．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，為其數(shù)列的前項積，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）∵為前項積，且，則，
∴，則，
又∵，，則時上式也成立，
∴成首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，
故，.
2．（2021·陜西·咸陽市實驗中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為數(shù)列的前項積，且，為數(shù)列的前項和，滿足（，）.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求的通項公式；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）∵，，
，，
（）
而，數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，
當時，，
當時，，
而，，，均不滿足上式.

3．（2022·河南安陽·高三期中（理））已知數(shù)列的各項均不為0，其前項的乘積.
(1)若為常數(shù)列，求這個常數(shù)；
(2)若，設(shè)，求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)2
(2)
【詳解】（1）已知，當時，有，
因為為常數(shù)列，所以
故這個常數(shù)為2.
（2）已知，
所以當時，，
兩邊同時取對數(shù)，則，
當時，，，
因此的首項為1，且從第二項開始，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以
所以數(shù)列的通項公式為.
4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，且滿足a1＝1，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
（1）因為，則，所以，
顯然，所以，即，
故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，
5．（2022·河北邢臺·高三開學(xué)考試）數(shù)列的前n項積.數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列、的通項公式.
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，，
(2)前n項和為，
（1）前n項積為，
①n＝1時，，
②時，，，
符合上式，∴，，.
的前n項和為，
①n＝1時，，
②時，，
，
符合上式，∴，；
（2）
記前n項和為
???①
????????②
①－②得



∴，
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項積為，且，，.
(1)求的通項公式；
(2)證明：為等比數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見解析
（1）解：當時，，，
當時，，
所以，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）證明：，，
當時，，則，
由于，則，
所以數(shù)列是等比數(shù)列.
7．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列前項和，的前項之積.
(1)求與的通項公式.
【答案】(1)，
(1)解：（1）由，
當時，
當時，，
當時，上式也成立，
所以，
由，
當時，，
當時，，
當時，上式也成立，
所以；
突破三：累加法
1．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足數(shù)列為等比數(shù)列，，且對任意的．
(1)求實數(shù)的值及的通項公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1）設(shè)的公比為．

．
，解得．
又．
，
，時，
當時，滿足解析式，所以的通項公式為．
2．（2022·陜西寶雞·高三期中（文））設(shè)數(shù)列滿足，且.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；
【答案】(1)證明見解析，;
【詳解】（1）由已知得， 即，
是以 4 為首項， 2 為公差的等差數(shù)列.
，
當時，,
當時，也滿足上式，所以;
3．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：．
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)證明見解析，
（1）由，
故數(shù)列是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
∴，
當時，滿足，
故對．
4．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)證明見解析，
（1）由，可得
又，，
所以.
所以首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以.
所以.
又滿足上式，所以
突破四：累乘法
1．（2022·河北張家口·高三期中）已知正項數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由條件可知，,
得，
當時，

，
當時，成立，
所以；
2．（2022·湖南岳陽·高二期中）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：由已知，時，，
與已知條件作差得：
所以，
所以,n=1成立
3．（2022·福建·高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：由，得，
當時，，
，即，
，
當時，上式也成立，
；
4．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且是公差為2的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式以及；
【答案】(1)，；
【詳解】（1）解：由題意可知，
整理可得，①
則，②
由②-①可得，
整理可得，因為，
所以，
因為，所以，
．
5．（2022·江蘇泰州·高三期中）設(shè)數(shù)列的前項和為，，．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：當時，由可得，
上述兩個等式作差可得，所以，，則，
所以，，
也滿足，故對任意的，.
突破五：構(gòu)造法
1．（2022·江蘇鹽城·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中,,．
(1)求證:是等比數(shù)列,并求的通項公式;
【答案】(1)證明見解析,
【詳解】（1）證明:
,
,
故數(shù)列是以為首項,4為公比的等比數(shù)列,
,
即．
2．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
（1），，即；
當且時，，
即，，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，則.
3．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．
(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
（1）因為，
所以，
所以，即，
又，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
4．（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n，都有．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
(1)解：∵對任意的正整數(shù)都成立，
∴，
兩式相減，得，
∴，
即，
∴，
∴是以2為公比的等比數(shù)列，由已知得，
，
即；
5．（2022·黑龍江實驗中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1）當時，，即，解得；
當時，∵，∴，
兩式作差得，
即，
∴，又，
∴數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴，

突破六：倒數(shù)法
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項公式;
【答案】
【詳解】，，，即，解得：；
由題意知：；由得：，又，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，則.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對負整數(shù)，數(shù)、、依次成等差數(shù)列．
(1)求的值；
(2)若數(shù)列滿足，，求的通項公式；
【答案】(1)
(2)
（1）解：由題意可得，整理可得，
為負整數(shù)，解得.
（2）解：因為，等式兩邊同時除以可得，
所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故，因此，.
3．（2022·遼寧·昌圖縣第一高級中學(xué)高二期末）已知正項數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
(1)解：由，得，
因為，所以，即，
令，則，又，所以，
所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以，故．
4．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，
(1)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)
(1)解：因為，
所以，
則，
又，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，
所以；
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，證明：數(shù)列是等比數(shù)列
【答案】證明見解析
【詳解】因為，所以，即，
所以，
又，∴是以為首項，3為公比的等比數(shù)列.
突破七：隔項等差
1．（2022·山西運城·高三期中）已知正項等差數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）法1：數(shù)列為等差數(shù)列，且前項和為滿足.
，
數(shù)列通項公式為.
法2：.
當時，，
，
.????
數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列.
為等差數(shù)列，通項公式為.
2．（2022·江蘇鹽城·高三期中）數(shù)列中，．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1）由①②，
②-①，
∴的奇數(shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，
由，∴，
∴，∴，n為奇數(shù)，
，∴，n為偶數(shù)．
∴.
3．各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，則 ．
【答案】
【解析】∵ ∴（）
兩式相減得，即
又因為的各項均為正數(shù)，所以（）
當時，由得，所以
故是以為首項，公差為的等差數(shù)列
∴.
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)求；
【答案】(1)；
（1）
由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，
即；
突破八：隔項等比
1．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，.
求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
解：由題意，當時，，可得，
因為，可得，所以，，
所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為的等比數(shù)列.
所以當為奇數(shù)時，設(shè)，則，
當為偶數(shù)時，設(shè)，則.
因此，.
2.若數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式.
答案
當是奇數(shù)時：，整理得；當是偶數(shù)時：，整理得
解：因為，所以，兩式相除：，所以是隔項等比數(shù)列；
構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
當是奇數(shù)時：，整理得
當是偶數(shù)時：，整理得
第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)
1．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因為，所以當時．
因為，所以，，即．
所以，兩式相減可得．
又，，所以，則．
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．因此．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前n項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由①，
得②，
②－①得，
則，
當時，，，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
所以，則．
3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，已知，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由，兩邊同時除以可得：，
故數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列，則，即，
當時，，
將代入上式，可得，則滿足上式，
故數(shù)列的通項公式.
4．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，()，且()．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)，；
【詳解】（1）因為，，，
可得，，
又，
則當時，
，
上式對也成立，
所以，；
5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)見解析
(2)
（1）因為，所以，
從而，
因為，，所以，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由(1)可知，，
故當時，，，，，，
由各式相加可知，，
故，
當時，也滿足，
故數(shù)列的通項公式為：.
6．（2022·浙江紹興·一模）已知數(shù)列滿足，.有以下三個條件：①（，）；②；③（）；從上述三個條件中任選一個條件，求數(shù)列的通項公式和前項和.
【答案】，
【詳解】解：選①由（，）得，
故是公比為2的等比數(shù)列，則
即，故是公差為的等差數(shù)列，
則，即.
選②由得，
故
化簡得，即也滿足
選③由??（1）得
當時，??（2）
由（1）－（2）得，故也滿足，
因此，

兩式相減得
化簡得
7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，若，且.
(1)求的通項公式;
【答案】(1)
(1)由得：，
則當時，，
又，，，
經(jīng)檢驗：滿足；
.
8．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
（1）因為，所以，
所以，
兩式相除，得，整理為，
再整理得，．
所以數(shù)列為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列．
9．（2022·四川·廣安二中模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，
(1)求
【答案】(1)
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當時，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，
10．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和為，滿足，數(shù)列滿足，且
(1)求數(shù)列和的通項公式；
【答案】(1)，
【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得：
，∴，又，∴，
∴是以首項為1，公比為2的一個等比數(shù)列，∴；
由得：,又
∴是以首項為1，公差為1的一個等差數(shù)列，
∴，∴；
11．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求；
【答案】(1)
（1）當時，，解得，
當時，，
即，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，即，
12．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項和為，為等差數(shù)列的前項和，且滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
【答案】(1)，
【詳解】（1）①當時，；
②當時，，
③將n=1代入中得： 符合.
∴，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，解得：，
∴.
13．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因為，
當時，，解得
當，時，，
所以，得
即，可知數(shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，
所以







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