?第1講　等差（等比）數(shù)列
目錄
第一部分：知識強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：判斷（證明）等差（等比）數(shù)列
突破二：等差（等比）中項(xiàng)
突破三：等差（等比）數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)
突破四：等差（等比）數(shù)列的單調(diào)性
突破五：等差（等比）數(shù)列奇偶項(xiàng)和
突破六：等差（等比）數(shù)列片段和性質(zhì)
突破七：兩個等差數(shù)列前項(xiàng)和比的問題
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識強(qiáng)化
1、等差中項(xiàng)
由三個數(shù)，,組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時, 叫做與的等差中項(xiàng).這三個數(shù)滿足關(guān)系式 .
2、等差數(shù)列的單調(diào)性
①當(dāng)，等差數(shù)列為遞增數(shù)列
②當(dāng)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列
③當(dāng)，等差數(shù)列為常數(shù)列
3、等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．
(2)等差中項(xiàng)法： ()是等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．（可以看做關(guān)于的一次函數(shù)）
(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(可以看做關(guān)于的二次函數(shù)，但是不含常數(shù)項(xiàng)）
提醒;證明一個數(shù)列是等差數(shù)列,只能用定義法或等差中項(xiàng)法
4、等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)
(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為
(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列
(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則
(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則
，。
(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則
，，，
5、等比中項(xiàng)
如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即：是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?.
6、等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為
1、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；
2、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；
3、當(dāng)時，等比數(shù)列為常數(shù)列（）
4、當(dāng)時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列.
7、等比數(shù)列的判斷（證明）
1、定義：（或者）（可判斷，可證明）
2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證（特別注意）（可判斷，可證明）
3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）
8、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)
公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?
(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列
(2)當(dāng)是偶數(shù)時,
當(dāng)是奇數(shù)時,
(3)
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：判斷（證明）等差（等比）數(shù)列
1．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高三期中）“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】取，則，故為等差數(shù)列，
但，，，不為等比數(shù)列，故數(shù)列不是等比數(shù)列，
故“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”，
若數(shù)列為等比數(shù)列，故，其中，
故，
故，故數(shù)列為等差數(shù)列，
故“數(shù)列為等比數(shù)列”可推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，
故“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，
故選：B.
2．（2022·山東省莒南第一中學(xué)高三期中）“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則也為等比數(shù)列，且，
所以，所以，為等差數(shù)列，
反之，若數(shù)列為等差數(shù)列，例如則，即，
滿足數(shù)列為等差數(shù)列，但推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”（正負(fù)隨取構(gòu)不成等比數(shù)列）.
所以，“數(shù)列是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（????）
A．?dāng)?shù)列是等差等列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，
則，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比等列，故A錯誤；
則，故數(shù)列是以0為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列，故B正確；
由A知：。故數(shù)列是遞增數(shù)列，故C錯誤；
由B知：，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故D錯誤；
故選：B
4．（2022·北京·人大附中高三開學(xué)考試）若數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】解：“，，”，取，則，
為等比數(shù)列．
反之不成立，為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，只有時才能成立滿足．
數(shù)列滿足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的充分不必要條件．
故選：A．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，“，”是“是公比為2的等比數(shù)列”的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】解：若是公比為2的等比數(shù)列，則一定有，，
若，，則不一定為等比數(shù)列，例如當(dāng)，滿足，，但此時該數(shù)列不是等比數(shù)列.
所以“，”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要而不充分條件.
故選：B
6．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)（文））若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，則此數(shù)列是（????）
A．等差數(shù)列
B．等比數(shù)列
C．等差數(shù)列或等比數(shù)列
D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列
【答案】C
【詳解】當(dāng)n=1時，a1=S1=a-1;
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
當(dāng)a-1=0，即a=1時，該數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)a≠1時，該數(shù)列為等比數(shù)列.
故選:C
突破二：等差（等比）中項(xiàng)
1．（2022·廣西河池·模擬預(yù)測（文））已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，
因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：A
2．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，且，
解得，又因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，
所以，得，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故選：A.
3．（2022·山西·高三期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．若是和的等差中項(xiàng)，則的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以是正項(xiàng)等比數(shù)列，
又，
所以 ，
解得 或-1（舍），
又因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，
所以，
則，即．
所以，
令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．
故選：A．
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)b是實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)c的等差中項(xiàng)，且，若，，成等比數(shù)列，則______．
【答案】
【詳解】設(shè)a，b，c的公差為d，則，，則，化簡得，
因?yàn)椋?，則，得，因此．
故答案為：
5．（2022·山西臨汾·高三階段練習(xí)）已知，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為__________．
【答案】
【詳解】解：由題意得，即，
所以，
又，所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．
故的最小值為．
故答案為：
6．（2022·天津河?xùn)|·高二期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n（）項(xiàng)和為，，且是與的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的公差d為______．
【答案】1
【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，
所以，解得或（舍）.
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
故答案為：1.
突破三：等差（等比）數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足（，），則_____．
【答案】
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故，解得；
令，
則，
故
解得.
故答案為：.
2．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則___________.
【答案】55
【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，
則，即，
所以，
故答案為：55
3．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則___________.
【答案】13122
【詳解】由解得或
和是方程的兩根，所以
所以公比
則
故答案為：13122
4．（2022·福建省福州第八中學(xué)高三階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則______．
【答案】2
【詳解】．
故答案為：2
5．（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，，則___________.
【答案】##
【詳解】等差數(shù)列中，，則，
等比數(shù)列中，，則，所以，
所以.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為___________.
【答案】
【詳解】由題設(shè)知：，又為等比數(shù)列，
∴，且，而，
∴，故.
故答案為：
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則___________.
【答案】
【詳解】在等比數(shù)列中，，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得.
在等差數(shù)列中，，
由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.
.
故答案為：
突破四：等差（等比）數(shù)列的單調(diào)性
1．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（????）
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
【答案】C
【詳解】解：依題意可得公差，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因?yàn)?，，?br /> ，，
，
又當(dāng)時，，且，即，所以當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，
所以數(shù)列無最大項(xiàng)，數(shù)列有最小項(xiàng).
故選：C
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知，
對任意的，都有成立，即，即，
又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，，
，即，解得.
故選：B.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，，則使成立的最大自然數(shù)的值為（????）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【詳解】由，可得一個大于，另一個小于，由，可得大于.
又其中一個大于，則都大于，故.
若，由，可得均大于，與題意矛盾.
故，由，可得：，.
因?yàn)?，又，?dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，單調(diào)遞增，于是此時.
當(dāng)時，單調(diào)遞減，而..
故當(dāng)時都有，而是滿足成立的最大自然數(shù).
故選：
4．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)乘積為， 已知，則的（????）
A．最大值為 32 B．最大值為 1024
C．最小值為 D．最小值為
【答案】A
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?即，
化簡可得，
且，所以
所以，且等比數(shù)列各項(xiàng)為正，所以
即等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且
所以有最大值，最大值是前4項(xiàng)積或者前5項(xiàng)積，
則
所以的最大值為32.
故選:A.
突破五：等差（等比）數(shù)列奇偶項(xiàng)和
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（????）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，
∴．
偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，
∴．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，若數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，，則公差的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，，
所以，，
，
所以，，.
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為4，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為55，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，項(xiàng)數(shù)為，前項(xiàng)和為，則，即這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20，故選擇B.
4．（2020·全國·高二課時練習(xí)）一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（???）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為,
則,又它的首項(xiàng)為1，所以通項(xiàng)為，
中間兩項(xiàng)的和為，解得，所以項(xiàng)數(shù)為8，故選B.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)這個等比數(shù)列共有項(xiàng)，公比為，
則奇數(shù)項(xiàng)之和為，
偶數(shù)項(xiàng)之和為，
，
等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則，
解得，因此，這個等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.
故選：C.
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列共有項(xiàng)，其中，偶數(shù)項(xiàng)和為84，奇數(shù)項(xiàng)和為170，則（????）
A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列共有項(xiàng)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，
由題意得，所以偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，相減得

故選：A
突破六：等差（等比）數(shù)列片段和性質(zhì)
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（????）
A． B．13 C．-13 D．-18
【答案】D
【詳解】由，可設(shè)
∵為等差數(shù)列，∴S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，
即a，6a，成等差數(shù)列，∴，即
∴
故選:D.
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等差數(shù)列中其前n項(xiàng)和為, 則為．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)可知：，，成等差數(shù)列
又，????

本題正確選項(xiàng)：
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有成等差數(shù)列，
即，而，則，
所以.
故選：B
4．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（理））設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則= .
【答案】16
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：也成等差，
所以成等差，即，
因此,故答案為16.
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_____．
【答案】511
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中成等比數(shù)列，
所以成等比數(shù)列，
所以，
即，解得：.
故答案為：511
6．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則________.
【答案】
【詳解】，且，
、、成等比數(shù)列，即，
因此，.
故答案為：.
7．（2022·廣東·潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)高二階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則_____________.
【答案】30
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知， ， ， 構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為1 的等比數(shù)列，所以
8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）一個等比數(shù)列的前項(xiàng)和為10，前項(xiàng)和為30，則前項(xiàng)和為_____________.
【答案】70
【詳解】試題分析：由題意得
9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若，，則___________.
【答案】
【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列等長連續(xù)片段的和為等比數(shù)列，因此設(shè)前10項(xiàng)的和為20,那么依次得到40,80,160,這樣可知前30項(xiàng)的和為140，那么比值即為140:2=7
突破七：兩個等差數(shù)列前項(xiàng)和比的問題
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，則的公差為___________.
【答案】8
【詳解】可得，
又，，
，，
，所以，，
即的公差為8.
故答案為：8.
2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列、均為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)積，且，則的值為___________.
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，
因?yàn)椋?br /> 同理可得，因此，.
故答案為：.
3．（2022·天津·南開中學(xué)高二期末）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對任意自然數(shù)都有，則的值為______.
【答案】
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．
對于任意的都有，
則．
故答案為：．
4．（2022·上海·高二課時練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和的比，則它們相應(yīng)的第項(xiàng)的比______．
【答案】
【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得，同理可得，
所以，.
故答案為：.
5．（2022·四川·達(dá)州市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則______.
【答案】
【詳解】∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，
∴．
故答案為：．
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則______.
【答案】
【詳解】，當(dāng)時
故答案為
7．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高三期中）已知 、 分別是等差數(shù)列 、 的前 項(xiàng)的和，且.則 ______.
【答案】
【詳解】試題分析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有.若，則（????）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【答案】A
【詳解】由得：，即，
數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，
，，，
當(dāng)且時，；當(dāng)且時，；
有最小值，最小值為.
故選：A.
2．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知是各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和是，且，若，則正整數(shù)m＝（????）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 又，所以，則，
所以，解得.
故選：C
3．（2022·浙江臺州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，.若，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【詳解】令，則
故，為常數(shù)，
故數(shù)列是等差數(shù)列



故選：A.
4．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足（其中），則的最小值為（????）．
A．6 B．16 C． D．2
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，
所以由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，
所以的最小值為2．
故選：D．
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由等比中項(xiàng)定義知：，，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），
即的最小值為.
故選：B.
6．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校三模（文））公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，滿足．則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．的最大值為
C．的最大值為 D．
【答案】B
【詳解】若，則不合乎題意，
所以，故數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，
因?yàn)?，，?br /> 若，則，
則，，則，
這與已知條件矛盾，所以不符合題意，
所以，故D錯誤；
因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列為各項(xiàng)為正的遞減數(shù)列，
所以，無最大值，故C錯誤；
又，
所以，，
所以，故A錯誤；
又，，
所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故B正確.
故選：B.
7．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，滿足，則的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)公比為q（顯然），
由得，
即，得或（舍去），
所以遞增且，
所以最小值為．
故選：C
8．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則（????）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)?，為函?shù)的兩個零點(diǎn)，
所以，所以或
所以，當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以，.
故選：B
二、多選題
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，且，則下列說法正確的是（????）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
【答案】ABD
【詳解】，，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，則，A正確；
，
，B正確；
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時，，即，，
即，
，C錯誤，D正確.
故選：ABD.
10．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)之和，且滿足 ，則下列說法正確的是（????）
A． 為等差數(shù)列 B．若 為等差數(shù)列，則公差為2
C．可能為等比數(shù)列 D．的最小值為0，最大值為20
【答案】CD
【詳解】當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，，
整理得，當(dāng)時，若，可得此時為等差數(shù)列，若，，
可得數(shù)列為等比數(shù)列，；當(dāng)時，可得，數(shù)列為等差數(shù)列，
若，可得，若，可得；故A錯誤；B錯誤；C正確；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故D正確.
故選：CD.
11．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（????）
A．為遞減數(shù)列 B．
C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．
【答案】AC
【詳解】由可得：和異號，即或.
而，，可得和同號，且一個大于1，一個小于1.
因?yàn)?，所有，，即?shù)列的前2022項(xiàng)大于1，而從第2023項(xiàng)開始都小于1.
對于A：公比，因?yàn)?，所以為減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列.故A正確；
對于B：因?yàn)?，所以，所?故B錯誤；
對于C：等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且數(shù)列的前2022項(xiàng)大于1，而從第2023項(xiàng)開始都小于1，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng).故C正確；
對于D：





因?yàn)?，所以，?故D錯誤.
故選：AC
12．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法中一定正確的是（????）
A．?dāng)?shù)列：，，，成等比數(shù)列
B．當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列
D．是等比數(shù)列
【答案】BD
【詳解】解：A選項(xiàng)中，當(dāng)時，數(shù)列，，，，為等比數(shù)列，但，
所以，，，就不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯誤；
B選項(xiàng)中，當(dāng)時，，，
則，所以為常數(shù)，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；
C選項(xiàng)中，當(dāng)時，則，即，
所以不能構(gòu)成等比數(shù)列，故C錯誤；
D選項(xiàng)中，，則為常數(shù)，
所以是等比數(shù)列，故D正確.
故選：BD.
三、填空題
13．（2022·河南開封·一模（文））在數(shù)列中，，.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.
【答案】
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
所以，；
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以，.
因此，.
故答案為：.
14．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列中，，，已知，則___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減可得：，
所以數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，
因?yàn)?，由可得：?br /> 所以，，
因?yàn)?，所以?br /> 故答案為：.
15．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））設(shè)等比數(shù)列滿足，記為中在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列的前50項(xiàng)和___________.
【答案】114
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，
解得，故，
因?yàn)闉橹性趨^(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
故,
故答案為：114.
16．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測（文））由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則__________．
【答案】
【詳解】由已知，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，所以
由等比中項(xiàng)性質(zhì)可知：
所以
.故答案為：.

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