?解密14 數(shù)列的通項公式?？记蠓?
【考點解密】
1．Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項（作差法）：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．

2．累加法
當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝an＋f (n)時，用累加法求解．

3．累乘法
當(dāng)出現(xiàn)＝f (n)時，用累乘法求解．

4．構(gòu)造法

類型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標(biāo)準(zhǔn)形式；
2、直接記憶，解題時直接在草稿紙上構(gòu)造好；
3、構(gòu)造等比數(shù)列

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2的標(biāo)準(zhǔn)形式；
2、兩邊同除；
3、構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列

類型3：用兩邊同時取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列（1）

1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；
2、兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為＝·＋的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型；
3、構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列.


類型3：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（2）

1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；
2、兩邊同除；
3、構(gòu)造出新的等差數(shù)列

類型4：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
an＋1＝pan＋qan－1
1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；
2、可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根；
3、若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．




【方法技巧】

【點睛】結(jié)論點睛：常見的裂項公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.

【核心題型】
題型一：累加法求通項公式
1．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（為正整數(shù)）．則（????）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】將進行整理，可以求出其通項公式，再代入可得答案.
【詳解】由，
，

故選：C
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】變形給定的等式，利用累加法及裂項相消法求解作答.
【詳解】因為，則，
當(dāng)時，
，顯然滿足上式，即有，
所以．
故選：A
3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第15項為（????）
A．196 B．197 C．198 D．199
【答案】C
【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，再利用累加法計算即可得.
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；
由二階等差數(shù)列的定義可知，
所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，
即，所以

將所有上式累加可得，所以；
即該數(shù)列的第15項為.
故選：C

題型二：累乘法求通項公式
4．（2022秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意可得，再利用累乘法計算可得；
【詳解】解：由，得，
即，則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
5．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，且，則它的前項和（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用累乘法求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法可求得的值.
【詳解】，，，
因此，.
故選：A.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，若，且對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題干中的遞推公式，利用累乘法求解數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求解，分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍.
【詳解】解:由，得
，
所以，當(dāng)時，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以.
故選：A．

題型三：Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項
7．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答
【詳解】由可得，
兩式相減可得，則，
當(dāng)時，可得滿足上式，故，
所以，
因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，
則
整理得，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
于是得是數(shù)列的最大項，即當(dāng)時，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為．
故選：A
8．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項和為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，再利用裂項法求和即可.
【詳解】由題知：數(shù)列滿足，設(shè)，
所以的前項和為，則.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
檢驗：當(dāng)時，，符合.
所以.
令，前項和為.
則.
故選：D
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項和，則數(shù)列中的最大項為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可得到.進而求出，通過求解，解出正整數(shù)，即可求得數(shù)列中的最大為.
【詳解】當(dāng)時，.
當(dāng)時，由已知得，，，
則.
當(dāng)時，，滿足.
所以，.
設(shè)，則.
設(shè)數(shù)列中的第項最大，則應(yīng)滿足，即，整理可得
解得，又，所以，，
又.
所以，數(shù)列中的最大項為.
故選：C.

題型四：構(gòu)造法求通項公式
10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項和（????）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】將遞推式兩邊同時倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，∴．
∴，
∴數(shù)列的前10項和．
故選:C．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列和滿足，，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，再根據(jù)，得到，即可得到的通項公式，最后代入即可；
【詳解】解：因為， ，
所以，即，
又，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故選：C
12．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）數(shù)列各項均是正數(shù)，，，函數(shù)在點處的切線過點，則下列命題正確的個數(shù)是（????）．
①；
②數(shù)列是等比數(shù)列；
③數(shù)列是等比數(shù)列；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，整理得到，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項，即可判斷；
【詳解】解：由得，
所以，
∴（*），
①，，
，，
∴，正確；
②由（*）知，
∴首項，，∴是等比數(shù)列，正確；
③，首項，不符合等比數(shù)列的定義，錯誤；
④由②對可知：，
兩邊同除得，
令，∴，．
∴，
，即數(shù)列是恒為0的常數(shù)列．
∴，故錯誤．
故選：B．

題型五：觀察法求通項公式
13．（2022·全國·模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個數(shù)是（???）

A．152 B．480 C．512 D．840
【答案】B
【分析】首先求得大衍數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)表的形式，求得第8行第3個數(shù)的序號，代入通項公式，即可求解.
【詳解】由已知條件將大衍數(shù)列前10項按奇數(shù)項排列前5個數(shù)依次為0，4，12，24，40，按偶數(shù)項排列前5個數(shù)依次為2，8，18，32，50，可得大衍數(shù)列通項為
數(shù)表前7行共有個數(shù)，第8行第3個數(shù)字是大衍數(shù)列中第31項，
該數(shù)為.
故選：B.
14．（2021·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)首尾相接蛇形排列形成如圖三角形數(shù)表，第行第列的數(shù)記為，如，，則時，（????）

A．54 B．18 C．9 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)題意第行有 個數(shù)，第行末為第個數(shù)，數(shù)表由奇數(shù)構(gòu)成，由可得2021是數(shù)陣中的第1011個數(shù)，帶入進行估算，第45行末為第1035個數(shù)，即可得解.
【詳解】奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣，令，解得，故2021是數(shù)陣中的第1011個數(shù)，
第1行到第行一共有個奇數(shù)，
則第1行到第44行末一共有990個奇數(shù)，第1行到第45行末一共有1035個數(shù)，
所以2021位于第45行，
又第45行是從左到右依次遞增，且共有45個奇數(shù)，
所以2021位于第45行，從左到右第21列，
所以，，
則.
故選：A.
15．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，(，).此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，又記數(shù)列滿，，，則
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用“兔子數(shù)列”的前幾項除以4的余數(shù)得數(shù)列的前幾項（稍微多求幾項），歸納出的周期性，再根據(jù)的定義得出的前幾項，歸納出的性質(zhì)，然后由這個規(guī)律可得．
【詳解】解：記“兔子數(shù)列”為，則數(shù)列每個數(shù)被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列為，可得數(shù)列構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，
由題意得數(shù)列為，
觀察數(shù)列可知從該數(shù)列從第三項開始后面所有的數(shù)列構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，
，
故選：A．
【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查數(shù)列的周期性，解題時在數(shù)列通項公式不易求出時可利用歸納推理的方法得出結(jié)論．

題型六：遞推公式寫通項公式
16．（2021·甘肅武威·武威第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，則等于（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的通項公式，再求數(shù)列的前項和即可.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，
所以，兩式相減得：，
經(jīng)驗證時，，符合，
所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
故選：A.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項的和為，則（????）
A． B．存在，使
C． D．?dāng)?shù)列不具有單調(diào)性
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得，進而得到與同號，結(jié)合作差法比較法，可判定B、D錯誤；由，得到，利用疊加法，可判定A錯誤；化簡得到，利用裂項法求和，可判定C正確.
【詳解】由于，則，
又由，則與同號．
又由，則，可得，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，故B、D錯誤；
又因為，
由數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以，所以，
累加得，所以，故A錯誤；
由可得，
因為，所以，故C正確．
故選：C．
18．（2022·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，當(dāng)時，，且對任意的實數(shù)x，，等式成立，若數(shù)列{）滿足，且，則（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用求得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷出函數(shù)為減函數(shù)．根據(jù)和整理求得，進而可判斷出是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得．由此能求出結(jié)果．
【詳解】令，，得，
由題意知，所以，故．
當(dāng)時，，，進而得．
設(shè)，且，則，
，．
即，所以是上的減函數(shù)．
由，得，
所以，
因為是上的減函數(shù)，所以，
即，，
得
所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以，即，
所以．
故選：A

【高考必刷】

一、單選題
19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結(jié)合與的關(guān)系分析可得數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式和求和公式運算求解.
【詳解】當(dāng)時，得，解得；
由，得，兩式相減得，
整理得，故數(shù)列是以6為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，，
則．
故選：A．
20．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項和（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，求出等比數(shù)列的公比及，數(shù)列也是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求出答案.
【詳解】因為，，
所以等比數(shù)列的公比，所以，則，
由，可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以．
故選：D．
21．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列 滿足：，，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由得到，結(jié)合，得到，從而得到，再利用累加法得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值.
【詳解】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
則，
所以.
故選：C．
22．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若一個數(shù)列的后項與其相鄰的前項的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二階等差數(shù)列的定義，結(jié)合累加法求得，利用裂項求和法求得.
【詳解】由題可知，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以.
所以.
所以.
所以.
故，
所以數(shù)列的前項和.
故選：D
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，且，（），則下列結(jié)論正確的是（????）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C． D．
【答案】D
【分析】A選項，計算出，故不是等比數(shù)列，A錯誤；
B選項，計算出的前三項，得到，B錯誤；
C選項，由題干條件得到，故為等比數(shù)列，得到，故，，……，，相加即可求出，C錯誤；
D選項，在的基礎(chǔ)上，分奇偶項，分別得到通項公式，最后求出.
【詳解】由題意得：，，
由于，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯誤；
則，，，
由于，故數(shù)列不為等比數(shù)列，B錯誤；
時，，即，
又，
故為等比數(shù)列，首項為2，公比為3，
故，
故，，……，，
以上20個式子相加得：，C錯誤；
因為，所以，兩式相減得：
，
當(dāng)時，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和該式，故，
令得：，
當(dāng)時，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符號該式，故，
令得：，
綜上：，D正確.
故選：D
【點睛】當(dāng)遇到時，數(shù)列往往要分奇數(shù)項和偶數(shù)項，分別求出通項公式，最后再檢驗?zāi)懿荒芎喜橐粋€，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進行求解.
24．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列中,,,則（????）
A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列
【答案】B
【分析】根據(jù)變形整理為,再求出,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可選出選項.
【詳解】解:由題知,
所以,
又因為,
所以是等比數(shù)列,
且首項為4,公比為2.
故選:B
25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.若對任意的正整數(shù)，都有成立，則滿足等式的所有正整數(shù)為（????）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
【答案】A
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，求出，則①，又②，②－①×3得，得，進而求出，由題意得，記，研究的單調(diào)性，求出的解即可．
【詳解】，
時，，
相減可得：，即
又時，，解得，滿足，
數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．
對任意正整數(shù)n，都有成立，
得①，
又②，
②－①×3得：，
又，所以，得，
進而，
由，得，即，
記，則，
以下證明時，，
因為，
即時，單調(diào)遞減，，
綜上可得，滿足等式的所有正整數(shù)的取值為1或3．
故選：A．
【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項和最小項問題，綜合性較強，難度較大，解答時要結(jié)合幾何知識，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)列解決問題.
26．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家,他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員,為政清廉,足跡遍及蘇杭一帶.楊輝一生留下了大量的著述,他給出了著名的三角垛公式:.若正項數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的通項公式為,則根據(jù)三角垛公式,可得數(shù)列的前10項和（????）
A．440 B．480 C．540 D．580
【答案】A
【分析】根據(jù)求出,進而求出,寫出,觀察三角垛公式,發(fā)現(xiàn)其每一項是等差數(shù)列的前項和的形式,代入前項和公式,即可得與之間的聯(lián)系,代入公式即可得出結(jié)果.
【詳解】解:由題知,
所以,
當(dāng)時,

,
當(dāng)時,滿足上式,
故,
所以,
由三角垛公式:
可得:
,
即,
因為,
所以

,
故.
故選:A
27．（2023秋·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題，當(dāng)時，，當(dāng)時，進而分奇偶性討論得，為正偶數(shù)，，為正奇數(shù)，再求和即可.
【詳解】解：因為，
所以，當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，故，為正奇數(shù)；
當(dāng)為奇數(shù)時，，即，故，為正偶數(shù)；
所以，
故選：A
28．（2023春·廣東汕尾·高三汕尾市城區(qū)汕尾中學(xué)?？计谀└唠A等差數(shù)列是數(shù)列逐項差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，第二層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】記第層有個球，則根據(jù)題意可得，再根據(jù)累加法求解即可.
【詳解】記第層有個球，則，，，，
結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)
．
故選：B
29．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列，對于任意正整數(shù)，都滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由遞推關(guān)系可得，利用累加求數(shù)列的通項公式，再由裂項相消法求的值.
【詳解】因為對于任意正整數(shù)，都滿足，
所以，又，
所以，
所以當(dāng)時，，
所以，即，
所以當(dāng)時，，又也滿足此關(guān)系，
所以
所以，
故.
故選：C.
30．（2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且，若表示不超過的最大整數(shù)（例如，），則（????）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】求出，，即得解.
【詳解】解：由題設(shè)知，，，
故是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，則，
則
，
所以，故，
又，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
故選：D．

二、多選題
31．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知遞增的正整數(shù)列的前n項和為．以下條件能得出為等差數(shù)列的有（????）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】用與的關(guān)系，計算判斷A和B；按的奇偶求出，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列推出判斷C；按給定條件求出數(shù)列的通項，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列求出判斷D作答.
【詳解】對于A，時，，當(dāng)時，滿足，
而且時，，則為等差數(shù)列，A正確；
對于B，，當(dāng)時，不滿足上式，
得，因此數(shù)列不是等差數(shù)列，B錯誤；
對于C，，即為隔項等差數(shù)列，且是遞增的正整數(shù)列，
則，，，且，有，即，
于是，，因此，
所以為等差數(shù)列，C正確；
對于D，，，
，，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則，
從到中間恰有項：，它們是遞增的正整數(shù)，
而到中間恰有個遞增的正整數(shù)：，
于是得，，又，，
令，即有，又，
故對，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，D正確.
故選：ACD
32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項為，它的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（????）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 B．當(dāng)或者時，有最大值
C．當(dāng)或者時，有最大值 D．和都沒有最小值
【答案】ABC
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項得出數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的特征分別對每個選項進行分析即可求解.
【詳解】因為數(shù)列的通項為，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，因為公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項正確；
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以當(dāng)或者時，有最大值，故選項正確；
由可知： ，，，所以當(dāng)或者時，有最大值，故選項正確；
根據(jù)數(shù)列前30項為正數(shù)，從第31項開始為負(fù)數(shù)可知：無最小值，
因為，當(dāng)時，，但零乘任何數(shù)仍得零，所以有最小值，故選項錯誤，
故選：.
33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．是等比數(shù)列
C．是單調(diào)遞增數(shù)列 D．
【答案】AC
【分析】由已知得出，可判斷A選項的正誤；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項的正誤；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項的正誤；利用作差法可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，由得，故，A正確；
對于B選項，將，兩式相減得，
即，又令，得，
，所以從第二項開始成等比數(shù)列，公比為，
故時，，即，所以，，
故B選項錯誤；
對于C選項，因為.當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
所以，，令，
則時，，
即，而，所以數(shù)列單調(diào)遞增，C選項正確；
對于D選項，當(dāng)時，，
顯然成立，故恒成立，D選項錯誤.
故選：AC.
34．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項和為，其中，則下列四個結(jié)論中，正確的是（????）
A．的值為2
B．?dāng)?shù)列的通項公式為
C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列
D．
【答案】ACD
【分析】對于A.只需令即可得出的值；對于B.已知數(shù)列的前n項和，根據(jù)前n項和與數(shù)列的關(guān)系即可求出的通項公式，繼而得到的通項公式；對于C.已知的通項公式，利用遞減數(shù)列定義列式判斷即可；對于D.化簡得出數(shù)列，裂項相消即可得出.
【詳解】對于A. ，即，故A正確；
對于B. ??①，??②，
得，，當(dāng)時，
故數(shù)列的通項公式為，B錯誤.
對于C.令
因為，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確
對于D.

故D正確.
故選：ACD
【點睛】思路點睛：
給出 與 的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.
35．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線.重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，，…，，….

設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為.若，則下列說法不正確的是（????）.
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)已知寫出、、的通項公式且時，應(yīng)用累加法求通項，進而判斷各選項的正誤.
【詳解】由題可知，，，
所以，
所以，
∴，故A錯誤，C錯誤；
又，
當(dāng)時，，故D錯誤；
∴

，
由也滿足上式，
所以，
由上，，則，故B正確.
故選：ACD．
36．（2022秋·江蘇南京·高三?？计谀疤珮O生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……..”.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上的一道數(shù)列題，大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..記大衍數(shù)列為，則下列命題正確的是（???）

A．
B．
C．
D．當(dāng)為偶數(shù)時，
【答案】CD
【分析】根據(jù)所給數(shù)列，總結(jié)猜想通項公式，進而用通項公式求解A，利用裂項相消可求B，直接求和可求C，根據(jù)歸納所得通項公式可求D.
【詳解】解：根據(jù)數(shù)列前項依次是，
則奇數(shù)項為：，，，，，，
偶數(shù)項為：，，，，，，
所以通項公式為，
所以，A錯誤，
為奇數(shù)且時，，
所以，
B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，當(dāng)n為偶數(shù)時，，D正確，
故選:CD.

三、填空題
37．（2023春·河南安陽·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足， ，則______.
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式結(jié)合對數(shù)的運算法則化簡，可得，即可求得數(shù)列的通項公式，繼而求得答案.
【詳解】由可得：
，
即
所以，結(jié)合可知，，
則是公差為2的等差數(shù)列，，
故，，
故，
故答案為：
38．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知的非零數(shù)列前n項和為，若，則的值為____________.
【答案】65
【分析】根據(jù)的關(guān)系可得，進而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求解.
【詳解】由得：，
故兩式相減得，
由于為非零數(shù)列，故，所以的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也成等差數(shù)列，且等差均為2，
所以，
故答案為：65
39．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和______.
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求解作答.
【詳解】數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，
兩式相減得：，即，而，解得，
因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
，
所以.
故答案為：
40．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谀┚胚B環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠環(huán)相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，（，），則解開九連環(huán)最少需要移動______次.

【答案】
【分析】由，利用累加法求數(shù)列的奇數(shù)項的通項公式，再求即可.
【詳解】由題意，
故



各項相加，可得

即，
所以按規(guī)則解開九連環(huán)最少需要移動的次數(shù)為.
故答案為：341.
41．（2023·高三課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且，則的最大值為______．
【答案】2
【分析】對條件變形得到，利用累乘法得到，再利用累加法得到，進而得到，從而求出最大值.
【詳解】由題意得：，即，
故，
所以，，……，，
以上式子相乘得：，
即，
因為，，所以，
故，，
所以，……，，
相加得：，
即，故，
，
因為，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.
故答案為：2
42．（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，，，設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【分析】由與的關(guān)系求出，代入，求出判斷范圍，可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】∵，時，，∴．
當(dāng)時，，
∴，即．
∴，，
累加法可得：，
即，∴．
當(dāng)，2時也滿足，故．
又，
，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為： ．



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