高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：三角函數(shù)與解三角形第4講素養(yǎng)提升之三角函數(shù)與解三角形選填專項沖刺 (含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

?第4講　素養(yǎng)提升之三角函數(shù)與解三角形選填專項沖刺
目錄
第一部分：重難點題型突破
突破一：三角函數(shù)的定義、誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系
突破二：弧長與面積
突破三：三角函數(shù)中參數(shù)ω專題?？夹☆}
角度1：的取值范圍與單調性相結合
角度2：的取值范圍與對稱性相結合
角度3：的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結合
角度4：的取值范圍與三角函數(shù)的零點相結合
角度5：的取值范圍與三角函數(shù)的極值相結合
突破四：三角函數(shù)的實際應用
突破五：利用正余弦解決三角形問題
突破六：解三角形的實際應用
第二部分：沖刺重難點特訓

突破一：三角函數(shù)的定義、誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系
1．（2022·安徽·高三階段練習）設角是第一象限角，且滿足，則的終邊所在的象限是（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【詳解】由角是第一象限角，有，可得，可知為第一或第三象限角，又由，可得為第三象限角.
故選：C.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知角的終邊過點，則可以為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意可知角為第四象限角，則A、B錯誤
過作軸，垂足為，則
∴
結合象限角的概念可得：可以為
故選：C．

3．（2022·河南·高三階段練習（文））已知角，角，終邊上有一點，則（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，即點在第三象限，
且，且，
所以.
故選：D
4．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高三階段練習（文））設是第二象限角，為其終邊上的一點，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為為其終邊上的一點，且，
所以，解得，
因為是第二象限角，所以，
故選：C
5．（2022·安徽省懷寧縣第二中學高三階段練習）已知角的終邊經(jīng)過點，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，
所以，，
所以．
故選：C．
6．（2022·全國·高三專題練習）若，且，則___________.
【答案】
【詳解】由得，，即，
所以.
因為，所以，
則，
所以，
因此.
聯(lián)立解得，
所以.
故答案為：
7．（2022·江蘇·高郵市第一中學高三階段練習）若，且，則_______．
【答案】##-0.2
【詳解】由得，故，
所以，解得，或.
因為，所以，
所以
.
故答案為：
8．（2022·北京·東直門中學高三期中）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則____________．
【答案】
【詳解】由余弦值的定義得，則.
故答案為：.
9．（2022·江蘇·楚州中學高三開學考試）已知，求_________.
【答案】
【詳解】，
.
故答案為：.
突破二：弧長與面積
1．（2022·江蘇常州·高三期中）如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的長為l（l＜r）．為了方便觀光，欲在A，B兩點之間修建一條筆直的走廊AB．若當時，，則的值約為（????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】令，則，則，
，，
∴，
故選：D
2．（2022·河北滄州·高三階段練習）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側面展開圖的扇環(huán)所對的圓心角為，則母線長為（????）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】A
【詳解】如圖，弧長為，弧長為，因為圓心角為，，，則母線.
故選：A.

3．（2022·全國·高三專題練習（理））“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號.當折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長與弧長之比為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，如圖，取的中點

圓心角為，則
所以弦
又弧長
所以弦長與弧長之比為
故選：C
4．（2022·上海市延安中學高三期中）已知扇形的圓心角為，其弧長為，則此扇形的面積為_________.（結果保留π）
【答案】##
【詳解】根據(jù)條件可知扇形所在圓的半徑，
此扇形的面積.
故答案為：
5．（2022·甘肅·武威第八中學高三階段練習）已知一扇形的周長為20，則該扇形面積的最大值為_________.
【答案】25
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，扇形的面積為：
，
當時，取得最大值，最大值為25，
所以扇形面積的最大值為25.
故答案為：25.
突破三：三角函數(shù)中參數(shù)ω專題常考小題
角度1：的取值范圍與單調性相結合
1．（2022·山西·忻州一中高三階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調，且當時，，則（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【詳解】.
因為，
所以，則，從而.
因為，所以.
因為在區(qū)間上單調，所以，.
解得.
因為，所以.
因為，所以或，所以或.
因為，，所以.
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在上單調遞增，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得：，當時，，
在上單調遞增，，又，解得：，
的最大值為.
故選：B.
3．（2022·河南河南·三模（理））已知函數(shù)（，），將圖象上所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調遞增，則的最大值為（????）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】依題意，為奇函數(shù)，
所以，
由于，所以.
，
，
由于在上單調遞增，
所以，所以的最大值為.
故選：C
4．（2022·內蒙古·赤峰二中高三階段練習（文））若函數(shù)在上單調遞減，則的最大值為（????）
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】解：因為函數(shù)在上單調遞減，
所以，解得，
因為，所以，
因為函數(shù)在上單調遞減，
所以，函數(shù)在上單調遞減，則有，解得，
所以的取值范圍是，即的最大值為.
故選：A
5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調遞增，則的最大值為______．
【答案】
【詳解】對應的增區(qū)間應滿足
，解得，當
時，，要使在上是增函數(shù)，則應滿足，，解得，則的最大值是1
故答案為：1
角度2：的取值范圍與對稱性相結合
1．（2022·四川雅安·模擬預測（文））已知函數(shù)．若對于任意實數(shù)x，都有，則的最小值為（????）．
A．2 B． C．5 D．8
【答案】C
【詳解】函數(shù)，由可知函數(shù)圖像的一個對稱中心為，
所以有，解得，
由，當時，有最小值5.
故選：C
2．（2022·廣東廣州·高三階段練習）已知函數(shù)，將的圖像先向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若圖像關于對稱，則為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知.
將的圖像先向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度.
得到.若圖像關于對稱，
則，所以.
故，又因為，所以.
故選：B
3．（2022·湖南省桃源縣第一中學高三階段練習）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于軸對稱，則的一個可能取值是（????）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，化簡得，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，根據(jù)所得圖象關于軸對稱，可得，，，
則的一個可能取值為，
故選：B.
4．（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數(shù)在內恰有三條對稱軸，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為，
所以，
所以，
解得．
故選：C.
5．（2022·江蘇·常熟中學高三階段練習）若存在唯一的實數(shù)，使得曲線關于直線對稱，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，，得，，
，
因為存在唯一的實數(shù)，使得曲線關于直線對稱，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故選：C．
角度3：的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結合
1．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)，若的最大值為，則的取值最多有（????）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【詳解】∵，則
若的最大值為，分兩種情況討論：
①當，即時，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性可知，，解得；
②當，即時，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性可知，在上單調遞增，所以，結合函數(shù)與在上的圖像可知，存在唯一的，使得.
綜上可知，若的最大值為，則的取值最多有2個.
故選：A．

2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，因為，所以，
問題轉化為函數(shù)在時恰有兩個最小值點，
所以有，因為，所以，
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，對任意的實數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，則整數(shù)的最小值是______.
【答案】4
【詳解】由題意可得
，
則的最小正周期.
因為對任意的實數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，
所以，解得.
因為，所以整數(shù)的最小值是4.
故答案為：.
角度4：的取值范圍與三角函數(shù)的零點相結合
1．（2022·河南·一模（理））把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象與直線在上至少有3個交點，則正數(shù)的取值范圍是（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，
再將得到的曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到，
∵，，則，
若函數(shù)的圖象與直線在上至少有3個交點，則，解得，
故正數(shù)的取值范圍是.
故選：D.

2．（2022·青海玉樹·高三階段練習（文））若函數(shù)的圖象與直線的兩相鄰交點間的距離為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由正切型函數(shù)的性質可知，函數(shù)的最小正周期為，
因此，.
故選：B.
3．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知函數(shù)經(jīng)過點，且在上只有一個零點，則的最大值為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【詳解】因為經(jīng)過點，
所以，因為，所以，
即，令，
因為，所以，
因為在上只有一個零點，
所以有，所以的最大值為，
故選：C
4．（2022·廣西·貴港市高級中學三模（理））已知在有且僅有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：由，
得，即.
設，
即在有且僅有6個實數(shù)根，
因為，
故只需，
解得，
故選：D．
5．（2022·廣東·三模）已知函數(shù)，且f（x）在[0，]有且僅有3個零點，則的取值范圍是（????）
A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）
【答案】D
【詳解】因為，當時，，
因為函數(shù)在上有且只有3個零點，
由余弦函數(shù)性質可知，解得.
故選：D．
6．（2022·四川·遂寧綠然學校高三開學考試（理））已知函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】∵，則，
由題意可得：，則，
故的取值范圍為.
故答案為：.
角度5：的取值范圍與三角函數(shù)的極值相結合
1．（2022·四川綿陽·一模（理））若函數(shù)（）在區(qū)間上恰有唯一極值點，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當，，
由于（）在區(qū)間上恰有唯一極值點，故滿足，解得，
故選：C
2．（2022·江蘇揚州·高三階段練習）定義在[0，π]上的函數(shù)(ω> 0)存在極值點，且值域，則ω的范圍是（????）
A．[,2] B． C． D．[]
【答案】B
【詳解】定義在[0,π]上的函數(shù),
,
因為函數(shù)存在極值點，所以，即.
又因為值域，所以，
即有：,
綜上：.
故選：B
3．（2022·湖北武漢·模擬預測）已知偶函數(shù)（，）在上恰有2個極大值點，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：，
因為，則，故，
又函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，
故，
因為函數(shù)在上恰有2個極大值，故當時，，
即.
故選：D.
突破四：三角函數(shù)的實際應用
1．（2022·江蘇南通·高三期中）如圖，由于建筑物AB的底部B是不可能到達的，A為建筑物的最高點，需要測量AB，先采取如下方法，選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點在一條直線上在G，H兩點用測角儀測得A的仰角為，，，測角儀器的高度是h，則建筑物AB的高度為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，可得，，，，，，，
故選：C.
2．（2022·江西·高三開學考試（理））天文計算的需要，促進了三角學和幾何學的發(fā)展．10世紀的科學家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學方面的一些創(chuàng)造性的工作．比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形ABCD測得一座山的高（如圖①），再于山頂T處懸一直徑為SP且可以轉動的圓環(huán)（如圖②），從山頂T處觀測地平線上的一點I，測得．由此可以算得地球的半徑（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由圖可知，,故，解得，
故選：A．
3．（2022·四川綿陽·一模（理））某游樂場中的摩天輪作勻速圓周運動，其中心距地面20.5米，半徑為20米．假設從小軍同學在最低點處登上摩天輪開始計時，第6分鐘第一次到達最高點．則第10分鐘小軍同學離地面的高度為______米．

【答案】10.5
【詳解】以摩天輪的圓心為坐標原點，平行地面的直徑所在的直線為軸，
建立直角坐標系，設時刻的坐標為，轉過的角度為，
根據(jù)三角函數(shù)的定義有，
地面與坐標系交線方程為，
則第10分鐘時他距離地面的高度大約為米.
故答案為：
4．（2022·廣東·深圳市第七高級中學高三階段練習）如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它對應的方程為（其中記為不超過的最大整數(shù)），且過點，若葫蘆曲線上一點到軸的距離為，則點到軸的距離為_______.

【答案】
【詳解】解：因為過點，
所以，
則，即，
所以，即，
因為葫蘆曲線上一點到軸的距離為，
所以，
所以，
，
故答案為：.
5．（2022·全國·高三專題練習（文））2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導意見》，對治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局下發(fā)的標準，車輛駕駛人員飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見下表.經(jīng)過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖"見圖.

車輛駕駛人員血液酒精含量閾值
駕駛行為類別
閾值
飲酒駕車

醉酒駕車

且如圖所示的函數(shù)模型為.假設該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時才可以駕車，則n的值為___________.(參考數(shù)據(jù)：)
【答案】6
【詳解】由散點圖可知，該人喝一瓶啤酒后的2個小時內，其酒精含量閾值大于20，
所以有，解得，解得.
因為，所以n的最小值為6.
故答案為：6
突破五：利用正余弦解決三角形問題
1．（2022·山東菏澤·高三期中）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則外接圓面積與面積之比的最小值為（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由可得：，
所以，
因為，所以，所以，
所以或，則或（舍去），
設外接圓半徑為，
則外接圓面積為：，
面積為
所以，
而

，
因為，所以，
，
當時，即時，
.
故選：B.
2．（2022·重慶·西南大學附中高三階段練習）已知是三角形的外心，若，且，則實數(shù)的最大值為（????）
A．6 B． C． D．3
【答案】D
【詳解】如圖所示：設.

由題意可得，，化簡可得，由是三角形的外心可得，是三邊中垂線交點，
則，代入上式得，，即
依據(jù)題意，為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理可得，
代入得，則
結合不等式可得，的最大值為3
故選：D
3．（2022·河南·模擬預測（理））已知在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a＝4，c＝2b－2，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由a＝4，c＝2b－2得，．
由余弦定理知，.
令b－1＝m，則，b＝m＋1，
所以，（當且僅當，即，，時取等號）．
故選：C．
4．（2022·貴州遵義·高三期中（理））已知銳角的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，故三角形外接圓直徑為，
所以，所以，，
故

，
因為三角形為銳角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范圍為，
故選：A.
5．（2022·湖北·高三期中）在中，角，，，所對的邊分別為，，，，點為上一點且，，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】在中，設，由于，則，，
因為，故,

在中，由正弦定理得,
即；
在中，由正弦定理得,
即；
故

，
因為，所以，則，
故當，即時，取到最小值，
即的最小值為，
故選：B.
6．（2022·江西南昌·高三階段練習（文））鈍角的內角的對邊分別是，已知，且，則的周長為（????）
A．9 B． C．6 D．或9
【答案】A
【詳解】解：因為，
所以，根據(jù)正弦定理邊化角得，
因為，
所以，即
所以，當為鈍角時，，即，解得，，周長為；
當為鈍角時，，即，解得，，此時與為鈍角時矛盾，故不成立；
綜上，的周長為.
故選：A
7．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習）在中，點D在邊BC上，且，，記中點分別為，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
在中，，
因為，所以，
所以，可整理得
即，
所以整理得，
因為，中點分別為，
所以
，
所以在中，，
因為，且即，
所以，
所以，
故選：A
8．（2022·安徽省亳州市第一中學高三階段練習）在中，，，為邊上的中點，且的長度為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故選：A.
9．（2022·遼寧·沈陽二中高三期中）在中，為的中點，若，，，則______．
【答案】
【詳解】由得

在中，利用正弦定理得,

在中利用余弦定理得
故答案為：.
10．（2022·安徽·合肥一六八中學高三階段練習）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】由
∴
得
，
所以，
因為所以，所以，
而，所以．
又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，
所以，
因為為銳角三角形，所以，
的面積取值范圍為．
故答案為：.
突破六：解三角形的實際應用
1．（2022·全國·模擬預測（文））某學習小組的學習實踐活動是測量圖示塔的高度．他們選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點，，測得，，且基點，間的距離為，同時在點處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設則.
由題得.
.
在△中，由正弦定理得.
所以塔高m.
故選：A
2．（2022·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（????）

A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里
【答案】A
【詳解】由題意可知，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因為，
所以，
在中，由余弦定理得

，
故選：A
3．（2022·河南鄭州·三模（理））位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當于一個測量日影的圭表．圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置設計的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即）約為32.5°，夏至正午太陽高度角（即）約為79.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為14米，則表高（即的長）約為（????）（其中，）

A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米
【答案】C
【詳解】解：如圖，，
設表高，則由題知，，
所以，
因為，，，
所以，解得，
所以，表高（即的長）約為米.
故選：C

4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設，，則，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因為，所以，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令，，
所以的對稱軸為：，所以在單調遞增，在單調遞減，
所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時甲離上方端線的距離為：.
故選：B.

5．（2022·全國·模擬預測（理））如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側找到一座建筑物，測得的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點共線）.該學習小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h約為（????）米
（參考數(shù)據(jù)：，，）

A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
【答案】C
【詳解】解：由題意可得，
則，
在中，，
在中，因為，
所以，
所以，
又，
所以（米）.
故選：C.
6．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務，現(xiàn)準備在濕地內建造一個觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長度均超過4千米），在兩條公路，上分別設立游客接送點，，且千米，若要求觀景臺與兩接送點所成角與互補且觀景臺在的右側，并在觀景臺與接送點，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長是_________（千米）.

【答案】2
【詳解】在中，因為，，
所以，
又與互補，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因為，
所以，
所以，當且僅當時，取等號，
所以觀光線路之和最長是2.
故答案為：2
7．（2022·全國·高三專題練習）神舟十三號飛船于2022年4月16日首次實施快速返回技術成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風著陸場搜索區(qū)域內，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊和地面分隊分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點測得B的仰角為26.6°，在C點測得A的仰角為45°，在B點測得A的仰角為26.6°，BB1=7 km，∠B1A1C=120°．則CA1的長為________km．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】10
【詳解】解：如圖：

設，過點作的垂線，垂足為，
由題意得，，，則，
平面，平面，
，
又，平面，
，，
因為，
所以，
四邊形為平行四邊形，
，
，
在中，
，
平面，平面，，
，
在△中，，
由余弦定理得，
化簡得，
或（舍去）．
的長為．
故答案為：10.
8．（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務，擬建一個觀景臺如圖所示，其中，為兩條公路，，，為公路上的兩個景點，測得，，為了獲得最佳觀景效果，要求對的視角現(xiàn)需要從觀景臺到，建造兩條觀光路線，，且要求觀光路線最長.若建造觀光路線的寬為米，每平方造價為元，則該景區(qū)預算需投入___萬元可完成改造

【答案】
【詳解】在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
設，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，

又因為，

所以
所以，
即觀光線路長的最大值為，
該景區(qū)預算需投入元萬元．
故答案為：265.
9．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學模擬預測（文））國慶閱兵式上舉行升國旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，某同學在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為24.5米，則旗桿的高度為_______米． (參考值：)

【答案】29.4
【詳解】設旗桿高為米，最后一排為點，第一排為點，旗桿頂端為點，則，在中，,, ,即，
由正弦定理可得，
所以，解得：

故答案為：29.4
10．（2022·江西·贛州市第三中學模擬預測（文））《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著．《九章算術》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為______．（注：）

【答案】
【詳解】由題可得，，在中，由余弦定理可得，代入得，即，因為，故，故
故答案為：
第二部分：沖刺重難點特訓
一、單選題
1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）若，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
所以，解得：.
故選：C
2．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎瘮?shù)，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個零點，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，令，由題意在上恰有5個零點，即在上恰有5個不相等的實根，由的性質可得，解得．
故選：D．
3．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┤鐖D所示，陰影部分由四個全等的三角形組成，每個三角形是腰長等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形．如果在圓內隨機取一點，那么該點落到陰影部分內的概率為，則（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設圓的半徑為，則圓的面積為，
所以，四個三角形的面積為，
因為，在圓內隨機取一點，那么該點落到陰影部分內的概率為
所以，，解得，
因為，所以．
故選：A
4．（2022·河南河南·一模（文））把函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將得到的曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象. 若函數(shù)在上恰有 3 個零點，則正數(shù) 的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，
再將得到的曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到，
∵，，則，
令則，，
若函數(shù)的圖象在上恰有3個交點，則.
故正數(shù)的取值范圍是.
故選：B.

5．（2022·河南省淮陽中學模擬預測（理））已知中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點A到直線BC的距離為，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為點A到直線BC的距離為，所以的面積，又，所以，故，又，所以；由及正弦定理可得，故，故．
故選：A．
6．（2022·全國·武功縣普集高級中學模擬預測（理））在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（????）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】，化簡得．
由正弦定理、余弦定理，得，化簡得，
由，展開整理得，
則，即，
所以，
故選：B．
7．（2022·廣西南寧·三模（理））函數(shù)，則的圖象在內的零點之和為（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【詳解】由可得，
則函數(shù)與函數(shù)的圖象在內交點的橫坐標即為函數(shù)的零點，
又函數(shù)與函數(shù)的圖象都關于點對稱，
作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，

由圖象可知在內有四個零點，則零點之和為4．
故選：B.
8．（2022·全國·模擬預測（理））如圖所示，在△ABC中，，，記△ABC外接圓的面積為，取△ABC三邊的中點分別為D，E，F(xiàn)，記△DEF外接圓的面積為，再取△DEF三邊的中點分別為P，Q，R，記△PQR外接圓的面積為，依次類推，若△ABC的內切圓半徑為，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
如圖連接，
因為，為的中點，
所以平分，，的內切圓圓心在上，設為，
因為，所以，
因為△ABC的內切圓半徑為，
所以，
所以，
設△ABC的外接圓半徑為，則由正弦定理得
，，解得，
所以
因為分別為的中點，
所以∥，，
所以△DEF外接圓的半徑為1，
所以，
同理可得△PQR外接圓的半徑為，則，
，，
故選：D
二、多選題
9．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象過點，下列說法中正確的有（????）
A．若，則在上單調遞減
B．若把的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為2
C．若在上有且僅有4個零點，則
D．若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則
【答案】BC
【詳解】依題意，，即，而，則，，
對于A，當時，，由，得，則在上不單調，A不正確；
對于B，的圖象向左平移個單位后得函數(shù)，
依題意，，解得：，因此的最小值為2，B正確；
對于C，當時，，因在上有且僅有4個零點，
則，解得：，C正確；
對于D，因，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則直線是圖象的對稱軸，
且在處取得最小值，，因此，，且，
即，且，所以或，D不正確.
故選：BC
10．（2022·遼寧·東北育才雙語學校一模）的內角A，，的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（????）
A．若，則
B．若，則此三角形為等腰三角形
C．若，，，則解此三角形必有兩解
D．若是銳角三角形，則
【答案】AD
【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因為，所以，A正確；
因為，且角2A，2最多有一個大于，所以由可知，或，即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；
由正弦定理可得，因為，所以，故此三角形有唯一解，C錯誤；
因為是銳角三角形，所以，即，又在上單調遞增，所以，同理，
所以，D正確.
故選：AD
三、填空題
11．（2022·遼寧·鞍山一中二模）若，且，則______．
【答案】
【詳解】解：因為，且，
所以，
所以
故答案為：
12．（2022·河南濮陽·模擬預測（理））已知a,b,c分別為的三個內角A,B,C的對邊,且,則的最小值為______．
【答案】
【詳解】由正弦定理得
所以,所以.

因為所以,所以.
所以.
所以的最小值為
故答案為：
13．（2022·上海普陀·二模）若，則等式成立的一個的值可以是________.
【答案】##
【詳解】可得，
即，所以（舍去）
或，解得，，
當時，，
故答案為：
14．（2022·全國·模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，則四邊形ABCD面積的最大值為______．

【答案】
【詳解】在中，，；；
在中，，
化簡得：，即：，
；
四邊形的面積最大為：；
故答案為：.

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