?第3講　三角函數(shù)與解三角形解答題
目錄
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間
突破二：三角函數(shù)最值（值域）問(wèn)題
突破三：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題
角度1：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
角度2：零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題
突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問(wèn)題
突破五：三角形中線問(wèn)題
突破六：三角形角平分線問(wèn)題
突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題
突破八：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）
突破九：三角形中邊長(zhǎng)的代數(shù)關(guān)系
突破十：四邊形（多邊形）問(wèn)題
突破十一：三角函數(shù)與解三角形實(shí)際應(yīng)用
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
1、中線：
在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對(duì)的邊分別為，，
1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）
核心技巧：
結(jié)論：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，
2.1內(nèi)角平分線定理：
核心技巧：或
2.2等面積法
核心技巧

2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
3、三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
4、三角形面積最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.
5、三角形面積取值范圍：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.
6、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長(zhǎng)取值范圍；
7、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的取值范圍.
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間
1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中向量，．
(1)求的解析式及對(duì)稱中心和單調(diào)減區(qū)間；
【答案】(1)，對(duì)稱中心為，單調(diào)減區(qū)間是
【詳解】（1）

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令，對(duì)稱中心
又令，
所以單調(diào)減區(qū)間是
2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出它的遞增區(qū)間；
【答案】(1)，
【詳解】（1）由圖知，，，
，
，
由得，
故的遞增區(qū)間是
3．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
【答案】(1)見(jiàn)詳解
【詳解】（1）
，
所以的最小正周期．
令，，
解得，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
4．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．
(1)求的最小值，并寫(xiě)出此時(shí)x的取值集合；
(2)若，求的單調(diào)遞減區(qū)間．
【答案】(1)，此時(shí)x的取值集合為；
(2)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
【詳解】（1）




.
當(dāng)，即時(shí)，
取得最小值，且，
所以，此時(shí)x的取值集合為；
（2）由，
得，
所以，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又因?yàn)椋?br /> 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和
5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期以及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
【答案】(1)，
解：∵，
∴的最小正周期為．
∵，∴，
∴，解得，
所以的最小正周期為，在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．
6．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）已知函數(shù)
(1)求的定義域和最小正周期；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)定義域?yàn)椋蛔钚≌芷跒?br /> (2)單調(diào)遞減區(qū)間為
(1)要使函數(shù)有意義，只需 ，
解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 函數(shù)的最小正周期為．
(2)由于正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
對(duì)于函數(shù)令，
解得，
即在上單調(diào)遞增
而函數(shù)與單調(diào)性相反
故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為
突破二：三角函數(shù)最值（值域）問(wèn)題
1．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，．
(1)若，且，時(shí)，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若，函數(shù)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值為.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)， ，若與的夾角為鈍角，
則且與不能共線，
，所以，
又，所以，所以，
當(dāng)與共線時(shí)，，故，所以與不共線時(shí)，.
綜上：.
（2）


令，則

而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)有最小值.
故的最小值為.
2．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的初相為，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立．
(1)求的最小值；
(2)在（1）的條件下，函數(shù)左平移個(gè)單位后，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原米的4倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間以及最小值．
【答案】(1)2
(2)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為

【詳解】（1）∵函數(shù)的初相為，∴，∴，．
又對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則有恒成立，，，
即，又，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為2．
（2）由（1）可知，函數(shù)左平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，得到．
，整理可得，∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．
由，可得，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．
3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)．
(1)若，求的面積；
(2)當(dāng)時(shí)，取最大值，求在上的值域.
【答案】(1)若，的面積為，
若，的面積為；
(2)
(1)因?yàn)椋?br /> 所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若則
所以，
，
當(dāng)則
所以，
，
(2)

．
因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以?br /> 即．因?yàn)?，所以，所以?br /> 因?yàn)?，所以，所以?br /> 在上的值域?yàn)?
4．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè).
(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；
(2)在（1）成立的條件下，當(dāng)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)

因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
因?yàn)?，所?br /> (2)在（1）成立的條件下，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以
所以
5．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)解不等式；
(2)若，且的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)，；(2).
【詳解】(1)∵




由，得，
解集為，
(2)

∵，∴，，
①當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，這與已知不相符；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，由已知得，解得；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由已知得，解得，這與相矛盾.綜上所述，.
突破三：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題
角度1：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
1．（2022·廣東·肇慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知向量， 函數(shù)．
(1)求函數(shù)的值域;
(2)函數(shù)在上有 10 個(gè)零點(diǎn)， 求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：
，
所以，的值域?yàn)?
（2）解：令， 即，
因?yàn)?，所以?
因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，
所以方程在上有10個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以， 解得．
所以，的取值范圍為.
2．（2022·北京海淀·一模）設(shè)函數(shù).已知存在使得同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：條件①：；條件②：的最大值為；條件③：是圖象的一條對(duì)稱軸.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出滿足的兩個(gè)條件，并說(shuō)明理由；
(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)②③，理由見(jiàn)解析
(2)
（1）函數(shù)，
其中，
對(duì)于條件①：若，則，
對(duì)于條件②：的最大值為，則，得，①②不能同時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，，即不滿足條件③；
當(dāng)時(shí)，，，即滿足條件③；
當(dāng)時(shí)，，，即不滿足條件③；
綜上可得，存在滿足條件②③.
（2）
由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，
由于在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，
即的取值范圍是.
3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知向量，函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）

，
令，解得.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
即在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
直線與的圖像上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)，，
設(shè)函數(shù)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以或，即或.
4．（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
，
因?yàn)槭呛瘮?shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，所以，解得，
，
若對(duì)任意，都有，只需，
由可得，故，
所以，
因此，即，解得或，
因此；
（2）關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)后得
，，，
作出圖象，如圖，

由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，有兩根.
5．（2022·北京市第十一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）


令，得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）令，即，
則，即，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
所以，
故m的取值范圍是.
角度2：零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題
1．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，_________，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中．
①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且；
②函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，函數(shù)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)
（1）
又函數(shù)的最小正周期為，，
選①，將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所得函數(shù)為，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
可得，解得，
，所以，的可能取值為、，
若，則，，符合題意，
若，則，，不符合題意，
所以，；
選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸，則，
解得，，所以，的可能取值為、，
若，則，則，符合題意，
若，則，則，不符合題意，
所以，；
（2）令，此時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值.
∴，即，
∴.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍及的值．

【答案】(1)
(2)，
（1）
由圖示得：，
又，所以，所以，所以，
又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
（2）
由已知得，當(dāng)時(shí)，，令，則，
令，則函數(shù)的圖象如下圖所示，且，，，

由圖象得有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，
所以，即，
所以，所以，
故．
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)所在勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并計(jì)算的值．
【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z；（2）m∈[，2），tan（x1′+x2′）＝．
【詳解】函數(shù)f（x）＝4sin（x）cosx．
化簡(jiǎn)可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x
＝sin2x（cos2x）
＝sin2xcos2x
＝2sin（2x）
（1）函數(shù)的最小正周期T，
由2x時(shí)單調(diào)遞增，
解得：
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z．
（2）函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1′，x2′，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
可得f（x）＝sinu的圖象（如圖）．

從圖可知：m在[，2），函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)分別為x1′，x2′．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[，2），
由題意可知x1′，x2′是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的：
那么函數(shù)在[0，]的對(duì)稱軸x
∴x1′+x2′2
那么：tan（x1′+x2′）＝tan
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x＋
（1）求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值為1；（2）.
【詳解】（1）f(x)＝cos xsin x－ (2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin.
當(dāng)2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.
（2）由（1）知，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2.
所以x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，
所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.
（3）對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在，上的根從小到依次為，試確定n的值，并求的值.
【答案】（1）；（2）；（3），.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)

因?yàn)楹瘮?shù)圖像的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得.
故
（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像.
再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.
（3）由方程，即，即，
因?yàn)?，可得，設(shè)，其中，即，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，

可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即，
其中，
即
解得
所以.
突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問(wèn)題
1．（2022·北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?br />

所以的最小正周期為
（2）“對(duì)恒成立”等價(jià)于“”
因?yàn)?br /> 所以
當(dāng)，即時(shí)
的最大值為.
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知函數(shù).
(1)求的值并求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒有.
【答案】(1)，最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(2)證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）因?yàn)椋?jiǎn)可得
所以，
所以，的最小正周期.
令，，解得，，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）由，知：，則有的值域?yàn)椋?br /> ∴，即當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，恒有.
3．（2022·北京·清華附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)若對(duì)于任意的，總有，直接寫(xiě)出m的最大值．
【答案】(1)；
(2)函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(3)m的最大值為.
（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以?br /> （2）由(1) ，化簡(jiǎn)得，
所以，
所以函數(shù)的最小正周期，
由，，得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
（3）由，可得，所以，所以，，化簡(jiǎn)可得
由對(duì)于任意的，總有可得的最大值為.
4．（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)當(dāng)x∈時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）由知，函數(shù)在處的函數(shù)值一個(gè)是最大值，另一個(gè)是最小值，又的最小值為，
于是得函數(shù)的周期T=，即=，則，
有，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
因此，而，于是有，
所以函數(shù)f(x)的解析式是．
（2）由（1）知，，由，得，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（3）當(dāng)時(shí)，，有，則，
即有，因此，
顯然，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
5．（2022·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，對(duì)任意都有．
(1)求的解析式；
(2)對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）因?yàn)閷?duì)任意都有，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，，解得，又，所以，.
（2）因?yàn)閷?duì)任意，不等式，所以，
因?yàn)?，，所以，所?
突破五：三角形中線問(wèn)題
1．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）如圖，在中，已知，，，BC邊上的中線為AM．

(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由余弦定理，得，即，．
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
由與互補(bǔ)，則，解得．
（2）在中，由余弦定理，得，
因?yàn)?，所以????
所以．
2．（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，的中線長(zhǎng)為．
(1)證明：；
(2)求的面積最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）證明：左邊，
∴，又，
∴
（2）解：法一：（角化邊）如圖，設(shè)為中點(diǎn)，設(shè)，，
因?yàn)椋裕?br /> 所以，在中，由余弦定理得：，
所以，
所以，，
所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值，
所以， 的面積最大值為.

法二：（邊化角）
由，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
所以，
所以，，即，
又因?yàn)?，即?br /> 所以，
所以
所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，的面積最大值為.

3．（2022·廣東·韶關(guān)市張九齡紀(jì)念中學(xué)高二期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．
(1)求角B；
(2)若的面積為，求BC邊上中線的長(zhǎng)．
【答案】(1);
(2).
【詳解】（1），
，


或
或（舍）

（2）


，即，得
由正弦定理得，
設(shè)邊的中點(diǎn)為，連接，如下圖

,即
，得.
4．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量與向量共線．
(1)求角；
(2)請(qǐng)從條件①、條件②條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，并求AC邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：，；條件②：，；條件③，．
【答案】(1)
(2)選③；
【詳解】（1）由向量與向量共線得：

∴
又因?yàn)?，∴?br /> ∴，又，∴；
（2）由①可知：
所以，或，不唯一確定（舍去）
由②可知：
又，所以，
即或，
不唯一確定（舍去）
由③可知：，，
，

∴
5．（2022·山西太原·高三期中）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)記分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，的中線，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）


由，
解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因?yàn)?，可得?br /> 因?yàn)椋约矗?br /> 由及可得，
，
所以
所以
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
所以，
故面積的最大值為.
6．（2022·新疆·兵團(tuán)第一師高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且
(1)求；
(2)若邊上的中線長(zhǎng)為，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知得：，
由正弦定理可化為：，即，
由余弦定理知，
又，故．
（2）
設(shè)邊上的中線為，則
所以，即，
所以，即①
又，由余弦定理得，即②
由①②得，
所以．
7．（2022·福建泉州·高一期末）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．
三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且滿足 ．
(1)求角B的大??；
(2)若D為邊AC的中點(diǎn)，且，求中線BD長(zhǎng)．
注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
(1)若選①：可化為．
由正弦定理，可得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以．
若選②：由正弦定理，可得
移項(xiàng)得
即，
又因?yàn)椋?br /> 所以，故．
若選③：由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得．
因?yàn)椋?br /> 所以
(2)
由余弦定理，可得，即
因?yàn)镈為邊AC的中點(diǎn)，所以，
在中，由余弦定理，可得．
在中，由余弦定理，可得，
因?yàn)?，所以?br /> 即，
解得
突破六：三角形角平分線問(wèn)題
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）1.已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，再?gòu)南旅鏃l件①與②中任選個(gè)作為已知條件，完成以下問(wèn)題．
(1)證明：為銳角三角形；
(2)若，為的內(nèi)角平分線，且與邊交于，求的長(zhǎng)．
①；②．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)選擇①②結(jié)果相同，
(1)方案一：選條件①
由正弦定理，

又，，，
令，（），從而，
由，解得：或（舍去）
從而最大，又
為銳角三角形
方案二：選條件②
由正弦定理，

又，，，
令，（），從而，

解得：或（舍去）
從而最大，又
為銳角三角形
(2)方案一：選條件①
由，
∴
又由第一問(wèn)可知：，∴，
法一：由，
∴，
由面積公式得：
由，從而，
解得：．
法二：，解得：
由角平分線定理，，
從而
在中，由余弦定理，，
解得：
方案二：選條件②
由，
又由第一問(wèn)可知：，，，
由，解得：或（舍去）
法一：故，由，
∴，
由面積公式得：
由，從而，
解得：．
法二：由角平分線定理，，
從而
在中，由余弦定理，，
解得：
2．（2021·遼寧朝陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試）已知三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求角；
（2）若，角的角平分線交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可?br /> ，
即，即，
因?yàn)椋?，故?br /> 因?yàn)椋?
（2）由（1）可知
又；所以，，可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得.
3．（2019·安徽·二模（理））在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，；.
（1）求角的大小；
（2）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，求三角形的內(nèi)角平分線的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
在銳角三角形中，，即，，
所以，所以，
因?yàn)闉殇J角，所以；
（2）因?yàn)?，所?
在三角形中，由余弦定理得，
，
，
即，
解得，或.
當(dāng)時(shí)，，
所以此時(shí)角為鈍角，不符合三角形為銳角三角形，所以.
由正弦定理得，，
所以，
所以，，
因?yàn)闉閮?nèi)角平分線，所以，
所以，所以.
4．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在△中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，．
(1)證明：；
(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求△的面積．
條件①：△的中線；
條件②：△的角平分線．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)條件① ，條件②

(1)
因?yàn)?，由余弦定理可得：?br /> 又，設(shè)，
則，解得或（舍），
故；
(2)
由，可得，又，故，
選①：△的中線，
在△中
解得或（舍），故．又 ，??
則；
選②：

在△中，由正弦定理得，
在△中，由正弦定理得．
又，，得，
由，得，?????????????????????
在△中，
解得，又，??????????????????????
所以；
綜上，條件① ，條件②.
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，．
(1)求的大??；
(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出的長(zhǎng)．
①；②截得角的角平分線的線段長(zhǎng)為1；③面積為．
【答案】(1)；
(2)若選②，；若選③，
(1)由正弦定理得，又，
可得，即，
又，故，又，故
由可得，
即，故，.
(2)若選①，由（1）知，和矛盾，不存在；
若選②，

由為角的角平分線可知：，又，故，
即，又，故；
此時(shí)存在且唯一確定；
若選③，，又，
，解得；
此時(shí)存在且唯一確定.
突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題
1．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）的內(nèi)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積為，，，已知，．
(1)求角B；
(2)在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，判斷三角形是否存在？若存在，求出三角形面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
因?yàn)?，所以?br /> 化簡(jiǎn)得：，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> （2）若選擇①，因?yàn)?，所以?br /> 由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，面積．
若選擇②，，所以，
由（1）知，，
所以，整理得，b無(wú)解，故不存在．
若選擇③，因?yàn)椋?br /> 所以．
由（1）知，，
所以，整理得，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，或，滿足題意，
所以存在兩個(gè)．
當(dāng)時(shí)，的面積，
當(dāng)時(shí)，的面積．
2．（2022·海南·高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，.
(1)求A；
(2)若，且，求的面積.
【答案】(1).
(2).
【詳解】（1）根據(jù)三角形面積公式有 ,
因?yàn)?，所?，
得 ，
，不適合該式，所以 ，
由，得.
（2）由題意，
由余弦定理可得 ，
可得 ，所以由可得 得，
于是 ，
所以 的面積 .
3．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若的外接圓半徑為，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）因?yàn)?，∴?br /> ∴，得，
因?yàn)?，所以?br /> ∴，又，故，
（2）由正弦定理得，即，解得，
又由余弦定理得：，即，
又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，即的面積的最大值為
4．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．
(1)求角C的大??；
(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由以及，
可得，
即，
即，
即，
即，
由于，故，又，故，
故或，
解得或（舍去），
故.
（2）由正弦定理得，即，．
所以的面積，
．
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，
所以，所以，
故面積的取值范圍是．
5．（2022·浙江杭州·高三期中）銳角中，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的面積S的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵
∴??
由銳角，可知．
（2）由（1）知，，，則
又，，則
由正弦定理知，，則，
則
∵，
∴
又，則，
∴
突破八：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，已知．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由余弦定理得，
所以.
（2）依題意，由正弦定理得，
由于，
解得，，所以為銳角，
所以，
由余弦定理得，而，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，.
當(dāng)時(shí)，，.
2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）在中，角的對(duì)邊分別為已知.
(1)求角的大?。?br /> (2)邊上有一點(diǎn)，滿足，且，求周長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），由正弦定理得：.
.



.
（2），




化簡(jiǎn)得：周長(zhǎng)

令，即
又由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，.
即的周長(zhǎng)最小值為.
3．（2022·山東煙臺(tái)·高三期中）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答．
問(wèn)題：已知中，角、、的對(duì)邊分別為、、，是邊的中點(diǎn)，，且______．
(1)求的值；
(2)若的平分線交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：選擇①：設(shè)，則，
在中，，
在中，，
∵，∴，
即，所以，故．
選擇②：由正弦定理得，，
∵，∴，∴，
即，于是，∴，
設(shè)，，
在中，，即（i），
在中，，即（ii），
聯(lián)立（i）（ii）解得，，，即，．
（2）解：由題意得，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴故的周長(zhǎng)為．
4．（2022·廣東江門(mén)·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，設(shè)為的面積，滿足.
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，其外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)橹?，面積為，又，，
則，所以，又，所以.
（2）若為銳角三角形，由（1）知，且外接圓的半徑為，
由正弦定理得，可得，
由正弦定理得，所以；
因?yàn)椋?br /> 所以，
又為銳角三角形，所以，且，
又，則，
所以，故；
所以，則，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是.
5．（2022·浙江浙江·高三期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由得，，
因?yàn)?，解得?br /> 所以．
（2）由可知，．
由的面積為，得，故．
所以，即．（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）
又
（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）
所以．
故周長(zhǎng)（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）．
因此周長(zhǎng)的最小值為．
6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）在①；②；③；在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．
在銳角中，內(nèi)角、、，的對(duì)邊分別是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)
（1）解：選①，由可得，
，則，可得，；
選②，由可得，
即，即，
，則，故，；
選③，由及正弦定理可得，
、，則，所以，，
故，
，，因此，.
（2）解：由正弦定理可得，則，，

，
因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，
所以，，則，
故.

突破九：三角形中邊長(zhǎng)的代數(shù)關(guān)系
1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，的面積．
(1)若，求的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2).
（1）
的面積，有，
由余弦定理，，得，
即，
已知，由正弦定理，有，
由，
∴
即，中，∴，，則，
∴，令，則有，解得，
由正弦定理，.
（2）
由（1）有：，為的內(nèi)角，
當(dāng)時(shí)，有最大值.
2．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高三階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求B；
(2)記的面積為，且的外接圓面積為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

（1）
由正弦定理，，
故，
因?yàn)?，故?br /> 同理可得，，
故，
，即，
因?yàn)?，故，解得?br /> （2）
因?yàn)榈耐饨訄A面積為，
故的外接圓半徑為，
由正弦定理，；
由余弦定理，，所以.（*）
，所以
將（*）式代入，可得
因?yàn)?，所以由?）式可得，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故，
所以取值范圍為
3．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．
(1)求；
(2)記的面積為，求的最大值．
【答案】(1)
(2)的最大值為
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br /> 由平面向量數(shù)量積的定義可得，
即，整理可得，
由正弦定理可得.
（2）解：，由余弦定理可得，
所以，，令，即，
可得，為銳角，且，
所以，，解得，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故的最大值為.
4．（2022·江蘇·南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C成等差數(shù)列，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
(1)若，判斷的形狀；
(2)若不是鈍角三角形，求的取值范圍．
【答案】(1)為直角三角形.
(2)
（1）
因?yàn)榻茿，B，C成等差數(shù)列，
又，，即
，，
由余弦定理得：
，
由正弦定理得：，即
，，即
又，
所以為直角三角形.
（2）
，則
由不是鈍角三角形，知，
由正弦定理知
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
，
綜上可知，的取值范圍時(shí)
5．（2022·遼寧·鞍山一中二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），所以，
所以，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br /> （2）由（1）可知，．
則．
因?yàn)殇J角三角形，所以，整理得．
因?yàn)?，所以?br /> 令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，
故的取值范圍為.
6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
(1)求；
(2)若的外接圓的半徑為1，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
可得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，可得．
（2）
解：設(shè)外接圓的半徑為，依題意，由正弦定理，
所以，，
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)槭卿J角三角形，
所以，，可得，
所以




，
因?yàn)?，所以，所以，則，即.
突破十：四邊形（多邊形）問(wèn)題
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點(diǎn)，曲線CMD上任一點(diǎn)到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關(guān)于OM對(duì)稱，MO⊥AB；

(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB的大小；
(2)P在何位置，求五邊形面積S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
由余弦定理可得
，
所以O(shè)P＝14，在△OBP中，由正弦定理得，
所以，解得，
為銳角，所以∠POB的大小為.
（2）如圖，連接QA，PB，OQ，OP，
∵曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，
∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
P，Q關(guān)于OM對(duì)稱，設(shè)，，
則，
則五邊形的面積

，其中，
當(dāng)時(shí)，五邊形的面積取得最大值.

2．（2022·江西贛州·高三期中（理））“我將來(lái)要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬(wàn)的小孩子，附近沒(méi)有一個(gè)大人，我是說(shuō)，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無(wú)垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測(cè)量知，．

(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無(wú)論多長(zhǎng)，都為一個(gè)定值，請(qǐng)你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；
(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長(zhǎng)和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；
(2).
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，
即，
在中，，即，
因此，即，
所以．
（2）顯然，，
于是得，由（1）知，
因此，
在中，，在中，，則，
由，得，即有，
從而當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是．
3．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：連接，

因?yàn)?，，故為等邊三角形，?br /> ，則，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，四邊形周長(zhǎng)的最大值為.
4．（2022·廣東·深圳中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)．
（1）由已知，
所以；
（2）設(shè)，則，，，
由正弦定理得，
，，
，
，
是銳角，，故解得，
由正弦定理，所以．
5．（2022·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面凹四邊形中，，，.

(1)若且，求凹四邊形的面積；
(2)若，求凹四邊形的面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：如圖，連接，在中，
由正弦定理得，
所以，
同理可得，在中，有，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
又，都是銳角，
所以.
（也可由點(diǎn)向，作垂線，證明是角平分線）
在中，由余弦定理得，
即，解得，
所以凹四邊形的面積.

（2）
解：如圖，連接，在中，由余弦定理得，故.
在中，設(shè)，，
因?yàn)?br /> 所以，由余弦定理得，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)顯然點(diǎn)在的內(nèi)部，
所以.（不寫(xiě)取等條件扣1分）
又，
所以凹四邊形的面積的最小值.

6．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在四邊形中，，，且.

(1)證明：；
(2)若，求四邊形的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【詳解】（1）在中，，在中，，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> ，
，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由（1）可設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形的面積.
突破十一：三角函數(shù)與解三角形實(shí)際應(yīng)用
1．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，測(cè)得山頂P位于北偏東60°方向上，此時(shí)測(cè)得山頂P的仰角60°，若山高為2千米．
(1)船的航行速度是每小時(shí)多少千米？
(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問(wèn)此時(shí)山頂位于D處的南偏東什么方向？

【答案】（1）船的航行速度是每小時(shí)6(＋1)千米．（2）山頂位于D處南偏東.
【詳解】(1)在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2.
在△ABC中，由正弦定理得：＝?＝，
所以AB＝2(＋1)，船的航行速度是每小時(shí)6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得：＝?sin∠CDB＝，∠CDB
所以，∠CDB＝
所以，山頂位于D處南偏東.
2．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）釣魚(yú)島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土，如圖：點(diǎn)A、B、C分別表示釣魚(yú)島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東47°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏西36°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東79°方向，且A、B兩點(diǎn)的距離約為3海里.

（1）求A、C兩點(diǎn)間的距離；（精確到0.01）
（2）某一時(shí)刻，我國(guó)一漁船在A點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求救信號(hào).一艘R國(guó)艦艇正從點(diǎn)C正東10海里的點(diǎn)P處以18海里/小時(shí)的速度接近漁船，其航線為PCA（直線行進(jìn)），而我東海某漁政船正位于點(diǎn)A南偏西60°方向20海里的點(diǎn)Q處，收到信號(hào)后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點(diǎn)M處，再折向點(diǎn)A直線航行，航速為22海里/小時(shí).漁政船能否先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助？說(shuō)明理由．
【答案】(1)14.25海里；（2）漁政船能先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助．
試題解析：（1）求得，
由海里.
（2）R國(guó)艦艇的到達(dá)時(shí)間為：小時(shí).
在中，
得海里，
所以漁政船的到達(dá)時(shí)間為：小時(shí).
因?yàn)椋詽O政船先到.
答：漁政船能先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助.??

3．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會(huì)決定在直線海岸和上分別修建觀光長(zhǎng)廊和AC，其中是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為120萬(wàn)元，同時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)觀光平臺(tái)，并建水上直線通道（平臺(tái)大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是元/米．
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開(kāi)發(fā)水上游樂(lè)項(xiàng)目，要求的面積最大，那么和的長(zhǎng)度分別為多少米？
(2) 在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢(qián)？

【答案】（1）和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米（2）萬(wàn)元
試題解析：（1）設(shè)長(zhǎng)為米，長(zhǎng)為米，依題意得，
即，???????????????????
?????????
=
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米
（2）在(1)的條件下，因?yàn)椋?br /> 由??????????????????????????
得
?????????

，?????????????????????
元
所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．??
解法二：在中，
???
在中，
????
在中，
=??
元
所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．?????
解法三：以A為原點(diǎn)，以AB為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，
,即，設(shè)
由，求得， 所以??
所以，
元
所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．
4．（2022·湖北孝感·高三階段練習(xí)）如圖，某地出土一塊三角形石器，其一角已破損．為了復(fù)原該三角形石器，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：，，，．（參考數(shù)據(jù)：?。?br />
(1)求三角形石器另外兩邊的長(zhǎng)；
(2)求D，E兩點(diǎn)之問(wèn)的距離．
【答案】(1);
(2)
（1）
如圖，延長(zhǎng) 交于點(diǎn)C,

因?yàn)?，所?，
故,
即另外兩邊的長(zhǎng)皆為.
（2）
由題意得 , ，
故 ，
故D，E兩點(diǎn)之問(wèn)的距離為.
5．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)3千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光線路，，測(cè)得千米，千米.

(1)求線段的長(zhǎng)度；
(2)若，求兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值.
【答案】(1)3千米
(2)平方千米
（1）
在中，由余弦定理得，
，
所以，
所以線段的長(zhǎng)度為3千米.
（2）
設(shè)，因?yàn)?，所以?br /> 在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
，
因?yàn)?，所?
所以當(dāng)，即時(shí)，所圍成的面積的最大值為.
所以兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值為平方千米．
6．（2022·安徽·肥東縣綜合高中高三階段練習(xí)）現(xiàn)代傳媒大廈是我市最高的標(biāo)志性建筑.某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測(cè)距的正確性及測(cè)算傳媒大廈的高度.如圖（1）.龍城大道沿線的水平路面上有兩點(diǎn)A.B其中指向正西方向，首先利用百度地圖測(cè)距功能測(cè)出AB長(zhǎng)度為2km，接著在飛龍路沿線選定水平路面上可直接測(cè)距的C.D兩點(diǎn)，測(cè)得，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出CD長(zhǎng)度，并將其與CD的實(shí)際長(zhǎng)度2.84km進(jìn)行比較，若誤差介于-20米~20米之間，則認(rèn)為百度地圖測(cè)距是正確的.

(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明百度地圖測(cè)距是否正確？（）
(2)如圖（2），小組在A處測(cè)得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂M在西偏北方向上，且仰角，在B處測(cè)得樓頂M在西偏北方向上，通過(guò)計(jì)算得，，若百度地圖測(cè)出的AB=2km是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測(cè)算出傳媒大廈的高度（精確到1米）
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)336米.
【詳解】（1）設(shè)，等腰中，，
在中，，，，可得.
由正弦定理得，解得；
在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∵，
∴百度地圖測(cè)距是準(zhǔn)確的.
（2）△ABN中，由正弦定理可得,
設(shè)，，
△ABN中由余弦定理可得，
，
，
由，
所以，，
中，，
答：測(cè)算出傳媒大廈高度約為336米.
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
一、解答題
1．（2022·浙江紹興·一模）已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，求的周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由
，
因?yàn)椋?br /> 故；
（2）
，
而，即，
故或，
由，得或（舍去），
由正弦定理得，故，，
周長(zhǎng)，
為銳角三角形，則，
，.
2．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間：
(2)
（1）
，
∵相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，
∴，∴，∴；
由，解得，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由（1）知，∵，∴，
∴，∴，
∴，
．
3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù) ．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若銳角中角A、，所對(duì)的邊分別為、、，且，求的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2) ．
（1）

，
所以函數(shù)的最小正周期，
又由 ，
所以函數(shù)的增區(qū)間為；
（2） ，則,由于銳角中角，，
，
三角形是銳角三角形， ， ，
得， ，故，
，即．
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
（1）因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槭卿J角三角形，所以，
即，故，所以.
所以.
（2）由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，?
故的取值范圍是.
5．（2022·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校一模）已知函數(shù)（，）.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個(gè)合理?xiàng)l件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對(duì)稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.求：
(1)求函數(shù)的解析式；并求的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱中心坐標(biāo)；
(2)若將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.
【答案】(1)；（）；（）
(2)
（1）
，
當(dāng)選條件①時(shí)，，解得；
當(dāng)選條件②時(shí)，，
顯然條件②不合理；
當(dāng)選條件③時(shí)，，即，
解得；
綜上所述，條件①③能確定函數(shù)解析式，
且；
令，
得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；
令，得，，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，；
（2）將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，
得到的圖象，再向右平移單位，
得到函數(shù)的圖象，
即；
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為，
所以，解得.
所以的最大值為.
6．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二十中一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知.
條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求m的最大值.
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)
【詳解】（1）選條件①②：
因?yàn)?，所以，即，則.????????????????
由圖可知，則.???????????????
因?yàn)?，，所以，?
因?yàn)?，所以?br /> 所以.??
選條件①③：
因?yàn)椋?，即，則.
由題意可知，則.
因?yàn)椋?br /> 所以，即.
因?yàn)?，所?
所以.
選條件②③：
因?yàn)?，所以，即，則.
由題意可知，則.
因?yàn)?，?br /> 所以，即.
因?yàn)?，所以?br /> 所以.
（2）.
由，
得.????????????????????
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，此時(shí).
所以，所以m的最大值是.
7．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）密鋪，即平面圖形的鑲嵌，指用形狀?大小完全相同的平面圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙?不重疊地鋪成一片.皇冠圖形（圖1）是一個(gè)密鋪圖形，它由四個(gè)完全相同的平面凹四邊形組成.為測(cè)皇冠圖形的面積，測(cè)得在平面凹四邊形（圖2）中，，，.

(1)若，，求平面凹四邊形的面積；
(2)若，求平面凹四邊形的面積的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）如圖，連接，

在中，，，，
由余弦定理，得，，
在中，，，，
，
∴，
∴，又，
∴；
（2）由（1）知，，
中，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面凹四邊形面積取得最小值.
8．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．

(1)證明：；
(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
又，故，
由于，所以，因此，
（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,
由于為三角形內(nèi)角,所以，由(1)知,故
因此,
進(jìn)而得
9．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大?。?br /> (2)若的面積為，求周長(zhǎng)l的最小值．
【答案】(1)
(2)12

【詳解】（1）由，
根據(jù)正弦定理，得，
即，則有，
由于，所以．
（2）由題，，則．
又由（1）知，
則周長(zhǎng)，
當(dāng)且僅當(dāng)取“”，同時(shí)解得，
所以，周長(zhǎng)l的最小值為12．
10．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若點(diǎn)D在邊BC上，，且，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）由已知，得，
根據(jù)正弦定理，得，
即，
由于，，所以，為銳角，所以．
（2）由，得，則，
所以，
所以，，
則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以．
即面積的最大值為．
11．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，

(1)求角的值；
(2)若，，求四邊形的面積
【答案】(1)；
(2)
（1）

，
因?yàn)?，得?br /> 或，
解得或，因?yàn)?，得?br />
（2）
在中，，
在中，，
，
，，得，
，所以四邊形的面積為

12．（2022·河南·固始縣高級(jí)中學(xué)第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，
(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），又，所以，因?yàn)?，所?
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因?yàn)?，則，
﹒
所以的范圍為.
13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））△中，角所對(duì)邊分別是，，．
(1)求角及邊；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)
（1）
因?yàn)?，由正弦定理，可得，所以，?
因?yàn)?，所以?br /> 通分可得，即，，
所以，即.
（2）
因?yàn)椋?，由正弦定理可得?br />
．其中且φ為銳角，
當(dāng)時(shí)，取到最大值.
14．（2022·北京·人大附中三模）在中，.
(1)求的值；
(2)再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.
條件①：條件②：；條件③：邊上的中線長(zhǎng)為.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析.
(1)在中，，由正弦定理得：.
(2)選條件①：.
在中，，，所以，.
由余弦定理得：，
無(wú)解，所以這樣的三角形不存在.
選條件②：.
在中，，，所以，.
由余弦定理得：，
解得：（舍去）.
所以，.這樣的三角形存在并唯一.
所以的面積為.
即的面積為.
選條件③：邊上的中線長(zhǎng)為.

在中，.
由余弦定理得：，即，解得：（舍去）
在中，，.
由余弦定理得：，即，解得：，所以.這樣的三角形存在并唯一.
此時(shí)所以的面積為.
即的面積為.




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