高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題講練：立體幾何第1講素養(yǎng)提升之立體幾何選填專項(xiàng)沖刺 (含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第1講　素養(yǎng)提升之立體幾何選填專項(xiàng)沖刺
目錄
第一部分：知識強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：空間幾何體外接球
突破二：空間幾何體內(nèi)切球
突破三：用基底表示向量
突破四：向量模及最值
突破五：向量數(shù)量積最值
突破六：空間向量的平行與垂直
突破七：異面直線所成角
突破八：直線與平面所成角
突破九：二面角
突破十：空間距離
突破十一：立體幾何綜合問題
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識強(qiáng)化
1、空間向量的數(shù)量積
1.1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;
1.2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;
(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;
1.3、向量的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．

1.4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.
2、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：
運(yùn)算
坐標(biāo)表示
加法

減法

數(shù)乘

數(shù)量積

3、空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示
3.1、兩個向量的平行與垂直

平行（）

垂直（）
（均非零向量）
特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個坐標(biāo)平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒有意義了.
3.2、向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式
若，則，即
空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度
3.3、兩個向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式
設(shè)，則
3.4、兩點(diǎn)間的距離公式
已知，則
4、用向量法求空間距離
4.1、點(diǎn)到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：

4.2、點(diǎn)到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.

5、用向量法求空間角
5.1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則
①
②.

5.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）

5.3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角
如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.

若分別為面，的法向量
①
②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：空間幾何體外接球
1．（2022·四川成都·一模（理））已知邊長為的菱形中，，沿對角線把折起，使二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，三棱錐中，，平面平面，

取BD中點(diǎn)E，連接CE，AE，則，而平面平面，平面，
則平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，
令點(diǎn)分別為正，正的中心，在平面內(nèi)分別過點(diǎn)作的垂線，它們交于點(diǎn)O，連OC，
因此平面，平面，而分別為三棱錐的外接球被平面，平面所截得的小圓圓心，
則是三棱錐的外接球的球心，而，，
顯然四邊形為正方形，，則球半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積.
故選：A
2．（2022·對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高三階段練習(xí)）已知正三棱錐，若平面，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖一所示：

因?yàn)槠矫妫?br /> 平面，
所以，，
又因?yàn)閹缀误w為正三棱錐，
所以,
，
又因?yàn)?
所以，
所以,
所以，
所以，
即兩兩垂直，
將三棱錐補(bǔ)成以為鄰邊的正方體，如圖二所示：

則三棱錐的外接球即為補(bǔ)形后的正方體的外接球，
所以，
即，
所以球=.
故選：B.
3．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三階段練習(xí)）三棱錐中，平面，其外接球表面積為，則三棱錐的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】依題意，三角形ABC的平面圖如圖1：

???????????????圖1
其中是等腰的外接圓的圓心，是AC的垂直平分線，是BC的垂直平分線，在的外部，
依題意有，??；
三棱錐的直觀圖如圖2：

??????????????圖2
外接圓的圓心為PB的中點(diǎn)D，
過作垂直于平面ABC的垂線，過D作垂直于平面PAB的垂線，兩垂線必相交于外接球的球心O，
外接球的半徑，三棱錐P-ABC的高為PA，
則有，在中，，
三棱錐的體積為；
故選：D.
4．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面為正三角形，則其外接球體積最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)二面角的大小為，中點(diǎn)為，正方形的中心為，
則，，，則，到底面的距離為，
設(shè)球心到底面的距離為，而正方形的外接圓半徑為，
則，而
由得，，
恒成立，故最小值為，，
即外接球體積最小值為，
故選：C

5．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)是長方體的外接球球心，為球面上一點(diǎn)，，若與所成的角為，則四棱錐的體積的最大值為__________．
【答案】
【詳解】連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，
所以是與所成角，所以，
由于，所以四邊形是正方形，
所以，所以三角形是等邊三角形，
所以，所以，
所以長方體是正方體，
設(shè)外接球的半徑為，則，
球心到平面的距離為，
所以四棱錐的體積的最大值為.
故答案為：

6．（2022·湖南師大附中高二階段練習(xí)）三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為___________.
【答案】
【詳解】解：由題意，
如圖，

在△中，，

∴，
∵，面，，
∴⊥面，又面，
∴
在△中，
同理可得，，∵面，，
∴面，又面，
∴
∴棱中點(diǎn)為外接球球心，
外接球半徑為，
∴外接球表面積為.
故答案為：.
7．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）在正四面體中，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作該正四面體外接球的截面，記最大的截面面積，最小的截面面積為，則__________；若記該正四面體內(nèi)切球和外接球的體積分別為和，則__________．
【答案】???? ????
【詳解】將正四面體放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四面體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對角線DF的中點(diǎn)，

設(shè)正四面體的棱長為，則正方體的棱長為，
因?yàn)橥饨忧虻闹睆降扔谡襟w的對角線長，
所以外接球的半徑為，
E為BC邊的中點(diǎn)，過E作該正四面體外接球的截面，
當(dāng)截面過球心O時，截面面積最大，最大值為，
當(dāng)截面到球心O的距離最大時，截面圓的面積取最小值，
此時球心O到截面的距離為，可得截面圓的半徑為，
從而截面面積的最小值為．所以；
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為G，半徑為，
取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四面體的高，G在AH上，H在DE上，

正四面體的每個面的面積為，
，正四面體的高，
故正四面體的體積為，
連接G與正四面體的4個頂點(diǎn)可以得到4個的正三棱錐，每個正三棱錐體積為，則，
所以，求得，
故正四面體內(nèi)切球的體積，
正四面體外接球的半徑為，外接球的體積為，
．
故答案為：；27．
突破二：空間幾何體內(nèi)切球
1．（2022·福建·浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個長方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程.在一個長方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意，塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為，
所以直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，，
設(shè)，則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
則，
所以鱉臑體積.
故選：C

2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與、分別截于、.如果截面將四面體分為體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別為，，則必有（????）

A． B． C． D．的大小不能確定
【答案】C
【詳解】解：連接、、、，，，

則，，
又，
而以上等式右邊的每個三（四）棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，又面公共，
故，即.
故選：C．
3．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長為6，
且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；
設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，
則有，也即，解得：，
正三棱錐的體積，
也即，解得：，
所以，
故選：B.
4．（2022·河北張家口·高二期中）球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動，則的最大值為__________．
【答案】##
【詳解】
如圖，為中點(diǎn)，為中心，平面，
設(shè)球O的半徑為r，，
正四面體中，易求得
所以正四面體的高為，
所以根據(jù)體積公式得：
，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動，
所以，
所以
．
故答案為：．
5．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知球是棱長為的正方體的內(nèi)切球，則球的體積為________，平面截球的截面面積為________．

【答案】???? ????
【詳解】正方體內(nèi)切球半徑是該正方體棱長的一半，球的半徑，
球的體積；
是邊長為的等邊三角形，球與平面、、分別相切于的中點(diǎn)，
平面截球所得的截面為的內(nèi)切圓，
的內(nèi)切圓半徑，
所求截面面積.
故答案為：；.
突破三：用基底表示向量
1．（2022·甘肅·測試·編輯教研五高二期末（理））如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意知，

故選：C.
2．（2022·內(nèi)蒙古·包頭一中高二期中（理））已知空間四邊形ABCO中，，，，M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，則等于（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示：

點(diǎn)N在BC上，且，∴，
由，，
，
為中點(diǎn)，，，
．
故選：D．
3．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，G是與的交點(diǎn)，若，，，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)闉槿庵裕?br />

.
故選：.
4．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中（理））如圖，在三棱錐中，設(shè)，，，若，，則（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
，
，
，
故選：A.
突破四：向量模及最值
1．（2022·四川南充·高三期中（文））如圖所示，正方體的棱長為，、分別是棱、的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，若面，則線段長度的最小值是（????）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、，，設(shè)點(diǎn)，其中、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，因?yàn)槠矫?，則，
所以，，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的長度取最小值.
故選：C.
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，且平面，則長度的取值范圍為（???）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】以D為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，.

取的中點(diǎn)為H，連接，.
在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可證：面.
又，所以平面平面．
因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)P只能在線段上運(yùn)動．易知，設(shè)（），，則，，
，
．
當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值36．
故PC長度的取值范圍為．
故選：C
3．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，面，則的長為（????）．

A． B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以，，
平面的一個法向量為.
因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，所以點(diǎn).
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)，則，
因?yàn)槠矫妫裕?br /> 有，，故，
.
故選：A.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上（包括邊界）移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（????）

A． B． C． D．3
【答案】D
【詳解】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P（a，b，0），則（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），
＝（a?2，b?2，?2），＝（1，2，?2），
∵P⊥E，
，
∴a＋2b?2＝0，
∴點(diǎn)P的軌跡是一條線段，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，可取到最大值9，
∴線段P的長度的最大值為3．
故選：D．
5．（2022·遼寧·沈陽市第十中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，若，則__________．
【答案】
【詳解】由題意知向量，，，且，
所以且，解得，
故，，則，
所以，
故答案為：.
6．（2022·河南·高二階段練習(xí)）設(shè)，向量，且，則___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，解得，則.
因?yàn)椋?，解得，則.
.
故答案為：
7．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為______．
【答案】
【詳解】因?yàn)椤⑹强臻g內(nèi)兩個單位向量，且，
所以，，因?yàn)?，則，
不妨設(shè)，，
設(shè)，則，，解得，則，
因?yàn)?，可得?br /> 則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
因此，對于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.
故答案為：.
突破五：向量數(shù)量積最值
1．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)高二期中）在棱長為2的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)、最短時，（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 可得平面，，
當(dāng)，最短時，面，且，
則正四面體中，為的中心，為的中點(diǎn)，如圖所示，

又因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，在正三角形中，由正弦定理得，所以，
所以，
因?yàn)槠矫妫裕?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：C．
2．（2022·浙江臺州·高二期中）已知點(diǎn)P是棱長為1的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的最大值為（????）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【詳解】
如圖，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)，，，
則，，
，
當(dāng)或，或時，最大，為1.
故選：C.
3．（2022·貴州·高二期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.
易得，，
因?yàn)槠矫妫矫?，，，所以平面平?
因?yàn)槠矫妫訦為線段FG上的點(diǎn).
由平面，平面，得，
又，則，
由平面，得平面，
因?yàn)?，所以平面，?
因?yàn)椋?br /> 所以，.

.
因?yàn)?，所?
故選：B.

4．（2022·廣東·江門市廣雅中學(xué)高二期中）如圖所示，在棱長為1的正方形中，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是矩形內(nèi)（包括邊界）的任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)正方體的中心為O，連接OP，OM，ON．由正方體的性質(zhì)可知，，，那么，又，所以.
當(dāng)與反向，且時，有最小值，此時；
當(dāng)與同向，且時，有最大值，此時，即的取值范圍為．

故選：B
5．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,
,
因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，
所以，，
所以，
又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動，
所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時，最大，且最大值為；
當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時，最小，且最小為；
所以，
所以的取值范圍為，
故選：B
6．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E為底面內(nèi)一動點(diǎn)，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以?br /> 故選：A

突破六：空間向量的平行與垂直
1．（2022·安徽·亳州二中高二期中）設(shè)，向量，，，且，，則（????）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，故，故?br /> 因?yàn)?，故，故，故，?br /> 故，故，
故選：D.
2．（2022·山東·聊城市茌平區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，，，則與夾角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，
解得，，
故,,，
又因?yàn)?，所以，即，解得?br /> 所以,4,，,,，
所以,2,，,,，
所以，
，
，
設(shè)與的夾角為，
則．
故選：A.
3．（2022·黑龍江·大慶二中高二階段練習(xí)）已知兩個向量，，且，則的值為（????）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故選：C
4．（2022·河南·北大公學(xué)禹州國際學(xué)校高二開學(xué)考試）如圖，平面平面是等邊三角形，四邊形是矩形，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時，（????）

A．3 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】分別取的中點(diǎn)O，G，連接，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則．設(shè)，
則．因?yàn)椋?br /> 所以，解得，所以．
故選: C

5．（2022·山東·萊州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，點(diǎn)．在直線上，存在一點(diǎn)E，使得，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，，，?br /> 因?yàn)椋?，解得，又，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：.
6．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知，，且與垂直，則的值為___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，
，
因?yàn)榕c垂直，所以，
解得：，所以的值為，
故答案為：.
突破七：異面直線所成角
1．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，分別是正方形的邊的中點(diǎn)，將沿著折起到的位置，使平面平面，連接，，則所成角的余弦值是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又平面，平面平面，平面平面，所以平面，又分別是正方形的邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.
設(shè)所成的角為，則.
故選：C.

2．（2022·河北張家口·高二期中）如圖，在三棱錐中，平面，是正三角形，，，F(xiàn)是棱上一點(diǎn)，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值是（????）．

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

易知，，，，
，，
設(shè)，則，
已知，
因?yàn)?，?br /> 所以，
可得，即，
所以，所以，
則，
∴異面直線與所成角的余弦值為．
故選：B．
3．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），且．若直線與所成角的余弦值是，則（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面?br /> 所以，．
因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕?br /> 所以DP，DC，DA兩兩互相垂直．
以為原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，．
所以，．
因?yàn)椋?br /> 所以，則．
設(shè)直線MN與BD所成角為，則．
因?yàn)?，則，
化簡得，即，解得或（舍去）．
故選：B
4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，線段AB，SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若異面直線EC與BF所成角的余弦值為，則（????）
A． B．4 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】如圖示，以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向聯(lián)立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè).則，，，，，，.
所以，.
因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的余弦值為，所以，解得：t=4.
即4.
故選：B
5．（2022·遼寧沈陽·高二期中）已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).若直線EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（????）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】C
【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.設(shè)，則，，，，所以，所以，.因?yàn)橹本€EC與BF所成角的余弦值為，所以，解得，也即.

故選：C.
突破八：直線與平面所成角
1．（2022·江蘇·南京田家炳高級中學(xué)高二期中）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA1=2BC，E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D的中點(diǎn)，則直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】側(cè)棱AA1垂直于底面，則，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面A1CD的法向量為，，則，取，則，即直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為.
故選：C

2．（2022·福建省德化第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱雉中，平面，，底面是邊長為4的菱形，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正切值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】連接交于點(diǎn)，
以分別為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，令，則，
設(shè)與平面所成的角為，則
，
所以，，
所以與平面所成的角的正切值為，
故選：B

3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知圓錐的底面圓心為，頂點(diǎn)為，側(cè)面展開圖對應(yīng)扇形的圓心角為，，是底面圓周上的兩點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，則與所成角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，，，
因?yàn)閭?cè)面展開圖對應(yīng)扇形的圓心角為，
所以，于是，所以，
所以，，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，0，，，，，，，，，，，，，，，，，平面的法向量為，0，，
與平面所成角的正弦值為，，
所以與所成角的余弦值為．
故選：A
4．（2022·浙江·余姚中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓柱中，點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為__________.
【答案】
【詳解】取中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，則，
設(shè)，直線的方向向量為，
所以直線與平面所成角的正弦值為，
即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
故答案為：.
5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.

【答案】##
【詳解】把該幾何體補(bǔ)成一個正方體，如圖，，連接，
由平面，平面，得，同理，．
又正方形中，，，平面，
所以平面，而平面，所以平面平面，
所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，
，
．
，．
故答案為：．

6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．
【答案】
【詳解】因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），
因?yàn)?，所以F是CC1四等分點(diǎn)（靠近C），
所以F（0,2,1），所以，
設(shè)平面D1EF的一個法向量為，
則，即，
令c＝2，則，故，
又，平面D1EF，
所以，即，
所以，所以，
故，
因?yàn)?≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，
因?yàn)?，所以|MD|在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝時，|MD|取最大值，
所以|MD|的最大值為，
當(dāng)x＝2時，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值為，
所以|MD|的取值范圍是．
故答案為：.
突破九：二面角
1．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高二期中）已知菱形中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（????）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，設(shè)中點(diǎn)為，，則平面，，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形邊長為2，則，
，，顯然是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則滿足，即，
令，可得，故，則，即二面角的余弦值為.

故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，中點(diǎn)為，則二面角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體的棱長為2，
則，0，，，2，，，0，，，2，，
，2，，，2，，，2，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，得，0，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，，，
設(shè)二面角的平面角為，由圖知為鈍角，
二面角的余弦值.

故選：.
3．（2022·山東·日照一中高二階段練習(xí)）已知菱形中，，沿對角線折疊之后，使得平面平面，則平面與平面的夾角的余弦值為（????）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)菱形的邊長為，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?br /> 又平面平面，平面平面，所以平面，
如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，則，
又取平面的一個法向量為，所以，
故選：D．

4．（2022·河南·安陽縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在矩形中，，，沿對角線把矩形折成二面角的平面角為時，則__________.
【答案】
【詳解】分別過兩點(diǎn)作，，垂足為,如下圖所示：

根據(jù)勾股定理可求出：，
沿對角線把矩形折成二面角的平面角為時，
則，

.
5．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，且，若，，則平面APB與平面PBC夾角的余弦值為______．

【答案】##
【詳解】在平面內(nèi)作，垂足為，
因?yàn)?，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，
又,平面PAD，平面PAD
從而AB⊥平面PAD，又平面PAD，故，
又,，平面,平面.
可得平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以，，，.
所以，，，.
設(shè)是平面的法向量，則即
令，則，故.
設(shè)是平面的法向量，則即
令，則，故.

則平面APB與平面PBC夾角的余弦值為
故答案為：
6．（2022·福建·泉州七中高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，//，且，若，，則二面角的余弦值為______．

【答案】
【詳解】
取中點(diǎn)，中點(diǎn),連接，，由已知可得//，//
∵，∴，，
∴，，
∴平面，∴，
又∵，∴
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，
∵，∴,
∴，，，.
所以，，，
設(shè)是平面的一個法向量，則
即，
令，則，，∴.
設(shè)是平面的一個法向量，則
即，
令，則，，∴.
則，
由圖可知二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
故答案為：.
突破十：空間距離
1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，在線段上，且，則點(diǎn)到平面的距離為（????）
A． B． C． D．3
【答案】B
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
設(shè)為平面的法向量，且，
則
即
取,
故點(diǎn)到平面的距離.
故選：B.
2．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期中）如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，????
因?yàn)椋?br /> 所以，，,
所以點(diǎn)P到AB的距離．
故選：D.
3．（2022·山西省運(yùn)城中學(xué)校高二期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（????）

A． B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，
，則，又，，
，直線交于點(diǎn)，，
以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
，，，
，
設(shè)與和都垂直，
則，取，則，，
P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．
故選：D．

4．（2022·浙江·高二期中）在棱長為3的正方體中，平面與平面之間的距離為（????）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋矫?，平面，所以平面?br /> 因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br /> 又，平面，平面，所以平面平面，
所以平面與平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面之間的距離，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，
，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，令，則，，，
所以點(diǎn)到平面之間的距離為，
即平面與平面之間的距離為.
故選：C.

5．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為4，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______ .

【答案】3
【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，是等邊三角形，點(diǎn)在直線上的射影在邊上（靠近的四等分點(diǎn)），
由平面，平面，得，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，∴為銳角，
，為異面直線與所成角，即.
在菱形中，，，，．設(shè)，則，

，

，，，，，
點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：3.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為___________.

【答案】???? ????
【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

則設(shè)，
由得，
所以，
所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.
②設(shè)點(diǎn)，由得，
所以，
由題得
所以設(shè)平面的法向量為，
所以，令，則由題得，
所以點(diǎn)P到平面的距離為，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為.
故答案為：；.
突破十一：立體幾何綜合問題
1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，，點(diǎn)M在棱上，且，平面與平面的夾角為，則下列說法錯誤的是（????）

A．平面平面 B．
C．點(diǎn)M到平面的距離為 D．多面體的體積為
【答案】D
【詳解】對于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)G，連接交于N，連接，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以⊥，且N是的中點(diǎn)，
所以且，又，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面平面，
所以，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以⊥平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
對于B，取的中點(diǎn)H，由四邊形是菱形，，則，
所以是正三角形，
所以，所以，
又平面，
以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
所以，
所以，
，
當(dāng)時，重合，此時平面與平面的夾角為，不合題意，舍去；
當(dāng)時，設(shè)平面的一個法向量，
則，
兩式相減得：，
令，得，故，
平面的法向量可取，
所以，解得，故B正確；
對于C，結(jié)合B，所以，則，
設(shè)平面的一個法向量，則，
解得：，取，得，故，
所以點(diǎn)M到平面的距離，故C正確；
對于D，，
故，
梯形的面積為，
，
故，故D錯誤.
故選：D.
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，，，點(diǎn)G是P在平面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)D，連接，為等邊三角形，∴，

由題意知平面，平面，
故,又，，則，
所以，而平面,所以平面,
又平面, 所以平面平面,平面平面,
∴點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在直線上，連接PG，則，
在中，，，則，，
故，則,∴點(diǎn)G是的重心.
以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P作的垂線為x軸，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，，則，
∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為,
故選:C.
另解：同解法一得出點(diǎn)G是的重心.
如圖，取的中心E，連接EG，則 ,故，

則異面直線與所成的角為，
因?yàn)槠矫?，故平面?br /> 連接CE，在中，，，,
∴，故異面直線與所成角的余弦值為,
故選：C.
3．（2022·江西宜春·高二階段練習(xí)（理））在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，且．若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（????）
A．平面
B．直線和直線所成的角為
C．過點(diǎn)的平面與四棱錐表面交線的周長為
D．當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且時，點(diǎn)的軌跡為一個橢圓
【答案】D
【詳解】由題意可知因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又底面是邊長為2的正方形，所以，即兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

所以由題意,
所以，
設(shè)平面的法向量，所以，解得，
因?yàn)?，所以平面，A正確；
因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)?，所以直線和直線所成的角為，B正確；

延長與交于點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，
則過點(diǎn)的平面與四棱錐的截面為，
取的中點(diǎn)為，則，
又，所以，所以，
所以為中點(diǎn)，即為靠近的四等分點(diǎn)，同理為靠近的四等分點(diǎn)，
所以，
則,
則截面周長為，C正確；
因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，
又因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，
設(shè)與平面交于，由A得因?yàn)槠矫?，所?
所以，
即為定值，所以的軌跡為圓，D錯誤；
故選：D
4．（多選）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有（????）

A．直線⊥平面
B．直線平面
C．異面直線AP與所成角的取值范圍是
D．三棱錐體積為定值
【答案】ABD
【詳解】分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

對于A：設(shè)邊長為1，則,，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，即，
又平面，
所以直線平面，故A正確；
對于B：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上運(yùn)動，
所以設(shè)點(diǎn)，則，
由上可知：平面的法向量為，
，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以直線平面，故B正確；
對于C：，設(shè)異面直線AM與所成角為，
所以，
因?yàn)椋援?dāng)時，，
當(dāng)時，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
綜上，所以，故C錯誤；
對于D：因?yàn)?，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動，
所以點(diǎn)P到直線的距離不變，即的面積不變，
又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離恒為，
所以點(diǎn)到平面的距離不變，即三棱錐的高不變，
所以三棱錐的體積為定值，而，故D正確，
故選：ABD
5．（多選）（2022·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三期中）如圖，正方體棱長為1，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（????）

A．存在點(diǎn)，使得
B．三棱錐的體積為定值
C．若動點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，為半徑的球面上，則的最小值為
D．過點(diǎn)，，作正方體的截面，則截面多邊形的周長的取值范圍是
【答案】BCD
【詳解】對A選項(xiàng)，在正方體中，以為直徑的球面，半徑，則直線與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使得，故A選項(xiàng)錯誤；
對B選項(xiàng)，因?yàn)?，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，故，故B選項(xiàng)正確；
對C選項(xiàng)，，，因?yàn)?，所以，故C選項(xiàng)正確；
對D選項(xiàng)，當(dāng)在上移動時，截面多邊形如圖(1)所示，其側(cè)面展開圖如圖(2)所示，
??
圖(1)??????????????????????????圖(2)
當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，即與點(diǎn)重合，截面多邊形為正三角形，此時的周長最小，周長，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動時，根據(jù)對稱性可知，截面多邊形的周長先增大后減小，即點(diǎn)隨著點(diǎn)的移動至點(diǎn)時，此時點(diǎn)為的中點(diǎn)，截面為平行四邊形，截面多邊形的周長最大，此時周長為，所以截面多邊形的周長的取值范圍是，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
6．（多選）（2022·廣東惠州·高二階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中,已知E為線段的中點(diǎn),點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足,,其中,則下列說法正確的是（????）
A．當(dāng)時,平面與平面FAC的夾角余弦值為
B．當(dāng)時,四棱錐的外接球的表面積是
C．的最小值為
D．存在唯一的實(shí)數(shù)對,使得平面PDF
【答案】ABD
【詳解】對于A,當(dāng)時,F為線段的中點(diǎn),
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在的直線為軸,DC所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，

,,,.
,,,
設(shè)平面的法向量為,平面ACF的法向量為,
由,即,令，得,
同理，即，令，得,
所以,故A正確;
對于B,當(dāng)時,點(diǎn)P為正方體的中心,設(shè)四棱錐的外接球的半徑為,由,解得,
故四棱錐的外接球的表面積為,故選項(xiàng)B正確;
對于C,把問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)P使得最小,如圖,作點(diǎn)E關(guān)于線段的對稱點(diǎn),過點(diǎn)作、AB的垂線,垂足分別為F和H,交于點(diǎn)P.
則,設(shè),
結(jié)合,,，
,
故,故,故選項(xiàng)C錯誤;

對于D,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

,,,,,
故,,,
若平面PDF,
則即,
解得（舍）或,
故存在唯一的實(shí)數(shù)對,使得平面PDF,故選項(xiàng)D正確,
故選:ABD．
7．（2022·對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高三階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，分別是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別與直線交于點(diǎn)，為側(cè)面（含邊界）上的一個動點(diǎn).給出以下命題：

①四邊形一定為菱形；
②四棱錐的體積為定值；
③平面與平面所成的角不大于；
④的最小值為.
其中正確命題的序號是______.
【答案】①②④
【詳解】對于①，連接，

平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，
四邊形為平行四邊形；
分別為中點(diǎn)，；
四邊形為正方形，，
又平面，平面，，
，平面，平面，
平面，又平面，，
四邊形為菱形，①正確；
對于②，由①知：四邊形為菱形，，
；
，點(diǎn)到平面的距離為，
，則為定值，②正確；
對于③，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
軸平面，平面的一個法向量；
，
為平面與直線的交點(diǎn)，；
則當(dāng)時，，
平面與平面可以大于，③錯誤；
對于④，作出關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則，

平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，
四邊形為平行四邊形，平面，又平面，
又平面平面，，又，
，為中點(diǎn)，即，
，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即為如圖所示點(diǎn)時取等號），
，④正確.
故答案為：①②④.
8．（2022·北京·海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).動點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動，對于下列三個結(jié)論：

①存在點(diǎn)，使得，且這樣的點(diǎn)有兩個；
②的面積越來越小；
③四面體的體積不變.
所有正確的結(jié)論的序號是__________.
【答案】②③
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，
則，，設(shè)（），則，，
令，解得：，存在唯一一個點(diǎn)P，使得，①錯誤；
，，，，
設(shè)點(diǎn)P到直線距離為，則
所以，
因?yàn)?，動點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來越小，②正確；
以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因?yàn)椤蔚酌妫詇不變，所以四面體的體積不變，③正確.

故答案為：②③.
9．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)，重合）.給出下列說法：
①當(dāng)變化時，三棱錐的體積不變；
②當(dāng)變化時，平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；
③當(dāng)為中點(diǎn)時，異面直線與所成角的余弦值為；
④存在點(diǎn)，使得直線.
其中所有正確的說法是______.

【答案】①②
【詳解】解：由題意
對于①
∵，
∴N到面的距離相等，設(shè)為d，
，
∴三棱錐的體積為定值，①正確.
對于②，
∵面與面有公共點(diǎn)M，
∴面與面有一條經(jīng)過M點(diǎn)的交線，
∴在面中，作該交線的平行線，
則該直線平行于面，②正確.
對于③，設(shè)正方體棱長為2，
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

，，，，
，，，，
，，
∴，，
∴，
∴當(dāng)為中點(diǎn)時，異面直線與所成角的余弦值為，③錯誤.
對于④，
設(shè)，則，，
若直線⊥面，
，
無解，
∴存在點(diǎn)，使得直線，④錯誤.
故答案為：①②.
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·河北·涉縣第一中學(xué)高三期中）在棱長為2的正方體中挖掉一個體積最大的圓錐（圓錐的底面在正方體的底面上），再將該圓錐重新熔成一個圓柱，則該圓柱表面積的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題可知體積最大的圓錐的體積為，
設(shè)圓柱的高為，底面圓的半徑為，所以，即.
圓柱的表面積，
設(shè)則，
在上是單調(diào)遞增的,
易知當(dāng)，即時，取得最小值,即最小值為.
故選：
2．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知棱長為12的正四面體內(nèi)有一個正方體玩具，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則這個正方體玩具的棱長最長為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，正四面體的邊長為，
則正方體的邊長為，
正四面體的體積為
，
設(shè)其內(nèi)切球的半徑為，則，
解得.

已知正四面體的棱長為12，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，
則正方體玩具的外接球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，所以內(nèi)切球的半徑，
內(nèi)切球的直徑，內(nèi)切球的直徑也即正方體玩具的體對角線長的最大值，
設(shè)此時正方體玩具的邊長為，則體對角線長為.
即正方體玩具的棱長最長為.
故選：D
3．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為，則它的內(nèi)切球的半徑為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，為的中點(diǎn)，底面，則為的中心，底面的面積.
又，所以，所以.
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.

故選：B
4．（2022·湖南·慈利縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如下圖是一個正八面體，其每一個面都是正三角形，六個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O與正八面體的體積之比是（?????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意得正方形的中心即為外接球球心，設(shè)，則，
球的體積為，
而，故正八面體的體積，
得，
故選：A
5．（2022·江西·高二階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，當(dāng) 時，有平面，則實(shí)數(shù)的值為（????）

A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【詳解】如下圖所示：

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，
則，設(shè)
即，，
由得
即，所以
則
設(shè)平面的一個法向量為，
，所以
令，則；所以
由平面可知，,即.
所以.
故選：C
6．（2022·湖南岳陽·高二期中）平行六面體中，則它的對角線的長度為（????）

A．4 B． C． D．
【答案】D
【詳解】由于，而
所以，將等式兩邊同時平方得：
，

，
所以，
即對角線的長度為.
故選：D.
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱的底面為正三角形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，若，則異面直線與MN所成角的大小為（????）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【詳解】解法一：

如圖，設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，，連接，
則，，，
因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?
連接，交于點(diǎn)P，取的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ，則，，
所以為異面直線與MN所成的角或其補(bǔ)角.
易知，故為等邊三角形，，
所以異面直線與MN所成角的大小為60°.
解法二：

設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，，連接，
則，，，
因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?
如圖，把三棱柱補(bǔ)成一個四棱柱，連接，，
則，，故為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.
連接AD，易知，故為等邊三角形，，
所以異面直線與所成角的大小為60°.
解法三??由題可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，所在直線為y，z軸，
在平面ABC上過點(diǎn)A作與AB垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，高為h，則，，，，
所以，，，由可得，
所以，得，所以，，則，
因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍為，所以異面直線與MN所成角的大小為60°.
故選：C
8．（2022·上?！つM預(yù)測）如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則（????）

A．直線與直線相交，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線AC異面，直線平面
D．直線與直線垂直，直線∥平面
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，，，
又M為的中點(diǎn)，故可得，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，不妨取，故可得．
設(shè)平面的法向量為
則，即，不妨取，故可得．
對A：因?yàn)椋蔅M，不相交，故錯誤；
對B：，，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，
故MB，不平行，故錯誤；
對C：，平面的法向量為，
不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯誤；
對D：，，則，故直線MB與垂直；
又，故MB與平面平行，故正確；
故選：D．
二、多選題
9．（2022·遼寧沈陽·高二期中）如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說法中正確的是（????）

A．
B．
C．直線AC與直線是相交直線
D．與AC所成角的余弦值為
【答案】AB
【詳解】由空間向量運(yùn)算法則得到：，
所以

，
故，A正確；
因?yàn)椋?br /> 所以

，
故，，B正確；
連接，

因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形?br /> 點(diǎn)平面，而點(diǎn)平面，
故直線AC與直線是異面直線，C錯誤；
，，

，
又
，

，
故，
設(shè)與AC所成角為，
所以
故與AC所成角的余弦值為，D錯誤.
故選：AB
10．（2022·山東·巨野縣第一中學(xué)高二期末）已知在直三棱柱中，底面是一個等腰直角三角形，且，E、F、G、M分別為的中點(diǎn)．則（????）
A．與平面夾角余弦值為 B．與所成角為
C．平面EFB D．平面⊥平面
【答案】BCD
【詳解】如圖1，建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)，則有：
，

∴，，，，，
設(shè)平面ACC1A1的法向量為
則有，令x＝1，則，
則，
∴與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯誤；
∵，
∴AB1與BC1所成角的余弦值為，則夾角為，B正確；
如圖2：連接，設(shè)，連接OF，

E、M分別為的中點(diǎn)，則且，
∴為平行四邊形，則O為的中點(diǎn)，
又∵F為的中點(diǎn)，則，
平面EFB，平面EFB，
∴平面EFB，C正確；
由題可知平面即為平面，
由題意可得：，
又，平面，
∴平面，
平面，則，
又∵為正方形，則，
又，平面，
所以平面，平面，
∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D正確.
故選：BCD．
11．（2022·山東·泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高二期中）如圖，四棱柱的底面ABCD是正方形，O為底面中心，平面ABCD，．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（????）

A．
B．平面
C．平面的一個法向量為
D．點(diǎn)B到直線的距離為
【答案】BCD
【詳解】依題意, 是正方形, ,與的交點(diǎn)為原點(diǎn),,

在給定的空間直角坐標(biāo)系中, ,
而,
則點(diǎn),,故錯誤;
,,
設(shè)平面的法向量,
則,
令,得,故正確;
,即平面,故正確;
,,,
到的距離,故正確
故選:
三、填空題
12．（2022·河北南宮中學(xué)高三階段練習(xí)）在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為__________.
【答案】
【詳解】如下圖所示：

由題意可得，，
所以，，
，

，
所以，.
因此，與所成角的余弦值為.
故答案為：.
13．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）如圖為某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，它的表面是由正三角形和正方形組成，設(shè)被截正方體的棱長為2a，若球О以該幾何體的中心為球心，且與正三角形表面相切，則該球被其中一個正方形表面截得的截面面積為__________.

【答案】
【詳解】如圖建系，，，，，

，
四面體OABM為正四面體，O到平面ABM距離，
易知球心到正方形所在平面的距離為，
球被正方體ABCD截得的圓為圓，，.
故答案為：.
14．（2022·北京·楊鎮(zhèn)第一中學(xué)高二期中）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足，給出下面四個結(jié)論：
①點(diǎn)可以是棱的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)；
②線段的最大值為；
③點(diǎn)的軌跡是正方形；
④點(diǎn)軌跡的長度為．
則其中所有正確結(jié)論的序號是________．
（注：本題給出的結(jié)論中，有多個符合題目要求．全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分）

【答案】①④
【詳解】解：在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
∵該正方體的棱長為1，，分別為，的中點(diǎn)，
∴，，，，∴，

設(shè)，則，
∵，∴，即
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
取，，，，
連接，，，，
則，，
∴四邊形為矩形，則，，
即，，
又和為平面中的兩條相交直線，
∴平面，
又，，
∴為的中點(diǎn)，則平面，
為使，必有點(diǎn)平面，
又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，∴點(diǎn)的軌跡為四邊形，
因此點(diǎn)可以是棱的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，故選項(xiàng)①正確；
又，，
∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形且矩形周長為，
故選項(xiàng)③錯誤，選項(xiàng)④正確；
∵，，
又，則，即，
∴，點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動，
則，解，
∴，
故當(dāng)或，或1，取得最大值為，故②錯誤.
故答案為：①④．
四、雙空題
15．（2022·湖北·武漢市第十七中學(xué)高二期中）如圖1，是平行四邊形，，如圖2，把平行四邊形沿對角線折起，則三棱錐體積的最大值為______________．若與成角，則的長為______________．

【答案】???? ???? 或
【詳解】由已知得，對于三棱錐，當(dāng)平面時，三棱錐體積的最大，由，是平行四邊形，可得，，故；
，又因?yàn)榕c成角，故或，且，，
，
故或，
則或
故答案為：①；②或；
16．（2022·天津河北·高二期中）在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)到直線的距離為______________；點(diǎn)D到平面的距離為______________．

【答案】???? ????
【詳解】由題意知：，
所以，
，
所以，
所以點(diǎn)到直線的距離為；
由題意知：，
所以，
記平面的法向量為，
則，取，則，，
此時，
又，
所以點(diǎn)D到平面的距離.
故答案為：，.

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