?第5講　圓錐曲線綜合問題
目錄
重難點(diǎn)題型突破
突破一：求橢圓，雙曲線，拋物線軌跡方程
突破二：離心率問題
突破三：圓錐曲線上點(diǎn)到定點(diǎn)（定直線）距離最值
突破四：圓錐曲線中三角形（四邊形）面積最值問題
突破五：圓錐曲線中定點(diǎn)，定值問題
突破六：圓錐曲線中定直線問題
突破七：圓錐曲線中的向量問題


突破一：求橢圓，雙曲線，拋物線軌跡方程
1．（2022·北京·海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓T與x軸交于兩點(diǎn)A，B，與y軸交于兩點(diǎn)C，D，若|AB|和均為定值，則T的圓心軌跡一定是（????）
A．橢圓（或圓） B．雙曲線 C．拋物線 D．前三個(gè)答案都不對
【答案】D
【詳解】設(shè)圓心，半徑，由圓在軸上截得弦長為得，
所以，同理：
兩式相減消去得
當(dāng)時(shí)，，圓心軌跡為直線，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閨AB|和均為定值，故圓心軌跡為雙曲線，
故選：D.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩圓，動(dòng)圓與圓外切，且和圓內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，，
則，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長的雙曲線的右支.
因?yàn)椋?br /> 所以.
故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
故選：D.
3．（2022·湖北省天門外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）直線和上各有一點(diǎn)（其中點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為且滿足），的面積為4，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)橹本€和互相垂直，
所以，
又，
所以點(diǎn)在一，四象限或者二，三象限，
設(shè)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
所以
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
所以，即，
故選：B
4．（多選）（2022·湖北·高二階段練習(xí)）圓的半徑為定長是圓上任意一點(diǎn)，是圓所在平面上與不重合的一個(gè)定點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡可能是（????）
A．一個(gè)點(diǎn) B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】ABD
【詳解】（1）因?yàn)闉閳A內(nèi)的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn)，可得，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，
①當(dāng)不重合時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的橢圓；
②當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓；
（2）當(dāng)為圓外的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，
線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，
可得，
即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差絕對值為定值，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是：以為焦點(diǎn)的雙曲線；
（3）當(dāng)為圓上的一定點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是圓心.
綜上可得：點(diǎn)的軌跡可能是點(diǎn)、圓、橢圓和雙曲線.
故選：ABD
5．（多選）（2022·江蘇南通·高二期中）過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，如果，那么點(diǎn)的軌跡可能是（????）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．線段
【答案】BC
【詳解】依題意可知直線和直線的斜率存在，
設(shè)過的橢圓的切線方程為，
由消去并化簡得：，
其，
整理得，，
其，整理得，符合題意，
所以，
整理得①，，
當(dāng)時(shí)，，①即，
即點(diǎn)的軌跡是圓的一部分.
當(dāng)或時(shí)，，由于，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分.
故選：BC
6．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期末）已知、，，函數(shù)．若、、成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是______．
【答案】雙曲線和直線
【詳解】解：由題意得，
即，
對其進(jìn)行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故答案為：雙曲線和直線.
7．（2022·福建三明·高二期中）雙曲線：實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是______.
【答案】且
【詳解】設(shè),
由雙曲線方程知，實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，
，
∵QA⊥PA，∴，
可得，
同理根據(jù)QB⊥PB，可得，兩式相乘可得
∵點(diǎn)為雙曲線M上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，整理得，
，化簡可得，由點(diǎn)不與重合，知.
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是且.
故答案為：且.
8．（2022·河北·任丘市第一中學(xué)高二期中）已知，B是圓C：上的任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______.
【答案】
【詳解】解：圓，圓心為，半徑為4，
因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，
所以．
所以由橢圓定義知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，方程為．
故答案為：．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是___________.
【答案】
【詳解】由得，，
因?yàn)榕c雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，即相切于點(diǎn)，
所以
化簡得，，
所以過點(diǎn)且與垂直的直線為，
所以，
所以
所以點(diǎn)的軌跡是.
故答案為：
10．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高三期中）已知過定點(diǎn)的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)．
(1)若直線的傾斜角為，求；
(2)若線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)，其中
【詳解】（1）由題得l方程為：，將其與聯(lián)立有
，消去y得：，解得或.
則令A(yù)，B，則=.
（2）由題，直線存在，故設(shè)l方程為：.
將其與聯(lián)立有：，消去y得：
因l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
得且.設(shè).
又設(shè)M坐標(biāo)為，則.
因A，B在雙曲線上，則有.
又M，在直線l上，則.
故
由韋達(dá)定理有，，.
則M坐標(biāo)為.
又，且，則或.
綜上點(diǎn)的軌跡方程為：，其中.
11．（2022·四川·雅安中學(xué)高二期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（a為正數(shù)），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
可得，可得，
又，可得，
解得，
故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知，則，
設(shè)，
根據(jù)點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，
可得即
由點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，可得，
整理可得點(diǎn)M的軌跡方程為．
12．（2022·全國·高二單元測試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，求的方程，并說明是什么曲線；
【答案】曲線的方程為，表示以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線
【詳解】解：因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，滿足拋物線定義，
所以曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
故曲線的方程為：.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線和 與拋物線 （p＞0）分別相交于A，B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)O）與直線l：y＝2x+p分別相交于P，Q兩點(diǎn)，且．求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；

【答案】
【詳解】聯(lián)立，解得：，
把代入得：，
所以，
同理可得：，
則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br /> 所以，????
消去得：
所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到x軸的距離大，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
【答案】或
【詳解】依題意，得，即①，，
兩邊平方得，
②，
兩邊平方得，
整理得，即，
可得或，
當(dāng)時(shí)，②轉(zhuǎn)化為，所以，
此時(shí)①轉(zhuǎn)化為，所以，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為或.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．
【答案】
【詳解】設(shè)、、，
則，，，

由，得，且點(diǎn)、均不在軸上，故，且，．由，得，即．由，得，即．
∴，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.
突破二：離心率問題
1．（2022·湖南·模擬預(yù)測）若，橢圓C：與橢圓D：的離心率分別為，，則（????）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最大值為，無最小值．
故選：D
2．（2022·河北·模擬預(yù)測）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可知，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，所以，即，
故選：A．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，∴，設(shè)，則，

由，根據(jù)勾股定理，有，即
解得，即，
由，，，，三點(diǎn)共線，
∴，代入橢圓方程，有，化簡得，
所以橢圓離心率為.
故選：B
4．（2022·湖南永州·一模）已知橢圓分別為其左?右焦點(diǎn)，過作直線軸交橢圓于兩點(diǎn)，將橢圓所在的平面沿軸折成一個(gè)銳二面角，設(shè)其大小為，翻折后兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，記.若，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】將代入中，解得：，
所以，且，
則在中分別由余弦定理得，
，
所以
又由得：，
所以，即，所以，即離心率為.
故選：A.
5．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，
若，則，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的；
②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿足為等腰三角形即可，則或
當(dāng)時(shí)，則，即，則，
當(dāng)時(shí)，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
故選：A.
6．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，若C，D恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓E的離心率e為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，設(shè)，，∵C，D分別是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴，，則，
得，
利用點(diǎn)差法，由兩式相減得，
整理得到，即，所以.
故選：C．

7．（2022·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測（理））一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓柱形容器內(nèi)裝有體積為的液體，當(dāng)容器傾斜且其中液體體積不變時(shí)，液面與容器壁的截口曲線是橢圓，則該橢圓離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)液面傾斜至如圖所示位置時(shí)，

設(shè)，.
因?yàn)閳A柱底面積為，故液體體積為
，解得，即，
，故，所以，，
即，所以離心率，即橢圓離心率的取值范圍是.
故選：
8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】易知點(diǎn)、、、，則線段的方程為，
在線段上取一點(diǎn)，滿足，則，
，，
所以，，
整理可得，
由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則，可得，可得，
所以，.
故選：D.
9．（2022·江蘇鹽城·三模）已知點(diǎn)為橢圓：的上頂點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，滿足且，若滿足條件的△有且只有一個(gè)，則的離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)直線：，則：，而，
不妨取，直線與橢圓聯(lián)立，消去得，解得，
所以，則，
因?yàn)椋裕?br /> 整理得，，易知符合，
因?yàn)闈M足條件的△有且只有一個(gè)，
所以無之外的解，整理得，
所以，即，
所以離心率．
故選：B
10．（2022·廣西廣西·模擬預(yù)測（理））雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當(dāng)取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為（　?。?br /> A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【詳解】設(shè)，
則，，所以，
將曲線方程代入得，
又由均值定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以離心率，
故選：B
11．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
12．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，連接與漸近線交于點(diǎn)，，則C的離心率為 （????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題可知，，所以直線AF的方程為.
，解得，
，即
，同除可得：
解得或（舍）.
故選：A.
13．（2022·四川雅安·三模（文））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題可得漸近線的斜率滿足，
所以離心率.
故選：D.
14．（2022·山西·模擬預(yù)測（理））雙曲線的右頂點(diǎn)為在軸上，若上存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)）使得，則的離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，
∵，
點(diǎn)的軌跡方程為.
聯(lián)立得，
解得（舍去），，
由題意知點(diǎn)在雙曲線的右支上，即，
故，化簡得，
因?yàn)?，所以?br /> 故選：D.
15．（2022·全國·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，若在雙曲線上有一點(diǎn)使得三角形為直角三角形，且該三角形某個(gè)銳角的正切值為，那么該雙曲線離心率的最大值為（????）
A． B． C． D．5
【答案】C
【詳解】設(shè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于雙曲線是對稱圖形，故我們只需要考慮點(diǎn)在第一象限的情況，此時(shí)可分為三類：
①為直角，的正切值為.
設(shè)，，則，，化簡可得
所以，而，由正切函數(shù)的定義知，又 ，所以，所以，由于，所以；
②為直角，的正切值為，因?yàn)?，，由正切函數(shù)的定義知，同理可得，所以；
③∵當(dāng)時(shí)，
因?yàn)辄c(diǎn)在右支，所以，所以，
所以，故，又
所以，，
又，所以，
所以，
綜上所述，該雙曲線離心率的最大值為.
故選：C .
16．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））已知點(diǎn)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)直線為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，所以
解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
故選：B
17．（2022·甘肅蘭州·一模（理））已知橢圓：與雙曲線有公共的焦點(diǎn)?，為曲線?在第一象限的交點(diǎn)，且的面積為2，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（????）
A．9 B． C．7 D．
【答案】B
【詳解】記橢圓中的幾何量為a，b，c，雙曲線中的幾何量為，，
則由橢圓和雙曲線定義可得…①，…②，
兩式平方相減整理得，
記，則由余弦定理得…③
①2-③得…④
由面積公式可得，即，代入④整理得，
因?yàn)椋?，所以，得?br /> 所以，即，
所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
故選：B

突破三：圓錐曲線上點(diǎn)到定點(diǎn)（定直線）距離最值
1．（2022·河南鄭州·三模（文））斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（????）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線l的方程為，
由消去y得，
則，.
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故選:D.
2．（2022·四川·成都外國語學(xué)校高二期中（理））已知，，分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過垂直于長軸的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且；Q為C上任意一點(diǎn)，求的最小值為（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【詳解】連接，
由橢圓方程可得，故
在橢圓方程，令，則，
因?yàn)?，故，解得?br /> 故橢圓方程為：.
而，
因?yàn)?，故?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在中間時(shí)等號成立，
故即的最小值為3.
故選：A.

3．（2022·江蘇南通·高二期中）若點(diǎn)，分別在橢圓和直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由橢圓方程可設(shè)，
則到直線的距離為
，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為，
故選：A
4．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，故， 如圖所示：

到漸近線的距離,
則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，
∴的最小值為.
故選：D
5．（2022·福建·莆田第六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到軸的距離之和的最小值為（????）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【詳解】如圖，⊥軸，連接，
由拋物線定義得：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故，
則點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到軸的距離之和，
連接，與拋物線交于點(diǎn)，此時(shí)，
故點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到軸的距離之和的最小值為，
其中，故最小值為.

故選：B
6．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，若，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意,作圖如下：

設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線x=-1上的射影為A,由拋物線的定義得:.
所以要使取得最小值,只需最小.
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)M,P,A三點(diǎn)共線時(shí)取“=”),
此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,設(shè)其橫坐標(biāo)為x0.
因?yàn)镻(x0,1)為拋物線上的點(diǎn),則有，解得：.
當(dāng)P為(,1)時(shí), 取得最小值2.
故選：B．
7．（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知雙曲線，過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N.則的最小值為______.
【答案】##
【詳解】雙曲線，，
雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，，
則，.
由點(diǎn)到直線的距離公式得，
兩邊平方得

所以，即的最小值為.
故答案為：
8．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知是拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為______.
【答案】
【詳解】如下圖示，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于Q，交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn).

則，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為.
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即（為點(diǎn)到直到的距離）.
而到直線距離為：.
，
.
最小值為：.
故答案為：.
9．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二期末（理））已知P為拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為_______
【答案】
【詳解】將P點(diǎn)到直線l1：的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)F(1，0)的距離，過點(diǎn)F作直線l2的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，此即為所求最小值點(diǎn)，
∴P到兩直線的距離之和的最小值為＝2，
故答案為：.

10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)Q.拋物線上有一點(diǎn)M，它在x軸上的射影為點(diǎn)H，則的最小值是________.
【答案】
【詳解】解：如圖所示，延長交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)榈耐饨瞧椒志€是,且,
所以, 因?yàn)?
所以,
因?yàn)?
所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.

由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.
所以,
所以
因?yàn)?
所以.
所以的最小值是.
故答案為：

突破四：圓錐曲線中三角形（四邊形）面積最值問題
1．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）在中，已知點(diǎn)與邊上的中線長之和為6.記的重心的軌跡為曲線.

(1)求的方程；
(2)若圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及已知條件，得
∵，
∴曲線C是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓（不含x軸上的兩點(diǎn)）
由，得
∴的方程為；
（2）解：法一?
因?yàn)?，由題意知直線的斜率存在且不為，，
不妨設(shè)直線PE的斜率為，則.
由，解得或，
∴
∴，
用代替，可得，
∴，
設(shè)，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，
∴，
∴，
令，函數(shù)在上遞增，
∴，
∴，當(dāng)時(shí)，取等號，
∴面積的最大值為.
法二?設(shè)，易知斜率存在，設(shè)直線為
由得，
∴，
∵，
∴，得，即
整理得：，
（舍去）
∴與軸交于
∴
設(shè)
∴在時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，
2．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）定義：若點(diǎn)在橢圓上，并滿足，則稱這兩點(diǎn)是關(guān)于的一對共軛點(diǎn)，或稱點(diǎn)關(guān)于的一個(gè)共軛點(diǎn)為．已知點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)關(guān)于的所有共軛點(diǎn)的坐標(biāo)：
(2)設(shè)點(diǎn)在上，且，求點(diǎn)關(guān)于的所有共軛點(diǎn)和點(diǎn)所圍成封閉圖形面積的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于的共軛點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有，
消去得，解得，
即點(diǎn)關(guān)于的共軛點(diǎn)有且只有一個(gè)，坐標(biāo)為，即為本身；
（2）因?yàn)?，所以?br /> 所以設(shè)直線方程為：，
將其與橢圓方程聯(lián)立有，消去得．
由題有．
又設(shè)，則．
則
．
又設(shè)到直線距離為，則．
則所圍成的圖形面積為
，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號．
故點(diǎn)關(guān)于的所有共軛點(diǎn)和點(diǎn)所圍成封閉圖形面積的最大值為．
3．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的左焦點(diǎn),且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上移動(dòng),連接交橢圓于兩點(diǎn),過作的垂線交軸于,求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解:由題知拋物線的準(zhǔn)線為,
,
因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,
,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;
（2）由(1)得橢圓的方程為,
的垂線交軸于,
的斜率存在,
連接交橢圓于兩點(diǎn),
的斜率不為0,
不妨設(shè),
則,
聯(lián)立,
即,
,
,
設(shè),
,
,
解得:,
到直線的距離為:,





,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,
故面積的最小值為.
4．（2022·山西省運(yùn)城中學(xué)校高二期中）已知橢圓，點(diǎn)P為E上的一動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓E的左?右焦點(diǎn)，的周長是12，橢圓E上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離是2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)l的方程.
【答案】(1)
(2)，此時(shí)直線的方程為：.
【詳解】（1）由題意得,解得：，
橢圓的方程是：.
（2）設(shè)，
聯(lián)立消去得：
由題意可知：點(diǎn),
所以
令，則，所以，
，易知在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，此時(shí)，所以直線的方程為：.
5．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為
(1)求橢圓的方程
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，記的面積為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）橢圓的離心率，即，故，
橢圓過點(diǎn)，故，，橢圓為.
（2）易知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，
得到，，
，
，
設(shè)，，則
函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
故.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓的上頂點(diǎn)為，是圓的一條直徑，不與坐標(biāo)軸重合，直線、與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，求的面積的最大值及此時(shí)所在的直線方程．
【答案】(1)
(2)，所在的直線方程為
【詳解】（1）直線與圓相切，則，
由橢圓的離心率，解得：，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，
不妨設(shè)直線的斜率為，則直線．
由，得，或，
所以.
用代替，
則，
，

，
設(shè)，則．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，
所以.
即，．
直線的斜率，
所在的直線方程：.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓和拋物線，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓上有一點(diǎn)滿足，拋物線的焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過作兩條互相垂直的直線和，其中直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【詳解】（1）由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以橢圓的半焦距，
又橢圓有一點(diǎn)滿足，
所以橢圓的離心率，所以，，
則求得橢圓的方程是．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線即為軸，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，為橢圓長軸兩端點(diǎn)，
直線軸，，四邊形的面積；
當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立直線與橢圓，消去可得，
則，．
則弦長
，
設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線，
消去可得，則，
由拋物線的定義，弦長，
由于，則四邊形的面積，
令，則，
即，令，則，
可知時(shí)，，則單調(diào)遞增，則（3），
綜上，當(dāng)直線斜率時(shí)，四邊形面積有最小值8．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足：．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)若分別過點(diǎn)、，作兩條平行直線，，設(shè)，與軌跡的上半部分分別交于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)3.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)滿足：．
．
由橢圓定義可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
故其方程為：．
（2）設(shè)直線，它與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)為到直線的距離，也即到直線的距離；
由橢圓的對稱性知：，
與聯(lián)立，消去，得，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為
則△顯然成立，且，
，
又，，令，
則，
設(shè)，在上任取，則，
因?yàn)椋士傻?，，即?br /> 故在上單調(diào)遞增.
在,上單調(diào)遞增
當(dāng)即時(shí)，取得最大值3，
故所以四邊形面積的最大值為3．
9．（2022·湖南師大附中高二階段練習(xí)）已知雙曲線，其虛軸長為，直線與曲線的左支相交于相異兩點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使（其中），求的面積的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的虛軸長為，所以，
故雙曲線方程為.
聯(lián)立消去整理得，
因?yàn)橹本€與曲線的左支相交于相異兩點(diǎn)，所以該方程有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根，設(shè).
，解得.
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）設(shè)，由得：.
所以，，
故，，.
點(diǎn)在雙曲線上，，
整理得，
因?yàn)?，，所以，?
，
又點(diǎn)到直線的距離為
，
，
由于，


，，令，則，.
令，.
，且設(shè)，
則
，
因?yàn)椋?，所以，所以有?br /> 所以，所以，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，有最小值；
當(dāng)時(shí)，有最大值.
故.

10．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為；雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，已知， 且 過作的不垂直于軸的弦，為的中點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn).

(1)求、的方程；
(2)若四邊形為平行四邊形，求直線的方程；
(3)求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【詳解】（1）解：由題意可得，，，則，
，，，
所以，橢圓的方程為，雙曲線的方程為.
（2）解：由（1）可知，因?yàn)橹本€不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、、，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
則，，所以，點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，即，
解得，
因此，直線的方程為或.
（3）解：由（2）可得，
，所以，直線的方程為，
聯(lián)立可得，所以，，
不妨取點(diǎn)、，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為，
則，
所以，四邊形的面積為
，
故當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值.
11．（2022·江蘇省邗江中學(xué)高二期中）在一張紙片上，畫有一個(gè)半徑為4的圓（圓心為M）和一個(gè)定點(diǎn)N，且，若在圓上任取一點(diǎn)A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點(diǎn)P．

(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)在（1）中點(diǎn)P的軌跡上任取一點(diǎn)D，以D點(diǎn)為切點(diǎn)作點(diǎn)P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點(diǎn)，求證：的面積為定值，并求出該定值；
(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點(diǎn)G，Q，當(dāng)G，Q分別位于第一、二象限時(shí)，若，，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定值為2
(3)
【詳解】（1）過點(diǎn)N作圓M的切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

由題意知，BC是線段AN的垂直平分線，
因?yàn)橹本€BC與直線AM交于點(diǎn)P，所以，
當(dāng)點(diǎn)A在劣弧EF上時(shí)，點(diǎn)P在射線MA上，所以；
當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧EF上時(shí)，點(diǎn)P在射線AM上，所以．
所以，
所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線．
設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，
所以a＝2，，，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為；
（2）雙曲線的漸近線為．由題意知直線l的斜率存在，設(shè)
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，易知是以ST為底邊的等腰三角形，
,，則，此時(shí)．
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立消去x得，
．①
設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)H，則，
則．
（直接求的面積不易求得，將進(jìn)行拆分）
聯(lián)立，
聯(lián)立．
則（定值）．
綜上所述，的面積為定值2；

（3）由題可設(shè)，，，，．
因?yàn)?，所?br /> 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程有，化簡得．
故．
（三角形面積公式）
因?yàn)?，所以由對勾函?shù)性質(zhì)得，
故．
12．（2022·四川·德陽五中高二期中（文））已知橢圓：，以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.

(1)求拋物線的方程及的值；
(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，分別是、的面積，求的最小值.
【答案】(1)拋物線的方程為；
(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)
【詳解】（1）依題意橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以拋物線的方程為.
拋物線的準(zhǔn)線方程為，故設(shè)，
過點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率一定存在，設(shè)方程為，
將其代入得，由得，
即， ，其兩根即為，所以.
（2）證明：設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，則，
對于拋物線在第一象限內(nèi)部分有，
由可得，故，同理可得，
則點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為，即，
同理，以為切點(diǎn)的切線方程為，
因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)，所以，，
即兩點(diǎn)的坐標(biāo)皆滿足方程，又由于兩點(diǎn)確定一條直線，
故切點(diǎn)弦的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).
（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立,得，，則，
則；
聯(lián)立，得， ，
設(shè)，，則 ，
則，
則，故當(dāng)時(shí)，有最小值.
13．（2022·四川·成都七中高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作的兩條切線，記切點(diǎn)分別為，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）
拋物線的焦點(diǎn)為，即，
橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，所以，，
所以橢圓方程為.
（2）
拋物線的方程為，即，
對該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)，，，
直線的方程為，
即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
因?yàn)椋?br /> 由已知可得，
所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.
14．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，設(shè)是拋物線上一點(diǎn)．
(1)求拋物線方程；
(2)若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)M做兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若直線與的傾斜角互補(bǔ)，求面積的最大值．
【答案】(1)或
(2)6
（1）由題意拋物線過點(diǎn)，所以設(shè)拋物線方程為：或，帶入點(diǎn)M得，或，拋物線方程為：或．
（2）由拋物線焦點(diǎn)在x軸上，拋物線方程為，設(shè)，因?yàn)橹本€與的傾斜角互補(bǔ)，所以，得，即，整理得，所以則設(shè)直線，即，點(diǎn)M到直線的距離為：，，所以，令，由，得，所以．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以只需討論的情況．當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，即的最大值為．綜上可知，的面積的最大值為6．
15．（2022·湖南·長沙市同升湖高級中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的兩直線交拋物線于，，且的平分線平行于y軸，試判斷的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由.
【答案】(1)
(2)的面積有最大值，最大值為
【詳解】（1）因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?br /> 所以，即，解得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）得，.設(shè)，.
因?yàn)榈钠椒志€平行于y軸，所以，得，
即，整理得，

則設(shè)直線，即，
點(diǎn)M到直線的距離為：

，

令，由，不妨設(shè)，則，
得，所以.
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
即的最大值為.
綜上可知，的面積有最大值，最大值為.
突破五：圓錐曲線中定點(diǎn)，定值問題
1．（2022·湖南長沙·高二階段練習(xí)）雙曲線：的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求曲線的方程；
(2)動(dòng)點(diǎn)M，N在曲線上，已知點(diǎn)，直線PM，PN分別與y軸相交的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)在直線MN上，，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題意可知：
且，解得，
故雙曲線方程為：.
（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
若直線PM，PN與y軸的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則在軸上，與題意矛盾，因此直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，整理得，
則，，，.
直線PM，PN分別與y軸相交的兩點(diǎn)為，，
∴直線方程為，
令，則，同理，
可得，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線方程為恒過定點(diǎn)，顯然不可能，
∴，直線方程為，恒過定點(diǎn)
∵，設(shè)中點(diǎn)為T，∴，
∴為定值，
∴存在使為定值.
2．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為8，雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)分別是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)（不與重合），線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求證：為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，左焦點(diǎn)為，所以，所以.
又焦距為8，所以，所以，故所求雙曲線的方程為.
（2）證明：設(shè)，由（1）得，
又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，
直線的斜率為，直線的斜率為，
又，則直線的方程為，
即
又直線的方程為，
聯(lián)立方程得，
又，代入消去，得，
因?yàn)?，所?
所以，解得，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則，所以為定值.
3．（2022·廣東·江門市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線相交于，兩點(diǎn).
(1)求曲線的方程；
(2)求斜率的取值范圍；
(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有軸平分？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，定點(diǎn)
【詳解】（1）由可知，的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，虛軸長為，
所以曲線的方程為：；
（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，整理得，因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，
所以，解得或，
故斜率的取值范圍為；
（3）由軸平分可知，
由（2）可得，
又，，則，，
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，則，
，即，
展開可得
因?yàn)樾甭实娜≈捣秶鸀椋?br /> 所以，即，
整理可得：，即，得，
所以軸上存在定點(diǎn)，且
4．（2022·福建·高二階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是圓外的一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程
(2)過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，問在軸是否存在定點(diǎn)使？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【詳解】（1）線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．
，
∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，
，，又，則，
∴軌跡的方程是；
（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，令，則
由得
∵直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

假設(shè)存在點(diǎn)使，則，
，
即，
即，
軸上存在點(diǎn)，使得，
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)使得，
綜上，軸上存在點(diǎn)，使得．
5．（2022·廣東·東涌中學(xué)高三期中）已知橢圓的離心率為，短軸長為10，右頂點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）依題意，得，解得，，
所以橢圓C的方程為.
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l：，點(diǎn)，，，
聯(lián)立，消去，得，
所以，即，
又，，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)?，所以，則，
解得或，滿足，
所以直線l：或，
由于直線l不過點(diǎn)，所以直線l：，則直線l過定點(diǎn)；
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，，，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又，解得或，
由于直線l不過點(diǎn)，所以，則直線l過定點(diǎn)；
綜上：直線l過定點(diǎn).
6．（2022·湖南·衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高二期中）已知橢圓：的長軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)點(diǎn)，是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．
【答案】(1)
(2)直線AB恒過定點(diǎn)．
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C：的長軸為雙曲線的實(shí)軸，
所以，
因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，
所以，即，得
所以橢圓方程為，
（2）①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，
由，得，
，
所以，
所以，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
則，
所以，
化簡得，
即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，
則直線過定點(diǎn)（舍去），
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，
所以直線過定點(diǎn)，
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為，
由，得
所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直線也過定點(diǎn)，
綜上，直線AB恒過定點(diǎn)．
7．（2022·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高二階段練習(xí)）知橢圓E：的左右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好為

(1)求橢圓E的方程；
(2)如圖，下頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C，D兩點(diǎn).直線AD，AC分別交x軸于點(diǎn)H，求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）過且斜率為的直線的方程為，
令，得，
由題意可得，解得，
橢圓E的方程為：；
（2）由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：，
，，
聯(lián)立，得
，，
由，得，
，
，
直線AD的方程為，令，解得，
則，同理可得，


8．（2022·四川·簡陽市陽安中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與拋物線：相交于不同的兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于不同的兩點(diǎn)，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)?，且滿足，證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）依題意，易知圓心到直線（即拋物線的準(zhǔn)線）的距離為，不妨設(shè)圓心到直線的距離為，
則，，所以，
則由圓與拋物線的對稱性可知，軸，故直線的方程為，即過拋物線的焦點(diǎn)，
所以，故，
故拋物線的方程為.
（2）由題意知，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消去，得，
則，，，
因?yàn)?，所以?br /> 又，則，
所以，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，
所以直線的方程為，令，則，
故直線過軸上一定點(diǎn).
9．（2022·福建·莆田第六中學(xué)高二階段練習(xí)）若位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸距離大.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程D.
(2)過軌跡D上一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，交軌跡于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)，，則，
故，化簡得：，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程D為；
（2）設(shè)，
則，
兩式相減得：，即，
因?yàn)橹本€的傾斜角互補(bǔ)，且，
所以，
故，
所以，
故直線的斜率是定值.
10．（2022·四川·成都七中高二期中（文））設(shè)拋物線 ?的準(zhǔn)線為l，A、B為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，，?為垂足，已知?有最小值?，其中?的坐標(biāo)為?.
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)（?，且）時(shí)，是否存在一定點(diǎn)?滿足?為定值? 若存在，求出?的坐標(biāo)和該定值; 若不存在，請說明理由.
【答案】(1)?
(2)存在定點(diǎn) ?，使得?為定值?
【詳解】（1）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為?，有?，得?，則拋物線的方程為?.
（2）存在一定點(diǎn)T使得為定值.
∵
∴K、A、B三點(diǎn)共線.
∴設(shè)直線?方程為?
設(shè) ?，
聯(lián)立 ?得?，
且有 ?，
而 ?
?
?
?
為滿足題設(shè)，取 ?
可得 ?
即存在定點(diǎn) ?，使得?為定值?.
【點(diǎn)睛】（1）拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)與它到焦點(diǎn)的距離之和的最小值.
（2）求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
11．（2022·河南安陽·高二期中）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．
(1)求的方程；
(2)若不過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn)．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€：，所以準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以由拋物線焦半徑公式得，，
聯(lián)立，解得或（由于，舍去），
所以拋物線的方程為.
（2）依題意，易知，直線的斜率存在（若不存在，則與拋物線至多只有一個(gè)交點(diǎn)），
設(shè)直線為，，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
因?yàn)橹本€，的斜率之積為1，即，
故，整理得，
所以，得，故直線為，
所以直線過定點(diǎn).
突破六：圓錐曲線中定直線問題
1．（2022·江蘇南京·高二期中）已知圓A：，T是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，BT的中垂線與AT交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)（0，2）的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，記點(diǎn)P（0，）.問：是否存在直線l，滿足PM=PN？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，y=±x+2.
【詳解】（1）由條件得，
所以的軌跡是橢圓，
且，所以，
所以的方程為.
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，顯然的斜率存在且不為0，
設(shè)，
由得，
則，得，
設(shè)，
則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因此，的中垂線方程為，
要使，則點(diǎn)應(yīng)在的中垂線上，
所以，解得，
故，
因此，存在滿足題意的直線l，其方程為y=±x+2.
2．（2022·山東聊城·三模）已知橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，M為C上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，），直線，相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
（1）
由橢圓C的離心率為得??①，
由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)M為橢圓上（或下）頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
??②，
又，結(jié)合①②可解得，，
所以橢圓C的方程為.
（2）
由過的直線l不過，，可設(shè)其直線方程為，把代入，得，，即，
設(shè)，，則，，
直線的方程為，
直線的方程為，
設(shè)直線和的交點(diǎn)為，則
，
把及代入上式，得
，整理得，
故點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上，得證.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率，長軸的左、右端點(diǎn)分別為
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)恒在直線
（1）
解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
根據(jù)題意，可得且，所以，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
解：根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為，
取，可得，
可得直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，可得交點(diǎn)為；
若，由對稱性可知交點(diǎn)，
若點(diǎn)在同一直線上，則直線只能為；
以下證明：對任意的，直線與直線的交點(diǎn)均在直線上，
由，整理得，
設(shè)，則，
設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，
設(shè)與交于點(diǎn)，由，可得，
因?yàn)?
，
因?yàn)椋磁c重合，
所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)均在直線上，.
4．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是2，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)記雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)是否恒在某直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)在定直線上.
【詳解】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)的垂直與的直線方程為，代入雙曲線方程可得，所以此時(shí)，又直線垂直于軸時(shí)，，所以①，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以②，又③，由①②③解方程可得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）可知，
若直線的斜率為0，則直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，
所以直線的斜率不為0，設(shè)直線，
聯(lián)立整理得，
，且，
則，故.
由題意可得直線的方程為，直線的方程為，
則，
即，
把代入上式，
得，
解得.
故點(diǎn)在定直線上.
5．（2022·海南·?？谥袑W(xué)高三開學(xué)考試）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
（1）
雙曲線的漸近線方程為，所以.
又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，
又，所以，，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
證明：聯(lián)立方程組消去y，并整理得.
設(shè)，，則，.
設(shè)，（），則得直線AM的方程為，
直線BN的方程為，
兩個(gè)方程相減得，①
因?yàn)椋?br /> 把上式代入①得：，
所以，
因此直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線和圓，拋物線的焦點(diǎn)為.

（1）求的圓心到的準(zhǔn)線的距離；
（2）若點(diǎn)在拋物線上，且滿足， 過點(diǎn)作圓的兩條切線，記切點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍；
（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點(diǎn)，證明:的充要條件是“直線的方程為”
【答案】（1）4；（2）；（3）見解析
【詳解】（1）由可得:，的圓心與的焦點(diǎn)重合，
的圓心到的準(zhǔn)線的距離為.
（2）四邊形的面積為:
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的取值范圍為.
（2）證明(充分性) :若直線的方程為，將分別代入
得，，，.
，.
(必要性) :若，則線段與線段的中點(diǎn)重合，
設(shè)的方程為，，，，，
則，將代入得，
，即，
同理可得，，
即或，
而當(dāng)時(shí)，將其代入得不可能成立； .
當(dāng)時(shí)，由得：，，
將代入得，，
，，
，或（舍去）
直線的方程為.
的充要條件是“直線的方程為”.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離．
（1）求曲線C的方程；
（2）經(jīng)過P（1,2）作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且，設(shè)是AB中點(diǎn)，問是否存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到這個(gè)定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和這條定直線的方程．若不存在，說明理由．
【答案】（1） ；（2）所求的定點(diǎn)為，定直線方程為．
【詳解】（1）因?yàn)榈蕉c(diǎn)的距離等于它到定直線的距離，利用拋物線的定義，設(shè)方程為，而，
故曲線C的方程為即；
（2）設(shè)：y-2=k(x-1)(k≠0) ： y-2=(x-1)
由得2x2-kx+k-2=0，設(shè)，則，
同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為，故M點(diǎn)坐標(biāo)為，
整理得，
消去k得：y=4x2+4x+ ，
M軌跡是拋物線，故存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離．將拋物線方程化為，
此拋物線可看成是由拋物線左移個(gè)單位，上移個(gè)單位得到的，而拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.
∴所求的定點(diǎn)為，定直線方程為.
突破七：圓錐曲線中的向量問題
1．（2022·河北·模擬預(yù)測（理））已知橢圓的離心率為，為的左焦點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)，的周長為．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：的面積為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意可得，，可得，，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）證明：設(shè)，，，，，，
因?yàn)?，即?br /> 可得，，
由題意顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€經(jīng)過焦點(diǎn)，其在橢圓內(nèi)部，顯然，
且，，，
所以，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，
可得，整理可得，
可得或（舍，
所以，
點(diǎn)到直線的距離，
所以為定值．
2．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，
(1)求軌跡的方程；
(2)若直線過點(diǎn)且法向量為，直線與軌跡交于、兩點(diǎn)．
①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；
②在軸上是否存在定點(diǎn)，無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【詳解】（1）由，知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
，，，故，軌跡方程為．
（2）直線的方程為，，
得，設(shè)，，，，
由條件得，
解得，即．
①，
由條件，故，故，
因?yàn)椋虼耍?br /> ②設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，
由
，
得對任意恒成立，所以，
解得，
因此存在定點(diǎn)滿足條件．
3．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，橢圓上一點(diǎn)到和的距離之和為，且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于點(diǎn)（不與重合），是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說出理由.
【答案】(1)
(2)存在，
（1）
解：由橢圓的定義可得，則，因?yàn)?，，則，
因此，橢圓的方程為.
（2）
解：若直線與軸垂直，此時(shí)，線段的垂直平分線為軸，不合乎題意；
若直線與軸重合，此時(shí)，線段的垂直平分線為軸，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，
此時(shí)，；
若直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
則，
所以，線段的中點(diǎn)為，
所以，線段的垂直平分線所在直線的方程為，
在直線方程中，令可得，
故點(diǎn)，所以，，
由弦長公式可得，
因此，.
綜上所述，存在，使得恒成立.
4．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線T上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線T的準(zhǔn)線相切，且該圓周長為.

(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，設(shè)點(diǎn)A，B，C都在拋物線T上，若是以AC為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
(1)
因?yàn)椋缘耐饨訄A圓心在直線上，又外接圓與準(zhǔn)線相切，
所以半徑為
所以周長為，所以
故拋物線方程為
(2)
設(shè)點(diǎn)，，，直線AB的斜率為，
因?yàn)?，則直線BC的斜率為.因?yàn)椋?br /> 則，得，①
因?yàn)?，則，得，②
因?yàn)?，則，即，③
將②③代入①，得，即，
則，
所以


因?yàn)?，則，又，則
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為32.
5．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））設(shè)橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)E的右頂點(diǎn)為D，若直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)）且滿足，求原點(diǎn)到直線l距離的最大值.
【答案】(1)
(2)
(1)
依題意，因?yàn)?，所以?br /> 將代入橢圓，則可解得，
所以橢圓E的方程為．
(2)
由（1）知，設(shè)，，
由知，，
即，
①當(dāng)直線垂直軸時(shí)，，且，
故，故或2（舍去），此時(shí)點(diǎn)到的距離為；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)
聯(lián)立方程，得，
由得，且，
由得，
將代入上式可得，
即，，所以（舍去）或，
顯然，則點(diǎn)到的距離，
綜上，點(diǎn)到的距離最大值為．
6．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，M為的中點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線，l與橢圓有唯一公共點(diǎn)N，與y軸的正半軸相交．若點(diǎn)P滿足，且四邊形的面積為，求橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：為直角三角形，M為的中點(diǎn)，所以，，又，所以，
，所以， 所以橢圓離心率為.
(2)
解：由題意可設(shè)直線方程為：，
聯(lián)立，得，
又l與橢圓有唯一公共點(diǎn)N，故，即，即，
又所在直線方程為：，所以直線與l的距離為，
四邊形的面積為：，
解得：，故橢圓的方程為：

7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，點(diǎn)在曲線上.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是曲線上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，.設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足的內(nèi)切圓的圓心落在直線上， 求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
(1)
易知，，
又，
所以.
所以；
(2)
因?yàn)?，所以是的中點(diǎn). 結(jié)合軸，
所以軸，所以().
因?yàn)榈膬?nèi)切圓的圓心落在直線上，
所以直線關(guān)于直線對稱.
所以的傾斜角互補(bǔ)，所以
顯然直線的斜率存在，設(shè)：，由
得，由得.
設(shè)， ，則，，
由+，整理得，
所以，即
若，則，
所以直線的方程為，此時(shí)，直線過點(diǎn)，舍去.
所以，即.
所以的斜率為










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