一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
角度2：聚焦科技前沿
角度3：結合生產實踐
角度4：滲透數學文化
角度5：強調五育并舉
二、新考法
角度1：以給定定義、熱點信息為背景
角度2：考查開放、探究精神
角度3：考查數學運算、數據分析得核心素養(yǎng)
角度4：相近學科融合
一、新情境
角度1：緊跟社會熱點
1．（多選）（2022·江蘇南京·高三階段練習）為慶祝黨的二十大勝利召開，由南京市委黨史辦主辦，各區(qū)委黨史辦等協(xié)辦組織的以“喜迎二十大 永遠跟黨走 奮進新征程”為主題的慶祝中共南京地方組織成立 SKIPIF 1 < 0 周年知識問答活動正在進行，某黨支部為本次活動設置了一個冠軍獎杯，獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，托盤由邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結論正確的是（ ）
A．經過三個頂點 SKIPIF 1 < 0 的球的截面圓的面積為 SKIPIF 1 < 0
B．異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0
C．連接 SKIPIF 1 < 0 ，構成一個八面體 SKIPIF 1 < 0 ，則該八面體 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0
D．點 SKIPIF 1 < 0 到球面上的點的最小距離為 SKIPIF 1 < 0
角度2：聚焦科技前沿
1．（2022·江蘇省江浦高級中學高三階段練習）長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成，某學校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為 SKIPIF 1 < 0 ，則該模型的體積最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江蘇·南京市第十三中學高三期中）2022年9月16日，接迎第九批在韓志愿軍烈士遺骸回國的運20專機在兩架殲20戰(zhàn)機護航下抵達沈陽國際機場．殲20戰(zhàn)機是我國自主研發(fā)的第五代最先進的戰(zhàn)斗機，它具有高隱身性、高態(tài)勢感知、高機動性能等特點，殲20機身頭部是一個圓錐形，這種圓錐的軸截面是一個邊長約為2米的正三角形，則機身頭部空間大約（ ）立方米
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（多選）（2022·山東省青島第十九中學高二期中）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．勒洛四面體 SKIPIF 1 < 0 被平面 SKIPIF 1 < 0 截得的截面面積是 SKIPIF 1 < 0
B．勒洛四面體 SKIPIF 1 < 0 內切球的半徑是 SKIPIF 1 < 0
C．勒洛四面體的截面面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0
D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為 SKIPIF 1 < 0
角度3：結合生產實踐
1．（2022·江蘇徐州·高三期中）在氣象觀測中，用降水量表示下雨天氣中雨量的大小.降水量的測量方法是從天空降落到地面上的雨水，在未蒸發(fā)、滲透、流失的情況下，在水平面上積聚的雨水深度.降水量以mm為單位，一般取一位小數.現某地10分鐘的降雨量為13.1mm，小王在此地此時間段內用底面半徑為5cm的圓柱型量筒收集的雨水體積約為（其中 SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多選）（2022·黑龍江·哈九中高一期末）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于 SKIPIF 1 < 0 與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四面體在每個頂點的曲率為 SKIPIF 1 < 0 ，故其總曲率為 SKIPIF 1 < 0 ．給出下列四個結論，其中，所有正確結論的有（ ）
A．正方體在每個頂點的曲率均為 SKIPIF 1 < 0
B．任意四棱錐的總曲率均為 SKIPIF 1 < 0 ；
C．若一個多面體滿足頂點數V＝6，棱數E＝8，面數F＝12，則該類多面體的總曲率是 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若某類多面體的頂點數V，棱數E，面數F滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則該類多面體的總曲率是常數
3．（2022·遼寧撫順·高三階段練習）如圖,某幾何體的形狀類似膠囊,兩頭都是半球,中間是圓柱,其中圓柱的底面半徑與半球的半徑相等（半徑大于1分米）.若該幾何體的表面積為 SKIPIF 1 < 0 平方分米,其體積為 SKIPIF 1 < 0 立方分米,則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是__________.
4．（2022·河北保定·高三階段練習）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體ABCD的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則模型中九個球的體積和為__________.
5．（2022·河北·石家莊市第四十四中學高一階段練習）“牟和方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個相同的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖）.如圖所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，其中 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為相互垂直且全等的半橢圓面，它們的中心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為1.用平行于底面 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 去截“四腳帳篷”所得的截面圖形為______；當平面 SKIPIF 1 < 0 經過 SKIPIF 1 < 0 的中點時，截面圖形的面積為______.
6．（2022·全國·高三專題練習）天津濱海文化中心地天津濱海新區(qū)開發(fā)區(qū)，是天津乃至京津冀地區(qū)的標志性文化工程.其中濱海圖書館建筑獨具特色，被稱為“濱海之眼”，如圖所示，中心球狀建筑引起了小明的注意，為了測量球的半徑，小明設計了兩個方案，方案甲，構造正三棱柱側面均與球相切如圖所示，底面邊長約為30米，估計此時球的完整表面積為 ________平方米；方案乙，測量球被地面截得的圓的周長約為 SKIPIF 1 < 0 米，地面到球頂部高度約為16米，估計此時球的完整體積為__________立方米，你認為哪種方案好呢？

角度4：滲透數學文化
1．（2022·廣西玉林·高一期末）“粽子香，香廚房.艾葉香，香滿堂.桃枝插在大門上，出門一望麥兒黃，這兒端陽，那兒端陽，處處都端陽.”這是流傳甚廣的一首描寫過端午節(jié)的民謠.同學們在勞動課上模擬制作“粽子”，如圖（1）的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖（2）的“粽子”，則該“粽子”的體積為______；若在該“粽子”內放入一個“肉丸”，“肉丸”的形狀可近似地看成球，則該“肉丸”的體積的最大值為______.
2．（2022·北京一七一中高一階段練習）《雙行星》（圖1）是荷蘭著名版畫家埃舍爾1949年的木刻作品，該作品清晰展示了其試圖結合不同世界的設想，基本結構是兩個相同的正四面體相互交叉，為了便于觀看，埃舍爾用黃白雙色進行區(qū)分.可以看到，擁有高度文明的黃色的星球正在上演著人類的戲劇，規(guī)則的建筑和寸草不生的地表，處在史前時代的白色的星球，怪石嶙峋，恐龍和原始植物相依.通過這種對比埃舍爾似乎提出了一個警告，高度文明或許會消除了一切自然的痕跡.——《在埃舍爾的時空旅行》將《雙行星》抽象為圖2的組合體，若兩個正四面體棱長均為2，且相交處均為棱中點，求這個組合體體積___________.兩個正四面體相交，公共部分形成的幾何體表面積是___________.
3．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學高二階段練習（文））亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風景的重要點綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 m2B．3.6 SKIPIF 1 < 0 m2C．7.2 SKIPIF 1 < 0 m2D．11.34 SKIPIF 1 < 0 m2
4．（2022·重慶市萬州第二高級中學高三階段練習）在古代，斗笠作為擋雨遮陽的器具，用竹篾夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個圓錐體，在《詩經》有“何蓑何笠”的句子，說明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，側面展開圖是一個半圓，則該斗笠的底面半徑為（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
5．（2022·廣東廣州·高三階段練習）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為4，若該幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是（ ）
圖1 圖2
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度5：強調五育并舉
1．（2022·四川·綿陽中學高三階段練習）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現在我們通過 SKIPIF 1 < 0 手工制作一個六角錐吊墜模型．準備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，該紙片上的正六邊形 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 為圓O上的點，如圖（2）所示． SKIPIF 1 < 0 分別是以 SKIPIF 1 < 0 為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以 SKIPIF 1 < 0 為折痕折起 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 重合，得到六棱錐，當底面六邊形的邊長變化時，所得六棱錐體積的最大值為___________ SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·上海師大附中高二期中）如圖為一個圓錐形的金屬配件，重75.06克，其軸截面是一個等邊三角形，現將其打磨成一個體積最大的球形配件，則該球形配件的重量約為______克.
3．（2022·全國·高一單元測試）早在15世紀，達?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖1，先制作三張一樣的黃金矩形 SKIPIF 1 < 0 ，然后從長邊 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，沿著與短邊平行的方向剪開一半，即 SKIPIF 1 < 0 ，再沿著與長邊 SKIPIF 1 < 0 平行的方向剪出相同的長度，即 SKIPIF 1 < 0 ，將這三個矩形穿插兩兩垂直放置，連結所有頂點即可得到一個正二十面體，如圖2.若黃金矩形的短邊長為4，則按如上制作的正二十面體的表面積為______，其外接球的表面積為______.
二、新考法
角度1：以給定定義、熱點信息為背景
1．（多選）（2022·湖南·長沙一中高二期中）在三維空間中，定義向量的外積： SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；
② SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角)．
在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，有以下四個結論，正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與正方體表面積的數值相等
角度2：考查開放、探究精神
1．（2022·北京市第十二中學高一階段練習）球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角?邊?面積等問題，其在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過任意兩點的大圓上的劣弧 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所組成的圖形稱為球面 SKIPIF 1 < 0 ，記其面積為 SKIPIF 1 < 0 .易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；若球面上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對徑點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則球面 SKIPIF 1 < 0 與球面 SKIPIF 1 < 0 全等.如圖2，已知球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的銳二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面?圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的銳二面角的大小分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .記 SKIPIF 1 < 0 .
（1）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 __________.
（2）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 __________.
角度3：考查數學運算、數據分析得核心素養(yǎng)
1．（2022·福建·高三階段練習）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為 SKIPIF 1 < 0 ，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的 SKIPIF 1 < 0 （細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下 SKIPIF 1 < 0 的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（ ） SKIPIF 1 < 0
A．1895秒B．1896秒C．1985秒D．2528秒
2．（2022·廣東·深圳科學高中高二階段練習）《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統(tǒng)的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術相當于給出了由圓錐底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式 SKIPIF 1 < 0 ，一個圓錐的側面展開圖扇形的中心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為5．按上述公式計算該幾何體的體積為（ ）．（計算時圓周率近似取3）
A．48B．49C．52D．54
3．（2022·全國·高三專題練習）如圖是一個由三根細棒 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 組成的支架，三根細棒 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩兩所成的角都為 SKIPIF 1 < 0 ，一個半徑為 SKIPIF 1 < 0 的小球放在支架上，則球心 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 的距離是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度4：相近學科融合
1．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習）六氟化硫，化學式為 SKIPIF 1 < 0 ，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛的用途．六氟化硫分子結構為正八面體結構（每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子之間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則以六氟化硫分子中6個氟原子為頂點構成的正八面體的體積是（ ）．（氟原子的大小可以忽略不計）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多選）（2022·山東·日照市教育科學研究中心高二期中）金剛石是天然存在的最硬的物質，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結構示意圖，組成金剛石的每個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示.這就是說，圖2中有 SKIPIF 1 < 0 ，若正四面體ABCD的棱長為2，則正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（多選）（2022·重慶第二外國語學校高二期中）十二水硫酸鋁鉀是一種無機物，又稱明礬，是一種含有結晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復鹽，生活中常用于凈水，我們連接一個正方體各個面的中心，可以得到明礬晶體的結構，即為一個正八面體 SKIPIF 1 < 0 （如圖）.假設該正八面體的所有棱長均為2，則（ ）
A．以正八面體各面中心為頂點的幾何體為正方體
B．直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0
C．正八面體的表面積為 SKIPIF 1 < 0
D．二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全國·高三專題練習）金剛石是碳原子的一種結構晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的 SKIPIF 1 < 0 個頂點， SKIPIF 1 < 0 個面的中心，此外在立方體的對角線的 SKIPIF 1 < 0 處也有 SKIPIF 1 < 0 個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有 SKIPIF 1 < 0 個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為__________；正四面體 SKIPIF 1 < 0 的外接球的體積是__________．

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