【單元壓軸題專練】（北師大版）2023-2024學年八年級數(shù)學上冊 第4章 一次函數(shù)（壓軸題專練

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題型1：一次函數(shù)與全等三角形
1．如圖，直線分別交軸、軸于，兩點，直線分別交軸、軸于，，交于點．
(1)直接寫出坐標：______，：______，：______；
(2)如圖，若，求點的坐標；
(3)如圖，在的條件下，過點關于軸的對稱點作軸的垂線交直線于點，連接、、，求證：．
2．如圖，直線分別交軸、軸于、兩點，直線分別交軸、軸于、兩點．
(1)直接寫出、、的坐標；
(2)當時，直線交直線于點，交直線于點，當時，求的值；
(3)如圖2，直線交直線于點，當時，，求的值．
3．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交兩坐標軸于A、B兩點，直線y＝－2x＋2分別交兩坐標軸于C、D兩點

（1）求A、B、C、D四點的坐標
（2）如圖1，點E為直線CD上一動點，OF⊥OE交直線AB于點F，求證：OE＝OF
（3）如圖2，直線y＝kx＋k交x軸于點G，分別交直線AB、CD于N、M兩點．若GM＝GN，求k的值
4．如圖1，直線y=x+6分別交x軸，y軸于點A，點B，點C、P分別是線段OB，AB的中點，動點D，E分別在直線CP和線段AB上，設點E的橫坐標為m，線段CD的長為n（n>0），且m+n=6，以DO，DE為鄰邊作? ODEF．
(1)求點A和點P的坐標．
(2)如圖2所示，當點D在點C左側(cè)，且n=2時，求點F的坐標．
(3)當點F落在△AOB的邊OB或AB上時，求點F的坐標．
5．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的負半軸上，
(1)如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO
(2)如圖2，若OA＝4，OC＝2，M是AB與y軸交點，求的面積．
(3)如圖3，點C（0，2），Q、A兩點均在x軸上，且S△CQA＝6a．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點，問：是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．
題型2：一次函數(shù)與等腰三角形、勾股定理
6．如圖1，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B．
(1)則點A的坐標為_______，點B的坐標為______；
(2)如圖2，點P為y軸上的動點，以點P為圓心，PB長為半徑畫弧，與BA的延長線交于點E，連接PE，已知PB＝PE，求證：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的條件下，如圖3，連接PA，以PA為腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．連接OQ．
①則圖中（不添加其他輔助線）與∠EPA相等的角有______；（都寫出來）
②試求線段OQ長的最小值．
7．如圖1，已知函數(shù)與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于y軸對稱．

(1)求直線的函數(shù)解析式；
(2)設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線于點P，交直線于點Q．
①若的面積為，求點M的坐標；
②連接，如圖2，若，求點P的坐標．
8．如圖1，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，分別與x軸、y軸相交于點A、B，．為y軸上一點，P為線段上的一個動點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)①連接，若的面積為面積的，則點P的坐標為______；
②若射線平分，求點P的坐標；
(3)如圖2，若點C關于直線的對稱點為，當恰好落在x軸上時，點P的坐標為______．（直接寫出所有答案）
9．如圖，A，B是直線y=x+4與坐標軸的交點，直線y=-2x+b過點B，與x軸交于點C．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）點D是折線A—B—C上一動點．
①當點D是AB的中點時，在x軸上找一點E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規(guī)畫出點E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點的坐標．
②是否存在點D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由
題型3：存在性問題
10．如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數(shù)根．
（1）求C點坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．
11．已知：直線分別與x軸負半軸、y軸正半軸交于點A、B．

(1)如圖1，若直線過，求．
(2)如圖2，點關于軸的對稱點為，將線段沿軸正半軸移動到，直線交直線于點，直線交軸于點，求的值．
(3)如圖3，在（1）的條件下，在軸上是否存在一點，使得，若存在請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
12．已知直線與軸交于點，直線與軸交于點，直線、交于點，且點的橫坐標為1．
(1)如圖，過點作軸的垂線，若點為垂線上的一個點，是軸上一動點，若，求此時點的坐標．
(2)若在過作軸的垂線上，點為軸上的一個動點，當?shù)闹底钚r，求此時的坐標．
(3)如圖，點的坐標為，將直線繞點旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線剛好過點，過點作平行于軸的直線，點、分別為直線；上的兩個動點，是否存在點、，使得是以點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
題型4：動點問題
13．如圖1，已知直線與坐標軸交于兩點，與直線交于點,且點的橫坐標是縱坐標的倍.
(1)求的值.
(2)為線段上一點，軸于點，交于點,若，求點坐標.
(3)如圖2，為點右側(cè)軸上的一動點，以為直角頂點，為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角，連接并延長交軸于點，當點運動時，點的位置是否發(fā)生變化?若不變，請求出它的坐標;如果變化，請說明理由.
14．如圖①所示，直線L:y?ax?10a與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點.
（1）當OA?OB時，試確定直線L的解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設Q為AB延長線上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM?OQ于M，BN?OQ于N，若AM?8,BN?6，求MN的長.
（3）當a取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以OB、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角?OBF和等腰直角?ABE，連接EF交y軸于P點，如圖③，問：當點B在y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值，若是，請求出其值，若不是，說明理由.
題型5：最值問題
15．如圖，已知直線交、軸于、兩點，以為邊作等邊、、三點逆時針排列，、兩點坐標分別為、，連接、，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
16．如圖，在平面直角坐標系中，，，，軸于點C，軸于點D，且E是y軸正半軸上的一點，．
(1)求點E的坐標；（用含m的式子表示）
(2)如備用圖1，已知，連接，若，則：
①求m的值；
②如備用圖2，若P，Q分別是線段，射線上的一點，求的最小值．
17．如圖，直線與坐標軸交于A，B兩點，點C坐標為，將B點向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到點D，直線交直線于點E．

(1)求直線的表達式；
(2)我們定義：如果一個三角形中有一個內(nèi)角為，則稱這個三角形為“天府三角形”
①點F是直線上第一象限內(nèi)一點，若為“天府三角形”，求點F的坐標；
②在①的條件下，當點F的橫坐標大于時，作點B關于x軸的對稱點，點P為直線上的一個動點，連接，點Q為線段的中點，連接，當最小時，求點Q的坐標．
題型6：一次函數(shù)的實際應用
18．某學校計劃購買若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商場了解到同一種型號的電腦報價均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.各商場的優(yōu)惠條件如下表所示：
(1)設學校購買臺電腦，選擇甲商場時，所需費用為元，選擇乙商場時，所需費用為元，請分別求出，與之間的關系式.
(2)什么情況下，兩家商場的收費相同？什么情況下，到甲商場購買更優(yōu)惠？什么情況下，到乙商場購買更優(yōu)惠？
(3)現(xiàn)在因為急需，計劃從甲乙兩商場一共買入10臺電腦，已知甲商場的運費為每臺50元，乙商場的運費為每臺60元，設總運費為元，從甲商場購買臺電腦，在甲商場的庫存只有4臺的情況下，怎樣購買，總運費最少？最少運費是多少？
19．數(shù)學活動課上：學?？萍夹〗M進行機器人行走性能試驗，在試驗場地一條筆直的賽道上有A，B，C三個站點，A，B兩站點之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個機器人分別從A，B兩站點同時出發(fā)，向終點C行走，乙機器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機器人距離C站點的距離y（米）出發(fā)時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機器人行走的速度是___________米/分鐘；
(2)在時，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機器人又恢復為原來出發(fā)時的速度．
①圖2中m的值為___________．
②請求出在時，甲、乙兩機器人之間的距離為60米時時間t的值．
題型7：一次函數(shù)新定義題
20．在平面直角坐標系中點，．若，a為常數(shù)，且，則稱點B為點A的“a級上升點”．
如點為點的“級上升點”．
(1)點C為點的“1級上升點”，則點C的坐標為________；
(2)若點的“2級上升點”為點Q，且點Q恰好在y關于x的一次函數(shù)的圖象上，求t的值；
(3)若直線上恰有一點的“級上升點”在y關于x的函數(shù)的圖象上，求n的取值范圍．
21．在平面直角坐標系中，對于任意兩點 我們將稱為點M與點N的“直角距離”，記作．
例如：點與點的“直角距離”
(1)已知點 ，在這三個點中，與原點O的“直角距離“等于4的點是
(2)若直線上恰好有兩個點與原點O的“直角距離”等于4.直接寫出b的取值范圍；
(3)已知點，若線段上有且只有一點C，使得直接寫出m的取值范圍．

22．問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小斐根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小斐的探究過程，請補充完整：
(1)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______；
(2)下表是y與x的幾組對應值．
①______；
②若，為該函數(shù)圖象上不同的兩點，則______；
(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得：
①函數(shù)的最小值為______；
②請你寫出該函數(shù)的另外一條性質(zhì)：______．
(4)，為函數(shù)圖象上的任意兩點，其中，若對于，都有，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍______．
商場
優(yōu)惠條件
甲商場
第一臺按原價收費，其余的每臺優(yōu)惠25%
乙商場
每臺優(yōu)惠20%
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
0
0
m
…