A．3B．2C．6D．0
2．若關(guān)于x的不等式組有解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為( )
A．2B．5C．6D．9
3．若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于y的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為( )
A．19B．22C．30D．33
4．若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組解集為，使得關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為( )
A．﹣21B．﹣20C．﹣17D．﹣16
5．臘味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為，臘腸、臘舌、臘肉的單價(jià)之比為．今年1月份，該銷售商將臘腸單價(jià)上調(diào)，臘舌、臘肉的單價(jià)不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計(jì)今年1月份的營業(yè)額將會(huì)增加，其中臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的，今年1月份臘肉的營業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營業(yè)額的．若臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為，則今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是__________．
6．若正數(shù)a，b，c滿足abc?1，，則______．
7．若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是________．
8．已知，則的值______．
9．當(dāng)分別取2017、2016、2015、、2、1時(shí)，計(jì)算分式值，所得結(jié)果相加的和為___．
10．已知，則______．
11．已知正整數(shù)x，y滿足，則符合條件的x，y的值有______組．
12．觀察下列等式：，，，
把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．
這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．
(1)猜想并寫出：＝______．
(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；
(3)拓展提高：計(jì)算：．
13．閱讀材料，下列關(guān)于的方程：
的解為：，； 的解為：，；
的解為：，； 的解為：，；
根據(jù)這些材料解決下列問題：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
14．某學(xué)校2021年在某商場(chǎng)購買甲、乙兩種不同的足球，購買甲種足球共花費(fèi)4000元，購買乙種足球共花費(fèi)2800元，購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍．且購買一個(gè)乙種足球比購買一個(gè)甲種足球多花20元；
(1)求購買一個(gè)甲種足球、一個(gè)乙種足球各需多少元；
(2)2022年這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場(chǎng)對(duì)兩種足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)提高了10%，乙種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2910元，那么這所學(xué)校最多可購買多少個(gè)乙種足球？
15．某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品．已知每件A種紀(jì)念品的價(jià)格比每件B種紀(jì)念品的價(jià)格多5元，用800元購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量與用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．
(1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？
(2)若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于800元，且不超過850元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
(3)已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利m元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利(6﹣m)元，試問在(2)的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？(商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價(jià))
第十五章 分式壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練
1．關(guān)于x的分式方程解為非負(fù)數(shù)，關(guān)于x的不等式組至少有四個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的積為( )
A．3B．2C．6D．0
【答案】B
【詳解】解：解分式方程得，
，且，
且，，
解不等式組得，
不等式至少有四個(gè)整數(shù)解，
，
解得，
滿足條件的的整數(shù)有1，2，
滿足條件的所有整數(shù)的積為2，
故選：B．
2．若關(guān)于x的不等式組有解，且關(guān)于y的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為( )
A．2B．5C．6D．9
【答案】C
【詳解】
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：，
∵不等式組有解，
∴，
∴，
解分式方程得：
解得：
∵分式方程有正整數(shù)解，且
∴、3
∴滿足條件的所有整數(shù)a為2、4
∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為2+4=6
故選：C
3．若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于y的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為( )
A．19B．22C．30D．33
【答案】B
【詳解】解：解分式方程可得：，且
∵解為非負(fù)數(shù)，
∴得：，即且，
解不等式組，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，
∵有3個(gè)整數(shù)解，
∴，3，4，即
利用不等式性質(zhì)，將其兩邊先同時(shí)減1，再乘以3，可得，
綜上所述：a的整數(shù)值可以取10、12，
∴其和為22，
故選：B
4．若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組解集為，使得關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為( )
A．﹣21B．﹣20C．﹣17D．﹣16
【答案】D
【詳解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵該不等式組的解集為，
∴，解得，
∵關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，
∴，
∴且，解得且，
∴a的取值范圍為且，
∴符合條件的整數(shù)a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，
所有整數(shù)a相加的和為：．
故選：D．
5．臘味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為，臘腸、臘舌、臘肉的單價(jià)之比為．今年1月份，該銷售商將臘腸單價(jià)上調(diào)，臘舌、臘肉的單價(jià)不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計(jì)今年1月份的營業(yè)額將會(huì)增加，其中臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的，今年1月份臘肉的營業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營業(yè)額的．若臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為，則今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是__________．
【答案】20：21
【詳解】解：設(shè)去年12月份臘腸的單價(jià)為3x，則去年12月份臘舌，臘肉的單價(jià)分別為3x，2x，今年1月份臘腸的單價(jià)為3.6x，去年12月份臘腸的銷售數(shù)量為3y，則臘舌，臘肉的銷售數(shù)量分別為5y、3y，1月份臘肉增加的營業(yè)額為z，則總增加營業(yè)額為4z，
∴去年12月份的銷售額為，1月份臘肉的銷售額為，
∴今年1月份的總銷售額為，
∵今年1月份臘肉的營業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營業(yè)額的，
∴，
∴(經(jīng)檢驗(yàn)，符合分式方程有意義的條件)，
∴今年1月份的總銷售額為，臘肉的銷售額
∵臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1：5，
∴臘舌今年1月份增加的營業(yè)額為，
∴臘舌今年1月份的營業(yè)額為，
∴臘腸今年1月份的營業(yè)額為，
設(shè)今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量分別為a和b，
∴，
∴，
∴，
故答案為：20：21．
6．若正數(shù)a，b，c滿足abc?1，，則______．
【答案】
【詳解】解：解法一：因?yàn)?br>所以，
解得．
故答案為：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案為：．
7．若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是________．
【答案】m≤6且m≠4
【詳解】解：關(guān)于x的分式方程的解為：x＝6?m，
∵分式方程有可能產(chǎn)生增根2，
∴6?m≠2，
∴m≠4，
∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴6?m≥0，
解得：m≤6，
綜上，m的取值范圍是：m≤6且m≠4．
故答案為：m≤6且m≠4．
8．已知，則的值______．
【答案】為-1或3
【詳解】∵，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d)(m-3)=0，
當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，
m-3=0，m=3，
綜上，m=-1或m=3．
故答案為：為-1或3．
9．當(dāng)分別取2017、2016、2015、、2、1時(shí)，計(jì)算分式值，所得結(jié)果相加的和為___．
【答案】
【詳解】解：，
把1、2、3、、2016、2017分別代入得，、、、、、，
所得結(jié)果相加的和為
，
故答案為：．
10．已知，則______．
【答案】
【詳解】，
，
，
，


故答案為：．
11．已知正整數(shù)x，y滿足，則符合條件的x，y的值有______組．
【答案】2
【詳解】解：∵x，y均為正整數(shù)，
∴，，
∴，
∴，解得，
結(jié)合，可知符合條件的x的值為：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
對(duì)應(yīng)的y的值為：9、、、、、、、、，
∴符合條件的x、y的值為，，
∴符合條件的x，y的值有2組．
故答案為：2．
12．觀察下列等式：，，，
把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．
這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．
(1)猜想并寫出：＝______．
(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；
(3)拓展提高：計(jì)算：．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)
∵=，
故答案為：．
(2)
=
=
=．
(3)
=
=
=
=
=．
13．閱讀材料，下列關(guān)于的方程：
的解為：，； 的解為：，；
的解為：，； 的解為：，；
根據(jù)這些材料解決下列問題：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【解析】(1)
解：方程 的解為，
故答案為：，
(2)
由方程可得或，
解得，，
故答案為：，
(3)
將方程變形為，
可得或，
解得，
14．某學(xué)校2021年在某商場(chǎng)購買甲、乙兩種不同的足球，購買甲種足球共花費(fèi)4000元，購買乙種足球共花費(fèi)2800元，購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍．且購買一個(gè)乙種足球比購買一個(gè)甲種足球多花20元；
(1)求購買一個(gè)甲種足球、一個(gè)乙種足球各需多少元；
(2)2022年這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場(chǎng)對(duì)兩種足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)提高了10%，乙種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2910元，那么這所學(xué)校最多可購買多少個(gè)乙種足球？
【答案】(1)一個(gè)甲種足球需50元，一個(gè)乙種足球需70元；
(2)這所學(xué)校最多可購買20個(gè)乙種足球
【解析】(1)
(1)設(shè)甲種足球每個(gè)x元，則乙種足球每個(gè)元，由題意得：
，
解得：x=50，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，
∴50+20=70(元)．
答：一個(gè)甲種足球需50元，一個(gè)乙種足球需70元．
(2)
(2)設(shè)購買乙種足球m個(gè)，
，，
由題意得：
，
．
答：這所學(xué)校最多可購買20個(gè)乙種足球．
15．某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品．已知每件A種紀(jì)念品的價(jià)格比每件B種紀(jì)念品的價(jià)格多5元，用800元購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量與用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．
(1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？
(2)若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于800元，且不超過850元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
(3)已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利m元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利(6﹣m)元，試問在(2)的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？(商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價(jià))
【答案】(1)購進(jìn)種紀(jì)念品每件需要10元，種紀(jì)念品每件需要5元；(2)共有11種進(jìn)貨方案；(3)當(dāng)；種70件，種30件時(shí)可獲利最多；當(dāng)，種60件，種40件時(shí)可獲利最多
【詳解】解：(1)設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品每件價(jià)格為元，種紀(jì)念幣每件價(jià)格為元，根據(jù)題意可知：
，解得：，
．
答：購進(jìn)種紀(jì)念品每件需要10元，種紀(jì)念品每件需要5元．
(2)設(shè)購進(jìn)種紀(jì)念品件，則購進(jìn)種紀(jì)念品件，根據(jù)題意可得：
，
解得：，
只能取正整數(shù)，
，共有11種情況，
故該商店共有11種進(jìn)貨方案分別為：種70件，種30件；種69件，種31件；種68件，種32件；種67件，種33件；種66件，種34件；種65件，種35件；種64件，種36件；種63件，種37件；種62件，種38件；種61件，種39件；種60件，種40件．
(3)銷售總利潤為，
商家出售的紀(jì)念品均不低于成本價(jià)，
，
根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，
當(dāng)時(shí)，即，
隨著增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取到最大值；
即方案為：種70件，種30件時(shí)可獲利最多；
當(dāng)時(shí)，即，
隨著增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取到最大值；
即方案為：種60件，種40件時(shí)可獲利最多．

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