A．B．C．D．
2．將長為2、寬為a(a大于1且小于2)的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下個邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復操作下去…，若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當n＝3時，a的值為( )
A．1.8或1.5B．1.5或1.2C．1.5D．1.2
3．如圖，在中，，平分，過點A作于點D，過點D作，分別交、于點E、F，若，則的長為( )
A．10B．8C．7D．6
4．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，若△ADC的周長為14，BC=8，則AC的長為
A．5B．6C．7D．8
5．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，當△AEF周長最小時，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．已知一個等腰三角形內角的度數(shù)之比為，則它的頂角的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
7．在正方形ABCD所在平面上找點P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、△PDA均為等腰三角形，則滿足條件的點P( )個．
A．10B．9C．5D．1
8．如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA2＝4，則△AnBnAn+1的邊長為_____．
9．如圖△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P為△ABC內一點，連BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，連PA，則∠BAP的度數(shù)為_______．
10．在銳角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于點D，點M，N分別是BD和BC邊上的動點，則MN+MC的最小值是_____．
11．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點M，OM＝10 cm，現(xiàn)要在OC，OA上分別找點Q，N，使QM＋QN最小，則其最小值為________ ．
12．如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 ，AC=BC=4，點D是AB的中點，E， F在射線AC與射線CB上運動，且滿足AE=CF，∠EDF=90°；當點E運動到與點C的距離為1時，則△DEF的面積為___________.
13．已知，在等腰中，于點D．以為邊作等邊，直線交直線于點F，連接．
(1)如圖1，與在直線的異側，且交于點M．
①求證：；
②猜想線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結論：
(2)當，且與在直線的同側時，利用圖2探究線段之間的數(shù)量關系，并直接寫出你的結論．
14．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．
(1)求∠CAM的度數(shù)；
(2)若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；
(3)當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．
15．如圖，已知AE⊥FE，垂足為E，且E是DC的中點．
(1)如圖①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分別為C，D，且AD＝DC，判斷AE是∠FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)
(2)如圖②，如果(1)中的條件“AD＝DC”去掉，其余條件不變，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由；
(3)如圖③，如果(1)中的條件改為“AD∥FC”，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由．
第十三章 軸對稱壓軸題考點訓練
1．如圖，將沿翻折，使其頂點均落在點處，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：延長交于點，
∵將沿，翻折，頂點，均落在點處，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
由三角形外角定理可知：，，
∴
即：，
∴ ，
∴，
故選：．
2．將長為2、寬為a(a大于1且小于2)的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下個邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復操作下去…，若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當n＝3時，a的值為( )
A．1.8或1.5B．1.5或1.2C．1.5D．1.2
【答案】B
【詳解】解：第1次操作，剪下的正方形邊長為a，剩下的長方形的長寬分別為a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形邊長為2﹣a，所以剩下的長方形的兩邊分別為2﹣a、a﹣(2﹣a)＝2a﹣2，
①當2a﹣2＜2﹣a，即a＜時，
則第3次操作時，剪下的正方形邊長為2a﹣2，剩下的長方形的兩邊分別為2a﹣2、(2﹣a)﹣(2a﹣2)＝4﹣3a，則2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞時
則第3次操作時，剪下的正方形邊長為2﹣a，剩下的長方形的兩邊分別為2﹣a、(2a﹣2)﹣(2﹣a)＝3a﹣4，則2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故選：B．
3．如圖，在中，，平分，過點A作于點D，過點D作，分別交、于點E、F，若，則的長為( )
A．10B．8C．7D．6
【答案】D
【詳解】如圖，延長、交于點G
∵平分，于點D
∴
，D是的中點
∵
E是的中點，F(xiàn)是的中點，是的中位線，是的中位線
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故選：D.
4．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，若△ADC的周長為14，BC=8，則AC的長為
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意可得MN是直線AB的中點
的周長為



已知
，故選B
5．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，當△AEF周長最小時，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【詳解】解：∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴點E在射線CE上運動(∠ACE=30°)，
作點A關于直線CE的對稱點M，連接FM交CE 于E′，此時AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等邊三角形，
∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，
故選D．
6．已知一個等腰三角形內角的度數(shù)之比為，則它的頂角的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)等腰三角形的角分為頂角和底角，分類討論為：
設頂角為x，底角為4x，則根據(jù)三角形的內角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°；
設底角為x，頂角為4x，則x+x+4x=180°，解得x=30°，則頂角為4x=120°.
故選D.
7．在正方形ABCD所在平面上找點P，使得△PAB、△PBC 、△PCD、△PDA均為等腰三角形，則滿足條件的點P( )個．
A．10B．9C．5D．1
【答案】B
【詳解】如圖，共有9個符合要求的點P，故選B.
8．如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA2＝4，則△AnBnAn+1的邊長為_____．
【答案】2n．
【詳解】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，
以此類推△AnBnAn+1的邊長為 2n．
故答案為：2n．
9．如圖△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P為△ABC內一點，連BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，連PA，則∠BAP的度數(shù)為_______．
【答案】69°
【詳解】在BC下方取一點D，使得三角形ABD為等邊三角形，連接DP、DC
∴AD=AB=AC，

∴
∵
∴
∴
又∵
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵
∴△DPC是等邊三角形，
∴△APD≌△APC，
∴
∴
故答案為69°.
10．在銳角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于點D，點M，N分別是BD和BC邊上的動點，則MN+MC的最小值是_____．
【答案】 ．
【詳解】如圖，在BA上截取BE=BN，連接CE．
∵∠ABC的平分線交AC于點D，
∴∠EBM=∠NBM，
在△BME與△BMN中，，
∴△BME≌△BMN，
∴ME=MN．
∴CM+MN=CM+ME≥CE．
∴CM+MN有最小值．
當CE是點C到直線AB的距離時，CE最小，
∵∠ABC=60°，BC=2cm，
∴當CE⊥AB時，可得CE=，
∴CM+MN的最小值是．
故答案為：．
11．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點M，OM＝10 cm，現(xiàn)要在OC，OA上分別找點Q，N，使QM＋QN最小，則其最小值為________ ．
【答案】5cm
【詳解】解：作M關于OC的對稱點P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時QM+QN的值最小，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點M，
∴OA、OB關于OC對稱，
∴P點在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN=OP=×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，
故答案為5cm．
12．如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 ，AC=BC=4，點D是AB的中點，E， F在射線AC與射線CB上運動，且滿足AE=CF，∠EDF=90°；當點E運動到與點C的距離為1時，則△DEF的面積為___________.
【答案】或
【詳解】解：①E在線段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴同理△CDE≌△BDF，∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面積=CE?CF=，∴△DEF的面積=××﹣=．
②E'在AC延長線上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'(SAS)，∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD?CE'cs135°=1+8+2××=13，∴S△E'DF'=DE'2=．故答案為或．
13．已知，在等腰中，于點D．以為邊作等邊，直線交直線于點F，連接．
(1)如圖1，與在直線的異側，且交于點M．
①求證：；
②猜想線段之間的數(shù)量關系，并證明你的結論：
(2)當，且與在直線的同側時，利用圖2探究線段之間的數(shù)量關系，并直接寫出你的結論．
【答案】(1)①見解析；②EF+AF=BF，理由見解析；(2)BF+EF=AF，理由見解析
【詳解】證明：(1)①∵△AEC是等邊三角形
∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC
∴AB＝AE
∴∠ABF＝∠AEF
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分線
∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC
∴△ABF≌△ACF(SSS)
∴∠ABF＝∠ACF
∴∠ACF＝∠AEF；
②EF+AF=BF，理由如下：
如圖，在CF上取FG=FE，連接EG，
由(1)得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，
∵△AEC是等邊三角形
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，
∴∠FCA+∠ECF=60°，
∴∠AEF+∠ECF=60°，
∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，
∴∠EFG=60°，
∵FE=FG，∴△EFG為等邊三角形，
∴EG=EF，∠FEG=60°，
∴∠AEF+∠AEG=60°，
又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，
∴∠FEA=∠GEC，
∴△FEA≌△GEC(SAS)，
∴AF=GC，
∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；
(2)BF+EF=AF，理由如下：
如圖，在AF上截取FH=FC，連接CH，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分線，∠BAD=∠CAD
∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD
∵△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°
∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，
∴
∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，
∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，
∴∠AFE=60°，
∴∠CFD=60°，
∴∠EFC=120°，
又∵FH=FC，
∴△FHC是等邊三角形，
∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，
∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，
∴∠ACH=∠ECF，
∴△ACH≌△ECF(SAS)，
∴AH=EF，
∴EF+CF=FH+AH=AF，
∴BF+EF=AF．
14．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．
(1)求∠CAM的度數(shù)；
(2)若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；
(3)當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．
【答案】(1)30°；(2)見解析；(3)是定值，理由見解析
【詳解】解：(1)是等邊三角形，
．
線段為邊上的中線，
，
．
故答案為：30°；
(2)與都是等邊三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
(3)是定值，，
理由如下：
①當點在線段上時，如圖1，
由(2)可知，則，
又，
，
是等邊三角形，線段為邊上的中線，
平分，即，
．
②當點在線段的延長線上時，如圖2，
與都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③當點在線段的延長線上時，如圖3，
與都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，．
綜上，當動點在直線上時，是定值，．
15．如圖，已知AE⊥FE，垂足為E，且E是DC的中點．
(1)如圖①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分別為C，D，且AD＝DC，判斷AE是∠FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)
(2)如圖②，如果(1)中的條件“AD＝DC”去掉，其余條件不變，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由；
(3)如圖③，如果(1)中的條件改為“AD∥FC”，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由．
【答案】(1)AE是∠FAD的角平分線(2)成立(3)成立
【詳解】(1)AE是∠FAD的角平分線；
(2)成立，如圖，延長FE交AD于點B，
∵E是DC的中點，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分線；
(3)成立，如圖，延長FE交AD于點B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE和△BDE中，
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE是∠FAD的角平分線.

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