【期末·壓軸題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)滿分攻略：第2章實(shí)數(shù)（壓軸題專練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第2章實(shí)數(shù)壓軸題專練

一、單選題
1．（2020·四川省岳池中學(xué)八年級(jí)月考）設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則的值是(　　)
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．
【詳解】由于根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是兩兩不同的實(shí)數(shù)，
∴x＞0，y＜0．
將x=-y代入原式得：
原式=．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次根式的化簡(jiǎn)，算術(shù)平方根的非負(fù)性，分式的加減、乘除等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此題的關(guān)鍵．
2．（2019·四川省綿陽南山中學(xué)雙語學(xué)校八年級(jí)月考）若a＝，b＝2+，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將a乘以可化簡(jiǎn)為關(guān)于b的式子，從而得到a和b的關(guān)系，繼而能得出的值．
【詳解】a＝?＝．
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除法，有一定難度，關(guān)鍵是在分母有理化時(shí)要觀察b的形式．
3．（2019·全國八年級(jí)單元測(cè)試）已知，是大于1的自然數(shù)，那么的值是（）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，得到，，，進(jìn)而得到的值，代入即可得到結(jié)論．
【詳解】令，從而，，，∴=，∴原式=．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2019·全國八年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為( ).
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由原式得，得，原式變形后再將代和可得出答案.
【詳解】∵，
，即，
．
原式．
【點(diǎn)睛】本題難度較大，需要對(duì)要求的式子進(jìn)行變形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化.
5．（2019·河北唐山市·八年級(jí)期中）一個(gè)自然數(shù)的一個(gè)平方根是，則與它相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的平方根是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根定義得原數(shù)為a2，故相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是a2+1，再求得平方根即可.
【詳解】根據(jù)題意，平方根為a是數(shù)a2，則與它相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是a2+1，所以它的平方根是，故此題選擇D.
【點(diǎn)睛】此題考察平方根定義，這里準(zhǔn)確確定被開方數(shù)是解題關(guān)鍵.
6．（2020·四川）化簡(jiǎn)x，正確的是（　?。?br /> A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【詳解】根據(jù)二次根式有意義的條件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，可得x =﹣?=﹣.
故選C．
7．（2020·宜賓縣雙誼花古初級(jí)中學(xué)校）如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：
①當(dāng)輸出值y為時(shí)，輸入值x為3或9；
②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為；
③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；
④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．
其中錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D
【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．
【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯(cuò)誤；
②輸入值x為16時(shí)，，故②說法正確；
③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯(cuò)誤；
④當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．
其中錯(cuò)誤的是①③．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．

二、填空題
8．（2020·四川八年級(jí)期中）已知都是實(shí)數(shù)，且，則的值是______________．
【答案】16
【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進(jìn)而可求出y的值，然后代入即可求解．
【詳解】根據(jù)題意有且，
∴，
，
．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
9．（2020·寧波市第七中學(xué)八年級(jí)期末）實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最大值為_________．
【答案】52．
【分析】首先化簡(jiǎn)，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根據(jù)|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判斷出a，b的取值范圍，即可求出的最大值．
【詳解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴的最大值為，
故答案為52．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要明確化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．
10．（2020·四川成都·天府七中）若，，是實(shí)數(shù)，且，則________．
【答案】21
【分析】結(jié)合態(tài)，根據(jù)完全平方公式的性質(zhì)，將代數(shù)式變形，即可計(jì)算得，，的值，從而得到答案．
【詳解】∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、完全平方公式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．
11．（2021·浙江）已知，則2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．
【詳解】解：∵一定有意義，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案為：22．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．
12．（2020·成都市新都區(qū)新川外國語學(xué)校）已知y＝＋＋18，求代數(shù)式﹣的值為_____．
【答案】-
【分析】首先由二次根式有意義的條件求得x＝8，則y＝18，然后代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式求值．
【詳解】解：由題意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，則y＝18，
∵x＞0，y＞0，
∴原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣
把x＝8， y＝18代入
原式＝﹣
＝2﹣3
＝-，
故答案為：-．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件確定x、y的值，能夠熟練的運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．

13．（2021·湖南八年級(jí)期末）觀察下列等式：
①3－=（－1）2，
②5－=（－）2，
③7－=（－）2，
…
請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，寫出第5個(gè)等式____．
【答案】
【分析】觀察相同位置的數(shù)的變化方式，先得出左邊第一項(xiàng)和右邊的兩個(gè)被開方數(shù)，再得出左邊第二項(xiàng)的被開方數(shù)，即可求出答案．
【詳解】因?yàn)榈仁阶筮叺谝豁?xiàng)依次增加2，
所以第5個(gè)等式的第一項(xiàng)是11，
因?yàn)榈仁接疫叺膬蓚€(gè)被開方數(shù)中，后一個(gè)數(shù)就是該等式的序號(hào)數(shù)，前一個(gè)數(shù)比后一個(gè)數(shù)大1，
所以第5個(gè)等式的右邊的兩個(gè)被開方數(shù)分別是6和5，
因?yàn)榈仁阶筮叺诙?xiàng)中的被開方數(shù)是等式右邊兩個(gè)根式的被開方數(shù)的積，
所以這個(gè)數(shù)是30，
觀察其余部分都相同，直接帶下來即可，
所以第5個(gè)等式是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題屬于規(guī)律探究題，主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及每個(gè)等式之中的數(shù)字之間的關(guān)系，要求學(xué)生注意觀察和推導(dǎo)，考查了學(xué)生分析與判斷的能力．
14．（2020·浙江）已知，則的值是_____________．
【答案】9
【分析】先將原等式變形為，再根據(jù)平方的非負(fù)性可得，，，由此可求得a、b、c的值，進(jìn)而可求得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和靈活應(yīng)用完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．
15．（2021·廣西南寧二中八年級(jí)期末）已知：；；；……按此規(guī)律，請(qǐng)表示出第2021個(gè)式子______．
【答案】
【詳解】∵第1個(gè)數(shù)：
第2個(gè)數(shù)：
第3個(gè)數(shù)：
第4個(gè)數(shù)：
∴第n個(gè)數(shù)
當(dāng)n=2021時(shí)，
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查的是找規(guī)律，找出式子與序號(hào)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
16．（2021·重慶忠縣·）我們經(jīng)過探索知道，，，，若已知，則_______（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算數(shù)平方根和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：∵，
，
，

，
∴

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問題、算數(shù)平方根、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，用裂項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算是解題關(guān)鍵．
17．（2019·重慶巴南·八年級(jí)期中）甲容器中裝有濃度為a的果汁，乙容器中裝有濃度為b的果汁，兩個(gè)容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，兩容器內(nèi)的果汁濃度相同，則m的值為_________．
【答案】
【分析】分別求出甲，乙容器中原溶液中純果汁的含量，再求出mkg溶液中純果汁的含量，最后利用混合后果汁的濃度相等列出關(guān)系式，求出m即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，甲容器中純果汁含量為akg，乙容器中純果汁含量為bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有純果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有純果汁mbkg，
重新混合后，甲容器內(nèi)果汁的濃度為，
重新混合后，乙容器內(nèi)果汁的濃度為，
由題意可得，，
整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b），
∴m=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，能夠正確理解題意，化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
18．（2021·河北八年級(jí)期末）閱讀下列解題過程：，，請(qǐng)回答下列問題：
（1）觀察上面的解答過程，請(qǐng)寫出 = ；
（2）利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）（2）9
【分析】（1）觀察上面解題過程，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）原式利用各種分母有理化，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）∵；

歸納總結(jié)得：（n≥1）
故答案為；
（2）
＝
=
=-1+10
=9．
【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化，弄清題中分母有理化法則是解本題的關(guān)鍵．
19．（2020·鎮(zhèn)康縣勐捧中學(xué)八年級(jí)月考）閱讀下列材料，然后回答問題．
在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：(一)
(二)
(三)
以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡(jiǎn)：
(四)
(1)直接寫出化簡(jiǎn)結(jié)果①=　　，②=　 ?。?br /> (2)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ɑ?jiǎn)．
(3)化簡(jiǎn)：．
【答案】(1) ①；②；(2) ；(3)
【分析】（1）①分子分母同時(shí)乘以即可化簡(jiǎn)；②分子分母同時(shí)乘以即可化簡(jiǎn)；
（2）分子分母同時(shí)乘以即可化簡(jiǎn)；
（3）根據(jù)例題即可化簡(jiǎn)．
【詳解】解：（1）①原式=；
②原式=；
故答案為﹣1；；
（2）原式=；
（3）原式=．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，讀懂題意，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
20．（2020·浙江杭州市·）閱讀下列解題過程
．
．
請(qǐng)回答下列問題
（1）觀察上面解題過程，請(qǐng)直接寫出的結(jié)果為______．
（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：
的值．
（3）不計(jì)算近似值，試比較與的大小，并說明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】（1）由解題過程可以看出該解題過程運(yùn)用的是分母有理化運(yùn)算，有理化后分母為1，分子則為分母的有理化因式，由此可直接寫出的值；
（2）中各項(xiàng)按規(guī)律化簡(jiǎn)后相加可以消除互為相反數(shù)的項(xiàng)，沒有抵消的計(jì)算得到結(jié)果．
（3）利用倒數(shù)關(guān)系比較大?。?br /> 【詳解】解：（1）由上面的解題規(guī)律可直接寫出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），
同理．
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律型的，由分母有理化得出規(guī)律，以及考查了二次根式的化簡(jiǎn)在多項(xiàng)式求和和比較大小中的應(yīng)用．
21．（2020·安徽八年級(jí)期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進(jìn)行了以下探索：
．請(qǐng)你仿照小明的方法解決下列問題：
（1），則______，_______；
（2）已知是的算術(shù)平方根，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【分析】（1）根據(jù)題目所給方法對(duì)變形即可；
（2）根據(jù)題意結(jié)合所給方法求出，然后對(duì)所求式子變形，整體代入計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題目所給方法，將寫成的形式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴a＝2，b＝1；
（2）∵是的算術(shù)平方根，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解題中所給方法，將根號(hào)內(nèi)的式子變形為完全平方式的形式．
22．（2020·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．
材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．
材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)和Q(x，y’)給出如下定義：若則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)(3，2)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(3，2)，點(diǎn)(﹣2，5)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為(﹣2，﹣5)．問題：
（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　　，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為　　；
（2）化簡(jiǎn)：；
（3）已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M(，m)是關(guān)于x的函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)M’是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)M’的坐標(biāo)．
【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)
【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義即可解決問題．
（2）模仿例題解決問題即可．
（3）首先化簡(jiǎn)雙重二次根式，再根據(jù)待定系數(shù)法，“橫負(fù)縱變點(diǎn)”解決問題即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題目意思，
∵和，
點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，
故答案為：，；
（2）∵
∴；
（3）∵，

∵點(diǎn)M(，m)是關(guān)于x的函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，
∴，
即：M（，），
又∵點(diǎn)M’是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)
∴M′的坐標(biāo)為（，）．
【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義，雙重二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿解決問題，屬于中考常考題型．

23．（2020·重慶市鳳鳴山中學(xué)）進(jìn)位數(shù)是一種計(jì)數(shù)方法，可以用有限的數(shù)學(xué)符號(hào)代表所有的數(shù)值，使用數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基數(shù)，基數(shù)為個(gè)則稱為進(jìn)制，現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0—9作為基數(shù)，特點(diǎn)是滿十進(jìn)1，對(duì)于任意一個(gè)進(jìn)制表示的數(shù)通常使用個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為基數(shù)，特點(diǎn)是逢進(jìn)一，我們可以通過下列方式把它轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制．例如：五進(jìn)制數(shù) ，則，七進(jìn)制數(shù)
（1）請(qǐng)將以下兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制：，（．
（2）若一個(gè)正數(shù)可以用7進(jìn)制表示為，也可用五進(jìn)制表示為，求出這個(gè)數(shù)并用十進(jìn)制表示．
【答案】（1）93，34；（2）這個(gè)數(shù)用十進(jìn)制表示為51或102．
【分析】（1）根據(jù)進(jìn)制的規(guī)則列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意列得，化簡(jiǎn)成24a+b=12c，根據(jù)a、b、c的取值范圍分別將a從1開始取值驗(yàn)證，即可得到答案．
【詳解】（1），，
故答案為：93，34；
（2）根據(jù)題意得：，
∴24a+b=12c，
∴，
∵a、b、c均為整數(shù)，且，
∴b=0，c=2a，
∵，，
∴或，
∵，．
∴這個(gè)數(shù)用十進(jìn)制表示為51或102．
【點(diǎn)睛】此題考查新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
24．（2020·南通市東方中學(xué)八年級(jí)月考）在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個(gè)二次根式的平方的形式.
比如：.善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：
當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，若，則有，所以，.
請(qǐng)模仿小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，若，請(qǐng)用含有的式子分別表示，得：，；
（2）填空：= - ；
（3）若，且為正整數(shù)，求的值.
【答案】（1），；（2）；（3）或46.
試題分析：（1）把等式右邊展開，參考范例中的方法即可求得本題答案；
（2）由（1）中結(jié)論可得：，結(jié)合都為正整數(shù)可得：m=2，n=1，這樣就可得到：；
（3）將右邊展開，整理可得：，結(jié)合為正整數(shù)，即可先求得的值，再求的值即可.
試題解析：（1）∵，
∴，
∴；
（2）由（1）中結(jié)論可得：，
∵都為正整數(shù)，
∴ 或，
∵當(dāng)m=1，n=2時(shí)，，而當(dāng)m=2，n=1時(shí)，，
∴m=2，n=1，
∴；
（3）∵，
∴，，
又∵為正整數(shù)，
∴，或者，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，
即的值為：46或14.
25．（2020·湖北）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交y軸、x軸于點(diǎn)A（0，a），點(diǎn)B（b，0），且a、b滿足a2-4a+4+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB為邊作Rt△ABC，點(diǎn)C在直線AB的右側(cè)，且∠ACB＝45°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若（2）的點(diǎn)C在第四象限（如圖2），AC與 x軸交于點(diǎn)D，BC與y軸交于點(diǎn)E，連接 DE，過點(diǎn)C作CF⊥BC交x軸于點(diǎn)F．
①求證：CF=BC；
②直接寫出點(diǎn)C到DE的距離．

【答案】（1）a＝2，b＝-1；（2）滿足條件的點(diǎn)C（2，1）或（1，-1）；（3）①證明見解析；②1．
【分析】（1）可得(a?2)2+＝0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
（2）分兩種情況：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）①如圖3，過點(diǎn)C作CL⊥y軸于點(diǎn)L，則CL=1=BO，根據(jù)AAS可證明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根據(jù)ASA可證明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，則結(jié)論得證；
②如圖4，過點(diǎn)C作CK⊥ED于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H，根據(jù)SAS可證明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分線的性質(zhì)可得CK=CH=1．
【詳解】（1）∵a2?4a+4+＝0，
∴(a?2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
過點(diǎn)C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，如圖2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：滿足條件的點(diǎn)C（2，1）或（1，-1）
（3）①如圖3，由（2）知點(diǎn)C（1，-1），
過點(diǎn)C作CL⊥y軸于點(diǎn)L，則CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②點(diǎn)C到DE的距離為1．
如圖4，過點(diǎn)C作CK⊥ED于點(diǎn)K，過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．
【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
26．（2021·河北）甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，會(huì)徽的主體圖案是由圖乙中的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．
細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：

()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；（）２＋1＝4，S3＝；…．
（1）請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律，并計(jì)算出OA10的長(zhǎng)；
（2）求出的值．
【答案】（1）含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律為：，OA10的長(zhǎng)為；（2）
【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn對(duì)應(yīng)的S值，再計(jì)算得到OA10；
（2）由（1）知，分別求出S1、S2、S3、、S10，將結(jié)果代入代數(shù)式計(jì)算即可.
【詳解】（1）∵OA1=1=，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22==1+1=2，
∴OA2=，，
∵OA32==()2＋1＝3，
∴，，
∵OA42==（）２＋1＝4，
∴OA4=2，，
，
∴，，
∴OA102==10，
∴OA10= ，
∴含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律為：，OA10的長(zhǎng)為；
（2）由（1）知：，
∴，，，，，
∴==.
【點(diǎn)睛】此題考查圖形類規(guī)律的探究，勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度，能依據(jù)圖形得到線段的計(jì)算方法，并總結(jié)規(guī)律運(yùn)用解題是關(guān)鍵.
27．（2020·山西晉中·八年級(jí)月考）如圖，在數(shù)軸．上有兩個(gè)長(zhǎng)方形和，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，且兩點(diǎn)之間的距離為．

點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是
若線段的中點(diǎn)為，線段上有一點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問當(dāng)為多少時(shí)，原點(diǎn)恰為線段的三等分點(diǎn)?
若線段的中點(diǎn)為，線段上有一點(diǎn)，長(zhǎng)方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方形保持不動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是否存在一個(gè)的值，使以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在，求的值;不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）存在這樣的t，t的值為或．
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出點(diǎn)H在點(diǎn)E右邊個(gè)單位處，點(diǎn)A在點(diǎn)E左邊個(gè)單位處，再根據(jù)點(diǎn)E表示的數(shù)即可得出答案；
（2）根據(jù)條件算出點(diǎn)M、點(diǎn)N表示的數(shù)，然后再分OM=2ON和ON=2OM兩種情況，根據(jù)條件列出含有絕對(duì)值的方程求解即可；
（3）分、和三種情況討論，根據(jù)條件建立方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，，
∴，即點(diǎn)H在數(shù)軸上表示的數(shù)是，
∵，，
∴，
∴，即點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是；
（2）由題意知，線段的中點(diǎn)為，則表示的數(shù)為，線段上有一點(diǎn)，且，則表示的數(shù)為，
∵以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，
∴經(jīng)過秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，
①當(dāng)時(shí)，則有，
解得（經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去）或，
②當(dāng)時(shí)，則有，
解得（經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去），
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原點(diǎn)恰為線段的三等分點(diǎn)；
（3）根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)的位置不確定，所以應(yīng)分類討論，有以下三種情況：
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，，
由題可得，，
，
，
，
，
解得；
③，
綜上所述，存在這樣的t，t的值為或．
【點(diǎn)睛】本題為動(dòng)點(diǎn)問題，考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及分類討論思想，明確線段之間的數(shù)量關(guān)系，能夠表示出線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
28．（2019·云南八年級(jí)期中）觀察下列各式:

化簡(jiǎn)以上各式，并計(jì)算出結(jié)果;
以上式子與其結(jié)果存在一定的規(guī)律．請(qǐng)按規(guī)律寫出第個(gè)式子及結(jié)果．
猜想第個(gè)式子及結(jié)果(用含(的整數(shù))的式子寫出)，并對(duì)猜想進(jìn)行證明．
【答案】；；第個(gè)式子為及結(jié)果為，證明見解析
【分析】（1）分別把每個(gè)式子的第二項(xiàng)進(jìn)行分母有理化，觀察結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果寫出第5個(gè)式子及結(jié)果；
（3）根據(jù)（1）的規(guī)律可得，然后分母有理化，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：

第個(gè)式子為及結(jié)果為

證明：左邊
右邊
成立
【點(diǎn)睛】本題主要考查分母有理化的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是找出上述各式的變化規(guī)律，此題難度一般．

29．（2020·廣東八年級(jí)月考）閱讀下述材料：
我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”:
與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：
比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?br />
因?yàn)?，所?br /> 再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
當(dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解決下述問題：
（1）比較和的大??；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值為2，最小值為．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大??；
（2）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當(dāng)時(shí)，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用當(dāng)時(shí)，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【詳解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值1，此時(shí)有最大值1，所以的最大值為2；
當(dāng)時(shí)，有最大值，則有最小值，此時(shí)有最小值0，所以的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了非常重要的一種數(shù)學(xué)思想：類比思想．解決本題關(guān)鍵是要讀懂例題，然后根據(jù)例題提供的知識(shí)點(diǎn)和方法解決問題．同時(shí)要注意所解決的問題在方法上類似，但在細(xì)節(jié)上有所區(qū)別．
30．（2019·河南信陽市·王店一中八年級(jí)月考）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均為正整數(shù)），則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
這樣小明就找到了一種把a(bǔ)＋b的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝，b＝；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：＋2 ＝（＋）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，則計(jì)算對(duì)應(yīng)的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均為正整數(shù)可先確定m、n的值，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的a的值．
【詳解】
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案為：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，則a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案為：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均為正整數(shù)，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=4+3=7，
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，a=1+3×4=13，
∴a的值為7或13．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及閱讀理解問題，正確理解題意并掌握基本運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
31．（2020·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）規(guī)定：[m]為不大于m的最大整數(shù)；
（1）填空：[3.2]＝　　，[﹣4.8]＝　 ??；
（2）已知：動(dòng)點(diǎn)C在數(shù)軸上表示數(shù)a，且﹣2≤[a]≤4，則a的取值范圍　 ??；
（3）如圖：OB＝1，AB⊥OB，且AB＝10，動(dòng)點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為t，設(shè)AD﹣BD＝n，且6≤[n]≤7，求t的取值范圍．

【答案】（1）3，-5；（2）﹣2≤a＜5；（3）﹣≤t＜﹣或＜t≤．
【分析】（1）根據(jù)[m]為不大于m的最大整數(shù)數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)[m]為不大于m的最大整數(shù)，可得﹣2≤a＜5即可求解；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左邊時(shí)分別求解即可．
【詳解】解：（1）[3.2]＝3，[﹣4.8]＝﹣5．
故答案為3，﹣5．
（2）∵﹣2≤[a]≤4
∴﹣2≤a＜5．
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右邊時(shí)，

∵6≤[n]≤7，
∴6≤n＜8，
當(dāng)n＝8時(shí)，﹣（t﹣1）＝8，
解得t＝，
當(dāng)n＝6時(shí)，﹣（t﹣1）＝8，
解得t＝，
觀察圖象可知，＜t≤．
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左邊時(shí)，同法可得﹣≤t＜﹣，
綜上所述，滿足條件的t的值為﹣≤t＜﹣或＜t≤．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，無理方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)結(jié)合新定義考查估算無理數(shù)的大小，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
32．（2020·廣東佛山·）先閱讀，再解答:由可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：
，請(qǐng)完成下列問題：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根號(hào)： _____．（直接寫結(jié)果）
(3) （填或）
(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）
∴

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