A．()2020?75°B．()2020?65°
C．()2021?75D．()2021?65°
2．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正確的是( )
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
3．如圖，在中，平分，于點(diǎn)．的角平分線所在直線與射線相交于點(diǎn)，若，且，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
4．如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G．若∠BEG＝40°，則∠DEH的度數(shù)為( )
A．50°B．75°C．100°D．125°
5．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為( )
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270°B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
6．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊BC，AC上一點(diǎn)，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于( )
A．3B．C．D．6
7．如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．若，則______．
8．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．
9．如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AC和AB上的點(diǎn)，且滿足，，過點(diǎn)A的直線l平行BC，射線BD交CE于點(diǎn)O，交直線l于點(diǎn)若的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________．
10．如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得，則________度．
11．如圖，在中，，在邊上取點(diǎn)，使得，連接．點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，且，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為_______．

12．已知：在中，平分，平分，、交于點(diǎn)．
(1)如圖1：若，求的度數(shù)；
(2)如圖2：點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、，，求證：；
(3)如圖3：在(2)的條件下，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，若，，，求的度數(shù)．
13．如圖，AB ? CD，垂足為 O，點(diǎn) P、Q 分別在射線 OC、OA 上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) P、Q 都不與點(diǎn) O 重合)，QE 是∠AQP 的平分線．
(1)如圖 1，在點(diǎn) P、Q 的運(yùn)動(dòng)過程中，若直線 QE 交∠DPQ 的平分線于點(diǎn)H．
①當(dāng)∠PQB＝60°時(shí)，∠PHE＝ °；
②隨著點(diǎn) P、Q 分別在 OC、OA 的運(yùn)動(dòng)，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出∠PHE 的度數(shù)；如果不是定值，請(qǐng)說明理由；
(2)如圖 2，若 QE 所在直線交∠QPC 的平分線于點(diǎn) E 時(shí),將△EFG 沿 FG 折疊，使點(diǎn) E 落在四邊形PFGQ 內(nèi)點(diǎn)E′ 的位置，猜測(cè)∠PFE′與∠QGE′ 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
14．閱讀下列材料：
陽陽同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點(diǎn)，、分別與直線，垂直，垂足分別為點(diǎn)、．
求證：．
陽陽發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．
他又畫出了當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且上面問題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示，他猜想此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．
請(qǐng)回答：
(1)請(qǐng)補(bǔ)全陽陽同學(xué)證明猜想的過程；
證明：連接．________，
________________．
，．
(2)參考陽陽同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：
在中，，是的高．是所在平面上一點(diǎn)，、、分別與直線、、垂直，垂足分別為點(diǎn)、、．
①如圖3，若點(diǎn)在的內(nèi)部，猜想、、、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出推理過程．
②若點(diǎn)在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)、、、之間的數(shù)量關(guān)系是：_______．(直接寫出結(jié)論即可)
15．如圖1，AB與CD相交于點(diǎn)O，若，，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：

(1)的度數(shù)；
(2)設(shè)，，，，其他條件不變，如圖2，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(用、表示)，直接寫出結(jié)論．
第十一章 三角形壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練
1．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以A2020為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是( )
A．()2020?75°B．()2020?65°
C．()2021?75D．()2021?65°
【答案】A
【詳解】解∶∵∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，∴∠DA2A1=∠A1DA2．∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．…
以此類推，以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是．
∴以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是．
故選 A．
2．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正確的是( )
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【答案】C
【詳解】∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠1)=90°-∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(90°-∠1)=90°+∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=(∠ABC+∠1)，
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，
∴①④正確，②③錯(cuò)誤，
故選C.
3．如圖，在中，平分，于點(diǎn)．的角平分線所在直線與射線相交于點(diǎn)，若，且，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】∵平分，平分
∴，
設(shè)
∵
∴可以假設(shè)，
∴
∵
∴
∴
設(shè)，則
∴
∴
∵
∴
故答案選：C
4．如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G．若∠BEG＝40°，則∠DEH的度數(shù)為( )
A．50°B．75°C．100°D．125°
【答案】C
【詳解】解：設(shè)∠FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，
∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2(β-α)=80°，
∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故選：C．
5．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為( )
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270°B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【詳解】解：連接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故選：B．
6．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊BC，AC上一點(diǎn)，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于( )
A．3B．C．D．6
【答案】A
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴①，
同理，∵，，
∴，，∴，∴②，
由①-②得：．
故選：A．
7．如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．若，則______．
【答案】
【詳解】解：連接ED
是的中線，
，
設(shè)，
與是等高三角形，
，故答案為：．
8．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．
【答案】52°
【詳解】解：、分別平分、，，，
，，
即，，，
、分別平分、，，，
，
，∴，
∴，
、分別平分、，
，，
∴，
，
故答案為：52°．
9．如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AC和AB上的點(diǎn)，且滿足，，過點(diǎn)A的直線l平行BC，射線BD交CE于點(diǎn)O，交直線l于點(diǎn)若的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________．
【答案】
【詳解】如圖，連接AO，
∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴，，，
∵，∴，，
∵AF∥BC，∴，∴，∴，，
∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四邊形AEOD．
故答案為：．
10．如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得，則________度．
【答案】
【詳解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．
∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，
∴∠A1=∠ACD?ABC=∠A．
同理可證：∠A2=∠A1．
∴∠A2=?∠A= ()2∠A．
以此類推，∠An=()n∠A．
當(dāng)n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022?m°=()°．
故答案為：．
11．如圖，在中，，在邊上取點(diǎn)，使得，連接．點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，且，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為_______．

【答案】
【詳解】折疊
，
設(shè)
，
，
是的一個(gè)外角，，即①
即
即②
②-①得
即
故答案為：
12．已知：在中，平分，平分，、交于點(diǎn)．
(1)如圖1：若，求的度數(shù)；
(2)如圖2：點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、，，求證：；
(3)如圖3：在(2)的條件下，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)64°
【解析】(1)證明：∵、分別平分與
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
(2)證明：∵是得一個(gè)外角，∴，
∵，∴，∴．
(3)解： ， ，
∵平分，平分，
∴設(shè)，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，，

而


∴
∴
∴
13．如圖，AB ? CD，垂足為 O，點(diǎn) P、Q 分別在射線 OC、OA 上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) P、Q 都不與點(diǎn) O 重合)，QE 是∠AQP 的平分線．
(1)如圖 1，在點(diǎn) P、Q 的運(yùn)動(dòng)過程中，若直線 QE 交∠DPQ 的平分線于點(diǎn)H．
①當(dāng)∠PQB＝60°時(shí)，∠PHE＝ °；
②隨著點(diǎn) P、Q 分別在 OC、OA 的運(yùn)動(dòng)，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出∠PHE 的度數(shù)；如果不是定值，請(qǐng)說明理由；
(2)如圖 2，若 QE 所在直線交∠QPC 的平分線于點(diǎn) E 時(shí),將△EFG 沿 FG 折疊，使點(diǎn) E 落在四邊形PFGQ 內(nèi)點(diǎn)E′ 的位置，猜測(cè)∠PFE′與∠QGE′ 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①45°；②∠PHE 是一個(gè)定值，∠PHE =45°，理由見解析
(2)，理由見解析
【解析】(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，
∴，故答案為：45；
②∠PHE 是一個(gè)定值，∠PHE =45°，理由如下： ∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
(2)解：，理由如下：
如圖所示，連接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分別平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折疊的性質(zhì)可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．閱讀下列材料：
陽陽同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點(diǎn)，、分別與直線，垂直，垂足分別為點(diǎn)、．
求證：．
陽陽發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．
他又畫出了當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且上面問題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示，他猜想此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．
請(qǐng)回答：
(1)請(qǐng)補(bǔ)全陽陽同學(xué)證明猜想的過程；
證明：連接．________，
________________．
，．
(2)參考陽陽同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：
在中，，是的高．是所在平面上一點(diǎn)，、、分別與直線、、垂直，垂足分別為點(diǎn)、、．
①如圖3，若點(diǎn)在的內(nèi)部，猜想、、、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出推理過程．
②若點(diǎn)在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)、、、之間的數(shù)量關(guān)系是：_______．(直接寫出結(jié)論即可)
【答案】(1)S△APB；PN；PM；(2)①BD＝PM＋PN＋PQ，證明見解析②BD＝PM＋PQ?PN．
【詳解】解：(1)證明：連接AP．∵S△ABC＝S△APC?S△APB，∴AC?BD＝AC?PN?AB?PM．
∵AB＝AC，∴BD＝PN?PM．故答案為：S△APB；PN；PM；
(2)①BD＝PM＋PN＋PQ； 如圖3，連接AP、BP、CP，
∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC，∴AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；
②BD＝PM＋PQ?PN；如圖4，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC．
∴AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，
∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ?PN．
15．如圖1，AB與CD相交于點(diǎn)O，若，，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：

(1)的度數(shù)；
(2)設(shè)，，，，其他條件不變，如圖2，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(用、表示)，直接寫出結(jié)論．
【答案】(1)33°；(2) ．
【詳解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分線，CP是∠DCB的角平分線
∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP
∴2∠P=∠B+∠D
∵∠B=28°，∠D=38°
∴∠P=33°
(2) ∠P=
∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP
∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P
∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB
∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D
∵，
∴∠DAB-∠DCB=3(∠DAP-∠DCP)
∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)
∵，
∴∠P=

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