【期末·壓軸題】北師大版數(shù)學八年級上冊滿分攻略：第3章位置與坐標（壓軸題專練）-試卷下載-教習網(wǎng)

?第3章位置與坐標壓軸題專練

一、單選題
1．（2020·山東八年級期中）在直角坐標系中，為坐標原點，已知點，在坐標軸上確定點，使得為直角三角形，則符合條件的點的個數(shù)共有（）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】分兩種情況：①當為斜邊時，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點，符合條件的點有2個；
②當為斜邊時，過作的垂線，與軸和軸的交點即為點，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示：

①當為斜邊時，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點，符合條件的點有2個；
②當為斜邊時，過作的垂線，與軸和軸的交點即為點，符合條件的點有2個；
符合條件的點的個數(shù)共有4個，
故選：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)、直角三角形的判定；作出圖形，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·內(nèi)蒙古包頭外國語實驗學校八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，，，，，把一條長為2019個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細不略不計）的一端固定在點處，并按…的規(guī)律繞在四邊形的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是（）

A．（1，0） B．（1，1） C．（-1，1） D．（-1，-2）
【答案】A
【分析】根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．
【詳解】解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴繞四邊形ABCD一周的細線長度為2+3+2+3=10，
2019÷10=201…9，
∴細線另一端在繞四邊形第202圈的第9個單位長度的位置，
即細線另一端所在位置的點的坐標是（1，0）．
故選：A．
【點睛】本題利用點的坐標考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)點的坐標求出四邊形ABCD一周的長度，從而確定2019個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·浙江）在平面直角坐標系中，點經(jīng)過某種變換后得到點，我們把點叫做點的好點．已知點的好點為，點的好點為，點的好點為，這樣依次得到，若點的坐標為，則點的坐標為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用點P（x，y）的好點的定義分別寫出點P2的坐標為（1，4），點P3的坐標為（-3，3），點P4的坐標為（-2，-1），點P5的坐標為（2，0），…，從而得到每4次變換一個循環(huán)，然后利用2019=4×504+3可判斷點P2019的坐標與點P3的坐標相同．
【詳解】解：根據(jù)題意得點P1的坐標為（2，0），則點P2的坐標為（1，4），點P3的坐標為（-3，3）
點P4的坐標為（-2，-1），點P5的坐標為（2，0），…，
而2019=4×504+3，
所以點P2019的坐標與點P3的坐標相同，為（-3，3）．
故選：C．
【點睛】本題考查了幾何變換：四種變換方式：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、位似．掌握在直角坐標系中各種變換的對應(yīng)的坐標變化規(guī)律．
4．（2018·江西南昌·八年級期末）已知，為內(nèi)一定點，上有一點，上有一點，當?shù)闹荛L取最小值時，的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)點關(guān)于、對稱點分別為、，當點、在上時，周長為，此時周長最?。鶕?jù)軸對稱的性質(zhì)，可求出的度數(shù)．
【詳解】分別作點關(guān)于、的對稱點、，連接、、，交、于點、，連接、，此時周長的最小值等于．
由軸對稱性質(zhì)可得，，，，
，
，
又，，
．
故選：．

【點睛】此題考查軸對稱作圖，最短路徑問題，將三角形周長最小轉(zhuǎn)化為最短路徑問題，根據(jù)軸對稱作圖是解題的關(guān)鍵.
5．（2018·山東）如圖，在直角坐標系中，已知點，對連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，，依次得到則的直角頂點的坐標為（）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)第四個三角形與第一個三角形的位置相同可知每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進的長度，再用2013除以3，根據(jù)商為671可知第2013個三角形的直角頂點為循環(huán)組的最后一個三角形的頂點，求出即可．
【詳解】解：∵點A（-3，0）、B（0，4），
∴，
由圖可知，每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，一個循環(huán)組前進的長度為：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角頂點是第671個循環(huán)組的最后一個三角形的直角頂點，
∵671×12=8052，
∴△2013的直角頂點的坐標為（8052，0）．
故選：A．
【點睛】本題考查點的坐標變化規(guī)律，注意觀察圖形，得到每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．
6．（2020·廣東育才三中）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿的點處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為，則該圓柱底面周長為（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EG的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為最短路徑，由勾股定理求出A′D即圓柱底面周長的一半，由此即可解題．
【詳解】解：如圖，將圓柱展開，為上底面圓周長的一半，

作關(guān)于的對稱點，連接交于，
則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為的長，
即，
延長，過作于，
，，
中，由勾股定理得：，
該圓柱底面周長為：，
故選D．
【點睛】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．
7．（2020·河南八年級期中）育紅中學八五班的數(shù)學社團在做如下的探究活動：在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第1次移動到點，第2次移動到點……第次移動到點，則的面積是（）

A．1009 B． C．505 D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)點的坐標歸納類推出一般規(guī)律，從而可得點的坐標，再根據(jù)點的坐標可得的值，然后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】由題意得：點的坐標為，
點的坐標為，
點的坐標為，
點的坐標為，
歸納類推得：點的坐標為，其中n為正整數(shù)，
，
點的坐標為，即，
又，
，且的邊上的高為1，
則的面積為，
故選：D．
【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律，求出點的坐標是解題關(guān)鍵．
8．（2021·河北八年級期末）如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第一次從原點O運動到點，第二次運動到點，第三次運動到，…，按這樣的運動規(guī)律，第2022次運動后，動點的坐標是（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】觀察圖象，結(jié)合動點P第一次從原點O運動到點P1（1，1），第二次運動到點P2（2，0），第三次運動到P3（3，﹣2），第四次運動到P4（4，0），第五運動到P5（5，2），第六次運動到P6（6，0），…，結(jié)合運動后的點的坐標特點，分別得出點P運動的縱坐標的規(guī)律，再根據(jù)循環(huán)規(guī)律可得答案．
【詳解】解：觀察圖象，結(jié)合動點P第一次從原點O運動到點P1（1，1），第二次運動到點P2（2，0），第三次運動到P3（3，﹣2），第四次運動到P4（4，0），第五運動到P5（5，2），第六次運動到P6（6，0），…，結(jié)合運動后的點的坐標特點，
可知由圖象可得縱坐標每6次運動組成一個循環(huán)：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2022÷6＝337，
∴經(jīng)過第2022次運動后，動點P的縱坐標是0，
故選：D．
【點睛】本題考查了規(guī)律型點的坐標，數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（2018·重慶市第七十一中學校八年級月考）如圖放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是邊長為1的等邊三角形，點A在軸上，點O，B1，B2，B3，…都在直線上，則點A2015的坐標是______________．

【答案】（,）
試題分析：由題意可知點B1的坐標為（，），所以點A1的坐標為（，）；
點B2的坐標為（1，），所以點A2的坐標為（2，）；
點B3的坐標為（，），所以點A3的坐標為（，）；
點B4的坐標為（2，2），所以點A4的坐標為（3，2）；
……
所以點A2015的坐標為（+1，），即（,）
考點：規(guī)律題.
10．（2018·湖南）如圖，在平面直角坐標系中，點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點……按此規(guī)律繼續(xù)作下去，直至得到點為止，則點的坐標為_________．

【答案】
【分析】分別寫出、、的坐標找到變化規(guī)律后寫出答案即可．
【詳解】解：、，
，
的坐標為：，
同理可得：的坐標為：，的坐標為：，

，
點橫坐標為，即：，
點坐標為，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標的變化得到規(guī)律，利用得到的規(guī)律解題．
11．（2020·江西撫州·八年級期末）如圖，，……，按照這樣的規(guī)律下去，點的坐標為__________．

【答案】(3029，1009)
【分析】從表中可知，各點坐標規(guī)律是：往右橫坐標依次是+2，+1，+2，+1下標從奇數(shù)到奇數(shù)，加了3個單位；往右縱坐標是-1，+2，-1，+2下標從奇數(shù)到奇數(shù)，加了1個單位，
由此即可推出坐標．
【詳解】從表中可知，各點坐標規(guī)律是：往右橫坐標依次是+2，+1，+2，+1
∴下標從奇數(shù)到奇數(shù)，加了3個單位
往右縱坐標是-1，+2，-1，+2
∴下標從奇數(shù)到奇數(shù)，加了1個單位，

∴的橫坐標為3029
縱坐標為
∴(3029,1009)
故答案為：(3029,1009)
【點睛】本題是有關(guān)坐標的規(guī)律題，根據(jù)題中已知找到點坐標規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12．（2020·浙江八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一個電動玩具從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點P1．使得點P1與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點P2，使得點P2與點P1關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點P3，使得點P3與點P2關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點P4，使得點P4與點P3關(guān)于點A成中心對稱；第五次跳躍到點P5，使得點P5與點P4關(guān)于點B成中心對稱；…照此規(guī)律重復下去，則點的坐標為_______．

【答案】（2，2）
【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找出部分Pn的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．
【詳解】觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P0（0，0），P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n為自然數(shù)）．
∵2020=6×336+4，
∴P2020（2，2）．
故答案為：（2，2）．
【點睛】此題考查規(guī)律型：點的坐標以及中心對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n為自然數(shù)）”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)題意列出部分Pn點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．
13．（2020·山東）如圖，在一單位為1的方格紙上，，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，……的等腰直角三角形，若的頂點坐標分別為，則依圖中所示規(guī)律，的坐標為_________．

【答案】（2，1010）
【分析】根據(jù)腳碼確定出腳碼為偶數(shù)時的點的坐標，得到規(guī)律：當腳碼是2、6、10…時，橫坐標為1，縱坐標為腳碼的一半的相反數(shù)，當腳碼是4、8、12．…時，橫坐標是2，縱坐標為腳碼的一半，然后確定出第2020個點的坐標即可．
【詳解】解：觀察點的坐標變化發(fā)現(xiàn)：
當腳碼為偶數(shù)時的點的坐標，得到規(guī)律：
當腳碼是2、6、10…時，橫坐標為1，縱坐標為腳碼的一半的相反數(shù)，
當腳碼是4、8、12．…時，橫坐標是2，縱坐標為腳碼的一半，
因為2020能被4整除，
所以橫坐標為2，縱坐標為1010，
故答案為：（2，1010）．
【點睛】本題考查了點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標的變化尋找規(guī)律．
14．（2019·山東）在平面直角坐標系中，一個點從原點出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第一次移動到點，第二次移動到點……第次移動到點，則點的坐標是__________．

【答案】
【分析】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，從而可得出點的坐標．
【詳解】…，

所以的坐標是．
故答案為：
【點睛】此題主要考查對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，認真看圖，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
15．（2019·河北滄州市·）如圖，在平面直角坐標系上有點A（1，0），第一次點A跳動至點A1（﹣1，1），第二次點A1跳動至點A2（2，1），第三次點A2跳動至點A3（﹣2，2），第四次點A3跳動至點A4（3，2），依此規(guī)律跳動下去，則點A2017與點A2018之間的距離是__________．

【答案】2019
【分析】根據(jù)跳動規(guī)律得出點的坐標變化規(guī)律，由此即可得．
【詳解】由跳動規(guī)律可歸納類推出以下3條規(guī)律：（其中n為正整數(shù)）
（1）點的橫坐標依次為
（2）點的橫坐標依次為
（3）點與點，點與點，點與點，，點與的縱坐標分別相等
，
點的橫坐標為，點的橫坐標為，且點與點的縱坐標相等
則點與點之間的距離是
故答案為：2019．
【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)、圖形的變化問題等知識點，結(jié)合圖形，正確歸納出各點橫、縱坐標的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
16．（2020·福建省福州第十九中學八年級期中）如圖，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為___．

【答案】10
【分析】如圖，過點F作FH⊥EC于H.過點F作直線l//EC，作點C關(guān)于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長．
【詳解】解：如圖，過點F作 FH⊥EC 于H．

∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，
∴FH=2，
過點F作直線l//EC，作點C關(guān)于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長，過點C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，
∴四邊形CEKC'是矩形，
∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，
∵AE=10，
∴AK=AE?EK=10?4=6，
∴AC'=，
∴|FA?FC|的最大值為10．
故答案為10．
【點睛】本題考查軸對稱?最短問題，三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
17．（2020·浙江金華·八年級期中）已知點A，B的坐標分別為(2，0)，(2，4)，以A，B，P為頂點的三角形與全等，點P與點O不重合，寫出符合條件的點P的坐標：___________．
【答案】或或
【分析】分和兩種情況，再分別利用全等三角形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】設(shè)點P的坐標為，
，
，
由題意，分以下兩種情況：
（1）如圖1，當時，
，
軸，
，
又，
，
解得或，
則此時點P的坐標為或；
（2）如圖2，當時，
，
點P在x軸上，且，
則此時點P的坐標為；
綜上，符合條件的點P的坐標為或或，
故答案為：或或．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、坐標與圖形，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
18．（2020·沙坪壩·重慶八中八年級月考）如圖，點的坐標為，點的坐標為，分別以，為直角邊在第三、第四象限作等腰，等腰，連接交軸于點，點的坐標是______．

【答案】
【分析】作軸于，求出，證，得BN=AO，再由，證，推出=2，由點的坐標為即可得出點的坐標為．
【詳解】解：如圖，作軸于，

，
，，
，
在和中，

，
，OA=BN
，
在和中，
，
，
，
又因為點的坐標為，
，
，
又∵點的坐標為，
∴點的坐標為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標與圖形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．
19．（2020·浙江八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，點在軸上運動，以為邊作等腰，（點，，呈順時針排列），當點在軸上運動時，點也隨之運動．在點的運動過程中，的最小值為______．

【答案】
【分析】過點A作直線l⊥x軸，過C，B作CD⊥l于點D，BE⊥l于點E，易證?CDA?? AEB，從而得AD=BE=OA=5，作點A關(guān)于CD的對稱點A′，由三角形三邊長關(guān)系得：當O，C，A′三點共線時，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過點A作直線l⊥x軸，過C，B作CD⊥l于點D，BE⊥l于點E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴?CDA?? AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=5，
作點A關(guān)于CD的對稱點A′，連接CA′，則點A′在直線l上，DA′=DA=5，AC=A′C，
∴=OC+A′C，
∵在?COA′中，OC+A′C≥OA′，
∴當O，C，A′三點共線時，有最小值=OA′，此時，OA′=，
∴最小值=．
故答案是：．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱求線段和的最小值問題，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
20．（2019·廣東深圳市·）如圖1，平面直角坐標系中，，，，軸于點．
（1）；
（2）連接，判斷的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，已知，，若是等腰直角三角形，且，則點坐標為．

【答案】（1）見解析；（2）為等腰直角三角形，見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)點的坐標分別求出OD、CD，得到AD=OB，利用SAS定理證明△AOB≌△CDA；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABO=∠CAD，AC=AB，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的定義解答；
（3）根據(jù)題意畫出點M和點M′，過點P作x軸的平行線GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，證明△GMP≌△HPQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GM=PH=3，GP=HQ=2，得到點M坐標為（1，1），同理求出點M′坐標．
【詳解】（1）∵C（2，3），軸于點，
∴D（0，3）
∴OD=3，CD=2，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∴AD=1，
∴AD=OB，
在△AOB和△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（SAS）；
（2）△ABC是等腰直角三角形，
理由如下：∵△AOB≌△CDA，
∴∠ABO=∠CAD，AC=AB，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，又AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）如圖2，過點P作x軸的平行線GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，

∵P（3，4），Q（6，2），
∴PH=3，QH=2，
∵△MPQ為等腰直角三角形，
∴∠MPQ=90°，PM=PQ，
∴∠MPG+∠HPQ=90°，
∵∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠GMP=∠HPQ，
在△GMP和△HPQ中，
，
∴△GMP≌△HPQ（AAS）
∴GM=PH=3，GP=HQ=2，
∴點M坐標為（1，1），
過點P作y軸的平行線ST，作M′S⊥ST于S，QT⊥ST于T，
同理可得，△M′ST≌△PTQ，
∴M′S=PT=2，SP=TQ=3，
∴點M′坐標為（5，7），
故答案為：（1，1）或（5，7）．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
21．（2017·湖北八年級期末）如圖，A(3,3)、C(0,2)，點B(b，0)是x軸正半軸上一動點，點D是點A關(guān)于x軸的對稱點．
(1)寫出點D的坐標并用b表示四邊形AODB的面積S；
(2)連結(jié)CD交x軸于P，試求AP與CP的和；
(3)在點B從左向右移動過程中，點B處于哪些位置時△OBD是特殊的三角形？寫出點B的坐標并分別說明理由．

【答案】（1）,S=3b；（2）AP+CP=；（3）當點B處于（3,0）和（6,0）時，△OBD是特殊的三角形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)兩點關(guān)于x軸對稱的特征即可確定點D的坐標，再根據(jù)四邊形AODB的面積等于2S△AOB求解即可；
（2）根據(jù)“兩點之間線段最短”進行求解即可；
（3）依據(jù)等腰三角形和等腰直角三角形的定義結(jié)合已知條件進行判斷即可．
【詳解】（1）∵點D是點A關(guān)于x軸的對稱點
∴D（3，-3）
由已知可得△OBD和△AOB關(guān)于x軸對稱
∴S= 2S△AOB==3b．
（2）如圖，

由已知和（1）可得，AP=PD
又CD==
∴AP+CP=CD=;
（3）當點B處于（3,0）,（,0）和（6,0）時，△OBD是特殊的三角形．理由如下：
∵D（3，-3）
∴∠DOB=45°
①當 B處于（3,0）時，△OBD是等腰直角三角形，且∠OBD=90°；
②當 B處于（6,0）時，△OBD是等腰直角三角形，且∠ODB=90°；
③當 B處于（,0）時，△OBD是等腰三角形，且OD=OB；
【點睛】此題考查了坐標與圖形的相關(guān)知識，熟練運用勾股定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的定義進行判斷是解題的關(guān)鍵．
22．（2020·全國八年級課時練習）如圖，在直角坐標系中有一點P（5，5），M（0，m）為y軸上任意一點，N為x軸上任意一點，且∠MPN＝90°．

（1）當m＝5時，OM+ON的值為　??；
（2）當0＜m＜5時，OM+ON的值是否改變？說明你的理由；
（3）探索：當m＜0時，OM與ON的數(shù)量關(guān)系為　．
【答案】（1）10；（2）當0＜m＜5時，OM+ON的值不改變，理由見解析；（3）OM＝ON﹣10．
【分析】（1）作PA⊥y軸于A，PB⊥x軸于B，則PA=PB=OA=OB=5，得出A（0，5），當m=5時，M（0，5），得出A與M重合，B與N重合，得出ON=OH=5即可；
（2）作PA⊥y軸于A，PB⊥x軸于B，則∠APB=90°，PA=PB=5，證出∠APM=∠BPN，證明△APM≌△BPN（ASA），得出AM=BN，即可得出答案；
（3）作PA⊥y軸于A，PB⊥x軸于B，同（2）得出△APM≌△BPN（ASA），得出AM=BN，即可得出答案．
【詳解】（1）作PA⊥y軸于 A，PB⊥x軸于B ，如圖1所示：

∵P（5， 5），
∴PA＝PB＝OA ＝OB＝5，
∴A （0，5），當m＝ 5時，M（0，5 ），
∴A與M重合，B 與N重合，
∴ON＝OM＝5，
∴OM+ON ＝10；
故答案為：10；
（2）當0＜m＜5時，OM+ON的值不改變，理由如下：
作PA⊥y軸于A ，PB⊥x軸于B，如圖 2所示：

則∠APB＝90°，PA ＝PB＝5，
∵∠MPN＝90°，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中，，
∴△APM≌△BPN（ASA ），
∴AM＝BN，
∴OM+ON＝OA﹣AM+OB+BN＝OA+OB＝10 ；
（3）當m＜0時，OM與ON的數(shù)量關(guān)系為OM＝ON﹣10，
理由如下：
作PA⊥y軸于A ，PB⊥x軸于B，如圖 3所示：

同（2）得：△APM≌△BPN （ASA），
∴AM＝BN，
∴OM＝AM﹣OA＝BN﹣OA＝ON﹣OB﹣OA＝ON﹣10 ；
故答案為：OM＝ON﹣10 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
23．（2021·湖北八年級期末）（1）如圖①，已知中，，，直線經(jīng)過點，直線，直線，垂足分別為點，，易證：_______________．
（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，，，三點都在直線上，并且有，請求出，，三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）如圖③，在中，，，點的坐標為，點的坐標為，請直接寫出點的坐標．

【答案】（1）；（2），見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可得出答案；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形即可得出答案；
（3）根據(jù)得出和的值，結(jié)合坐標與圖形性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】（1）證明：∵
∴
∵
∴
∴
在和中

∴
∴，
∴
（2）；
理由如下：在中，
∵,
∴
在和中

∴
∴
∴
（3）如圖③，作軸于點，軸于點，
由（1）可知，
∴

∴
∴點的坐標為.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.
24．（2019·浙江杭州市·八年級期末）已知，在平面直角坐標系中，，，C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是線段OA上一點，且，于E．

（1）求的度數(shù)；
（2）當點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．
（3）若，求點D的坐標．
【答案】（1）45°；（2）PE的值不變，PE=4，理由見詳解；（3）D(，0)．
【分析】（1）根據(jù)，，得△AOB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出∠OAB的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再證明△POC≌△DPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=PE，即可得到答案；
（3）證明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，進而得OD的值，即可求出點D的坐標．
【詳解】（1），，
∴OA=OB=，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE的值不變，理由如下：
∵△AOB為等腰直角三角形，C為AB的中點，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
∵D是線段OA上一點，
∴點P在線段BC上，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC?△DPE(AAS)，
∴OC=PE，
∵OC=AB=××=4，
∴PE=4；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=(180°?45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO?∠A=22.5°，∠BOP=90°?∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP，
在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA(AAS)，
∴PA=OB=，DA=PB，
∴DA=PB=×-=8-，
∴OD=OA?DA=-(8-)=，
∴點D的坐標為(，0)．
【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)定理，圖形與坐標，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
25．（2020·黑龍江牡丹江市·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，分別在軸，軸正半軸上．

（1）的平分線與的外角平分線交于點，求的度數(shù)；
（2）設(shè)點，的坐標分別為，，且滿足，求的面積；
（3）在（2）的條件下，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】（1）45°；（2）1；（3）（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出∠C=∠AOB=45°；
（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，即可求得的面積；
（3）作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，可得△DEB≌△DFA，則BE=AF，DF=DE，推出四邊形OEDF是正方形，OE=OF，設(shè)BE=AF=x，則OA-x=OB+x,求出x的值，即可得的坐標，同理求出點D1的坐標．
【詳解】解：（1）∵AC平分∠OAB，BD平分∠EBA，
∴∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，
∵∠EBA=∠OAB+∠AOB，
∴∠DBA=（∠OAB+∠AOB）=∠C+∠CAB，
∴∠C=（∠OAB+∠AOB）-∠CAB
=（∠OAB+∠AOB）-∠OAB
=∠AOB
=45°；

（2）∵且滿足，
∴

∴a=2，b=1，
∵點，的坐標分別為，，
∴OA=2，OB=1，
∴=；
（3）作DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，

∵是以為斜邊的等腰直角三角形，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
∵DE⊥x軸于E，DF⊥y軸與F，∠AOB=90°，
∴四邊形OEDF是矩形，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDA，
∴△DEB≌△DFA，
∴BE=AF，DF=DE，
∴四邊形OEDF是正方形，
∴OE=OF，
設(shè)BE=AF=x，則OA-x=OB+x,
∵OA=2，OB=1，
∴x=0.5，OE=OF=1.5，
∴的坐標為（1.5，1.5），
同理可得PD1=0.5，OP=1.5-1=0.5，
D1的坐標為（-0.5，0.5），
即的坐標為（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)、三角形的面積計算，正方形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．
26．（2020·義烏市繡湖中學教育集團）在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“識別距離”，給出如下定義：若，則點與點的“識別距離”為；若，則與點的“識別距離”為；
（1）已知點，為軸上的動點，
①若點與的“識別距離”為3，寫出滿足條件的點的坐標．
②直接寫出點與點的“識別距離”的最小值．
（2）已知點坐標為，，寫出點與點的“識別距離”的最小值．及相應(yīng)的點坐標．
【答案】（1）①或；②2；（2），．
【分析】（1）①設(shè)點B的坐標為，根據(jù)“識別距離”的定義可得，化簡絕對值即可得；
②先求出時a的值，再根據(jù)“識別距離”的定義分情況討論，然后找出“識別距離”中的最小值即可；
（2）參考②，先求出時m的值，再根據(jù)“識別距離”的定義分情況討論，然后找出“識別距離”中的最小值即可．
【詳解】（1）①設(shè)點B的坐標為

點與的“識別距離”為
解得
則點B的坐標為或；
②由得：
因此，分以下兩種情況：
當時，
則點與點的“識別距離”為
當或時，
則點與點的“識別距離”為
綜上，點與點的“識別距離”大于或等于2
故點與點的“識別距離”的最小值為2；
（2）由得：或
解得或
因此，分以下三種情況：
當時，
則點與點的“識別距離”為
此時
當時，
則點與點的“識別距離”為
當時，
則點與點的“識別距離”為
由此可知，點與點的“識別距離”的最小值為
此時，
則點C的坐標為．
【點睛】本題考查了點坐標、絕對值運算等知識點，較難的是題（2），理解新定義，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．
27．（2021·青島市嶗山區(qū)第三中學八年級期中）問題情境：
在平面直角坐標系xOy中有不重合的兩點A（x1，y1）和點B（x2，y2），小明在學習中發(fā)現(xiàn)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1﹣x2|；
（應(yīng)用）：
（1）若點A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長度為　　．
（2）若點C（1，0），且CD∥y軸，且CD＝2，則點D的坐標為　 ?。?br /> （拓展）：
我們規(guī)定：平面直角坐標系中任意不重合的兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點M（﹣1，1）與點N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．

解決下列問題：
（1）如圖1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），則d（E，F(xiàn)）　 ?。?br /> （2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，則t＝　 ?。?br /> （3）如圖3，已知P（3，3），點Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，則d（P，Q）＝　　．
【答案】【應(yīng)用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）＝5；（2）2或﹣2；（3）4或8．
【分析】（應(yīng)用）（1）根據(jù)若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為|x1?x2|，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）由CD∥y軸，可設(shè)點D的坐標為（1，m），根據(jù)CD＝2，可得|0﹣m|＝2，故可求出m，即可求解；
（拓展）（1）根據(jù)兩點之間的折線距離公式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩點之間的折線距離公式結(jié)合d（E，H）＝3，即可得出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）由點Q在x軸上，可設(shè)點Q的坐標為（x，0），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角形OPQ的面積為3即可求出x的值，再利用兩點之間的折線距離公式即可得出結(jié)論；
【詳解】（應(yīng)用）：
（1）AB的長度為|﹣1﹣2|＝3．
故答案為：3．
（2）由CD∥y軸，可設(shè)點D的坐標為（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴點D的坐標為（1，2）或（1，﹣2）．
故答案為：（1，2）或（1，﹣2）．
（拓展）：
（1）d（E，F(xiàn)）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案為：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案為：2或﹣2．
（3）由點Q在x軸上，可設(shè)點Q的坐標為（x，0），
∵三角形OPQ的面積為3，
∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．
當點Q的坐標為（2，0）時，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
當點Q的坐標為（﹣2，0）時，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案為：4或8．
【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了新定義、兩點間的距離公式、三角形面積等知識，讀懂題意并熟練運用兩點間的距離及兩點之間的折線距離公式是解題的關(guān)鍵．
28．（2020·北京海淀實驗中學）如圖1，在平面直角坐標系中，，且滿足，過作軸于．
（1）求的面積．
（2）若過作交軸于，且分別平分，如圖2，求的度數(shù)．
（3）在軸上存在點使得和的面積相等，請直接寫出點坐標．

【答案】（1）4；（2）；（2）或．
【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)易得，，然后根據(jù)三角形面積公式計算；
（2）過作，根據(jù)平行線性質(zhì)得，且，，所以；然后把代入計算即可；
（3）分類討論：設(shè)，當在軸正半軸上時，過作軸，軸，軸，利用可得到關(guān)于的方程，再解方程求出；
當在軸負半軸上時，運用同樣方法可計算出．
【詳解】解：（1），
，，
，，

，，，
的面積；
（2）解：軸，，
，
又∵，
∴，
過作，如圖①，

，
，
，
，分別平分，，即：，，
；
（3）或．
解：①當在軸正半軸上時，如圖②，

設(shè)，
過作軸，軸，軸，
，
，解得，
②當在軸負半軸上時，如圖③

，解得，
綜上所述：或．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及三角形面積公式．構(gòu)造矩形求三角形面積是解題關(guān)鍵．
29．（2020·山西呂梁市·八年級期中）綜合與實踐．
積累經(jīng)驗
我們在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題．例如：我們在解決：“如圖1，在中，，，線段經(jīng)過點，且于點，于點.求證：，”這個問題時，只要證明，即可得到解決，
（1）請寫出證明過程；

類比應(yīng)用
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，中，，，點的坐標為，點的坐標為，求點的坐標．

拓展提升
（3）如圖3，在平面直角坐標系中，，，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為____________．

【答案】（1）見解析；（2）B的坐標（3，1）；（3）（3，4）
【分析】（1）根據(jù)AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，進而證明，最后再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=CE，CD=BE；
（2）如圖4，過點B作BE⊥x軸于點E，通過證明，進而得出AO=CE，CO=BE，再根據(jù)點A的坐標為（0，2），點C的坐標（1，0），求得OE=3，最后得出B的坐標（3，1）；
（3）如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，通過證明，進而得出BD=CE=，AE=CD，最后根據(jù)點的坐標為，點的坐標為，得出B坐標（3，4）.
【詳解】（1）證明：
∵AD⊥DE，BE⊥DE
∴∠D=∠E=90°
∴∠DAC+∠ACD=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
（2）解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E
∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCE=90°
∴∠OAC=∠BCE
在△AOC和△CEB中
∴△AOC≌△CEB
∴AO=CE，CO=BE
又∵點A的坐標為（0，2），點C的坐標（1，0）
∴AO=2，CO=1
∴CE=2，BE=1
∴OE=3
∴B的坐標（3，1）

（3）（3，4）
解：如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，
∵AE⊥CF，BD⊥CF
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴,
∴在和中，
∴（AAS）
∴BD=CE，AE=CD，
又∵的坐標為，點的坐標為，
∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2
設(shè)B點坐標為（a，b），
則a=4-1=3，b=2+2=4，
∴B坐標（3，4）
.
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的證明以及平面直角坐標系中求點坐標的綜合應(yīng)用問題；通過構(gòu)建“一線三等角”模型，再利用直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等解決角關(guān)系是本題的關(guān)鍵.

30．（2020·河南八年級月考）如圖所示，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，﹣4）．
（I）如圖1，若C的坐標為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P．
（1）求證：△OAP≌△OBC．
（2）試求點P的坐標．
（II）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

【答案】（I）（1）見解析；（2）點P的坐標為（0，﹣1）；（II）S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，等于4．
【分析】（I）（1）根據(jù)點A和點B的坐標得到OA=OB，再通過等角的余角相等證明∠AOP＝∠BHP和∠OAP＝∠OBC，就可以證明結(jié)論；
（2）由（1）可知OC=OP，就可以求出點P坐標；
（II）連接OD，證明△ODM≌△ADN（ASA），得到它兩面積相等，就可以得到S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD，求出的面積，得到值不變的結(jié)果．
【詳解】解：（I）（1）∵點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）∵△OAP≌△OBC，
∴OP＝OC＝1，
∴點P的坐標為（0，﹣1）；
（II）S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，等于4，
理由如下：如圖，連接OD，

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D為AB的中點，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△ODM與△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△AND，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO?BO＝××4×4＝4．
【點睛】本題考查平面直角坐標系和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，在平面直角坐標系中運用幾何知識進行證明求解．
31．（2020·浙江杭州英特外國語學校八年級期中）如圖①，在平面直角坐標系中，，，且滿足，過作軸于．
（1）求三角形的面積；
（2）若線段與軸交于點，在軸上是否存在點，使得三角形和三角形的面積相等，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若過作交軸于，且，分別平分，，如圖②，求的度數(shù)．

【答案】（1）16；（2）存在，或；（3）．
【分析】（1）先根據(jù)偶次方的非負性、算術(shù)平方根的非負性可求出a、b的值，從而可得AB、BC的長，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得；
（2）設(shè)點P的坐標為，從而可得，再根據(jù)點C的坐標可得PQ邊上的高，然后利用三角形的面積公式可得一個關(guān)于m的絕對值方程，解方程即可得；
（3）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，再根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、等量代換即可得．
【詳解】（1），
，
解得，
，
軸，
，
三角形的面積為；
（2）存在，求解過程如下：
設(shè)點P的坐標為，
，
，
，
三角形的PQ邊上的高為4，
，
解得或，
故點P的坐標為或；

（3）如圖，過點E作，
，
，
，
，
，分別平分，，
，
，
又軸軸，
，
．

【點睛】本題考查了偶次方的非負性、算術(shù)平方根的非負性、平行線的判定與性質(zhì)、點坐標等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，利用到平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
32．（2021·湖南師大附中博才實驗中學）如圖，已知點A（a，0），點C（0，b），其中a、b滿足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四邊形OABC為長方形，將長方形OABC沿直線AC對折，點B與點B′對應(yīng)，連接點C交x軸于點D．

（1）求點A、C的坐標；
（2）求OD的長；
（3）E是直線AC上一個動點，F(xiàn)是y軸上一個動點，求△DEF周長的最小值．
【答案】（1）A點的坐標為（8，0），C點的坐標為（0，4）；（2）OD的長為3；（3）△DEF周長的最小值為4．
【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a、b的值，由此可得問題的答案；
（2）根據(jù)長方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，設(shè)OD＝x，CD＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列方程，求解可得答案；
（3）作點D關(guān)于y軸對稱點為H，作點D關(guān)于直線AC對稱點G，連接EG，HF，HG，由翻折的性質(zhì)得D、H、G點的坐標，當點H，F(xiàn)，E，G四點共線時，DE+DF+EF長取得最小值，由此可得答案．
【詳解】
解：（1）∵|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，
∴|a﹣8|+（b﹣4）2＝0，
∵|a﹣8|≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴A點的坐標為（8，0），C點的坐標為（0，4）；
（2）∵A點的坐標為（8，0），C點的坐標為（0，4），
∴OA＝8，OC＝4，
∵四邊形OABC為長方形，
∴AB＝OC＝4BC＝OA＝8，∠B＝∠COA＝∠OCB＝∠OAB＝90°，
由折疊性質(zhì)可知：A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，
設(shè)OD＝x，CD＝y(tǒng)，
則AD＝OA﹣OD＝8﹣x，D＝C﹣CD＝8﹣y，
Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
即x2+16＝y(tǒng)2①，
Rt△AD中，AD2＝D2+A2，
即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+16②，
聯(lián)立①②式解得：，
∴OD＝3，
故OD的長為3．
（3）如圖所示，作點D關(guān)于y軸對稱點為H，作點D關(guān)于直線AC對稱點G，連接EG，HF，HG，

∵△AC為△ACB沿AC翻折得到，點D在BC上，
∴點D關(guān)于AC對稱點G在BC上，
由對稱性可知：CG＝CD，HF＝DF，
∵OD＝3，CD＝5，
∴D點的坐標為（3，0），
又∵H的坐標為（﹣3，0），
∴CG＝CD＝5，
∴G點的坐標為（5，4），
∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝HF+EG+EF≥GH，
當點H，F(xiàn)，E，G四點共線時，DE+DF+EF長取得最小值為：
GH＝＝4，
故△DEF周長的最小值為4．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題目，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，屬于中考壓軸題．
33．（2021·哈爾濱德強學校八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線分別交y軸正半軸于點，交x軸負半軸于點，過點A作，且．
（1）求點D的坐標．
（2）過點D作軸，垂足為C，P是線段上一個動點，過點P作軸，垂足為點N，在延長線上取點H，在x軸點N右側(cè)取點M，連接，在線段上取點G，連接，使，設(shè)線段，滿足的面積表示為，求線段的長度．
（3）在（2）的條件下，連接并延長交x軸于點F，當D為中點時，連接，過點G作，在y軸左側(cè)直線上是否存在點K，連接、，使得與以、、為三邊長的三角形全等？若存在，求出長，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，KH長為．
【分析】（1）過點D作，證明出即可求得點D的坐標，
（2）根據(jù)題中給的條件，證出三角形是等腰直角三角形，則，再根據(jù)，即可得，
（3）假設(shè)在y軸左側(cè)直線GQ上存在點K，連接KG、KH，使得與以AG、GH、DH為三邊長的三角形全等，分情況討論：①以DH為斜邊時，，進行列式計算即可得，故舍去，不符合題意；②以AG為斜邊時，，進行解答即可得，則；③以GH為斜邊時，，因方程無解，故無法求出AG的長度．
【詳解】解：（1）如圖所示，過點D作，

∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴D（1，-1）
（2）由題意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，

（3）如圖所示，

由（2）得，
∴，
∴，即，
若全等，則AG、GH、DH組成的三角形為直角三角形，
①以DH為斜邊時，，
∵，
，
∴

∵，故舍去，
②以AG為斜邊時，，
∴

∴，
③以GH 為斜邊時，，
∴，

方程無解，故不考慮此情況，
綜上，在y軸左側(cè)直線GQ上存在點K，連接KG、KH，使得與以AG、GH、DH為三邊長的三角形全等，KH長為．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
34．（2018·安徽合肥市五十中學南校八年級期中）為了保護環(huán)境，新農(nóng)村改造過程中需要修建污水處理廠，如圖，、是位于直線小河同側(cè)的兩個村莊，村距離小河的距離，村距離小河的距離，經(jīng)測量，現(xiàn)準備在小河邊修建一個污水處理廠．(不考慮河寬)

（1）設(shè)，請用含的代數(shù)式表示的長（保留根號）；
（2）為了節(jié)省材料，使得兩村的排污管道最短，求最短的排污管長；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，運用數(shù)形結(jié)合思想，求的最小值．
【答案】（1）；（2）25米；（3）17
【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）作點A關(guān)于直線MN的對稱點A′，連接A′B交MN于O，此時，OA+OB=OB+OA′的長最短，即點O即為污水處理廠的位置，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（3）由（2）可知，作出圖形，利用最短路徑問題和勾股定理解題，即可得到答案．
【詳解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
（2）作點關(guān)于對稱點為，可以得到，．

根據(jù)兩點之間線段最短可以得到，的長度就是最短的排污管．
∵，，
由勾股定理得：．
（3）根據(jù)(2)的結(jié)果，先作對稱點，把問題轉(zhuǎn)化到求最短距離問題．如圖：

設(shè)BD=2，AC=6，CD=15，設(shè)OC=a，則OD=15-a，
根據(jù)勾股定理得，AO+OB=，
此時，
當A、O、B′三點共線時，OA+OB的值最小，
∴的值最小，即的長度；
∴最小值為：；
∴的最小值為17.
【點睛】本題考查了軸對稱——最短路線問題，勾股定理，正確的作出圖形，確定點O的位置是解題的關(guān)鍵．
35．（2017·山東省濟南興濟中學八年級單元測試）在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．例如：三點坐標分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．根據(jù)所給定義解決下列問題：
（1）若已知點D（1，2）、E（-2，1）、F（0,6），則這3點的“矩面積”=_____.
（2）若D（1，2）、E（-2，1）、F（0,t）三點的“矩面積”為18，求點F的坐標；
【答案】（1）15；（2）（0，7）或（0，-4）
【分析】（1）根據(jù)給出的新定義，先求出a和h，然后可求“距面積”；
（2）根據(jù)題意可以求得a的值，然后再對t進行討論，即可求得t的值，從而可以求得點F的坐標．
【詳解】解：（1）由題意可得，
∵點D（1，2）、E（-2，1）、F（0，6），
∴a=1-（-2）=3，h=6-1=5，
∴S=ah=3×5=15，
故答案為：15；
（2）由題意：“水平底”a=1-（-2）=3，
當t＞2時，h=t-1，
則3（t-1）=18，
解得t=7，
故點P的坐標為（0，7）；
當1≤t≤2時，h=2-1=1≠6，
故此種情況不符合題意；
當t＜1時，h=2-t，
則3（2-t）=18，
解得t=-4，
故點P的坐標為（0，-4），
所以，點P的坐標為（0，7）或（0，-4）

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