基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
知識(shí)點(diǎn)1　對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
名師點(diǎn)睛1.逆向應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式,有利于化簡(jiǎn).2.對(duì)于每一條運(yùn)算法則,都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.3.法則(1)可以推廣到真數(shù)為無(wú)限多個(gè)正因數(shù)相乘的情況,即lga(N1N2…Nk)=lgaN1+lgaN2+…+lgaNk.其中Nk>0,k∈N+.
4.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則與指數(shù)運(yùn)算法則的比較(a>0且a≠1,M,N>0)
過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)lg93+lg927=lg9(3×27)=lg981=2.(　　)(2)lg2(4+4)=lg24+lg24=4.(　　)(4)lg3[(-5)×(-4)]=lg3(-5)+lg3(-4).(　　)
2.[人教A版教材習(xí)題]求下列各式的值:(1)lg3(27×92);(2)lg 5+lg 2;(3)ln 3+ln ;(4)lg35-lg315.
解 (1)(方法1)lg3(27×92)=lg327+lg392=lg333+lg334=3lg33+4lg33=3+4=7.(方法2)lg3(27×92)=lg3(33×34)=lg337=7lg33=7.(2)lg 5+lg 2=lg(5×2)=lg 10=1.
知識(shí)點(diǎn)2　對(duì)數(shù)換底公式lgab= (a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
名師點(diǎn)睛1.換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.2.換底公式的意義在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由已知的條件來(lái)確定,一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù).3.任何對(duì)數(shù)均可用常用對(duì)數(shù)表示,即 (a>0且a≠1,b>0).4.任何對(duì)數(shù)均可用自然對(duì)數(shù)表示,即 (a>0且a≠1,b>0).
過(guò)關(guān)自診1.換底公式中底數(shù)c是特定數(shù)還是任意數(shù)?
提示 換底公式等號(hào)右邊的“底數(shù)c”是不定的,它可以是任何一個(gè)不為1的 正數(shù).
2.(多選題)下列等式正確的是(　 　)
3.計(jì)算:lg23×lg32=　　　　.?
探究點(diǎn)一　對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用
【例1】 計(jì)算下列各式.
規(guī)律方法　對(duì)數(shù)運(yùn)算求值的解題策略(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求值的解題關(guān)鍵是化異為同,先使各項(xiàng)底數(shù)相同,再找真數(shù)間的聯(lián)系.(2)對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)算式,可先化簡(jiǎn)再計(jì)算.化簡(jiǎn)問題的常用方法:①“拆”:將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩個(gè)對(duì)數(shù)之和(差);②“收”:將同底對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù).
變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值:
解 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3.
探究點(diǎn)二　對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用
【例2】 (1)[北師大版教材習(xí)題]利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算:①lg225·lg34·lg59;②(lg43+lg83)(lg32+lg92).
(2)已知lg189=a,18b=5,求lg3645.
規(guī)律方法　1.利用換底公式求值的思想與注意點(diǎn)
2.換底公式的兩個(gè)重要推論(1) ,其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R且m≠0.
變式訓(xùn)練2(1)計(jì)算下列各式的值:①lg89×lg2732;②(lg43+lg83) .
(2)已知lg 2=a,lg 3=b,試用a,b表示lg324.
探究點(diǎn)三　利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化解題
解設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴x=lgak,y=lgbk,z=lgck,∴l(xiāng)gka+lgkb+lgkc=0,即lgk(abc)=0.∴abc=1.
規(guī)律方法　條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對(duì)數(shù),以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化進(jìn)行解題.
1.(多選題)已知a,b均為不等于1的正數(shù),則下列選項(xiàng)中與lgab相等的有(　　)
2.已知lg 2=a,lg 3=b,則lg36=(　　)

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4.2.2 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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