基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點(diǎn)1　冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα稱為冪函數(shù),其中　　為常數(shù).　　 自變量在底數(shù)位置,要與指數(shù)函數(shù)區(qū)分??名師點(diǎn)睛冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)為1;(2)xα的底數(shù)是自變量x,指數(shù)α為常數(shù);(3)項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng).符合以上三個特征的函數(shù)才是冪函數(shù),如y= x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是冪函數(shù).
特別提醒1.不要把冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)混淆,冪函數(shù)的底數(shù)為自變量,指數(shù)為常數(shù)且可正可負(fù),而指數(shù)函數(shù)恰好相反,底數(shù)為常數(shù)且是不為1的正數(shù),指數(shù)為自變量.
2.冪函數(shù)y=x0的圖象為兩段平行于x軸的射線.
過關(guān)自診1.下列函數(shù),是冪函數(shù)的為　　　.(填序號)?①y=3x2;②y=x2+1;③y=- ;④ ;⑤y= ;⑥y=2x.
2.[人教A版教材習(xí)題]已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2, ),求這個函數(shù)的解析式.
知識點(diǎn)2　函數(shù)y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的圖象與性質(zhì)
名師點(diǎn)睛除函數(shù) 外,其余四個函數(shù)都具有奇偶性.
過關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題]利用冪函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;
解 設(shè)f(x)=x3,則f(x)在R上為增函數(shù).因?yàn)?1.50時,xα>0,所以冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限,故③不正確;當(dāng)α>0時,冪函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故④正確;冪函數(shù)y=x與y=x3的圖象的交點(diǎn)為(-1,-1), (0,0),(1,1),共3個,故⑤不正確.故正確的說法有2個.
2.已知冪函數(shù) 在(0,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為　 .?
探究點(diǎn)一　冪函數(shù)的概念
(2)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時,f(x):①是冪函數(shù);②是冪函數(shù),且是(0,+∞)上的增函數(shù).
解 ①因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù),所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.②當(dāng)m=2時,f(x)=x-13,函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),當(dāng)m=-1時,f(x)=x2,函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),綜上,m=-1.
規(guī)律方法　冪函數(shù)的判斷方法(1)冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,也是基本初等函數(shù),同樣也是一種“形式定義”的函數(shù),也就是說必須形如y=xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù).(2)如果函數(shù)以根式的形式給出,則要注意對根式進(jìn)行化簡整理,再對照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.
變式訓(xùn)練1下列函數(shù): ③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是冪函數(shù)的為　　　　.(填序號)?
【例2】 比較下列各組數(shù)的大小:
規(guī)律方法　比較冪形式的兩個數(shù)大小的常用方法
A.a

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.4 冪函數(shù)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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