2022-2023學(xué)年云南省紅河州開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【詳解】因?yàn)榧?/span>，，則，故選：D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后由模的公式求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義列方程求解，進(jìn)而可得的值.【詳解】因?yàn)榻?/span>終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選: A4．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，分別求各選項(xiàng)的端點(diǎn)函數(shù)值，找出函數(shù)值異號(hào)的選項(xiàng)即可【詳解】由題意，因?yàn)?/span>，，由零點(diǎn)存在定理，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 故選：C5．三個(gè)數(shù) 之間的大小關(guān)系是（    ）A．. B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，即可比較大小.【詳解】解：，則，，則，，則，所以.故選：B.6．如圖，若是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，結(jié)合的共線關(guān)系及向量的加減法的應(yīng)用，即可得解.【詳解】,即，得.故選：D.7．定義在R上的偶函數(shù)滿足：在上單調(diào)遞減，則滿足的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式整理為，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?/span>為R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式可整理為，解得或.故選：B.8．設(shè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，且，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)易知、、兩兩垂直，則是外接圓的直徑，根據(jù)四面體外接球半徑與外接圓的半徑、的幾何關(guān)系，求，進(jìn)而求球的表面積.【詳解】由題設(shè)知：、、兩兩垂直，∴是外接圓的直徑為，又，∴四面體外接球的半徑.∴球的表面積為.故選：C 二、多選題9．已知向量，，則下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．若，則B．若，則C．若 與的夾角為，則t＝0或D．若與的夾角為銳角，則【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A.根據(jù)向量平行的條件可判斷；選項(xiàng)B.根據(jù)向量數(shù)量積為0，可判斷；  選項(xiàng)C. 由向量的夾角公式可求解判斷； 選項(xiàng)D. 當(dāng)與的的夾角為銳角時(shí)，有，且不共線，可判斷.【詳解】由，得，故A正確；由，得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與的夾角為時(shí)．，方程無解，故C錯(cuò)誤；當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，有，且不共線，則解得且，故D錯(cuò)誤.故選：BCD．10．下列命題中正確的是（    ）A．若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)B．如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交C．若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面D．若平面平面，直線，直線，則【答案】AC【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析即可．【詳解】解：對(duì)于A：由公理1可知，若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)，故A正確；對(duì)于B：如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面，故C正確；對(duì)于D： 若平面平面，直線，則平面，又直線，則直線或與異面，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．下列命題為真命題的是(    )A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷命題真假即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，顯然，由不等式可知，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>，由不等式性質(zhì)可知，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>，由不等式性質(zhì)可知，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>，由不等式性質(zhì)可知，，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．下列說法不正確的是（    ）A．不等式的解集為B．已知：，：，則是的充分不必要條件C．若，則函數(shù)的最小值為2D．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】求出不等式的解集判斷A；根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷B，基本不等式判斷C，反例判斷D.【詳解】對(duì)于A，不等式的解集為，所以A不正確；對(duì)于B，：，即，：，：，則是的充分不必要條件，所以B正確；對(duì)于C，若，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然不正確，所以C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式恒成立，所以命題D中的取值范圍是，不正確，所以D不正確；故選：ACD． 三、填空題13．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為        ．【答案】36【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法直觀圖可得原圖形的高及底邊長(zhǎng)，即可求出原圖形面積.【詳解】在直觀圖中，設(shè)B′C′與y′軸的交點(diǎn)為D′，如圖，則易得O′D′＝，所以原平面圖形為一邊長(zhǎng)為6，高為的平行四邊形，所以其面積為6×6＝36.故答案為：3614．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長(zhǎng)為        【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積為2結(jié)合扇形圓心角的弧度數(shù)是2，由求得半徑，再由弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為l，半徑為r，弧度為，因?yàn)樯刃蔚拿娣e為2，所以，又因?yàn)樯刃螆A心角的弧度數(shù)是2，所以，所以扇形的弧長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查弧度制公式和扇形面積公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知直角梯形，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為     .【答案】【分析】設(shè)（），把與表示為與的線性關(guān)系，把表示成關(guān)于的解析式，解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>在上，不妨設(shè)，則（其中），所以.因?yàn)?/span>，所以，故答案為：.16．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是      ．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖像與題中條件，分析出，，從而可得出結(jié)果．【詳解】由函數(shù)，作出函數(shù)的圖象；因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)滿足，由圖像可得：，解得；，由得，所以，因此，所以．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的方法的運(yùn)用，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可，屬于常考題型． 四、解答題17．在銳角中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且.(1)求角A的大小；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理化邊為角，可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求出，從而可得周長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，又及余弦定理得，，所以，則，所以，即的周長(zhǎng)為.18．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，．將直角梯形ABCD繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周．(1)畫出旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的直觀圖，并說明該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成；(2)求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積．【答案】(1)答案見解析，幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)同底的圓柱組成(2) 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)分式，得到該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)同底的圓柱組成求解；（2）由（1）的結(jié)論，利用錐體和柱體的體積公式求解.【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)形成的幾何體直觀圖如圖所示，該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)同底的圓柱組成；（2）因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為1，圓柱的底面半徑為1，高為1，所以旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為：．19．設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若. 求的值.【答案】(1)±4(2) 【分析】（1）把 ， 作為基底，用向量共線的法則運(yùn)算即可；（2）有所給的條件計(jì)算出 ，再用向量求模的方法即可.【詳解】（1） 與 共線， 與 是一組不共線的非零向量，因此可以把 ，看做一組基底，根據(jù)向量共線法則，則存在實(shí)數(shù) ，使得 ，即 ，   ，解得   ；（2）由 ，得 ， ，代入上式解得 ， ；綜上， ， .20．如圖所示,在四棱錐中,四邊形是正方形,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：;（2）線段上是否存在一點(diǎn),使得面面,若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見證明；(2)見解析【分析】（1）由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點(diǎn)，證得，利用線面平行的判定定理，即可得到面；（2）由點(diǎn)分別為中點(diǎn)，得，由線面平行的判定定理，證得面，由面面平行的判定定理，即可得到證明.【詳解】（1）證明：由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點(diǎn) 故∵面 ∴面（2）線段上存在一點(diǎn)滿足題意，且點(diǎn)是中點(diǎn)  理由如下：由點(diǎn)分別為中點(diǎn)可得： ∵面∴面 由（1）可知，面且故面面【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，著重考查了推理與論證能力．21．杭州市將于2022年舉辦第19屆亞運(yùn)會(huì)，本屆亞運(yùn)會(huì)以“綠色、智能、節(jié)位、文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入80元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量x（萬臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式：（利潤=銷售收入-成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．【答案】（1）；（2）萬臺(tái)時(shí)最大利潤為萬元.【分析】（1）由題意有，即可寫出利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出、上的最值，進(jìn)而確定年利潤最大時(shí)對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)及最大利潤值.【詳解】（1）由題意知：，∴.（2）由（1）知：，∴時(shí)，單調(diào)遞增，則；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤最大為萬元.22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅲ）；【解析】(Ⅰ)根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求出?和的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)寫出函數(shù)的解析式,再求函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅲ)由(Ⅱ)求出函數(shù)在,的最大值和最小值,得出的最大值,從而求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由圖可知,,所以,又,,所以;又,所以,因?yàn)?/span>,所以,所以,即;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞增.所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函數(shù)在的最大值為,最小值為,所以對(duì)任意,都有,且當(dāng),時(shí),取到最大值,又因?yàn)閷?duì)任意,都有成立,所以,即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了運(yùn)算求解能力,屬于中檔題. 

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