2022-2023學(xué)年云南省福貢縣第一中學(xué)高一（重點(diǎn)班）下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（    ）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可求得z，由實(shí)部和虛部定義求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別是，，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為．故選：C2．在中，記，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的運(yùn)算，用表示出即可.【詳解】因?yàn)樵?/span>中，若，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.故選：D3．如圖，是水平放置的直觀圖，其中，//軸，//軸，則（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】在直觀圖中，利用余弦定理求出，再由斜二測(cè)畫圖法求出及，借助勾股定理求解作答.【詳解】在中，，，由余弦定理得：，即，而，解得，由斜二測(cè)畫圖法知：，，在中，，所以.故選：C4．若△ABC為鈍角三角形，且，，則邊c的長(zhǎng)度可以為（    ）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】由于鈍角三角形較短兩邊平方和小于較長(zhǎng)邊的平方，分類討論為最長(zhǎng)邊和為最長(zhǎng)邊兩種情況，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殁g角三角形較短兩邊平方和小于較長(zhǎng)邊的平方，因此有兩種情況：若為最長(zhǎng)邊，由，可得，又，所以，可得C正確；若為最長(zhǎng)邊，由，可得，又，所以，此時(shí)沒有選項(xiàng)符合.故選：C5．設(shè)是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】∵在上的投影向量為，，，又是兩個(gè)單位向量，即，.故選：.6．空間中有平面和直線，，若，，則下列說法中一定錯(cuò)誤的是（    ）A．直線平行于平面 B．直線在平面內(nèi)C．直線與平面交于一點(diǎn) D．直線和共面【答案】C【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到與平面平行或直線在平面內(nèi)，根據(jù)，可得直線和共面，從而判斷出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以與平面平行或直線在平面內(nèi)，AB正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以直線和共面，D正確.故選：C7．如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為，圓柱部分的高為，底面圓的半徑為，則該組合體的體積為（   ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓柱和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】依題意可知，底面圓的半徑為圓柱部分的高為，圓錐部分的高為，所以圓柱部分的體積為，圓錐部分的體積為，所以該組合體的體積為.故選：C.8．在正方體中，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則異面直線BM與AC所成角的余弦值為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連，，，（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AC所成的角，解三角形可得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連，，，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線BM與AC所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，則.所以異面直線BM與AC所成角的余弦值為.故選：C 二、多選題9．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則（    ）A．B．C．外接圓的面積為D．的面積為【答案】ABD【分析】設(shè)的外接圓的半徑為, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.【詳解】解：設(shè)的外接圓的半徑為, 因?yàn)?/span>，所以，所以，則外接圓的面積為.因?yàn)?/span>，所以所以, 所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD10．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（    ）  A．圓柱的側(cè)面積為 B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【分析】根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，結(jié)合圓柱、圓錐、球的體積公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閳A柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；圓錐的母線長(zhǎng)，側(cè)面積為，B錯(cuò)誤；球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；，，，D正確．故選：CD．11．下列命題中成立的是（    ）A．b，cB．，bC．，，且，D．，且【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由平行公理可判斷；對(duì)于B，由可得與的關(guān)系可能平行、相交或異面，從而可判斷；對(duì)于C，由若一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則整條直線就在平面內(nèi)可判斷；對(duì)于D，由若兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面有且僅有一條經(jīng)過公共點(diǎn)的交線可判斷.【詳解】對(duì)于A，由平行公理可得，，故A正確；對(duì)于B，由，可得與的關(guān)系有三種，分別為平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi), 則整條直線就在平面內(nèi)，即，且 ，，故C正確；對(duì)于D，若兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面有且僅有一條經(jīng)過公共點(diǎn)的交線，即 且, 故D正確.故選：ACD12．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的有（    ）  A．B．平面C．與平面所成角是D．與所成的角等于與所成的角【答案】ABC【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用線線角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，因?yàn)?/span>，、平面，所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以，平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>平面，所以，與平面所成角是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，平面，平面，所以，，所以，為銳角，所以，與所成的角為直角，與所成的角為銳角，故與所成的角不等于與所成的角，D錯(cuò).故選：ABC. 三、填空題13．已知數(shù)（為虛數(shù)單位），且的共軛復(fù)數(shù)為，則          ．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)求解【詳解】由得，所以，即，所以.故答案為：14．已知，則      【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式直接求解即可.【詳解】.故答案為:1.15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則△ABC的周長(zhǎng)為             .【答案】【分析】用余弦定理求得后可得周長(zhǎng)．【詳解】已知，，，由余弦定理得，所以，即，則，三角形周長(zhǎng)為．故答案為：．16．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為            ．【答案】/【分析】利用性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?/span>，所以．又，所以，所以． 故答案為： 四、解答題17．在中，分別是角所對(duì)的邊，且滿足．(1)求角的大??；(2)設(shè)向量，向量，且，判斷的形狀．【答案】(1)；(2)直角三角形. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）由，可得，即有，，即可得結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以；（2）解：因?yàn)?/span>，，且，所以，所以，所以或（舍），當(dāng)時(shí)，，所以為直角三角形．18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理計(jì)算可得；（2）由正弦定理計(jì)算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由余弦定理知，，所以，即，    解得或（舍負(fù)），所以．（2）由正弦定理知，，所以，所以．（3）由余弦定理知，，    所以，，    所以.19．在中，角所對(duì)的邊分別，且(1)求角A的值；(2)已知在邊上，且，求的面積的最大值【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理邊角互化結(jié)合和差角關(guān)系可得，即可得，進(jìn)而可求，（2）根據(jù)向量的線性表示以及模長(zhǎng)公式可得，結(jié)合不等式即可求解最值成立的條件,由面積公式即可求解.【詳解】（1）在中因?yàn)?/span>．由正弦定理得，所以，因?yàn)?/span>，所以．故又是的內(nèi)角，所以．從而．而A為的內(nèi)角，所以；（2）因?yàn)?/span>所以,所以，從而，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為.20．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．  (1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得面，即為體高，利用棱錐體積公式求體積即可；（2）由三角形面積公式可得，根據(jù)已知及平方關(guān)系求余弦值，應(yīng)用余弦定理求，易知，再由線面垂直的性質(zhì)得，最后應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論.【詳解】（1）面面，，面面，面，所以面，又的面積為6，所以三棱錐的體積.（2）由題設(shè)，即，又為銳角，所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面.21．如圖，已知點(diǎn)是正方形所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)若中點(diǎn)為，求證：平面平面.(3)若平面，，求直線與面所成的角.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3). 【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，所以，從而得證；（2）依題意可得即可得到平面，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證；（3）依題意可得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，則即為直線與面所成的角，再根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系得解.（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以且，又是的中點(diǎn)，是正方形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.  （2）因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面平面，又為正方形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以平面，所以即為直線與面所成的角，又，所以為等腰直角三角形，所以，即直線與面所成的角為.22．如圖，在正四棱錐中，.(1)求側(cè)棱與底面所成角的大??；(2)求二面角的大小的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)線面角的定義可證得為所求角，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，由長(zhǎng)度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（2）由二面角平面角定義可知為所求二面角的平面角，由長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)底面正方形的中心為，連接，由正四棱錐結(jié)構(gòu)特征知：平面，即點(diǎn)在平面上的投影為，為側(cè)棱與底面所成角，在中，，，為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，平面，平面，，在中，，，，，即側(cè)棱與底面所成角的大小為.（2）取的中點(diǎn)為，連接，在正方形中，；在等邊中，，為二面角的平面角，平面，平面，；在中，，，，二面角的大小的余弦值為. 

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