2022-2023學(xué)年云南省開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（    ）A．8 B．6 C．5 D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，解不等式可得，根據(jù)中的元素個(gè)數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得；，則中有3個(gè)元素，所以其子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為 ，故選：B3．如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義，用表示即可.【詳解】由題圖，.故選：A4．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較大小.【詳解】解：由題意得：故選：D5．甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則至少有一人中靶的概率為（    ）A．0.26 B．0.72 C．0.74 D．0.98【答案】D【分析】先求出甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員都沒有中靶的概率，進(jìn)而可得至少有一人中靶的概率．【詳解】甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員都沒有中靶的概率為：，則至少有一人中靶的概率為：，故選：D．6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線位置關(guān)系可判斷B；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線位置關(guān)系可判斷C；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定判斷D.【詳解】對(duì)于A，，n可能在平面內(nèi)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則可能有，也可能異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則可能垂直，也可能不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，D正確，故選：D7．核酸檢測(cè)在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依據(jù)之一，核酸檢測(cè)是用熒光定量法進(jìn)行的，即通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在擴(kuò)增過程中的靶標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)．已知被標(biāo)靶的在擴(kuò)增期間，每擴(kuò)增一次，的數(shù)量就增加．若被測(cè)標(biāo)本擴(kuò)增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，則的值約為（    ），（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)數(shù)量沒有擴(kuò)增前數(shù)量為，由題意可得，解指數(shù)方程即可得的值.【詳解】設(shè)數(shù)量沒有擴(kuò)增前數(shù)量為，由題意可得，所以，所以，可得，，故選：C.8．已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由解析式及指對(duì)數(shù)的性質(zhì)分析分段函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)值，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)且遞減，當(dāng)時(shí)且遞減，令，則，可得或，如下圖示：  由圖知：時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C 二、多選題9．下列說法正確的是（　?。?/span>A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體被抽到的概率是0.1B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為32【答案】AC【分析】分別利用古典概型的計(jì)算公式，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式及其百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),個(gè)體被抽到的概率為，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，，解得，則方差為，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng),數(shù)據(jù)27，12，14，30，14，17，19，23從小到大排列為，12，14，14，17，19，23，27，30，由于%，其中第6個(gè)數(shù)為23，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的均值為，則數(shù)據(jù)，，…，的均值為，因?yàn)閿?shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10．下列命題中正確的是（    ）A．若向量，，則可作為平面向量的一組基底B．若四邊形為平行四邊形，且，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為C．若是等邊三角形，則．D．已知向量滿足，，且，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由基底的定義分析判斷，對(duì)于B，由可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于C，由向量夾角的定義分析判斷，對(duì)于D，由數(shù)量積的幾何意義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，且滿足，所以不共線，所以可作為平面向量的一組基底，所以A正確，對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以，所以，解得，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)橄蛄?/span>滿足，，且，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以D正確，故選：ABD11．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（　　）A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D．若方程在區(qū)間有兩個(gè)實(shí)根，則【答案】BCD【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)得，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可逐一判定各選項(xiàng).【詳解】，顯然當(dāng)時(shí)，的最大值是3，故A錯(cuò)誤；令，則在上單調(diào)遞增，故B正確；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得：的圖象向右平移個(gè)單位得到，故C正確；，則由正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)可知，，  解得：，故D正確；故選：BCD12．如圖，在菱形中，，，將沿折起，使到，點(diǎn)不落在底面內(nèi)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，以下命題中正確的是（    ）A．四面體的體積的最大值為1B．存在某一位置，使得C．異面直線，所成的角為定值D．當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，四面體的外接球的半徑為【答案】ABD【分析】連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的體積最大，從而可判斷A；易得，說明成立，再根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)即可判斷B；證明異面直線，所成的角即為或其補(bǔ)角，再根據(jù)不為定值，即可判斷C；說明即為二面角的平面角，再根據(jù)二面角的余弦值可得，補(bǔ)全為正方體，從而可判斷D.【詳解】解：連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，對(duì)于A，當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的體積最大，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)在菱形中，，，則都是等邊三角形，則，此時(shí)四面體的體積為，所以四面體的體積的最大值為1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，且，由題意，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以異面直線，所成的角即為或其補(bǔ)角，，因?yàn)?/span>不為定值，所以不為定值，即異面直線，所成的角不為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以即為二面角的平面角，則，所以，所以四面體為正四面體，如圖，補(bǔ)全正四面體為正方體，則正方體的棱長為，則這個(gè)正方體外接球的半徑為，即四面體的外接球的半徑為，故D正確.故選：ABD. 三、填空題13．已知向量，，，，若，則的最小值為     .【答案】/【分析】由向量平行坐標(biāo)表示可得，根據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，即，又，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故答案為：.14．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>       .【答案】或【分析】先將函數(shù)中的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式,再充分考慮函數(shù)中各種數(shù)式的限制條件,列出不等式組,求解不等式組,再將其用集合來表達(dá)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以即解得或，定義域?yàn)?/span>或，故答案為：或.15．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則的取值范圍為      .【答案】【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3．則其外接球的體積為        .【答案】【分析】畫出示意圖，利用體積最大時(shí)所處的位置，計(jì)算出球的半徑從而算出球的體積.【詳解】如圖所示：  設(shè)球心為，所在圓面的圓心為，則平面；因?yàn)?/span>，，所以是等腰直角三角形，所以是中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為射線與球的交點(diǎn)，所以；因?yàn)?/span>，設(shè)球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的體積為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)計(jì)算，難度較難.處理球的有關(guān)問題時(shí)要充分考慮到球本身的性質(zhì)，例如：球心與小圓面圓心的連線垂直于小圓面. 四、解答題17．計(jì)算：(1) ；(2)已知，則的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)恒等式和換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得答案；（2）利用誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即得答案.【詳解】（1）；（2），故.18．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．19．在中，若(1)求角的大小(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由余弦定理得，化簡(jiǎn)得：，，，故.（2），故，，.20．如圖所示，已知為圓的直徑，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且.點(diǎn)在圓所在平面上的正投影為點(diǎn)，.    (1)求證：平面；(2)設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及圓直徑所對(duì)圓周角為直角，由線面垂直的判定定理得證；（2）利用等體積法求棱錐的高即可.【詳解】（1）連接，如圖，    由知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又∵為圓的直徑，∴，由知，，∴為等邊三角形，從而．∵點(diǎn)在圓所在平面上的正投影為點(diǎn)，∴平面，又平面，∴，又，平面，所以平面．（2）因?yàn)?/span>，所以，， ∴．又，，，∴為等腰三角形，則． 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.21．已知函數(shù)（其中、、）的圖像與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為．（1）求的解析式及對(duì)稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）利用圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為可得周期為，即可求出，根據(jù)最低點(diǎn)為可得出，代入點(diǎn)即可求出，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸性質(zhì)可求出對(duì)稱軸；（2）根據(jù)得出，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的值域.【詳解】（1）圖象與軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，，即，則，，圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為，則，將點(diǎn)代入，，解得，，令，解得，則對(duì)稱軸方程為：．（2），，所以，所以的值域?yàn)?/span>．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)解析式的求法，考查給定區(qū)間的三角函數(shù)最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.22．函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并給出證明；(2)求函數(shù)的解析式；(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析(2)(3) 【分析】（1）在上單調(diào)遞減，由定義法證明即可；（2）由奇函數(shù)的定義求解即可；（3）由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：任取且，，∵，∴，又，∴∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，，即當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的解析式為；（3）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，又因?yàn)?/span>是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，所以，函數(shù)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減；那么不等式，即：，則有，即（）恒成立，所以，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 

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