2022-2023學(xué)年云南省曲靖市第二中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求集合A,B，再求交集【詳解】因?yàn)?/span>，所以，選B.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)值域、對數(shù)型函數(shù)值域以及集合的交集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題．2．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性直接判斷即可.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，由得：.故選：B.3．“角是第三象限角”是“”的（    ）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合角所在象限的性質(zhì)及充分不必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)角是第三象限角時(shí)，，，于是，所以充分性成立；當(dāng)，即時(shí)，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故選：A．4．設(shè)向量，若向量與向量共線，則的值為A． B． C． D．4【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>,所以由題意得 ,選A.5．=（ ） A．1 B．  C．2 D．-1【答案】C【分析】由二倍角公式將原式化簡，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求得答案.【詳解】，故選：C6．已知，那么等于( ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得.故選D.7．函數(shù)的圖象大致是　　A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)B、C項(xiàng)，然后利用特殊值判斷，即可得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、C，又因?yàn)?/span>時(shí)，，此時(shí)，所以排除D，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別問題，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排除，以及利用特殊值進(jìn)行合理判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．中，為邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)、），且，滿足則（    ）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】D【分析】分析可知且，， 利用基本不等式可求得的最小值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>在邊上，設(shè)，其中，即，則，因?yàn)?/span>，則且，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，有最小值.故選：D. 二、多選題9．下列說法正確的是（   ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】由不等式的基本性質(zhì)可判斷ABC，由作差法可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，而，則，B正確；對于C，若，則，而，則，C正確；對于D，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，即有，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到，則這個(gè)變換可以是（　?。?/span>A．先將圖象向左平移個(gè)單位.再將圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍B．先將圖象向右平移個(gè)單位.再將圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍C．先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，再將圖象向左平移個(gè)單位D．先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，再將圖象向左平移個(gè)單位【答案】ABC【分析】按照平移伸縮變換依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：向左平移個(gè)單位，得到，再將圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到，正確；B選項(xiàng)：向右平移個(gè)單位，得到，再將圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到，正確；C選項(xiàng)：上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到，再將圖象向左平移個(gè)單位，得到，正確；C選項(xiàng)：上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到，再將圖象向左平移個(gè)單位，得到，錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c下列命題正確的有（    ）A．若，則B．若，，則外接圓半徑為10C．若，則為等腰三角形D．若，，，則【答案】ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)?/span>，所以，即，整理可得，即，因?yàn)?/span>為三角形的內(nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)?/span>，，，所以，D正確.故選：ACD.12．重慶的解放碑是重慶的地標(biāo)性建筑，吸引眾多游客來此打卡拍照．如圖所示，現(xiàn)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對解放碑的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖，為解放碑的最頂端，為基座（即在的正下方），在步行街上（與在同一水平面內(nèi)）選取兩點(diǎn)，測得的長為．小組成員利用測角儀已測得，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，能確定計(jì)算出解放碑高度的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)正余弦定理的應(yīng)用，依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，如圖，根據(jù)，可利用正弦定理求得，從而求得，故A正確；對于選項(xiàng)，根據(jù)，，利用正弦定理可求得，從而求得，故B正確；對于C選項(xiàng)，根據(jù)四個(gè)條件，無法通過解三角形求得，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后結(jié)合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正確.故選：． 三、填空題13．函數(shù)的圖象恒過一定點(diǎn)是           ．【答案】【詳解】試題分析：對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)，令，此時(shí)，所以過定點(diǎn)【解析】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)14．已知夾角為的非零向量滿足，，則          .【答案】2【分析】由得，化簡代入結(jié)合數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>的夾角為，且，而，則，所以，則，解得：.故答案為：2.15．已知，且，那      .【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.16．函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且，對于任意，都有成立.則的解集為         【答案】【分析】由題意，設(shè)函數(shù)，得函數(shù)在上的單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)為偶函數(shù)，即可求解當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于的解集，以及當(dāng)時(shí)，的解集，即可得到答案.【詳解】由題意，設(shè)函數(shù)，由對于任意，都有成立，則可得函數(shù)在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，且，又由，可知：當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得 即不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，以及利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式的解集，其中解答其中熟練應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題. 四、解答題17．已知向量，，向量與夾角為；(1)求；(2)求在方向上的投影向量．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量夾角公式直接求解即可；（2）根據(jù)投影向量定義直接求解即可.【詳解】（1）.（2），，在方向上的投影向量為.18．已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，其中A為銳角，且.(1)求角A；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)8 【分析】由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，三角形三角和、結(jié)合和差公式、輔助角公式化簡求值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，由正弦定理，得，所以. 因?yàn)?/span>，且，所以，所以. 因?yàn)?/span>，所以，則，.（2）因?yàn)?/span>，，所以由正弦定理可得，則.因?yàn)?/span>，所以，所以， 所以.易知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值8，故的最大值為8.19．某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？【答案】(1)小時(shí)(2)小時(shí) 【分析】（1）根據(jù)，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可.【詳解】（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得，           解得，                                       所以小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．（2）設(shè)經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若，藥物濃度，                        解得，                                       若，藥物濃度，         化簡得，所以；                若，藥物濃度，                解得，所以；                          綜上，                                      所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為小時(shí)．20．已知向量，．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，角所對的邊分別為，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，若，且，試求的面積．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）先利用向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出角和邊，再利用余弦定理和三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，所以，所以的最小正周期.（2）由（1）得當(dāng)即時(shí)，取得最大值，又因?yàn)?/span>，，所以，，在中，由余弦定理，有，即，解得，所以．21．已知：函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值．(2)證明：在上是增函數(shù)．(3)若對于上的每一個(gè)x的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義列出等式，整理化簡可得結(jié)果；（2）將看成是由 復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法證明即可；（3）不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為解決，因此根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值，解不等式可得答案.【詳解】（1）解：由題意，是奇函數(shù)，故 ，即，即，所以，即 ，則，故 ，當(dāng)時(shí)，，無意義，不符合題意；當(dāng)時(shí)，滿足，故；（2）證明：由（1）知：，設(shè) ，那么可以看成是由 復(fù)合而成，因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故要證明函數(shù)在上是增函數(shù)，只需證明在上是減函數(shù)即可；不妨設(shè) ，則 ， ， ，故，即，即,所以在上是單調(diào)減函數(shù)，故在上是增函數(shù)．（3）解：對于上的每一個(gè)x的值，不等式恒成立，即恒成立，只需即可；而由（2）知在上是增函數(shù)，在上是單調(diào)減函數(shù)，故在上是增函數(shù)，故，故，即 .22．已知函數(shù)，其中．如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，A為圖象的最高點(diǎn)，B,C為圖象與x軸的交點(diǎn)，為等邊三角形，且是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根據(jù)正三角形求出周期，結(jié)合偶函數(shù)可求，進(jìn)而得到答案；（2）先化簡目標(biāo)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間最值可得答案.【詳解】（1）由可知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為；∵為等邊三角形，∴，即函數(shù)的周期，∴，∴，∵，∴，又是偶函數(shù)，∴，∴，∴.（2）∵對任意恒成立，∴，即對任意恒成立，令，即在上恒成立．設(shè)，對稱軸，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為． 

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