2022-2023學年云南省紅河州開遠市第一中學校高二下學期4月月考數(shù)學試題 一、單選題1．設集合，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得， ，則 ，故選B.2．已知復數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)除法運算求出復數(shù)，再求出復數(shù)的模作答.【詳解】，所以.故選：A．3．已知向量，若，則t=（    ）A． B．C．或 D．-1【答案】A【分析】根據(jù)向量夾角余弦公式列出方程，求出或，舍去不合要求的解，求出答案.【詳解】因為，所以，可得：，且解得：或，當時，不滿足，舍去，當時，滿足，故選：A4．2022年8月，中科院院士陳發(fā)虎帶領他的團隊開始了第二次青藏高原綜合科學考察．在科考期間，陳院士為同行的科研人員講解專業(yè)知識，在空氣稀薄的高原上開設了“院士課堂”．已知某地大氣壓強與海平面大氣壓強之比為b，b與該地海拔高度h滿足關系：（k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．若科考隊算得A地，珠峰峰頂處，則A地與珠峰峰頂高度差約為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用給定的函數(shù)模型，求出A地與珠峰峰頂?shù)暮０胃叨燃纯勺鞔?/span>.【詳解】令A地與珠峰峰頂?shù)暮０胃叨确謩e為，依題意，，，即，，解得，所以A地與珠峰峰頂高度差為.故選：B5．已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（    ）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結果.【詳解】由題意可知，則，當且僅當，時，的最小值為，故選:A．6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖像關于直線對稱，從而有，再結合可得函數(shù)的周期為4，然后利用周期和將化到上即可求解.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為4，所以，因為，所以.故選：C.7．已知成立， 函數(shù)是減函數(shù)， 則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用“含有一個量詞命題的否定”可知，再由指數(shù)函數(shù)和復合函數(shù)單調性可知，即可得出結論.【詳解】由可知，，即可得，所以，所以；由函數(shù)是減函數(shù)，利用復合函數(shù)單調性可知，即，顯然是的一部分，故是的必要不充分條件.故選：B8．設函數(shù)，若f（x）在點（3，f（3））的切線與x軸平行，且在區(qū)間[m﹣1，m+1]上單調遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導函數(shù)，利用切線的斜率，求出a，判斷函數(shù)的單調性，列出不等式組求解即可．【詳解】，∴a＝1，因為x＞0，所以當0＜x＜3時，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上遞減，所以，∴1＜m≤2．故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程以及函數(shù)的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題． 二、多選題9．下圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由平面展開圖還原為正方體，根據(jù)正方體性質即可求解.【詳解】由正方體的平面展開圖還原正方體如圖，由圖形可知，，故A錯誤；由，四邊形為平行四邊形，所以，故B正確；因為,,所以平面,所以，故C正確；因為，而,所以，故D正確.故選：BCD10．隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學準備互相送祝福.他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則（    ）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為【答案】BC【分析】計算出四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，根據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式計算各選項，可得答案.【詳解】對于A,四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為 ，A錯誤；對于B,設小王抽到的是小張寫的賀卡為事件A, 則,小張抽到小王寫的賀卡為事件B,則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為 ,B正確；對于C, 恰有一個人抽到自己寫的賀卡的抽法有種，故恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為 ，C正確；對于D, 每個人抽到的賀卡都不是自己寫的抽法共有種，故每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為，D錯誤，故選：11．2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G．若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則（    ）A．橢圓的長軸長為B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓性質可判斷B；取特值，結合OA長度的取值范圍可判斷C；由橢圓定義可判斷D.【詳解】由題知，橢圓中的幾何量，得，則，A正確；，由橢圓性質可知，所以，B正確；記，則取，則，C錯誤；由橢圓定義知，，所以的周長，D正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，則（    ）A．當時，B．，方程有實根C．方程有3個不同實根的一個必要不充分條件是“”D．若，且方程有1個實根，方程有2個實根，則【答案】ACD【分析】A根據(jù)解析式直接判斷時的符號即可；再利用導數(shù)研究的單調性并畫出函數(shù)圖象，結合A知在y軸左側的圖象恒在x軸下方，判斷B、C、D的正誤.【詳解】由解析式知：當時，故，A正確；∴在y軸左側的圖象恒在x軸下方，又，令，得，令，得或，∴在，上單調遞減，在上單調遞增，作出其大致圖象如圖所示. 由圖知，僅當時方程有實根，B錯誤；若有3個不同實根則，故“”是有3個不同實根的一個必要不充分條件，C正確；由，及有1個實根、有2個實根，可得，，則，D正確.故選：ACD. 三、填空題13．的展開式中常數(shù)項為      .（用數(shù)字作答）【答案】84【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.【詳解】根據(jù)通項公式,令 ,解得,所以,故答案為:84.14．計算：           .【答案】【分析】根據(jù)根式，指數(shù)冪的運算法則及對數(shù)的運算性質即得.【詳解】,故答案為：2.15．狄利克雷是十九世紀德國杰出的數(shù)學家，對數(shù)論?數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求           .【答案】1【分析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設，，則.故答案為：116．已知函數(shù),若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是         .【答案】【詳解】,當時，，因為，所以，解之得，所以應填.   四、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，再從條件①、條件②這兩個條件中選一個條件作為已知，求：(1)的值；(2)的面積和邊上的高．條件①：，；條件②：，．【答案】(1)(2)的面積為，邊上的高為 【分析】選條件①：第一問由余弦定理求出，得出，再求即可；第二問直接使用公式求出三角形面積，借助面積求高即可；選條件②：第一問求出和，由和兩角和的正弦公式求解；第二問由得出，使用公式求出面積即可，作出邊上的高，由直角三角形的三角函數(shù)求高即可.【詳解】（1）選條件①由余弦定理，，∴，又∵，∴，，又∵中，∴.選條件②∵中，，，∴，，∴.（2）選條件①的面積為，設邊上的高為，則，∴邊上的高為.選條件②由第（1）問有，∵，為三角形內角，∴，∴，∴的面積為，過作，垂足為，則為邊上的高，在直角中，，∴邊上的高為.18．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，．(1)證明：平面PAC；(2)，是否存在常數(shù)，滿足，且直線AM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在滿足條件，M滿足. 【分析】（1）連接BD交AC于O，連接PO，由，證平面PAO；（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出及平面PBC的法向量，由向量法建立線面角正弦值的方程，從解的情況即可判斷.【詳解】（1）證明：連接BD交AC于O，連接PO.因為底面ABCD是邊長為2的菱形，所以， 因為O是BD中點，，所以.因為，平面PAC，所以平面PAC，（2）如圖，取線段BC的中點H，連接AH，因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，所以.因為平面PAC，平面PAC，所以.因為，，平面ABCD，所以平面ABCD.因為平面ABCD，所以，以A為坐標原點，分別以AH，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，.，.設，由得，解得，進而.設平面PBC的法向量為.由，得，取.設直線AM與平面PBC所成的角為，則，化簡得，，解得，所以存在滿足條件，M滿足.19．設數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關系，即可得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到其通項公式；（2）根據(jù)題意，由錯位相減法即可得到結果.【詳解】（1）當時，，∴，又，∴可知，當時，由，得，兩式相減得，∴，∴是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴．（2）由（1）可得，∴，∴，∴，∴．20．2022年，某省啟動高考綜合改革，改革后，不再分文理科，改為采用是“”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目，某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學、地理.根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為，選擇B組合的概率為，選擇C組合的概率為，甲、乙、丙三位同學每人選課是相互獨立的.(1)求這三位同學恰好有兩位同學選擇相同組合的概率.(2)記X表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，. 【分析】（1）用表示第i位同學選擇A組合，用表示第i位同學選擇B組合，用表示第i位同學選擇C組合，，則由題意可得，分別求出三位同學恰好有兩位同學選擇組合的情況，最后相加可求出概率；（2）由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，且，然后求出各自所對應的概率，從而可得的分布列及數(shù)學期望.【詳解】（1）解：用表示第i位同學選擇A組合，用表示第i位同學選擇B組合，用表示第i位同學選擇C組合，．由題意可知，互相獨立，且．故三位同學恰好有兩位同學選擇組合的概率為．三位同學恰好有兩位同學選擇組合的概率為．三位同學恰好有兩位同學選擇組合的概率為所以這三位同學恰好有兩位同學選擇相同組合的概率為：.（2）選擇含地理的組合的概率為，由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，且，            所以，，，，            所以的分布列為0123P所以．21．已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意結合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結論.【詳解】(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標為，設直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關系，圓的方程的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.22．已知函數(shù)．(1)當時，證明：．(2)記函數(shù)，若為增函數(shù)，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）要證，即證，設，然后利用導數(shù)可證得，則可得，從而可證得結論，（2）由題意可得在上恒成立，則在上恒成立，由（1）可得，化簡得，從而可得，進而可得答案.【詳解】（1）證明：當時，（）．要證，即證．設，則．當時，；當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，則．所以，所以，即，當且僅當時等號成立．（2）解：因為，所以．因為為增函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立．由（1）可知，則，即，從而，即，當且僅當時，等號成立．故，解得，即a的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)證明不等式，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，第（2）問解題的關鍵是將問題轉化為在上恒成立，再利用（1）的結論可得，從而可得答案，考查數(shù)學轉化思想，屬于較難題. 

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