2022-2023學(xué)年河北省承德市重點高中高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（    ）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】因為z是純虛數(shù)，所以，解得．故選：B．2．如圖，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為（    ）A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺 D．球【答案】A【分析】由圓錐的定義即可求解【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐故選：A3．在中，已知，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理得到及，求解判斷即可.【詳解】由正弦定理及，可得.因為，所以，又，所以，所以.故選：A.4．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】因為，則，．故選：A．5．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，若，則(　 　)A． B．3 C． D．2【答案】A【分析】若，可得，化簡與比較，即可得出．【詳解】若，，化為，與比較，可得：，，解得．則．故選．【點睛】本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．設(shè)有兩條不同的直線和兩個不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)與判定逐個選項分析即可.【詳解】若，則可以平行?相交或異面，故A錯誤；若與相交，則，故B錯誤；若，則或，故C錯誤；若，則，故D正確.故選：D.7．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】由題設(shè)作示意圖，應(yīng)用正弦定理求B，C兩點間的距離即可.【詳解】由題設(shè)可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A8．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（    ）    ①平面；②平面；③異面直線與所成角的取值范圍是；④三棱錐的體積不變.A．①② B．①④ C．③④ D．①②④【答案】D【分析】由線面垂直的判定定理可判斷①，由面面平行的性質(zhì)定理可判斷②，由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷③，由線面平行的性質(zhì)及棱錐的體積公式可判斷④．【詳解】在正方體中由平面，平面，可得，又，是平面內(nèi)兩相交直線，從而得平面，又平面，因此有，同理，又，平面，∴平面，故①正確；  正方體中與平行且相等，則是平行四邊形，故，又平面，平面，∴平面，同理平面，又，都在平面內(nèi)，∴平面平面，因為平面，∴平面，故②正確；    與①同理可證平面，當(dāng)是與交點時，平面，則，此時異面直線與所成角為，故③錯誤；  由②知平面平面，又平面，所以平面，∴到平面的距離不變，因此恒為定值，故④正確．    故選：D．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題結(jié)論③利用特例法是快速解決本題的關(guān)鍵. 二、多選題9．給出下列命題，其中是真命題的有（    ）A．在圓臺的上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的立體圖形是棱錐C．存在每個面都是直角三角形的四面體D．半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成球【答案】CD【分析】根據(jù)幾何體的特征，對各選項逐一判斷即可求解.【詳解】解：對A：圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，因為圓臺所有母線的延長線交于一點，且所有母線長相等，故A選項錯誤；對B：由棱錐的定義知，其余各面的三角形必須有公共的頂點，故B選項錯誤；對C：如圖，四面體ABCD的每個面都是直角三角形，故C選項正確；對D：半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個球體，故D選項正確；故選：CD.10．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（    ）A．B．若為斜三角形，則C．若，則是銳角三角形D．若，則一定是等邊三角形【答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性質(zhì)可以判斷A，D選項，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和公式判斷B選項，由平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀判斷C選項，【詳解】對于A，由正弦定理和比例性質(zhì)得，故A正確；對于B，由題意，，則，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以，所以C為鈍角，是鈍角三角形，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，且A，B，，所以，所以為等邊三角形，故D正確．故選:ABD．11．已知向量，，則下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．存在，使得C． D．當(dāng)時，在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，解得，故A錯誤；對于B，若，則，即，方程無解，所以不存在，使得，故B錯誤；對于C，，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：CD.12．已知函數(shù)，若，則（    ）A． B．C． D．在上無最值【答案】ABC【分析】由，得到在處取得最大值，從而有，然后逐項判斷.【詳解】解：，因為在處取得最大值，所以，即，，所以，故A正確；因為，解得，又，所以，故C正確；，故B正確；易驗證，當(dāng)時，在處取得最大值，故D錯誤.故選：ABC. 三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則           .【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可求得，進而可求共軛復(fù)數(shù)以及模長.【詳解】∵，則，∴，故.故答案為：.14．在中，角所對的邊分別為，則的面積為          .【答案】【分析】利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得.【詳解】，，，由余弦定理得，，或（舍去），的面積.故答案為：15．若是定義域為的奇函數(shù)，的零點分別為，則        .【答案】0【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得關(guān)于中心對稱，從而可得，為奇數(shù)，代入求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于中心對稱，設(shè)函數(shù)的個零點分別為，所以，又由的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，所以關(guān)于中心對稱，則，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以零點個數(shù)為奇數(shù)，則.故答案為：16．已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為          .【答案】【分析】先證明點P在平面ABC的投影是的外心，再證明是直角三角形，運用勾股定理求出外接球的半徑即可.【詳解】如圖：  過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：  則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；故答案為： 四、解答題17．已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長為4，寬為3的長方形，頂點在底面的射影為底面矩形對角線的交點，高為2.  (1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.【答案】(1)8(2) 【分析】（1）利用錐體的體積公式求解；（2）利用棱錐的表面積公式求解.【詳解】（1）解：幾何體的體積.（2）正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高.左?右側(cè)面的底邊上的高.故幾何體的側(cè)面面積.18．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因為，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因為，所以，即，即，所以，即，解得.19．如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.(1)求證：四點共面；(2)若平面∥平面，求證：為的中點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）在上取一點，使得，連接，可得四邊形和是平行四邊形，則，，再由題意可得是平行四邊形，從而得，所以，進而可得結(jié)論；（2）由面面平行的性質(zhì)可得，則，然后在和中可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在上取一點，使得，連接，則，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理，四邊形是平行四邊形，所以，且，又，且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以四點共面.（2）因為平面平面，平面平面，平面平面，所以.所以.在中，，在中，，所以，即為的中點.20．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若，D是線段AC上的一點，，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理化簡即可得解；（2）由二倍角公式求出的正余弦，再由兩角和的正弦求出，由正弦定理即可得解.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，，即，所以，因為，所以.（2）設(shè)，則，所以，解得，，所以，由正弦定理，，所以.21．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象.(1)若恒成立，求；(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先化簡，根據(jù)平移規(guī)律可得到，利用是函數(shù)的最大值即可求解；（2）由可得，結(jié)合函數(shù)的周期可考慮區(qū)間，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可【詳解】（1）∵，∴，又恒成立，∴是函數(shù)的最大值，故，得，，∵，∴.（2）∵，∴，令，所以在上是單調(diào)函數(shù)可轉(zhuǎn)化成在是單調(diào)函數(shù)，因為的周期為，所以在是單調(diào)函數(shù)，∵，∴，.∵在是單調(diào)函數(shù)，∴∴.22．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝PD＝2，，O是AD的中點，PO⊥平面ABCD．(1)求證：AC⊥平面POB；(2)設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l．①求證：；②求l與平面PAC所成角的大?。?/span>【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析 ；② 【分析】（1）由已知線面垂直得線線垂直，再在底面中證明AC⊥BO，然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）①由線面平行判定定理證明線面平行，然后由性質(zhì)定理得線線平行；②轉(zhuǎn)化求與平面所成的角，用體積法求得B到平面PAC的距離，再根據(jù)線面角的定義得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，則∠ACB＝∠ABO，于是，所以AC⊥BO．因為PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，則AC⊥PO．又，PO，OB平面POB，所以AC⊥平面POB．（2）①證明：因為，平面PCD，CD平面PCD，所以平面PCD．又平面PAB平面PCD＝l，AB平面PAB，所以．②解：因為，所以l與平面PAC所成角的正弦值等于AB與平面PAC所成角的正弦值，連接OC，則PO⊥OC．易知，，則．因為O為AD中點，PO⊥AD，所以PA＝PD＝2．因為，所以∠APC＝90°，所以的面積．設(shè)B到平面PAC的距離為h，則三棱椎B－PAC的體積，即，．設(shè)AB與平面PAC所成的角為，則，又因為，所以l與平面PAC所成角為． 

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