一、單選題
1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：B．
2．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量共線定理計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，
則，解得，
故選：D．
3．兩平行直線和間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】將直線化為，
所以兩平行直線和間的距離為：
．
故選：C．
4．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可求得的值，由此可得出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】，，，
漸近線方程為，漸近線方程為．
故選：B．
5．過(guò)點(diǎn)引圓的切線，其方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】求出圓心和半徑，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線距離等于半徑，得到方程，求出答案.
【詳解】根據(jù)題意，圓，即，
其圓心為，半徑；過(guò)點(diǎn)引圓的切線，
若切線的斜率不存在，切線的方程為，符合題意；
若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為，則有，即，
則有，解得，此時(shí)切線的方程為，即．
綜上：切線的方程為和．
故選：C．
6．如圖，已知四邊形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角為，則異面直線AC與BF所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合空間向量的運(yùn)算，可得，再由空間向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知，即為二面角的平面角，所以，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，異面直線AC與BF所成的角為，
，，，．
所以，
即，
所以，
即，，所以．
故選：C．
7．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由條件可得是以為頂角的等腰三角形，列出關(guān)于的方程，再由離心率的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，
則有：，，，
所以，又因?yàn)?，即，?br>可得：，解得，故離心率為．
故選：B．
8．已知直線與拋物線C：交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，直線AB的傾斜角為，交AB于點(diǎn)，若為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．10
【答案】C
【分析】設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的判別式和根的系數(shù)關(guān)系、拋物線的定義逐一判斷即可.
【詳解】由題意，可設(shè)直線AB的方程為：，，，，
則：，消可得：，由得，
則，，又，
所以，
解得（舍）或，所以直線AB的方程為：，
過(guò)定點(diǎn)，又，故點(diǎn)在以O(shè)T為直徑的圓上，
故點(diǎn)的軌跡方程為，，
又點(diǎn)和點(diǎn)在直線AB上，且AB的傾斜角為，
即直線AB的斜率，故，，
如下圖弧所示，過(guò)P，D分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為H，I，
根據(jù)拋物線的定義知：，
當(dāng)點(diǎn)為ID與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
又，當(dāng)取最小值4時(shí)，此時(shí)取得最小值6，
故的最小值為6．
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
二、多選題
9．已知直線：，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．的一個(gè)方向向量為
B．的截距式方程為
C．若與直線互相垂直，則
D．點(diǎn)到的距離為1
【答案】AD
【分析】由直線一般方程寫(xiě)出一個(gè)方向向量及截距式判斷A、B；由垂直關(guān)系的判定列方程求參判斷C；應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求距離判斷D.
【詳解】由直線方程知：的一個(gè)方向向量為，A對(duì)；
由，則截距式為，B錯(cuò)；
與直線互相垂直，則，可得，C錯(cuò)；
點(diǎn)到的距離為，D對(duì).
故選：AD
10．已知曲線：，則（ ）
A．若，則是圓B．若，則是橢圓
C．若，則是雙曲線D．若，，則是兩條射線
【答案】ABC
【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、射線的方程特征逐一判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，表示圓，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，表示雙曲線，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，
表示兩條直線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且，則（ ）
A．B．
C．平面D．直線與AC所成角的正弦值為
【答案】AC
【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義、空間向量夾角公式逐一判斷即可.
【詳解】以為空間一組基底，，
，
所以，A選項(xiàng)正確；
，所以
，
所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
依題意可知，四邊形ABCD是菱形，
所以，且，由于，，平面，
所以平面，C選項(xiàng)正確；
設(shè)直線與AC所成角為，，
，
，
，
，
所以，
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用空間向量基本定理、空間向量夾角公式.
12．橢圓：的右焦點(diǎn)，拋物線：，，交于點(diǎn)，過(guò)作軸垂線交于A、B，交于C、D，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則離心率
B．若，則離心率
C．若，則離心率
D．若，則
【答案】BCD
【分析】利用代入法，結(jié)合拋物線和橢圓的定義和它們的離心率公式逐一判斷即可.
【詳解】把代入中，得，所以，
把代入中，得，所以，
A：，故A錯(cuò)誤；
B：同理可得B正確；
C：，，
故C正確；
D：設(shè)，
亦可知點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為，
，
整理得，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用代入法求出弦長(zhǎng)表達(dá)式.
三、填空題
13．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】求出，，得到，求出焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)楹愠闪?，故，?br>所以，所以，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
四、單空題
14．已知空間向量，．若與垂直，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量加法的坐標(biāo)表示公式、垂直的坐標(biāo)表示公式、空間向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，，
．
與垂直，
，
，解得，，
，
故答案為：．
五、填空題
15．已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為 ．
【答案】?jī)?nèi)含
【分析】根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)閳A：，圓：，
所以圓心距，
而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．
故答案為：內(nèi)含
六、單空題
16．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”，若三棱錐為鱉臑，平面，，，則結(jié)論正確的序號(hào)是 ．（填寫(xiě)序號(hào)即可）
①平面；
②直線與平所成角的正弦值為
③二面角的余弦值為
④三棱錐外接球的表面積為
【答案】③④
【分析】該幾何體可以看成是長(zhǎng)方體中截出來(lái)的三棱錐，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的數(shù)量積和向量的夾角公式，以及球的截面圓的性質(zhì)和球的表面積公式，即可求解.
【詳解】該幾何體可以看成是長(zhǎng)方體中截出來(lái)的三棱錐，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可得，，
因?yàn)?，所以與不垂直，與平面不垂直，所以①錯(cuò)誤；
設(shè)平面的法向量為，則,
令，得平面的一個(gè)法向量為，
又由，設(shè)與平面所成角為，
所以，所以②錯(cuò)誤；
設(shè)平面的法向量為，且，，
則，令，得平面的一個(gè)法向量為，
可得，由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為，所以③正確；
長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑，
可得，
所以，球的表面積為，所以④正確．
故答案為：③④．
七、解答題
17．已知點(diǎn)，，直線的方程為：．
(1)求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程；
(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，得到，代入即可求解；
（2）設(shè)圓心，根據(jù)，求得，得到圓心和半徑，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1）解：設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，所以?br>整理得，即直線的方程．
（2）解：設(shè)圓心，
由，則，解得，
所以圓心為，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18．已知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為4，在軸上截得線段長(zhǎng)為．
(1)求圓心的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由弦長(zhǎng)，半徑，圓心到弦的距離之間的關(guān)系可知，，消去即可得到圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得，與聯(lián)立即可求出圓心與半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】（1）設(shè)，圓的半徑為，
因?yàn)閳A在軸上截得的線段長(zhǎng)為4，點(diǎn)到軸的距離為，
所以有，即,同理有,
即，即
故點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)，由已知得，
所以．又點(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得：或
此時(shí)圓的半徑，
故圓的方程為或．
八、證明題
19．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)當(dāng)三棱推的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面BEF的夾角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行運(yùn)算證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）、、兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，、、為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，
由于，設(shè)，則，其中，
則，
所以，，
則，故．
（2）要使三棱錐的體積取得最大值，只要的面積最大即可，
由題意知，
當(dāng)時(shí)，即E，F(xiàn)分別為AB，BC中點(diǎn)時(shí)的面積最大，
則，，設(shè)平面的法向量為，
又，，
則，
令得，
又正方體中平面，
所以為平面的一個(gè)法向量，
所以，
則，
所以平面與平面的夾角的正弦值為．
九、解答題
20．已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)C的右焦點(diǎn)F，且在軸上的截距為的直線，交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)得到關(guān)于的方程組，由此求解出即可知C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)條件先求出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，再將表示為坐標(biāo)形式即可求解出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以①，
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②，
①②聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為．
（2）由（1）可知雙曲線中，
所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即直線的橫截距為2，
又因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以直線的方程為，即，
聯(lián)立得，
設(shè)，則，
所以．
21．已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線截所得線段長(zhǎng)為4．
(1)求的值；
(2)為拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作MA，MB與相切，A，B為切點(diǎn)，則直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)直線恒過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，將代入拋物線方程，得到，故，求出答案；
（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，根據(jù)求出，，同理可得，又點(diǎn)在，得到直線的方程為，求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意知，，將代入拋物線方程得，，
故，故過(guò)且垂直于軸的直線截所得線段長(zhǎng)為，
由可知；
（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為，理由如下：
設(shè)，
由題意可知直線的斜率均存在，且不為0，，
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，
由于直線為切線．
故，又，
則，解得，
所以直線，即，
同理直線的方程為，
又點(diǎn)在上，所以，
從而直線的方程為：，即，
故直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中探究性問(wèn)題解題策略：
（1）先假設(shè)存在或結(jié)論成立，然后引進(jìn)未知數(shù)，參數(shù)并建立有關(guān)未知數(shù)，參數(shù)的等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，則表示存在或結(jié)論成立，否則表示不存在或結(jié)論不成立；
（2）在假設(shè)存在或結(jié)論成立的前提下，利用特殊情況作出猜想，然后加以驗(yàn)證也可.
十、問(wèn)答題
22．已知橢圓C：的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與左焦點(diǎn)到直線的距離相等，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為3．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓相交于P，H兩點(diǎn)，線段PH的垂直平分線與軸交于點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，求直線的傾斜角的正弦值；
②求證：．
【答案】(1)
(2)① ；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，，且線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，得到，求得，得到線段的垂直平分線方程，求得，
①當(dāng)時(shí)，列出方程求得，進(jìn)而求得直線的傾斜角的正弦值；
②利用弦長(zhǎng)公式，分別求得和的表達(dá)式，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與左焦點(diǎn)到直線的距離相等，且過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為3，
可得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直，
所以設(shè)直線的方程為，，且線段的中點(diǎn)為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，所以，
所以線段的中點(diǎn)，
所以線段的垂直平分線方程為，
令，可得，即，
①當(dāng)時(shí)，則，解得，故傾斜角為或，
所以直線的傾斜角的正弦值為．
②證明：因?yàn)椋?br>且，所以．
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法總結(jié)：對(duì)于直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略：
1、求解直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與圓錐曲線方程組，得到一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行求解；
2、參數(shù)范圍問(wèn)題，①通常利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為方程或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的值或取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解答的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，結(jié)合題設(shè)中的不等關(guān)系建立不等式，從而求得參數(shù)的取值范圍；③轉(zhuǎn)化為函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的值域?qū)⒋髤?shù)表達(dá)為其他變量的函數(shù)，求得函數(shù)的值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

相關(guān)試卷

2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年河北省保定市六校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年河北省保定市六校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案，共21頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年河北省承德市一中重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年河北省承德市一中重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含答案，共32頁(yè)。試卷主要包含了選擇題的作答，填空題和解答題的作答等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

河北省承德市重點(diǎn)高中聯(lián)誼校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

河北省承德市重點(diǎn)高中聯(lián)誼校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
2024承德重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析

2024承德重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高二上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)含解析
2022-2023學(xué)年河北省承德市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年河北省承德市重點(diǎn)高中高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析
2021-2022學(xué)年河北省承德市高二下學(xué)期四月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省承德市高二下學(xué)期四月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部