2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】，故選：B2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先計算出復(fù)數(shù)，即得.【詳解】由題得.故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計算和共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3．在中，角的對邊分別是，若，則A．5 B． C．4 D．3【答案】D【分析】已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．4．若，，，則m的值為（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意求出和的坐標，再由兩向量共線列方程可求出m的值.【詳解】因為，，所以，，因為，所以，解得，故選：A5．已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法的知識確定正確答案.【詳解】正三角形的高為，根據(jù)斜二測畫法的知識可知，直觀圖的面積為.故選：B6．在正方體中,分別為的中點,則異面直線與所成角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題易得,連接,即可得出為等邊三角形,從而得出所求角的大小為60°.【詳解】如下圖所示,連接,則異面直線與所成角為,即為等邊三角形.故選:C.7．在空間中，、、是三條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（    ）A．若、，則 B．若、，則C．若、、，則 D．若、，則【答案】D【解析】本題可根據(jù)和可能是異面直線判斷出A錯誤，然后根據(jù)、無法判斷出和之間關(guān)系得出B錯誤，再然后根據(jù)和可能異面判斷出C錯誤，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷出D正確.【詳解】選項A：若、，則和可能是異面直線，故A錯誤；選項B：若、，則和不能判定有垂直和平行的關(guān)系，故B錯誤；選項C：若、、，則和可能異面，故C錯誤；選項D：若、，則，D正確，故選：D.【點睛】本題考查線線關(guān)系以及線面關(guān)系的判定，考查面面平行的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題.8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正八面體的面積和減去六個頂點的曲率和可得結(jié)果.【詳解】正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．圓柱的所有母線長都相等B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】ABD【分析】利用圓柱的性質(zhì)判斷選項A；利用棱柱的性質(zhì)判斷選項B；利用正棱錐的定義判斷選項C；利用棱臺的性質(zhì)判斷選項D.【詳解】選項A：圓柱的所有母線長都相等.判斷正確；選項B：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形.判斷正確；選項C：底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.判斷錯誤；選項D：棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點.判斷正確.故選：ABD10．下列各式中，值為的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合兩角和的正弦公式、正切公式逐一判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確：對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：ABC11．下列命題正確的是（    ）A．B．已知向量與的夾角是鈍角，則的取值范圍是C．向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底D．若，則在上的投影向量為【答案】AD【分析】利用向量加法法則即可判斷A；利用向量夾角是鈍角，則向量數(shù)量積小于0，并去掉共線情況判斷B；由向量共線的坐標公式計算判斷C；根據(jù)兩向量共線定義及投影向量的定義即可判斷D.【詳解】對于A：，正確；對于B：向量與的夾角是鈍角，則，解得，且，錯誤；對于C：因為向量，，所以，所以共線，不能構(gòu)成平面向量的基底，錯誤；對于D：因為，則與方向相同或者相反，當與同向時，成立；當與反向時，也成立，正確.故選：AD.12．如圖，已知正方體中，分別是的中點，則下列判斷正確的是（    ）A． B．平面C．平面 D．【答案】ABC【分析】連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)得到為的中點，即可得到，從而判斷C、D，再證明平面，即可判斷A、B；【詳解】解：連接，在正方體中為的中點，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故C正確；因為，與不平行，故D錯誤；又，平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，，故A、B正確；故選：ABC 三、填空題13．平面向量與的夾角為60°，，，則           .【答案】【分析】直接利用數(shù)量積的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以.因為與的夾角為60°，，所以.所以.故答案為：14．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正切值為      ． 【答案】【詳解】試題分析：取中點F，連接，，分別為的中點，，平面，為直線與平面所成角，，=，則【解析】直線與平面所成的角；15．設(shè)平面平面 ， 、，、， 直線與CD交于點， 且點位于平面，之間，，，， 則          ．【答案】9【詳解】根據(jù)題意做出如下圖形：∵AB，CD交于S點  ∴三點確定一平面，所以設(shè)ASC平面為n，于是有n交α于AC，交β于DB，∵α，β平行，∴AC∥DB，∴△ASC∽△DSB，∴= ，∵AS=8，BS=6，CS=12，∴解得SD=9．故答案為916．已知，則的值是          .【答案】/【分析】利用余弦函數(shù)的和差公式求得，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】由題意得，，則，所以.故答案為：. 四、解答題17．為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．【答案】（1）或2；（2）且；（3）【分析】首先化簡所給的復(fù)數(shù)，然后得到關(guān)于m的方程或不等式，據(jù)此即可確定z為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時m的值或取值范圍.【詳解】復(fù)數(shù)，（1）復(fù)數(shù)為實數(shù)可得，解得或2．（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)可得，解得且．（3）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可得：并且，解得．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18．在中，角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理可求得的值.【詳解】（1）中，由已知及正弦定理得：，整理得：，，，，又，；（2）因為，所以，即，化簡得，，，因為，，在中，．【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知向量的夾角為, 且(1) 求在上的投影; (2) 求.【答案】（1）-1；（2）.【分析】（1）由向量投影的幾何意義，計算即可得到；（2）由向量的平方即為模的平方，計算可得到所求值．【詳解】解：（1）由＝2，＝1，，的夾角為120°，則在上的投影為cos120°＝2×（﹣）＝﹣1．（2）＝=.【點睛】本題考查向量投影的計算，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是的中點．  (1)求證：平面；(2)求證：面面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）連結(jié)交于，易知，由線面平行的判定證結(jié)論；（2）由等腰三角形、線面垂直性質(zhì)得、，再由線面垂直、面面垂直的判定定理證結(jié)論.【詳解】（1）連結(jié)交于，則是的中點，連結(jié)，是的中點，則， 面，面，面．  （2），是的中點，，面，面，，又，面，面，面，所以面面．21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）設(shè)，求點到面的距離.【答案】（1）見解析（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般用到線面垂直的性質(zhì)定理，即先要證線面垂直，首先由已知底面.知，因此要證平面，從而只要證，這在中可證；（Ⅱ）要求點到平面的距離，可過點作平面的垂線，由（Ⅰ）的證明，可得平面，從而有平面，因此平面平面，因此只要過作于，則就是的要作的垂線，線段的長就是所要求的距離．試題解析：（Ⅰ）證明：因為，，由余弦定理得.從而，∴，又由底面，面，可得.所以平面.故.（Ⅱ）解：作，垂足為.已知底面，則，由（Ⅰ）知，又，所以.故平面，.則平面.由題設(shè)知，，則，，根據(jù)，得，即點到面的距離為.【解析】線面垂直的判定與性質(zhì)．點到平面的距離．22．如圖，在四棱錐中，底面，且是直角梯形，，，點是的中點.(1)證明：直線平面；(2)者直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意證得，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）根據(jù)線面角的定義，得到即為直線與平面所成角，在直角中，求得，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）證明：因為平而，平面，所以，又因為，且，可得，所以，所以又由且平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，所以即為直線與平面所成角，在直角中，可得，可得，在直角中，可得，所以三棱錐的體積為. 

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